52第11章新定義問題之新定義問題

一、單選題

1.定義新運算：對于任意兩個有理數(shù)。，b,有/b=/（8—1）,則（—3）*4的值是（）

A.-9B.-27C.27D.9

2.閱讀短文，完成問題：

沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算”，然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法

則進行運算的算式：

（+5必（+2）=+7；（―3）※（—5）=+8；（―3）※（+4）=—7；（+5）※（—6）=—H；0X（+8）=8；（-6必0=6.

下列是智羊羊看了這些算式后的思考，其中正確的有（）

A.兩數(shù)進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加

B.0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算，等于這個數(shù)本身

C.（一2）※[0※（一1）]=（—2）※（-1）=3

D.加法交換律在有理數(shù)的※（加乘）運算中不適用

3.己知點A在函數(shù)！（%>0）的圖象上，點3在直線為=3%+4上，若A、B兩點關于原點對稱,

x

則稱點A、B為函數(shù)為、為圖象上的一對“友好點”?請問這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)的情況為（）

A.只有1對B.只有2對C.有1對或2對D.有無數(shù)對

4.對于兩個非零有理數(shù)a、b定義運算※如下：aXb=^————,則（-3）※（-4）=（）

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

5.對于有理數(shù)a、b,定義一種新運算“※”，規(guī)定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,貝|2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

6.對于實數(shù)尤,V,規(guī)定一種運算：x\y=ax+by（a,b是常數(shù)），己知243=11,5A（-3）=10,則a,匕

的值為（）

35

A.a=3,b=—B.a=2,b=3C.a=3,b=—D.a=3,b=2

53

7.設以)表示大于工的最小整數(shù)，如[3)=4,[-1.2)=-1,則下列結論中正確的是(填寫所有正確結論

的序號)①[0)=0；②比)-%的最小值是0；③[X)-%的最大值是1；④存在實數(shù)X,使[%)-x=0.6成

立.()

A.①②B.②③C.③④D.②③④

「尤+2-

8.對于有理數(shù)x，我們規(guī)定國表示不大于x的最大整數(shù)，例如[L2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若==6,

則x的取值可以是()

A.52B.62C.56D.68

9.若定義:f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4,5),則g(f(3,-4))的值為()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

10.若點河，N分別是兩條線段。和〃上任意一點，則線段MN長度的最小值叫做線段。與線段6的“理

想距離已知0(0,0),41,1),5(3,左),。(3,左+2),線段3c與線段。4的“理想距離''為2,則左的取值錯

誤的是()

A.-1B.0C.1D.2

11.若定義新運算4區(qū)人=精，貝1(2⑤2慮3的值為()

A.12B.16C.64D.81

12.我們規(guī)定這樣一種運算：如果ab=N(a>0,N>0),那么b就叫做以a為底的N的對數(shù)，記作：b=logaN,

例如：因為23=8,所以log28=3,那么log381的值為()

A.4B.9C.27D.81

btnq丈,Q2QmJi-*3=（）

13.現(xiàn)規(guī)定一種新運算“*”：女口3*2=3-9,貝I]:

113

A.-B.8C.一D.-

682

14.在平面直角坐標系中，對于平面內(nèi)任一點(。力)，若規(guī)定以下三種變換:

①"9)=(—。力).如，/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h(a,b)=.如，/i(l,3)=(-1,-3).

按照以上變換有：/(g(2,-3))=f(-3,2)=(3,2),那么以(妝5,-3))等于(

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,-3)D.(-5,3)

15.對于任何一個數(shù)，我們規(guī)定符號ababx+1x

的意義是=ad—be,按照這個規(guī)定計算的

cddx—2x~l

結果是()

A.—2x—1B.—2x+1C.2x+1D.2x-l

二、填空題

16.等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值左稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中，

ZA=70°,則它的特征值左=.

17.“！”是基斯頓?卡曼于1808年發(fā)明的一種數(shù)學運算符號，叫做階乘.自然數(shù)幾的階乘寫作加，并且知道:

201

1!=1,21=2x1=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于.

21!

