專題05一次方程（組）及其應用的核心知識點精講

o復習目標O

1、掌握等式的基本性質掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組.

2、能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

3、經歷用一次方程組解應用題的過程，提高分析問題和解決問題的能力

O考點植理O

性質1:等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等;

典例引領

【題型1:等式的性質】

【典例1】（2024?貴州?中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入

▲"三種物體，如圖所示，天平都保持平衡.若設"■"與"/的質量分別為X,外則下列關系式正

確的是（）

7K~1

甲乙

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=5y

【答案】C

【分析】本題考查等式的性質，設"▲"的質量為。，根據題意列出等式x+y=y+2a,x+a=x+2y,

然后化簡代入即可解題.

【詳解】解：設"▲"的質量為

由甲圖可得x+y=y+2a,即久=2a,

由乙圖可得x+a=x+2y,即a=2y,

???%=4y,

故選c.

即時檢溫

1.（2022?青海?中考真題）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（）

A.若/=?，則a=6B.若ac=6c,貝！|a=b

C.若（/=后，則a=6D.若一|久=6,則久=-2

【答案】A

【分析】根據等式的性質，一次判斷各個選項，即可進行解答.

【詳解】解：A、若沁,則a=b,故A正確，符合題意；

B、若ac=be,且cHO,則。=8，故B不正確，不符合題意；

C、若。2=廬，貝！］同=網，故C不正確,不符合題意；

D、若一孑=6,貝=故D不正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了等式的性質，解題的關鍵是掌握：等式兩邊同時乘或除以一個不為0的數，等

式仍成立.

2.（2022?山東濱州?中考真題）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U,導體的電阻火之間有以

下關系：/=■去分母得/R=U,那么其變形的依據是（）

A.等式的性質1B.等式的性質2C.分式的基本性質D.不等式的性質2

【答案】B

【分析】根據等式的性質2可得答案.

【詳解】解：/=■去分母得/R=U,其變形的依據是等式的性質2,

故選：B.

【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立.

典例引領

【題型2：一次方程（組）的相關概念】

【典例2】（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）點P?y）在直線y=-y+4上，坐標?y）是二元一次方程

5久-6y=33的解，則點P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組12=二3久,

（5x—6y=33

求出點尸的坐標即可判斷.

【詳解】解：聯立方程組,

（5x—6y=33

｛x=6

二產的坐標為（6,—｛），

???點尸在第四象限，

故選:D.

&⑦即時檢測

1.（2024?海南,中考真題）若代數式X-3的值為5,則x等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據題意可知％-3=5,解方程即可得到答案.

【詳解】解：?.?代數式X-3的值為5,

/.%—3=5,

解得x=8,

故選：A.

2.（2023?浙江衢州?中考真題）下列各組數滿足方程2x+3y=8的是（）

人｛；聶B.仁二C.（-I1D,［；=1

【答案】A

【分析】代入的值，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：當時，方程左邊=2xl+3x2=8,方程左邊=方程右邊，故A符合題意；

當時，方程左邊=2x2+3X1=7,方程左邊H方程右邊，故B不符合題意；

當｛，三時，方程左邊=2X（—1）+3X2=4,方程左邊7方程右邊，故C不符合題意；

當時，方程左邊=2X2+3X4=16,方程左邊H方程右邊，故D不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數是二元一次

方程的解，是解題的關鍵.

3.（2023?四川眉山?中考真題）已知關于的二元一次方程組｛%；；：盥tg1的解滿足=%則加的

值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到"-，=巾+3,代入久-37=4,即可解答.

【詳解】解:⑶真媒疆，

①一②得2%—2y=2m+6,

???x—y=m+3,

代入％-y=4,可得m+3=4,

解得m=1,

故選：B.

【點睛】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵.

典例引領

【題型3：一次方程（組）的解法】

【典例】（2024?浙江?中考真題）解方程組：｛?帛宅二?10

［答案］卜=）

ly=-4

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①x3+②得，10尤=5,解得x=9,再把x=9代入①求

出y=-4即可.

【詳解】解：「嚀爽%②

①x3+②得，10%=5

解得V，

把x=9代入①得1—y=5,

解得y=-4

..卜=9

（y=-4

*弓即時檢測

1.（2024?江蘇蘇州?中考真題）解方程組：管之；；，

【答案】｛泮

【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解.根據加減消元法解二

元一次方程組即可.

