直線與因的位置關系知識歸納與題型訓練

（6類題型）

01思維導圖

直線與圓相離直線與圓沒有公共點）

K位置關系A-（直線與圓相切A~（直線與圓有唯一個公共點）

X直線與圓相交A~（直線與圓有2個公共點）

|~一（直線與圓的位置關系）

圓。的半徑為r,圓心C?l直線I的距離為d

K位置關系的定理dVro直線，與圓。相交；

d=ro直線Z與圓O相切；

d>ro直線/與圓。相離；

切線的判定］，一［煞整幽臉并且垂直這條半徑的直線是圓的切線

切線的判定與性質

直線與圓的切線的性質1經過切點的半徑垂直于圓的切線

位置關系

定義：從圓外一點作圓的切線，通常我們把圓外這一點到切點間的線段

的長叫做切線長

切線長定理

過圓外一點所作的圓的兩萩線長相等

內切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，三角形叫做圓

.的外切三角形

三角形的內切圓

內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心

02知識速記

一、直線與圓的位置關系

1、直線與圓的3種位置關系：

（1）直線與圓相交：當直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交；

（2）直線與圓相切：當直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，該公共點叫作切點;

（3）直線與圓相離：當直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離；

I、（\I?

?0II'0I?Q

直線/與圓。相交直線/與圓。相切直線,與圓〃相離

2、直線與圓的位置關系定理:

如果圓。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,那么:

直線/與圓。相交；

d=ro直線/與圓。相切；

d>r直線/與圓。相離；

3、直線與圓相切的判定定理：

經過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線；

4、圓的切線的性質：

經過切點的半徑垂直于圓的切線；

要點詮釋：

切線性質的應用口訣：有切點，連半徑，得垂直；

切線判定的應用口訣：有切點，連半徑，證垂直；

無切點，做垂直，證半徑；

二、切線長定理

1、切線長：從圓外一點作圓的切線，通常我們把圓外這一點到切點間的線段的長叫做切

線長；

如圖，線段PA、PB的長是點P到圓0的切線長

2、切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等

如上圖，當PA與PB與圓0相切時，PA=PB；

另有性質：①0P垂直平分AB；②0P平分/AOB、ZAPB

三、三角形的內切圓

1、內切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的內心，三角形叫做圓的

外切三角形。

2、三角形的內心：三角形的三條角平分線的交點；A

要點詮釋：

如圖，RtAABC中，圓0為其內切圓，r為△ABC的內切圓半徑；則有

\C

r=a+b—cb/—\

2/0\

?IX

I/\

____________________K\

03題型歸納ca1

題型一直線與圓的位置關系

例題：

1.（2023秋?東陽市期末）已知。。的半徑為5,點。到直線a的距離為4,則直線。與。。公共點的個數

為（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

【分析】根據直線和圓的位置關系判斷方法，可得結論.

【解答】解：:。。的半徑為5,點。到直線。的距離為4,

d=4<r=5,

直線a與圓相交，

直線a與。O公共點的個數為2個，

故選：B.

2.（2024?鎮海區校級二模）已知。。的直徑為6c機，點。到直線/的距離為41?%，貝心與0。的位置關系

是（）

A.相離B.相切

C.相交D.相切或相交

【分析】根據直線與圓的位置關系判定方法，假設圓心到直線的距離為d,當d>r,直線與圓相離，當

d=r,直線與圓相切，當直線與圓相交，由的直徑為6cw,點。到直線/的距離為40“，得

出d>，，進而/與。。的位置關系.

【解答】解：的直徑為6cm,

：.QO的半徑為3cm,

?.?點。到直線/的距離為4c加,

:?d>r

?../與。。的位置關系相離.

故選：A.

3.(2024秋?沐陽縣校級月考)已知。。的半徑是一元二次方程x2-2x-3=0的一個根，圓心。到直線/

的距離d=4,則直線/與^。的位置關系是相離.