18.規(guī)定二是一種新運算規(guī)則：a?b=a2-b2,例如：2?3=22-32=4-9=-5,則5?[1?(-2)]=.

19.定義一種新運算“*“：xy=2xy-x1,貝!)-1*2=

20.對于任意有理數(shù)a,b,c,d,規(guī)定一種運算：，[二ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I：：|=2,那么m=.

21.任何實數(shù)。，可用[a]表示不超過。的最大整數(shù)，如[4]=4,[73]=b現(xiàn)對72進行如下操作：，這

樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.類似地，對81只需進行3次后為1,那么只需進行3次操作后變?yōu)?

的所有正整數(shù)中，最大的是.

22.現(xiàn)在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數(shù)a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+\,則

(2*3)☆(3^2)的值為.

23.定義新運算：a*b=(a+2)(h-5),貝|5*(—7)=.

24.用“☆”定義一種新的運算：對于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b=ab?+2ab+a.如：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

則G2)+3的值為.

25.用“※”定義新運算：對于有理數(shù)。力都有：a^b=ab-（a+b）,那么當加為有理數(shù)時，

⑸※3）=（用含加的式子表示）

26.“便>”定義新運算：對于任意的有理數(shù)。和b,都有“應人=尸+1.例如：905=52+l=26-當初

為有理數(shù)時，則機位（相位3）等于.

27.定義一種新運算規(guī)則如下：對于兩個有理數(shù)a,b,aQb^ab-b,若（5。%）。（—2）=-1,則

x=_____

28.對于兩個不相等的實數(shù)a也我們規(guī)定符號max{a,圻表示中的較大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照這個規(guī)定，方程max{x,-x}=-------的解為.

29.%、y是一個函數(shù)的兩個變量，若當。0爛人時，有（a<b）,貝!!稱此函數(shù)為〃上的閉函數(shù).如

函數(shù)產(chǎn)一x+5,當20x03時，2<y<3,所以y=—x+5是2sx03上的閉函數(shù)，已知二次函數(shù)y=N+6x+m是

區(qū)運-3上的閉函數(shù)，則m的值是.

30.定義一種新的運算：a*6=巴子，如：4*1=4+廣=|,則（2*3）*（—1）=.

三、解答題

31.定義：若a+b=2,則稱。與6是關于1的平衡數(shù).

（1）直接填寫：①5與是關于1的平衡數(shù)；

②1-2龍與是關于1的平衡數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；

③y與________是關于1的平衡數(shù)（用含y的代數(shù)式表示）；

@z與Z是關于1的平衡數(shù)，則Z=.

（2）若a=2x~—3（尤~+x）+3,b=2x—[3x—（4x+x~）+l],先化簡a、b,再判斷.與6是否是關于

1的平衡數(shù).

32.設用符號<a,b>表示a,6兩數(shù)中較小的數(shù)，用團，切表示a,。兩數(shù)中較大的數(shù).試求下列各式的值.

（1）<-5,-0.5>+[-4,2]；

（2）<1,3>+[-5,<-2,7>].

33.若a,6是有理數(shù)，定義一種運算“③"：a?b^ab-2a-2b+l,

（1）計算3⑤（—2）的值;

(2)計算［(-4慮2］區(qū)(-3)的值；

(3)定義的新運算“③”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程.

34.歷史上的數(shù)學巨人歐拉最先把關于尤的多項式用/(x)來表示.例如：f(x)^x2+3x-5,當％時,

多項式的值用/(?)來表示.例如％=—1時，多項式無2+3%—5的值記為/(—1)=(-1)2+3x(-1)-5=-7.

(1)已知/(x)=—2/—3x+l,求/(—2)的值;

(2)已知/(x)=ax'+2%2-ax-5,當/0.求a的值;

(3)已知/。)=加+法+7(其中a,6為常數(shù))，若/(—7)=—17,求/(7)的值.

Q+C

35.定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A(a,b),B(c,d),若點T(x,y)滿足％=---,y

="4，那么稱點T是點A,8的三分點.

3

例如：A(-1,5),B(7,7),當點T(x,y)滿足x==吆=2,>=三2=4時，則點T(2,4)是

點A,8的三分點.