【詳解】解：｛宗3關翦

①一②得，4y=4,解得，y=l.

將y=1代入①得x=3.

???方程組的解是

2.（2023?浙江衢州?中考真題）小紅在解方程等=個+1時，第一步出現了錯誤：

：：解：2x7x=（4x-l）+l,：：

⑴請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處；

（2）寫出你的解答過程.

【答案】⑴劃線見解析

（2）%=|,過程見解析

【分析】（1）根據解一元一次方程去分母的過程，即可解答；

（2）根據解一元一次方程的步驟，計算即可.

【詳解】（1）解：劃線如圖所示：

：：解：2X7X=（4X-1）H,

(2)解：與=彳+1,

2x7%=4x—1+6,

2x7x-4x=-1+6,

10%=5,

1

久，

【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解方程的步驟是解題的關鍵.

.日典例引領

【題型4：一次方程（組）的應用】

【典例4】（2024?山東濟南?中考真題）近年來光伏建筑一體化廣受關注.某社區擬修建48兩種光伏車

棚.已知修建2個/種光伏車棚和1個8種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個/種光伏車棚和3個

B種光伏車棚共需投資21萬元.

⑴求修建每個4種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？

（2）若修建43兩種光伏車棚共20個，要求修建的/種光伏車棚的數量不少于修建的2種光伏車棚數

量的2倍，問修建多少個4種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？

【答案】⑴修建一個4種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元

⑵修建4種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，不等式的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是根

據等量關系列出方程，根據不等關系列出不等式.

（1）設修建一個4種光伏車棚需投資%萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，根據修建2個/種

光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個力種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資

21萬元列出方程組，解方程組即可；

（2）設修建4種光伏車棚小個，則修建B種光伏車棚（20-巾）個，修建4種和B種光伏車棚共投資卬萬元,

先根據修建的4種光伏車棚的數量不少于修建的8種光伏車棚數量的2倍，列出不等式，求出力的范

圍，然后少關于機的關系式，根據一次函數的性質求出結果即可.

【詳解】（1）解：設修建一個4種光伏車棚需投資x萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，根據題

意，得1江與二學「

解得｛；：!

答：修建一個4種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元.

（2）解：設修建4種光伏車棚加個，則修建B種光伏車棚（20-機）個，修建4種和B種光伏車棚共投資W

萬元，根據題意，得血之2（20-機），

解得TH>y,

W=3m+2(20—m)=m+40,

???l>0,

”隨M的增大而增大，

當m=14時，勿取得最小值，此時0=14+40=54（萬元），

答：修建a種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元.

00）即時檢測

1.（2024?海南?中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗.某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花

【答案】促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元.

【分析】本題考查了一元一次方程的應用.設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為萬元，則促銷活動前每個

五花肉粽的售價（久-5）元，根據題意列方程求解即可.

【詳解】解：設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為久元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價（久-5）元，

依題意得0.8x[10%+5（%-5）]=160,

解得x=15,

X—5=10,

答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元.

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）中國古代數學著作《張邱建算經》中有一道問題；"今有甲、乙懷錢，各不

知其數.甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？"問題大意：甲、乙

兩人各有錢幣干枚.若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數比乙的錢幣數多出5倍，即甲的錢幣數是乙錢

幣數的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數相等.問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一

次方程組解答上述問題.

【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意找到等量關系列出方程是解決本題的關鍵.

設甲有錢x枚，乙有錢y枚，根據"甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解

即可.

【詳解】解：設甲有錢x枚，乙有錢了枚，由題意，得

[X+10=6（y-10）

Ix-10=y+10'

解這個方程組，得《：工

答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣.

3.（2024?江蘇南通?中考真題）某快遞企業為提高工作效率，擬購買/、2兩種型號智能機器人進行快遞分

揀.

相關信息如下:

信息一

/型機器人臺數2型機器人臺數總費用(單位：萬元)

13260

32360

信息二

.)