【分析】解一元二次方程可得xi=-1,X2=3,由題意得OO的半徑為，=3,再根據d>r,可得：直線

/與的位置關系是相離.

【解答】解：3=0,

(x+1)(x-3)=0,

?-1,X2=3,

???(DO的半徑為r=3,

圓心。到直線/的距離d=4,

'.d>r,

直線/與O。的位置關系是相離;

故答案為：相離.

鞏固訓練

4.(2024?西湖區校級開學)如圖，在矩形/2CD中，BC=6,48=3,O。是以3C為直徑的圓，則直線

AD與。。的位置關系是相切

BC

【分析】作。EL4D于E,則?！?/3=3,由題意得出半徑=3,由d=r,即可得出結論.

【解答】解：如圖所示：作OEL4D于E.

則OE=AB=3,

"：BC=6,

：.OB=1.BC=3,

2

：.OE=OB,即圓心到直線的距離=半徑,

直線AD與。。相切.

故答案為：相切.

AED

BOC

5.（2024?拱墅區一模）在直角坐標系xOy中，對于直線/：y=kx+b,給出如下定義：若直線/與某個圓相

交，則兩個交點之間的距離稱為直線/關于該圓的“圓截距”.如圖，點新的坐標為（-1,0）,若

的半徑為2,當左的取值在實數范圍內變化時，直線/關于OM的“圓截距”的最小值為加，則方的

值為±1.

【分析】如圖所示，設直線/與OM交于2、C,與y軸交于D,過點M作"D,2c于E,連接M2,先

證明當點￡與點。重合時，"E最小，即此時3c最小，再由2C最小=2讓，求出=可得1+房

=2,解得6=±1.

【解答】解：如圖所示，設直線/與?！ń挥?、C,與y軸交于。，過點M作〃于E,連接

:?BC=2BE,

在KAMBE中，由勾股定理得BE=7BM2-ME2=V4-ME2,

，當披最小時，BE最大,即此時8c最小，

「MEWMD,

二當點E與點。重合時，ME最大,即此時BC最小，

?..直線/關于的“圓截距”的最小值為2加,即3c最小=26,

:.BD=LBC=?,

2

/.Affi)=^HB2_BD2=72>

,:D(0,b),

二1+62=2,

解得b=±l.

故答案為：±1.

6.(2023秋?江北區期末)如圖，在Rta4BC中，NC=90°,NC=4,BC=3,若OC與直線N5相交,

則OC半徑7-的值或取值范圍為()

r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【分析】過C作于。，根據勾股定理得到/8=10CM,再根據三角形的面積公式得到CD的長,

然后根據圓心到N2的距離與半徑的關系即可得到結論.

【解答】解:過C作CDL/8于。，

VZC=90°,/C=4,BC=3,

''?AB=442+、2=5,

；.CD=BC"AC=2.4,

AB

?..直線4g與OC相交，則廠的取值范圍是r>2.4.

題型二切線的性質

例題：

I.(2023秋?鎮海區月考)如圖，在平面直角坐標系中，ON與y軸相切于原點O,平行于x軸的直線交

QA于Af、N兩點，若點M的坐標是(-8,-4),則點N的坐標為()

A.(-5,-4)B.(-4,-4)C.(-3,-4)D.(-2,-4)

【分析】作于8,連結如圖，設ON的半徑為％先根據切線的性質得。/=%則點/的

坐標為(-廠，0),得到8點坐標為(-廠，-4),然后在中，根據勾股定理求得r=5,據此

求解即可.

【解答】解：作于8,連結如圖，設。/的半徑為人

,：QA與〉軸相切于原點O,

：.OA=r,

點/的坐標為(-r,0).

■:AB1MN,

:.BM=BN.

軸，A/(-8,-4),

?''B點坐標為(-r,-4).

在RtzX/BM中，AB=4,AM=r,BM=8-r.

\'AB2+BM2^AAf,

：.42+(8-r)2=/,

解得：r=5,

:.BM=3,

:.BN=3,

點坐標為(-2,-4).