(1)已知點C(-l,8),D(1,2),E(4,-2),請說明其中一個點是另外兩個點的三分點.

(2)如圖，點A為(3,0),點82什3)是直線/上任意一點，點T(x,y)是點A,8的三分點.

①試確定y與尤的關系式.

②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點M，直線/交y軸于點N,當以M,N,B,T為頂點的四邊形是平行四邊形

時，求點5的坐標.

③若直線AT與線段MN有交點，直接寫出/的取值范圍.

36.定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（x,,y）,B（%2，%）,若點T（x,y）滿足x=%：,

K-

y=2i±A,那么稱點T是點A，3的左聯(lián)點.例如：A（o,8）,B（3,l）,當點T（x,y）滿足了=寫=1,

k3

QI1

y='」=3時，則T（l,3）是點A，3的3聯(lián)點.

（1）已知點C（x,y）是點A（—1,5）,8（10,4）的2聯(lián)點，求點C坐標；

（2）已知點展總是點“（1,5）和點N（3,〃）的左聯(lián)點，求左和〃的值；

⑶如圖，點。（3,0）,若點E&2/+3）是直線/上任意一點，點T（x,y）是點的3聯(lián)點，直線ET交

①直接寫出點H的坐標；

②當AD7H為直角三角形時，求點E的坐標.

37.在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A,B,C的“矩積”，給出如下定義：“橫底”a：任意兩點橫

坐標差的最大值；“縱高”h：任意兩點縱坐標差的最大值；貝『'矩積"S=ah.例如：三點坐標分別為A（1,

-2）,B（2,2）,C（-1,-3）,則“橫底”a=3,“縱高”h=5,“矩積"S=ah=15.已知點D（-2,3）,E

（1,-1）.

（1）若點F在x軸上.

①當D,E,F三點的“矩積”為24,則點F的坐標為；

②直接寫出D,E,F三點的“矩積”的最小值為；

（2）若點F在直線y=mx+4上，使得D,E,F三點的“矩積”取到最小值，直接寫出m的取值范圍是.

備用圖備用圖

38.我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準箏形”.

用3翻四

圖I

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，ZA+ZC=270°,ZD=30°,=求證：四邊形ABCD是“準

箏形”；

(2)如圖2,在“準箏形”ABCD中，AB^AD,ABAC=ZBCD=60°，BC=4,CD=3,求AC的

長；

(3)如圖3,在AABC中，ZA=45°,ZABC=120°,AB=3—6設。是AABC所在平面內(nèi)一

點，當四邊形A3CD是“準箏形”時，請直接寫出四邊形A3CD的面積.

39.定義一種新運算：觀察下列各式:

[☆3=lx5+3=8；3^(-1)=3x5-1=14；5^r4=5x5+4=29；4☆(-3)=4x5-3=17

(1)請你算一算：(-3)☆(-6)=；

(2)請你想一想：a表b=;

(3)若〃☆(—，)=5,請計算(a—☆(5a+3。)的值.

40.定義一種新運算：球b=2a—濟.例如：2X5=2x2—5°=3.

（1）求（—2）※（—1）的值；

（2）己知，算式"（—萬）°+卜一若卜］辛；—?"的最終結果是1,“?”部分的值和a※/b#0）相等，且

a=2sin（夕+15°）,求銳角￡的值.

52第11章新定義問題之新定義問題

一、單選題

1.定義新運算：對于任意兩個有理數(shù)。，b,有a%=/仍—]),貝i](—3)*4的值是()

A.-9B.-27C.27D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)定義新運算公式計算即可.

【解答】解：由題意可得(一3)*4

=(-3)2X(4-1)

=9x3

=27

故選C.

【點評】此題考查的是定義新運算，掌握有理數(shù)乘方的意義和乘法法則是解題關鍵.

2.閱讀短文，完成問題：

沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※(加乘)運算”，然后他寫出了一些按照※(加乘)運算的運算法

則進行運算的算式：

(+5必(+2)=+7；(―3)※(—5)=+8；(―3)※(+4)=—7；(+5)※(—6)=—H；0※(+8)=8；(-6必0=6.