A型機器人每臺每天可

分揀快遞22萬件；

B型機器人每天每天可

分揀快遞18萬件。

/

⑴求/、8兩種型號智能機器人的單價；

(2)現該企業準備用不超過700萬元購買/、B兩種型號智能機器人共10臺.則該企業選擇哪種購買方

案，能使每天分揀快遞的件數最多？

【答案】(1)/型智能機器人的單價為80萬元，2型智能機器人的單價為60萬元

(2)選擇購買4型智能機器人5臺，購買8型智能機器人5臺

【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，掌握二元一次方程組，一元一

次不等式的應用是解題的關鍵.

(1)設/型智能機器人的單價為尤萬元，3型智能機器人的單價為y萬元，根據題意列出方程組，計

算結果即可；

(2)設購買/型智能機器人。臺，則購買3型智能機器人(10-a)臺，先求出。的取值范圍，再得出

每天分揀快遞的件數=22a+18(io-a)=4a+180,當a取得最大值時，每天分揀快遞的件數最多.

【詳解】(1)解：設/型智能機器人的單價為x萬元，8型智能機器人的單價為y萬元，

(x+3y=260

13%+2y=360

解得度霏,

答：/型智能機器人的單價為80萬元，8型智能機器人的單價為60萬元；

(2)解：設購買/型智能機器人。臺，則購買2型智能機器人(10-a)臺，

.??80a+60(10—砌4700,

.,.a<5,

r每天分揀快遞的件數=22a+18(io-a)=4a+180,

.?.當a=5時，每天分揀快遞的件數最多為4x5+180=200萬件,

???選擇購買月型智能機器人5臺，購買8型智能機器人5臺.

o好題沖關o

.弓基礎過關

1.（2024?山東濰坊?模擬預測）已知等式3a=26+5,則下列等式中成立的是（）

A.3ac=26c+5B.3a-5=2bC.a=^b+15D.3a+l=2b+6

【答案】BD

【分析】根據等式的性質逐個判斷即可.本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵,

注意：等式的性質1：等式的兩邊都加（或減）同一個數或式子，等式仍成立；等式的性質2：等式的

兩邊都乘同一個數或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數或式子，等式仍成立.

【詳解】解：A.3a=2b+5,

等式兩邊都乘c,得3ac=2bc+5c,故本選項不符合題意；

B.1??3a=2b+5,

.??等式兩邊都減去5,得3a-5=26,故本選項符合題意；

C.3a=2b+5,

.??等式兩邊都除以3,得a=|b+*故本選項不符合題意；

D.3a=26+5,

二等式兩邊都加1,得3a+l=2b+6,故本選項符合題意

故選：BD.

2.（2024?甘肅蘭州,模擬預測）下列等式是四位同學解方程占-三=1過程中去分母的一步，其中正確的是

（）

A.x—2x=1B.x—2x=—1C.%+2%=x—1D.x—2x=x—1

【答案】c

【分析】本題考查解一元一次方程，把等式兩邊分別乘以X-1即可求解.

【詳解】解：三=1，

去分母得，x+2x=x-1,

故選：C.

3.（2024?四川攀枝花?模擬預測）下列各數中，是方程2x-l=3x+l的解的是（）

A.x=2B.x=-2C.x=1D.x=1和-2

【答案】B

【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題關鍵.依次移項、合并同類

項、系數化1解方程即可.

【詳解】解：2x-l=3x+l,

移項得：2比-3%=1+1,

合并同類項得：-久=2,

系數化L得x=-2,

故選：B.

4.（2024?遼寧?模擬預測）在解方程x+1=4久+8時，經過移項后的式子為（）

x+l7

A.3x=-7B.-T-=C.%=--D.%=4%+7

O4x3

【答案】A

【分析】該題主要考查了一元一次方程的解法，解題的關鍵是掌握一元一次方程的解法.

根據一元一次方程的解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為一的方法解答即可.

【詳解】解：x+1-4x+8,

移項得萬-4%=8-1,

化簡得3%=-7,

故選：A.

5.（2024?甘肅金昌?模擬預測）《九章算術》中有這樣一道題："今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行

五十里.今載太倉粟輸上林，五日三返.問：太倉去上林幾何？"其大意為：駕馬車在驛站間運送貨物,

空車一日行70里，重車一日行50里，現在從太倉運谷子到上林，5日往返3次.問：太倉距上林多少

里？設太倉距上林x里，則根據題意可列方程為（）

%X5xX5

A-而+而=WB.而一而=§

xx3xx3

C—————D—+—=—

J5070570丁505

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題

的關鍵.