故選：D.

y

V/IJ

I

2.（2023秋?婺城區期末）如圖，△/BC的邊N8與。。相切于點8,點C在。。上，邊NC經過圓心

A.27°B.36°C.40°D.54°

【分析】連接。8,由切線的性質定理得到N/8O=90°,求出//。8=90°-36°=54°,由圓周角定

理得到/C=L//O8=27°.

2

【解答】解:連接。8,

:48與。。相切于點3,

二半徑OBLAB,

：.ZABO^9Q°,

VZA=36°,

AZAOB^90°-36°=54°,

.?.4=1■//08=27°,

2

3.（2024秋?婺城區校級期中）如圖，是。。的直徑，PA,PC分別與。。相切于點N,C,PC交AB

的延長線于點。，。石，尸。交尸。的延長線于點￡.

（1）求證：ZPDE=ZPOA；

(2)若PC=12,tan/4PC=_l,求DE的長.

3

p

【分析】(1)根據切線的性質得ZPAO=ZE=90°,證得△/POs2\￡P￡),進而得

證；

(2)連接。C,利用tan/PZM=芭，可求出CD=4,再證明△。瓦3八0￡9,根據相似三角形的性質和

4

勾股定理即可求出OE,DE的長，.

【解答】(1)證明：PA,PC與。。分別相切于點/,C,

：.ZAPO=ZEPD,ZPAO=ZE=90°,

△APOSAEPD,

：.ZPDE=ZPOA；

(2)解：連接。C,DE交圓于點尸，

P

:.PA=pc=n,

,.,tan//PC=9=_^L,

3AP

：.AD=16,

在中，PD=VAP2+AD2=7122+162=20-

：.CD=PD-PC=20-12=8,

VtanZ^PC=A,

3

4CD

：.OC=OA=6,

在RtZXOCD中，O￡>=7oc2-K：D2=V62+82=10,

ZEPD=ZODE,

：.ADEPs^OED,

?DP=PE=ED=20=?

DODEOE10

：.DE=2OE,

在RtAOED中，OE2+DE2=OD2,即5O￡2=i（）2,

：.OE=2娓,

:.DE=4后.

鞏固訓練

4.（2024?蓮都區二模）如圖，48是。。的直徑，C,。是O。上的兩點，過點C作。。的切線交48的延

長線于點￡,若/E=40°,則/。的度數為（）

D

【分析】如圖，連接OC,則/OC￡=90°,/COE=50。,由圓周角定理可得/D^/COB，計算求

解即可.

【解答】解：如圖，連接OC,

.?.NCOE=180°-/OCE-NE=50°,

??,BC=BC-

AZD-|ZCOB=25°，

故選：D.

5.（2024?鹿城區校級三模）如圖，。。經過矩形/BCD的頂點/,B,且與邊CD相切于點￡,與邊，D

交于點尸，若/尸=9。尸，則48和5C的比值為（

D-

【分析】過點。作＜W_L4D于延長MO交BC于N,交。0于H,連接04,0B,得到⑷/=」

2

AF,根據矩形的性質得到/EON=90°,AB=MN,AM=BN,根據切線的性質得到NOEC=90°,根

據矩形的性質得到CN=OE,設。尸=x,則//=9x,BC=AD=10x,AM=1JC,OE=DN=\OX-^-X=

22

烏，求得。/=?！?旦丫，根據勾股定理即可得到結論.

22

【解答】解：過點。作于延長交于N,交。。于“，連接CM,OB,

J.AM^XAF,

2

,四邊形48C。是矩形，BC=AD,

J.AD//BC,ZA=ZBZC=90°,

：.ONLBC,四邊形NBMlf是矩形，

ZEON=90°,AB=MN,AM=BN,

是O。的切線，

ZOEC=90°,

四邊形CEON是矩形，

：.CN=OE,

設。尸=x,則/尸=9x,BC=AD=10x,AM=^-x,OE=DN=10x-^-x=Hx,

222

J.OA—OE—,

2

在RtZUOM中，0河=40慶2_「乂2=^!5~

同理可求ON=\flOx,

：.AB=MN=2-/10x,

?AB=2VW￡=V10

??而lOx~5~

6.（2023?衢州一模）如圖，點。在△NBC的邊/C上，。。經過點C,且與相切于點8.若OC=1,

NC=3,則前的長為（）

【分析】設NC與O。的另一個交點為點。，連接3。，解直角三角形求出//=30°,然后可得

和NBOC的度數，再根據弧長公式計算即可.