下列是智羊羊看了這些算式后的思考，其中正確的有()

A.兩數(shù)進行※(加乘)運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加

B.。和任何數(shù)進行※(加乘)運算，或任何數(shù)和0進行※(加乘)運算，等于這個數(shù)本身

C.(―2)※[0※(—=2)※(-1)=3

D.加法交換律在有理數(shù)的※(加乘)運算中不適用

【答案】A

【分析】首先根據(jù)※(加乘)運算的運算法則進行運算的算式，歸納出※(加乘)運算的運算法則即可判

斷A；然后根據(jù)：0X(+8)=8；(―6必0=6,可得：0和任何數(shù)進行※(加乘)運算，或任何數(shù)和0進行

X(加乘)運算，等于這個數(shù)的絕對值可判斷B；根據(jù)總結出的※(加乘)運算的運算法則，以及有理數(shù)

的混合運算的運算方法，求出（-2）※［0※（-1）］的值是多少即可判斷C；加法有交換律和結合律，這兩種

運算律在有理數(shù)的※（加乘）運算中還適用，并舉例驗證加法交換律適用即可判斷D.

【解答】解：由歸納※（加乘）運算的運算法則：兩數(shù)進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并

把絕對值相加，故A正確；

由0和任何數(shù)進行※（加乘）運算，或任何數(shù)和0進行※（加乘）運算，等于這個數(shù)的絕對值，故B錯誤;

由（―2忤［0※（—1）］=（―2忤（+1）=—3,故C錯誤；

加法交換律和加法結合律在有理數(shù)的※（加乘）運算中還適用.由※（加乘）運算的運算法則可知：（+5）

X（+2）=+7,（+2）※（+5）=+7,所以（+5）派（+2）=（+2）※（+5）,即加法交換律在有理數(shù)

的※（加乘）運算中還適用，故D錯誤.

故選A.

【點評】此題主要考查了定義新運算，以及有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順

序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做

括號內(nèi)的運算，注意加法運算律的應用.

3.己知點A在函數(shù),（%>0）的圖象上，點3在直線%=3x+4上，若人、3兩點關于原點對稱,

x

則稱點A、B為函數(shù)%、為圖象上的一對“友好點”.請問這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)的情況為（）

A.只有1對B.只有2對C.有1對或2對D.有無數(shù)對

【答案】B

【分析】根據(jù)“友好點”的定義知，點A在函數(shù)%=-4（%>0）的圖象上關于原點對稱點B一定在直線

X

%=3x+4上，然后進行求解即可.

【解答】解：設點A%,—51,由題意得點在直線％=3x+4上，則有：

-=-3tz+4,整理得：3a2—4a+l=0；

a

解得q=g,%=1，因止匕“友好點”的個數(shù)為2對；

故選B.

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握函數(shù)上點的坐標及“友好點”的定義是解題的

關鍵.

4.對于兩個非零有理數(shù)a、b定義運算※如下：aXb=^-----------，則（-3）X（--）=（

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

【答案】B

【分析】根據(jù)新定義運算代入計算即可.

_2-6+2

_4

-3

-2

故選B.

【點評】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，正確代入新定義運算中是解題的關鍵.

5.對于有理數(shù)a、b,定義一種新運算“※”，規(guī)定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,則2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)aXb=|aHbHa-b|,可以求得所求式子的值.

【解答】解:Va^b=|a|-|b|-|a-b|,

―※（-3）

=|2|-|-3|-|2-(-3)|

=2-3-|2+3|

=2-3-5

=-6,

故選：B.

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法.

6.對于實數(shù)光,，，規(guī)定一種運算：xAy=ax+by（a,b是常數(shù)），已知2Z^3=11,5A（-3）=10,則a涉

的值為（）

35一

A.a=3,b=—B.a=2,b—3C.a=3,b=—D.a=3,b—2

53

【答案】C

【分析】根據(jù)解方程組，可得答案.