設太倉到上林的距離為x里，利用時間=路程+速度，結合5日往返3次，即可得出關于x的方程.

【詳解】解：設太倉到上林的距離為x里，

依題意得：京+京=|；

故選：A.

6.（2024?山東棗莊?一模）已知x,y滿足方程組｛對:，則無論機取何值，x,y恒有關系式是（）

A.%+y=1B.x+y=—1C.x+y=9D.x—y=9

【答案】C

【分析】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能理解二元一次方程組的解的定義是

解此題的關鍵.把②代入①，得：%+y-5=4,整理后即可得出答案.

【詳解】解：町對席，

把②代入①，得：%+y-5=4,

即久+y=9,

故選：C.

7.（2024?貴州貴陽?一模）把1-9這9個數填入3x3方格中，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和都

相等，這樣便構成了一個三階幻方，它源于我國古代的洛書.如圖是僅可以看到部分數值的三階幻方,

則其中x+y的值為（）

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程的應用.根據每行、每條對角線上的三個數之和都相等，列出二元

一次方程，即可解決問題.

【詳解】解：由題意得：無+5+y=3+5+7,

x+y—10,

故選：B

8.（2024?江蘇鎮江?模擬預測）古秤是一種人類智慧的產物，也是華夏文明的瑰寶之一.如圖，我們可以用

秤蛇到秤紐（秤桿上手提的部分）的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量，稱重時，若秤鉤所掛物重

為x（斤），秤蛇到秤紐的水平距離為y（cm＞下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據：

%（斤）

y（厘米）

當x為11斤時，對應的水平距離y為（

秤布

A.3cmB.3.25cmC.3.5cmD.3.75cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，待定系數法求一次函數解析式，解二元一次方程組等

知識點，熟練掌握待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵.

觀察表格數據可以發現y與X之間存在一次函數關系，故借助表格數據，利用待定系數法求出y關于X的

函數關系式，然后將久=11代入函數解析式，求出對應的函數值即可.

【詳解】解：觀察表格數據發現y與%之間存在一次函數關系，故設y=kx+b,

將點（2,1）與（6,2）分別代入，得喘胃:瑞,

②-①，得：4k=1,

系數化為1,得：k=0.25,

將k=0.25代入①，得：2x0.25+6=1,

移項，得：6=1—2x0.25,

合并同類項，得：fa=0.5,

y關于x的函數關系式為y=0.25%+0.5,

將x=11代入上述解析式，得：y=0.25x11+0.5=3.25,

即當x為11斤時，對應的水平距離y為3.25cm,

故選：B.

9.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）小明恰用20元買筆記本和中性筆，一個筆記本2元，一個中性筆3元（兩種

都要至少買一件），那么他有幾種購買的方案（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用.熟練掌握二元一次方程組是解題的關鍵.

設買筆記本x個，中性筆y個，且1WXW8,1<y<6,x,y為正整數，依題意得，2久+3y=20,即

%=10-^,然后求解作答即可.

【詳解】解：設買筆記本%個，中性筆y個，且1<y<6,%,y為正整數，

依題意得，2久+3y=20,

解得，%=卓=10號，

.?.當y=2時，x=7；

當y=4時，x=4；

當y=6時，x=1；

綜上所述，共有3種購買的方案，

故選：B.

10.（2024?貴州貴陽?二模）已知關于%的方程2%-租=。的解是％=-3,則根的值為.

【答案】-6

【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關于m的方程，解方程即可.本題考查了一元

一次方程的解，解題的關鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解.

【詳解】解：把％=—3代入方程中得：

2X（—3）—771=0,

m=-6,

故答案為：-6.

11.（2024?貴州貴陽?二模）某車間有20名工人，每人每天可以生產600個螺母或900個螺絲.一個螺絲需

要配兩個螺母，為使每天生產的螺絲與螺母剛好配套，設安排x名工人生產螺母，根據題意可列方程

【答案】600%=2X900（20-%）

【分析】本題考查了列一元一次方程，設安排x名工人生產螺母，則（20-x）名工人生產螺絲，根據題意

列方程即可.掌握列方程解應用題的關鍵是建立等量關系.