【解答】解：如圖，設NC與OO的另一個交點為點。，連接3。，

：.ZOBA^9Q°,

VOC=1,AC=3,

OA=2,CD=2,

AsinZA=—

0A2

AZA=30°,

/.ZAOB=90°-30°=60°,

：.ZBOC=120°,

?近智舒米

故選：B.

7.（2024?浙江模擬）如圖，是。。的直徑，2C切。。于點2,N/C2的平分線交N5于點尸，若/C=

5,BC=3,則OP的長為1

2

【分析】過點尸作尸DL/C于點。，根據勾股定理求出四?^^=4,根據角平分線的性質得出

PD=PB,證明RtZ\CPZ）之RtZ\CP5,得出。。=8。=3,設PD=PB=x,則/P=4-x,根據勾股定理

得出（4-x）2=X2+22,求出x的值，最后求出結果即可.

【解答】解：過點尸作尸DL/C于點。，如圖所示:

是。。的直徑，8c切。。于點8,

：.ABLBC,

：.ZABC=90°,

?；/C=5,BC=3,

?*-AB=7AC2-BC2=4'

：.AO=BO=2,

?.,N/C2的平分線交N5于點P,PDLAC,

：.PD=PB,

"：PC=PC,

.*.RtACPZ)^RtACP5(HL),

；.CD=BC=3,

/.AD=5-3=2,

設PD=PB=x,貝！J4尸=4-x,

根據勾股定理得：AP2=DP2+AD2,

(4-x)2=X2+22,

解得：x=2,

x2

?31

??0P=2_1而.

故答案為：1.

2

8.(2024?定海區三模)如圖，尸為。。的直徑9延長線上的一點，PC為OO的切線，切點為C,CDL

4B于D,連接NC.

(1)求證：4c平分/PCD；

【分析】(1)連接。C,則/0C8=N2,由切線的性質得PCLOC,而胡是的直徑，CDL/8于

D,則//。。=//。3=/。。尸=90°,可證明N0C3=//CP,則N/CP=/3,因為=

900-ZBAC,所以N/CP=N/CD,即可證明/C平分/PCD；

(2)設。。的半徑為r,則尸8=3+2-，可證明△P/Cs/XPCB,得弛=達=￡則尸。2=「/叩5,

PBPCCB

推導出PC=?C2,則(J5C2)2=3(3+2r),所以。臺2=3+2/，由勾股定理得(毒)2+3+2r=

(2r)2,即可求得OO的半徑長為3.

2

【解答】(1)證明：連接。C,則OC=O8,

；.NOCB=NB,

??,PC與。。相切于點c,

：.PC±OC,

:BA是。O的直徑，CDLAB于D,

/ADC=ZACB=/OCP=9Q°,

：.ZOCB=ZACP=90°-ZOCA,

，NACP=NB,

?；/ACD=NB=90°-ABAC,

，NACP=NACD,

；./C平分/PCD

（2）解：設G）O的半徑為r,則48=2r,

"：PA=3,AC=?,

：.PB=3+2r,

由（1）和

?/ZP=ZP,

：.LPACsAPCB,

?PC=PA=AC

"PBPCCB"

:.P?=PA，PB,PC=Ph"CB.=IcB=?CB,

ACV3

（V3CS）2=3（3+2r）,

/.CS2=3+2r,

'：AC2+CB2^AB2,

：.（V3）2+3+2r=（2r）2,

解得「1=3,r2=-1（不符合題意，舍去），

2

；.O。的半徑長為巨

1.（2023?拱墅區二模）如圖，點3在ON上，點C在ON外，以下條件不能判定3c是O4切線的是（

A.ZA=50°,ZC=40°

B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2

D.GM與NC的交點是/C中點

【分析】根據切線的判定分別對各個選項進行判斷，即可得出結論.