【解答】解：由題意，得

2a+3b=ll,5a-3b=10

解得a=3力=9

3

故選：C

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用'△y=ax+by（a、b是常數(shù)）”得出方程組是解題關鍵

7.設[尤）表示大于x的最小整數(shù)，如[3）=4,1-1.2）=-1,則下列結論中正確的是（填寫所有正確結論

的序號）①[0）=0;②[x）-x的最小值是0；③口）-x的最大值是1；④存在實數(shù)x,使[無）-x=0.6成

立.（）

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】利用題中的新定義判斷即可.

【解答】解：：[x）表示大于X的最小整數(shù)，

.\0<[x）-x<1

①[0）=1；

②[x）-X無最小值；

③[X）-X的最大值是1;

④存在實數(shù)X,使[X）-x=0.6成立，

故選：C.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，理解新定義實數(shù)的運算法則是解本題的關鍵.

「尤+2-

8.對于有理數(shù)x，我們規(guī)定國表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若—=6,

則x的取值可以是（）

A.52B.62C.56D.68

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得5868,再對各項進行判斷即可.

x+2

【解答】?/k=6,

：.6/<-X--+--2-<7r

10

解得58Wx<68

則x的取值可以是62

故答案為：B.

【點評】本題考查了解不等式的問題，掌握解不等式的方法是解題的關鍵.

9.若定義：f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4.5),則g(f(3,-4))的值為()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

【答案】B

【分析】直接根據(jù)新定義的運算進行求解.

【解答】由題意知，f(3.-4)=(-3,-4),

.?.g(f(3,-4))=g(-3,-4)=(-3,4),

故選B.

【點評】本題是新定義運算，考查點的坐標變化，正確理解新定義運算規(guī)則是解題的關鍵.

10.若點河，N分別是兩條線段。和6上任意一點，則線段長度的最小值叫做線段。與線段6的“理

想距離”.已知。(0,0),4(1,1),5(3,4),。(3,左+2),線段3c與線段。4的“理想距離”為2,則左的取值錯

誤的是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可以列出相應的不等式組，從而可以求得k的取值范圍.

【解答】由題意可得，

1+2>1

'k<l

解得,-10仁1,

故D錯誤，

故選D.

【點評】本題考查坐標與圖形性質(zhì)，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的不等

式組.

11.若定義新運算aOb=d，則（2⑤2慮3的值為（）

A.12B.16C.64D.81

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義列出算式計算即可.

【解答】解：=

（2?2）03=22（8）3=43=64,

故選C.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算的順序和法則是解題的關鍵.

12.我們規(guī)定這樣一種運算：如果ab=N（a>0,N>0）,那么b就叫做以a為底的N的對數(shù)，記作：b=logaN,

例如：因為23=8,所以log28=3,那么log381的值為（）

A.4B.9C.27D.81

【答案】A

【分析】先把81轉化以3為底的幕，再根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和題目所提供的信息，log381等于以3

為底數(shù)81的對數(shù).

【解答】解：???34=81，

?,.log381=4.

故選：A.

【點評】本題主要考查新定義下的實數(shù)運算以及有理數(shù)乘方的理解，讀懂題目信息并靈活運用是解題的關

鍵.

13.現(xiàn)規(guī)定一種新運算“*“：a*b="，如3*2=32=9,則量*3=（）

113

A.-B.8C.—D.一

682

【答案】C

【分析】仿照新定義的形式求解即可.

【解答】解：由題意可知：：。%=力，

故選：c.

【點評】本題借助新定義考查有理數(shù)的乘方運算，關鍵是能讀懂題意，仿照新定義形式進行運算即可求解.

14.在平面直角坐標系中，對于平面內(nèi)任一點(。力)，若規(guī)定以下三種變換：

①/"=(").如,/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h[a,b)=(-a,詢.如，h(l,3)=(-1,-3).

按照以上變換有：/(g(2,-3))=/(-3,2)=(3,2),那么了(妝5,—3))等于().

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,—3)D.(—5,3)

【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)題意的描述，可得三種變換的規(guī)律，按此規(guī)律化簡/(/I(5,-3))可得答案，注意從

題目中所給的變化范例中找到驗證規(guī)律.

【解答】解：根據(jù)題意，/(/I(5,-3))=/(-5,3)=(5,3)；

故選B.