【詳解】解:設安排萬名工人生產螺母，則（20-嗎名工人生產螺絲，

由題意得600久=2X900（20-%）,

故答案為：600x=2X900（20-%）.

12.（2024?廣西?模擬預測）點4（—犯2爪+1）在函數丫=一比+1的圖象上，則租=.

【答案】0

【分析】本題考查的是一次函數的性質，解一元一次方程，先根據點4（-成2爪+1）在函數y=-久+1

的圖象上，即可得出-（—機）+1=2爪+1,然后解一元一次方程即可得出機的值.

【詳解】解：點力（一山,2巾+1）在函數y=-x+i的圖象上，

???一（—771）+1=2?7l+1,

解得：771=0,

故答案為：0.

13.（2024?山西?模擬預測）如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設每塊小長方形地磚的長為

xcm,寬為ycm,可列方程組：.

L口耒,（x+y=40

【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的

關鍵.設每塊小長方形地磚的長為％cm,寬為ycm,由圖示可得等量關系：①2個長=1個長+3個寬,

②一個長+一個寬=40cm,列出方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設每塊小長方形地磚的長為％cm,寬為ycm,由題意得：

（2x=x+3y

t%+y=40'

故答案為：｛雷二帝.

14.（2024?貴州?模擬預測）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十八號航天員乘組順利進駐中國空

間站與神舟十七號航天員乘組太空會師，載人飛船發射取得了圓滿成功！小星和小紅都是航天愛好者,

他們計劃購買甲、乙兩種飛船模型收藏.下面是兩位同學的對話：

*lf小星:我買了1件甲種飛船］j小紅:我買了2件甲種飛船|XRk

4模型和1件乙種飛船模型，I|模型和3件乙種飛船模型，/J**5

禹［共花了40元.J［共花了95元.

⑴求甲、乙兩種飛船模型每件的售價分別為多少元？

（2）若小星計劃正好用200元零花錢購買以上兩種飛船模型，且每種都有購買，請通過計算說明有多少

種購買方案.

【答案】（1）甲種飛船模型每件進價25元，乙種飛船模型每件進價15元

（2）有2種購買方案：①購進5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；②購進2件甲種飛船模型和10

件乙種飛船模型

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用及二元一次方程的正整數解的應用，找準等量關系列

出二元一次方程（組）是解題關鍵.

（1）設甲種飛船模型每件進價x元，乙種飛船模型每件進價y元，根據1件甲種飛船模型和1件乙種

飛船模型的售價共計40元，2件甲種飛船模型和3件乙種飛船模型的售價共計95元，建立二元一次方

程組，解之即可；

（2）設購進。件甲種飛船模型和6件乙種飛船模型，根據總價=單價X數量，得到關于0、6的二元

一次方程，結合。、6是正整數即可得所有購買方案.

【詳解】（1）解：設甲種飛船模型每件的售價為x元，乙種飛船模型每件的售價為y元，

根據題意得法：匯累5，

解得

答：甲種飛船模型每件的售價為25元，乙種飛船模型每件售價為15元；

（2）解：設購買a件甲種飛船模型和b件乙種飛船模型，

根據題意得25a+15b=200,

:a=8一—b,

???a,b均為正整數，

當6=5時，a=5；

當b=10時，a=2,

.,.有2種購買方案如下：

①購買5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；

②購買2件甲種飛船模型和10件乙種飛船模型.

能力提升

1.（2024?山東東營?模擬預測）聰聰買一套4本裝的《西游記》和1本《童活故事》共用去84元.如果1本《童

話故事》的價錢是1本《西游記》的3倍，這本童話故事是（）.

A.12元B.21元C.36元D.42元

【答案】c

【分析】本題考查一元一次方程的應用，設1本《西游記》的價錢是x元，則1本《童話故事》的價錢是

3x元，根據"買一套4本裝的《西游記》和1本《童活故事》共用去84元”列出方程求解后可得結論.正

確理解題意，找到等量關系列出方程是解題的關鍵.

【詳解】解:設1本《西游記》的價錢是x元，貝以本《童話故事》的價錢是3x元，

依題意，得：4%+3%=84,

解得：%=12,

3x=3x12=36（元），

??.這本童話故事是36元.

故選：C.