【解答】解：A,,：ZA=50°,ZC=40°,

/.ZB=180°-N/-NC=90°,

：.BC±AB,

丁點B在ON上，

：.AB是。/的半徑，

.?.2C是04切線；

B、:/B-/C=NA,

：./B=/A+/C,

VZ^+Z5+ZC=180°,

AZB=90°,

：.BC±AB,

?點2在ON上，

：.AB是。/的半徑，

.?.2C是ON切線；

C、'：AB2+BC2=AC2,

△NBC是直角三角形，ZS=90°,

：.BCLAB,

?點8在ON上，

：.AB是ON的半徑，

是04切線；

D、???。么與NC的交點是NC中點，

.".AB=2-AC,但不能證出N8=90°,

2

.??不能判定3c是ON切線；

故選：D.

2.（2024?金華模擬）如圖，已知：以Rt448C的直角邊為直徑作。O,與斜邊/C交于點。，E為BC

邊上的中點，連接

（1）猜想DE是。。的切線嗎？并證明你的結論；

（2）若NC=40°,AD=6,求。。的半徑.（精確到0.01,sin40°^0.64,cos40°^0.77）

【分析】（1）只要證/￡DO=90°,即可得到是。。的切線；

（2）根據直角三角形兩銳角互余得N/=50°,根據coS=3&,即可求得。。的半徑.

AB

【解答】（1）證明：如圖1,連接DB；

是OO的直徑,

；.NADB=90°,

；./CDB=90°.

?"為2C邊上的中點,

：.CE=EB=DE,

.\Z1=Z2.

\'OB=OD,

.*.Z3=Z4.

/.Z1+Z4=Z2+Z3.

?.?在中，ZABC=Z2+Z3=90°,

；./磯)。=/1+/4=90°.

?.?。為。。上的點，

是O。的切線.

(2)解：VZABC=90°,ZC=40°,

ZA—50

*.*cosAAD

AB

：.AB=—知。=——L_^^9.334,

cos500cos500

???。。的半徑為4.67.

鞏固訓練

3.（2023?龍游縣一模）如圖，在平面直角坐標系xQy中，半徑為2的OP的圓心P的坐標為（-3,0）,

將OP沿X軸正方向以0.5個單位/秒的速度平移，使OP與夕軸相切，則平移的時間為2或10秒.

【分析】平移分在V軸的左側和>軸的右側兩種情況寫出答案即可.

【解答】解：當。尸位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1；

當OP位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5.

故答案為2或10

4.（2023?龍游縣校級一模）已知：如圖，ZX/BC中，AB=AC,以N8為直徑的交3c于點尸，PDA.

AC于點、D.

（1）求證：尸。是。。的切線；

（2）若NC48=120°,AB=6,求2c的值.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質得到N8=NC和則NOPB=NC,于是可判斷OP

//AC,由于尸Q_L4C,所以在，尸然后根據切線的判定定理可得到尸。是。。的切線；

（2）由45為直徑得N/PB=90°,根據等腰三角形的性質得AP=CP,所以NR4尸=60°,在RtZ\B"

中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得4尸=LB=3,BP=MAP=3M，所以5C=25尸=6%.