【點評】本題考查了點的坐標，幾何變換，讀懂題目信息，理解八g、九的變化方法是解題的關鍵.

15.對于任何一個數(shù)，我們規(guī)定符號&b1+1%

,的意義是,=ad-bc,按照這個規(guī)定計算°,的

Caax-2x-i

結果是()

A.—2x—1B.—2%+1C.2%+1D.2%—1

【答案】D

ab

【分析】根據(jù)Ld—bc,可以將所求式子化簡，本題得以解決.

ca

x+1x

【解答】解:

x-2x-1

=(x+1)(x-1)-X(x-2)

=x2-l-x2+2x

=2x-l,

故選：D.

【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答.

二、填空題

16.等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值上稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中,

NA=70°,則它的特征值左=.

414

【答案】一或一

711

【分析】分/A為頂角及/A為底角兩種情況考慮，當/A為頂角時，利用三角形內(nèi)角和定理可求出底角的

度數(shù)，結合“特征值”的定義即可求出特征值k的值；當NA為底角時，利用三角形內(nèi)角和定理可求出頂角的

度數(shù)，結合“特征值”的定義即可求出特征值k的值.

【解答】當NA為頂角時，則底角度數(shù)為;義（180。-70。）=55。，

,70°14

貝nrlk=--=——；

55°11

當NA為底角時，則頂角度數(shù)為180。一70。><2=40。，

,40°4

k—-----=一；

70°7

4,14

故答案為：一或—.

711

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分/A為頂角及NA為底角兩種情況求出“特

征值”k是解題的關鍵.

17.“！”是基斯頓?卡曼于1808年發(fā)明的一種數(shù)學運算符號，叫做階乘.自然數(shù)〃的階乘寫作加，并且知道:

20'

1!=1.2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于

21!

【答案】—

21

201

【分析】根據(jù)題意，可以寫出——的式子，然后化簡即可解答本題.

21!

【解答】解：由題意可得，*20xl9xl8x...xl」,

21!21x20xl9x...xl21

故答案為：—

21

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法.

18.規(guī)定?是一種新運算規(guī)則：a^b—a2-b-,例如：2?3=22-32=4-9=-5,貝!J5?[1?(-2)]=.

【答案】16

【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：原式=5?(1-4)=5?(-3)=25-9=16.

故答案為：16.

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.定義一種新運算"*"：xy-2xy-x~,貝U-l*2=

【答案】-5

【分析】根據(jù)新定義運算法則代入即可求解.

【解答】；x*y=2孫-/

.?.-1*2=41=5

故答案為：-5.

【點評】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關鍵是根據(jù)題意的運算方式即可求解.

20.對于任意有理數(shù)a,b,c,d,規(guī)定一種運算：力=ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I一力=2,那么m=.

【答案】-5

【分析】按新定義規(guī)則展開，變成方程，解方程即可.

【解答】由I：中=2,

3x4-mx(-2)=2,

12+2m=2,

2m=10,

m=-5,

故答案為：-5.

【點評】本題考查新定義問題，關鍵讀懂新定義的內(nèi)涵，掌握新定義的規(guī)則，會用新定義將等式變成方程

是關鍵.

21.任何實數(shù)a,可用［可表示不超過a的最大整數(shù)，如［4］=4,［73］=b現(xiàn)對72進行如下操作：，這

樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.類似地，對81只需進行3次后為1,那么只需進行3次操作后變?yōu)?

的所有正整數(shù)中，最大的是.

【答案】255

【分析】根據(jù)題意，先設［五］=1,從而求出x的最大正整數(shù)值為3；再設［J7］=3,從而求出y的最大

正整數(shù)值為15；最后設［五］=15,求出z的最大正整數(shù)值即可.

【解答】解：設［五］=1,x為正整數(shù)，則1<4<2，

?,.l<x<4,即最大正整數(shù)是3；

設［正］=3,y為正整數(shù)，則3W4<4,

-,.9<y<16,即最大正整數(shù)是15；

設［虛］=15,z為正整數(shù)，則15?&<16，

225<z<256,即最大正整數(shù)是255.

.??只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255.

故答案為：255.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力.