2.（2024,湖南?模擬預測）在《九章算術》方田章“圓田術"中指出："割之彌細，所失彌少，割之又割，以至

于不可割，則與圓周合體而無所失矣"，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思想，

比如在1+]+/+或+/+…中，"…”代表按規律不斷求和，設1+J+尚+g+2+“=則有

22/2，22/2，2，

1iliiill

x=l+-x,解得％=2,故1+5+豆+石+—=2.類似地至+亳+京H—的結果為（）

1964

A-iB-8C.gD.-

【答案】A

【分析】本題主要考查解一元一次方程和數字的變化規律，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去

1111111

括號、移項、合并同類項、系數化為L設1+城+域+京+…=心知1+5+域+e+…=1+5

（1+白+=+吃據此可得x=l+9再進一步求解可得.

\32343673

【詳解】解：設1+/+城+/+...=居

貝U1+/+/+捻+“,=1+/（1+/+蛾+/+…1

1

?,?X=1

解得O

1119

???1+至+裒+3+…=7

1111

二7+亞+袤+”,=7

故選:A

3.（2024?河北?模擬預測）如圖1和圖2,天平兩邊托盤中相同形狀的物體質量相同，且兩架天平均保持平衡,

若1個“□”與幾個"的質量相等，貝切的值為（）

\rmAA/xmcTTi/VYYIAA/\/

△△

和圖2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了三元一次方程組，解題的關鍵是正確找出等量關系.設1個“□”的質量為K，1個"△"

的質量為y,1個"。”的質量為z,再根據題意列出方程組即可求解.

【詳解】解：設1個"□"的質量為x,1個"△"的質量為y,1個"。"的質量為z,

3x+2y=2x+3z

根據題意可得:2y+3z=x+2z'

整理得：｛X+2y=3z(l

2y+z=x@

①一②得：x=2z,

即1個"口"與2個"o”的質量相等,

故選：B.

4.（2024?四川成都?模擬預測）從甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小時走3km,平

路每小時走4km,下坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需要54min,從乙地到甲地需42min.則從甲

到乙地的全程是（）

A.186kmB.90kmC.96kmD.3.1km

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用.設從甲地到乙地的上坡長為%km,平路長為ykm,根據時

間等于路程除以速度建立方程組，解方程組求出久，y的值，由此即可得.

【詳解】解：設從甲地到乙地的上坡長為xkm,平路長為ykm,則從乙地到甲地的下坡長為xkm,平路

長為ykm,

Xy54

+

-----

3460

%y-42

由題意得:+

---

546O-

解得碇邪，

則甲地到乙地全程是x+y=1.5+1.6=3.1（km），

故選：D.

5.（2024?江蘇揚州?三模）設Gtigg，…，。2024是從-L0,3這三個數中取值的一列數，若與+&2+a3H---F

2333

ct.2024=13,a：+城+a|4—+a2024=59,則aj+a2+a3+…+a2024=（）

A.154B.155C.156D.157

【答案】D

【分析】本題考查的是數字的變化規律和二元一次方程組的應用，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵.

根據題意，設這一列數中有久個一1,y個3,可列｛(_：馬與丫59，即可求出久與y的值，再將其代

3

入a；+a|+a|+a|024=(—l)^+33y中計算即可.

【詳解】解：設這一列數中有%個一1,y個3,

——％+3y=13

可，」1(—1)2%+32y=59，

解得:

,,,a；+a：+a|+■-■+城024

=(-l)3x+33y

=-5+27x6

=157,

故選：D.

6.(24-25七年級上?重慶?階段練習)下午四點多，小李潛心鉆研桃李杯的思維題，開始時時針與分針的夾

角是65。，結束時發現時間還不到當天下午五點，且時針與分針的夾角還是65。，小李鉆研了分鐘.

【答案】23夕等

【分析】本題考查應用類問題，鐘表時針與分針的夾角.在鐘表問題中，常利用時針與分針轉動的度

數關系：分針每分鐘走360。+6。=6。，時針每分鐘走360。+12+60=0.5。，并且利用起點時間時針

和分針的位置關系建立方程求解.