2

【解答】（1）證明：??Z5=4C,

/B=/C,

?：OP=OB,

：./B=/OPB,

：.ZOPB=ZCf

：.OP//AC,

???PDL4C,

：.OP±PD,

???。尸為。。的半徑，

???尸。是OO的切線；

(2)解：連接/尸，如圖,

*：AB為直徑，

AZAPB=90°,

:,BP=CP,

9：ZCAB=nO°,

AZBAP=60°,

在RtZ\5/P中，AB=6,/B=30°,

：.AP=XAB=3,

2

:,BP=^AP=3愿,

:?BC=2BP=6M.

c

P

D

B

題型四切線的判定與性質

例題:

1.（2024?嘉興一模）如圖，AB=6,以45為直徑作半圓，弦CD〃AB,將CD上方的圖形沿CD向下折

疊，使弧與直徑恰好相切于點。，則圖中陰影部分的面積為3n-區3.

4—

【分析】取而的中點E,連接?！?交DC于F,連接。C,OD,則OFLCD,根據折疊的性

質，切線的性質，和扇形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：取面的中點R連接交DC于F,連接。C,OD,

則CF=DF,OFLCD,

OC=OD,

：.ZCOF=ZDOF,

由折疊的性質得EF=OF=1JOE=AOC,

22

在RtZkOCF中，cosNCOP=里=上，

0C2

；.NCOF=NDOF=60°,

：.ZCOD^120°,

\"AB=6,

：.OC=3,OF=3,

2

.?.OP=OC?sin60。3巨，

2

：.CD=3-/3>

陰影部分的面積=扇形OCD的面積-△OCD的面積=120?二二3

360

故答案為：371-生③.

4

2.（2023秋?柯橋區月考）如圖，AB=BC,以8C為直徑作。O,NC交。。于點￡,過點￡作于

點、F,交C8的延長線于點G.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若GP=2北，G2=4,求O。的半徑.

【分析】(1)連接。E.根據等腰三角形的性質和平行線的性質即可得到結論;

(2)根據勾股定理和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：(1)連接OE.

；AB=BC,

：.ZA=ZC；

；OE=OC,

：.ZOEC=ZC,

：./A=/OEC,

J.OE//AB,

'：BA±GE,

J.OELEG,且為半徑；

...EG是O。的切線；

(2),:BFLGE,

：.ZBFG=90°,

：GF=2V§，GB=4,

BF=VBG2-GF2=2>

'.'BF//OE,

：.ABGFsAOGE,

?BFBG

??二,

OEOG

.2=4

"OE"4OE；

：.OE=4,

即。。的半徑為4.

鞏固訓練

3.(2023秋?浙江期末)如圖，48是。。的直徑，點C、。在。。上，且/。平分NC42.過點。作/C

的垂線，與/C的延長線相交于E,與N5的延長線相交于點尸.

(1)求證：跖與相切；

(2)若DF=2仆，BF=2,求OO的半徑.

【分析】(1)連接8,由題可知，￡已經是圓上一點，欲證CD為切線，只需證明N。。尸=90°即可;

(2)設圓。的半徑為r,則。。=05=r,OF^r+2.OD±DF,根據尸2=。尸2,求出廠即可.

【解答】(1)證明：連接OD,

'：AD平分/CAB,

：.ZOAD=ZEAD.

'：OD=OA,

；./ODA=/OAD.

：.ZODA=ZEAD.

：.OD//AE.

'：ZODF=ZAEF=90°且。在G)O上,

；.￡尸與。。相切.

(2)解：設圓。的半徑為^OD=OB=r,

：.OF=r+2.

*：OD±DF,

：.OD2+DF2=OF2,

-r2+(2V3)2=(r+2)2'

解得：r=2.

...圓。的半徑是2.

4.(2023?婺城區校級模擬)如圖，N3為。。的直徑，點C是弧A8的中點，點。在圓。上，點、E在AB

的延長線上，且EF=ED.

(1)求證：是。。的切線；

(2)連接BC,若tan/BCD=工，DE=6,求N8的長.

【分析】(1)連接OC,OD,可證明/ODC=/OCD,ZFDE=ZDFE=ZOFC,根據/OCF+/O尸C

=90°,進而證明NODF+NFD￡=90°,進一步得出結論；

(2)連接OD,作。G_L/￡于G,設DG=a,AG=2a,OA=OD=r,OG=AG-OA=2a-r,在RtA

DOG中列出/-(2a-r)2=a2,從而『=2，進而tan/DOG=19=d-=2,進一步得出結果.