22.現(xiàn)在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數(shù)a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+i,則

（2*3）☆（3^2）的值為.

【答案】183

【分析】根據(jù)題目中定義的運算方法進行計算即可.

【解答】解：（2*3）翁（3+2）

=（2+2x3-1）前3時

=7近3公）

=2x7x（3^2）+l

=14x（2x3x2+l）+l

=14x13+1

=183,

故答案為：183.

【點評】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，理解題意是解題關鍵.

23.定義新運算：。*匕=(。+2)3—5),貝"5*(—7)=.

【答案】-84

【分析】根據(jù)新的定義計算即可.

【解答】解：5*(-7)=(5+2)(-7-5)=-84,

故答案為：-84.

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是理解題意，學會根據(jù)新的定義計算.

24.用“☆”定義一種新的運算：對于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定aM=ab2+2ab+a.$0：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

則(-2)仝3的值為.

【答案】-32

【分析】讀懂題意，理解“☆”運算的含義，發(fā)現(xiàn)-2與a對應，3與b對應，把a=-2,b=3代入ab?+2ab+a求

值即可.

【解答】比較a^b、(-2*3得

a=-2,b=3,把之代入得

a☆b=ab2+2ab+a=(—2)x32+2x(—2)x3+(—2)—32.

故答案為：-32.

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

25.用“※”定義新運算：對于有理數(shù)。力都有：a^b=ab-{a+b),那么當加為有理數(shù)時，

(w※3)=(用含加的式子表示)

【答案】2m-5

【分析】各式利用題中的新定義計算即可求出值.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：辰6=3m-(m+3)=2m—3；

2※(加X3)==2派(2m-3)=2(2m-3)-(2+2m-3)=2m-5,

故答案為：2m-5

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

26.“③”定義新運算：對于任意的有理數(shù)a和6,都有a(8)人=尸+1.例如：905=52+l=26,當機

為有理數(shù)時，則機位(相位3)等于.

【答案】101

【分析】根據(jù)“③”的定義進行運算即可求解.

【解答】解：m?(m?3)=m?(32+l)=m010=102+1=101.

故答案為：101.

【點評】本題考查了新定義運算，理解新定義的法則是解題關鍵.

27.定義一種新運算規(guī)則如下：對于兩個有理數(shù)a,b,aOb=ab—b,若(5。%)。(—2)=-1,則

x=______

【答案】:

O

【分析】根據(jù)給定新運算的運算法則可以得到關于X的方程，解方程即可得到解答.

【解答】解：由題意得：(5x-x)0(—2)=—1,

3

-2(5x-x)-(-2)=-1,/.-8x+2=-L解之得：x=—,

8

3

故答案為一.

8

【點評】本題考查新定義下的實數(shù)運算，通過閱讀題目材料找出有關定義和運算法則并應用于新問題的解

決是解題關鍵.

28.對于兩個不相等的實數(shù)a,。，我們規(guī)定符號max{a,。}表示a,。中的較大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照這個規(guī)定，方程max{x,-x}=-----的解為.

【答案】5—1—逝或1

【分析】按照規(guī)定符號可求得max{3,5}=5；根據(jù)%與一%的大小關系化簡所求方程，求出解即可.

【解答】max{3,5}=5；

故答案為:5；

2x-1

當犬〉—犬，即%>0時，方程化簡得：％=-----,

x

去分母得：f=2x—1,

整理得：犬―2x+l=0，即（％—1『=0

解得：x=l,

經(jīng)檢驗：X=1是分式方程的解；

2r-1

當尤<—x,即％<0時，方程化簡得：—x=----,

X

去分母得：—f=2x—1，

整理得：X2+2x-l=0>

解得：兀=一1+應（不合題意，舍去）或T一夜，

經(jīng)檢驗：x=-1-0是分式方程的解；

故答案為：—1—0或1.

【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

29.x、y是一個函數(shù)的兩個變量，若當。三爛6時，<a<y<bCa<b）,則稱此函數(shù)為aWxWb上的閉函數(shù).如

函數(shù)y=—x+5,當2WxW3時，2<y<3,所以y=—x+5是2WxW3上的閉函數(shù)，已知二次函數(shù)y=x?+6尤+m是

t<x<-3上的閉函數(shù)，則m的值是.