【詳解】解：分針每分鐘走360。+60=6。，時針每分鐘走360。+12+60=0.5。，

四點整時，時針和分針之間的夾角是4x(360°+12)=120°,

設小李開始鉆研時是4點x分，則由題意可得：(120+0.5x)-6尤=65,解得比=10,

即：下午4點10分時，小李開始鉆研，

7

設結束時是4點y分，則由題意可得：6%一(120+0.5y)=65,解得y=33五，

即：下午4點33看分時，小李結束鉆研，

???小李鉆研了335—10=23,分，

故答案為：23A.

7.(2024?廣東?模擬預測)關于x,j的方程組｛黑:就二端的解滿足<2,則n的取值范圍是.

【答案】n>-2

【分析】本題考查的是二元一次方程組與一元一次不等式的應用，掌握整體求未知數的方法是解本題

的關鍵.①-②得久-丫=-2n-2,根據x-yW2得出關于〃的不等式求解.

【詳解】解：卜黑6M索%),

①一②，^x-y=-2n-2,

'：x—y<2,

**?—271—2<2,

.,.n>—2.

故答案為：九2一2.

8.（2024?廣東廣州?中考真題）定義新運算：。?6=｛_9工［陡>°6,例如：-204=（-2）2-4=0,

203=-2+3=1.若久01=—z，貝此的值為.

【答案】—9或3

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義.根

據新定義運算法則列出方程求解即可.

【詳解】解：:a0b=｛

I—a十u,CLx>U,

3

而x（8）1=4-

??.①當XWO時，則有%2-1=-%

解得，%=-p

②當x>0時，-x+l=-*

解得，x=3

綜上所述，X的值是-J或

故答案為：-j或

9.（2024?江蘇宿遷?中考真題）若關于X、>的二元一次方程組｛暇｝J二，的解是｛二32，則關于-）的

方程組｛戈士.二或；/的解是-

【答案】｛J二

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把｛J=一2,代入=%,得到

廖展整體代入｛對君二棄空中，得到方程組圖±2"5比翹，加減消元法解方程組

即可.

【詳解】解：把｛J=芻代入晦與二3得：｛言箕3

fax+2y=2a+b

.tcx-2y=2c+d'

Ja%+2y=2a+3a—2,lnfax+2y=5a—2（D

"c%—2y=2c+3c+2'':lc%—2y=5c+2②'

①+②‘得：（a+c）%=5（口+c），

???方程組｛叫二J二」有解，

?,-a+cH0,

/.%=5,

把％=5代入①，得：5a+2y=5。-2,解得：y=-l；

???方程組的解集為：｛J=-1;

故答案為：

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲

槽、乙槽、丙槽.有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數字，且每

個小球所標數字互不相同.作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入

不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數為落入該小孔

槽小球上所標的數字），完成第一次操作.再重復以上操作兩次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分

之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是—

（從"甲槽"、"乙槽"、"丙槽"中選填）.

【答案】乙槽

【分析】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得了分，第三次操作乙得z分，根據題意，得

x+y+z=10,當y=z=l時，x最大，為8,根據每次操作數字不相同，故數字1不可能再出現，故

第二次操作最小的是乙槽.

本題考查了方程的應用，特殊解，熟練掌握整數解是解題的關鍵.

【詳解】設第一次操作乙得X分，第二次操作乙得〉分，第三次操作乙得Z分，根據題意，得

x+y+z^lO,當y=z=l時，x最大,為8,根據每次操作數字不相同，故數字1不可能再出現，故

第二次操作計分最低的是乙槽.

故答案為：乙槽.

◎■真題感知

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之,

繩多一尺.繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把

繩四折來量，井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（）

1,1Y1X1X

A.-x-4=-x-lB.TX+4=-x-l

3434

1111

C.-x—4=-%+1D.-%+4=-%+1

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應用，利用井的深度不變建立方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設繩長為x尺，列方程為$-4=%—1,

故選A.

2.（2024?江蘇無錫?中考真題）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢"問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海

飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經

過多少天相遇？設經過X天相遇，則下列方程正確的是（）

A.yx+=1B.=1C.9x+7%=1D.9x—7%=1

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據題意可得野鴨的速度為義，大雁的速度為:設經過

x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據此即可列出方程.

【詳解】解：設經過“天相遇，

可列方程為：夫+白=1,

故選：A.

3.（2024?山東日照?中考真題）我國明代數學家程大位編撰的《算法統宗》記載了“繩索量竿"問題："一條竿

子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？"譯文為："有一

根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短