40G3。3

4a

【解答】(1)證明：如圖1,

連接OC,OD,

??,點。是弧45的中點，

AZBOC=ZAOC=90°,

：.ZOCD+ZCFO=90°,

ZBFD=ZCFOf

：.ZOCD+ZBFD=90°,

■:EF=ED,

：./BFD=NEDF,

：.ZOCD+ZEDF=90°,

?：OD=OC,

：.ZODF=ZOCD,

：.ZODF+ZEDF=90°,

；?NODE=90°,

：.ODLDE,

??,點。在。。上，

???。后是。。的切線；

連接O。，作。G_L4￡于G,

tanZBAD=tan/BCD=―,

2

??,—DG=—1,

AG2

設DG=a,AG=2a,OA=OD=r,

OG=AG-04=2a~r,

在RtZXDOG中,

\'OD2-OGZ=DG1,

/.r2-(2a-r)2=a2,

".r=^-a,

4

??OG=2。-=-^47，

44

tanZDOG=電=:A-=A,

OGl3

4a

在Rt^DOE中，

■anNDOG=邁，

OD

?A=A,

*"3而

；.。。=4.5,

：.AB=2OD=9.

5.（2023秋?堇B州區期末）如圖，48為。。的直徑，點P為A4延長線上一點，以點尸為圓心，P。為半

徑畫弧，以點。為圓心，48為半徑畫弧，兩弧相交于點C,連結。。交O。于點。，連結PD（1）求

證：尸Z）與。。相切；

（2）若PD=4&，cos/POC」"，求O。的半徑.

3

【分析】（1）由作圖得尸C=PO,OC=AB,由OC=4B=2O/=2。。，推導出CD=。。，根據等腰三

角形的“三線合一”得PDLOC,即可證明尸。與。。相切;

（2）設。。的半徑為r,則O￡>=O/=r,由亞=cos/POC=工，得。尸=3。。=3。/=3r，而PD=

0P3

4、叵,由勾股定理得（46）2+戶=（3r）2,解方程求出符合題意的r值即可.

【解答】（1）證明：由作圖得尸C=PO,OC=AB,

"：OA=OB=OD,

：.OC=AB=20/=2。。，

：.OD+CD=2OD,

:.CD=0D,

J.PDLOC,

是O。的半徑，且尸。_L。。，

,尸。與。。相切.

(2)解：設。。的半徑為％則。。=CM=r,

VZO￡>P=90°,

^P_=cos/POC=工，

OP3

'.OP—'iOD—hOA—'ir,

\'PD2+OD2=OP2,且P￡)=4j^,

(4a)2+/=(3r)2,

解得r=2或r=-2(不符合題意，舍去)，

二。。的半徑長為2.

題型五切線長定理

例題：

1.(2022?拱墅區模擬)如圖，AB、AC,5。是。。的切線，切點分別是P、C、D.若48=10,AC=6,

則BD的長是()

A.3B.4C.5D.6

【分析】由于42、AC、2D是。。的切線，貝BP=BD,求出2P的長即可求出2。的長.

【解答】解：：/C、/P為的切線，

；.4C=4P=6,

,:BP、AD為。。的切線，

：.BP=BD,

：.BD=PB=AB-/尸=10-6=4.

故選：B.

2.（2023秋?玉環市校級期中）如圖所示，過半徑為6cm的外一點尸引圓的切線尸4PB,連接尸。

交。。于R過尸作的切線，交PA,尸8分別于。，E,如果尸O=10cm,ZAPB=40°,則

的周長=16cm；/DOE的度數70°.

【分析】連接。/,OB,根據勾股定理可得上4=8c%,再由切線長定理可得尸DA=DF,FE=

BE,可求出△尸ED的周長；再證明絲可得尸，從而得到乙4。8=2/。?！?

即可求解.