【答案】5

【分析】先求得二次函數(shù)的對稱軸為％=-3,a=l>Q,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知=三在區(qū)間

fWxW—3上y隨x的增大而減小，然后將X=—3和％=分別代入二次函數(shù)的解析式，得到方程組，從而

可求得m的值；

b6

【解答】???元=——=——=—3,〃=1>0,

2a2

???二次函數(shù)丁=九2+6犬斗加在區(qū)間，4工<—3上丫隨x的增大而減小.

?..二次函數(shù)y=d+6x斗機是區(qū)間MxW—3上的“閉函數(shù)”，

，當％=—3時，y=m-9；當％=/時，y^t2+6t+m.

m-9=t

/+6：+加=—3'

t=—3|7=—4

解得：</或1u，

m=bym—5

t<—2

t=-4

m=5

故答案為：5.

【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性，關鍵是理解閉函數(shù)的定義并利用閉函數(shù)的定義

得出方程組.

30.定義一種新的運算：子，如：4*l=4+；xl=|,貝|]（2*3）*（—1）=.

【答案】-

2

【解析】【分析】利用題中的新定義計算即可得到結果.

【解答】利用題中的新定義：

(2*3)*(-1)=^^*(-1)

v7442

故答案為：一

2

【點評】本題為考查有理數(shù)的運算的變式題型，正確理解新定義計算以及熟練掌握有理數(shù)運算法則是解答

本題的關鍵.

、解答題

31.定義：若a+b=2,則稱。與6是關于1的平衡數(shù).

（1）直接填寫：①5與是關于1的平衡數(shù)；

②1-2尤與是關于1的平衡數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；

③y與是關于1的平衡數(shù)（用含y的代數(shù)式表示）；

④z與z是關于1的平衡數(shù)，則z=.

（2）若。=212-3（/+尤）+3,ZJ=2X-F3X-（4X+X2）+1],先化簡以b,再判斷0與6是否是關于

1的平衡數(shù).

【答案】(1)①—3；②l+2x；@2—y；④1；(2)a=—%2—3%+3，Z?=x2+3x-1>曲是關于1的

平衡數(shù).

【分析】(1)根據(jù)平衡數(shù)的定義求解即可.

(2)先對a、b化簡，再判斷a+〃是否等于2即可.

【解答】解：⑴①：5+(-3)=2,

???5與-3是關于1的平衡數(shù)，

故答案為-3；

②由題得：2-(l-2x)=l+2x,

故答案為l+2x；

③y+(2-y)=2,

故答案為2-y；

④z+z=2,

2z=2，

z=1，

故答案為1；

(2)化簡a=f：2-3x+3

b=%2+3x—1

因為a+b=2,所以ab是關于1的平衡數(shù).

【點評】本題主要考查整式的加減，理解題目中所給平衡數(shù)的定義是解題的關鍵.

32.設用符號表示a,b兩數(shù)中較小的數(shù)，用伍，切表示a,6兩數(shù)中較大的數(shù).試求下列各式的值.

(1)<-5,-0.5>+[-4,2]；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>].

【答案】(1)-3；(2)-1.

【分析】(1)首先比較出-5與-0.5,以及-4與2的大小關系，求出<-5,-0.5>、[-4,2]的值各是多少；然

后把它們相加即可.

(2)比較出1與3,以及-2與7的大小關系，求出<1,3>、<-2,7>的值各是多少，進而求出<1,3>

+[-5,<-2,7>]的值是多少即可.

【解答】(1)v-5,-0.5>+[-4,2]

=-5+2

=-3；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>]

=1+[-5,-2]

=1+(-2)

=-1.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數(shù)都大于0;

②負數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小.

33.若。，人是有理數(shù)，定義一種運算“g"：a?b=ab-2a-2b+1,

(1)計算3⑤(—2)的值；

(2)計算[(-4)區(qū)2]③(-3)的值；

(3)定義的新運算“③”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程.

【答案】(1)-7；(2)22；(3)定義的新運算“③”對交換律成立，過程見解析

【分析