【解答】解：如圖，連接。/,OB,

?*-PA=V0P2-0A2=8cm>

；PA,PB,為。。切線，

:.PA=PB,DA=DF,FE=BE,/OAP=NOBP=90°,

：.APED的周長=P￡+￡尸+尸。+尸。=尸/+尸8=2尸4=16。加,

即的周長為16cro；

"：AD=FD,OD=OD,OA=OF,

：.AAOD^AFOD(SSS),

，ZAOD=ZDOF,

同理NEO尸=NE02,

/.ZAOB=2CZFOD+ZEOF)=2/DOE,

VZAPB=40°，ZOAP=ZOBP=90°，

：.ZAOB=140°,

?■?ZDOE=yZAOB=70°，

故答案為：16cm；70°.

3.（2021春?永嘉縣校級期末）如圖，PA,尸2分別切OO與點4,B,AW切。。于點C,分別交尸/,PB

于點M,N,若PA=15cm,則△PAW的周長是（）

A.1.5cmB.10cmC.12.5cmD.15cm

【分析】根據切線長定理得M4=MC,NC=NB,然后根據三角形周長的定義進行計算.

【解答】解：?.?直線尸/、PB、分別與O。相切于點/、B、C,

：.MA=MC,NC=NB,

:.APMN的局長=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=15+15=\5（cm）.

故選：D.

鞏固訓練

4.（2021?紹興模擬）如圖，在矩形/BCD中，4B=3,BC=2,以3C為直徑在矩形內作半圓，自點/作

半圓的切線貝Usin/C3￡=（）

A.近B.2c.AD.2/IL

33310

【分析】取2C的中點。，則。為圓心，連接OE,AO,N。與2E的交點是尸，則易證ABOF

sAAOB,貝！Jsin/Q?￡=_2Z_,求得。尸的長即可求解.

0B

【解答】解：取8c的中點O,則。為圓心，連接O￡,AO,/。與8E的交點是R

'：AB,/￡都為圓的切線，

：.AE=AB,

"：OB=OE,AO=AO,

：.^ABO^^AEOCSSS),

：.ZOAB^ZOAE,

：.AO±BE,

在直角△/。2中，AO2=OB2+AB2,

；0B=l,AB=3,

易證明ABOFs△40B,

：.BO：AO=OF：OB,

Al：V10=(9F：1,

10_

OB10

故選：D.

5.（2023秋?拱墅區校級月考）如圖，一圓內切于四邊形4BCD,且/2=16c〃?，CD=10cm,則四邊形的

周長為52cm

【分析】設四邊形488的內切圓圓心為。，。。與AB、BC、CD、4D分別相切于點E、F、G、H,

由切線長定理得//=/￡,8尸=8￡,?！?。6,。尸=。6,所以AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG

=AB+CD=26cm,即可求得四邊形4BCD的周長為52ca,于是得到問題的答案.

【解答】解：設四邊形N8CD的內切圓圓心為。與48、BC、CD、分別相切于點￡、F、G、

H,

?；AH=AE,BF=BE,DH=DG,CF=CG,AB=16cm,CD^lOcm,

：.AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG=AB+CD=16+10=26(cm),

.,./8+CD+/D+8C=26+26=52(cm),

四邊形/BCD的周長為52cm,

故答案為：52czn.

題型六三角形的內切圓與內心

例題：

1.（2024?拱墅區一模）如圖，在△/2C中，AB+AC=?BC,4D_LBC于D,。0為△45C的內切圓，設

3

O。的半徑為凡的長為〃，則國的值為（）

h

A.3B.2c.AD.A

8732

【分析】根據三角形內切圓特點作出圓心和三條半徑，分別表示出△NBC的面積，利用面積相等即可解

決問題.

【解答】解：如圖所示：。為△NBC中N4BC、ZACB,N2/C的角平分線交點，過點。分別作垂線相

交于4B、AC.BC于點E、G、F,

SAABC=S》OB+Sz?xfOC=