機密★啟用前

昆明市2025屆高三“三診一模”摸底診斷測試

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡

上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規定的位置貼好條

形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

II

1.已知向量”。2),坂=(1,0),貝I]”‘一()

A.72B.V3C.2D.75

-1+；

2.復數---在復平面內對應的點所在的象限為()

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知集合/={-1,0,1,2},3={Wy=3x+l,x〉0},則()

A.-B.OeZHB

C.leJPlSD.2&A^B

4.某次測試成績X?N(105,225),記成績120分以上為優秀，則此次測試的優秀率約為()

參考數據：若萬~陽〃，0"2),則尸(〃一erVXV〃+b)合0.6827,P(/z-2c<X<ju+2cr)?0.9545.

A.31.73%B.15.87%

C.4.55%D.2.28%

5已知函數/(x)=-1(。>0),實數加，"滿足/(")+/(〃)=4,/(加)/(〃)=3,則/(〃?〃)=()

A.1B.7C.8D.12

6.已知點片(-夜,0),月(、歷,0),動點P滿足|尸國一|尸乙|=2,當點尸的縱坐標是?時，點尸到坐標原

點的距離是()

A.—B.-C.-D.1

222

7.已知一個圓錐的頂點和底面圓都在球。的球面上，若圓錐的母線與球。的半徑之比為百，則圓錐與球。

的體積之比等于()

137693

A.——B.—C.—D.-

3232328

8.從幾何體的某一頂點開始，沿著棱不間斷、不重復地畫完所有棱的畫法稱為'一筆畫”.下列幾何體可決一

筆畫''的是()

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設8是一個隨機試驗中的兩個事件，若尸(2)=L，=P(AB)=L則()

234

-21

A.P(5)=-B.P(B\A)=-

-i5

C.P(AB)=—D.P(A+B)=-

10.已知函數/(x)=cos(sinx)-sin(cosx),則()

A./(x)圖象關于y軸對稱B.2兀是歹=/(x)的一個周期

c./(X)在(0,m單調遞減D./(X)圖象恒在X軸的上方

11.“四葉草”形態優美、寓意美好.已知曲線。：(/+/)3=(4中)2,其形態極像“四葉草。設。為坐

標原點，尸為C上異于原點的一點，過點尸作直線。尸的垂線交坐標軸于A,3兩點，則()

A.。有4條對稱軸B.C圍成的面積大于4兀

C.\AB\=4D.AOZB的面積最大值為4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數/(》)==二(xwO)滿足/(x)=/(3,則實數。=______.

x+ax

13.圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一.一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現有6枚黑色棋子和2枚白

色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為.

14.已知函數/(x)=|lnx|,曲線y=/(x)在A,3兩點(不重合)處的切線互相垂直，垂足為“，兩切

線分別交了軸于C,。兩點，設面積為S,若S<2恒成立，則2的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△/3C內角/,8,C所對的邊分別為a,b,c,asin5=bsvn.2A.

(1)求A；

⑵若。=6,2AB-AC=\5,求△/屆的周長.

16.已知拋物線C:y2=4x的焦點為/，直線/過尸與C交于A,B兩點,。為坐標原點，直線。/交C

的準線于點。.

(1)當/的傾斜角為:時，求|45|；

(2)求直線AD的斜率；

(3)若。，F,B,。四點共圓，求該圓的半徑.

17.如圖，四棱臺48CD—451G，的底面為正方形，AB=2A[Bi，E為的中點.

AB

(1)證明：￡，//平面8￡>G；

(2)若側面DCGA為等腰梯形，ED,:DtD:DE=y/u：3:2.

(i)證明：平面。CG2，平面48C。；

(ii)求平面BDCA和平面夾角的余弦值.

18.已知函數/(x)=(a+2)e*+ae~*-2x(oeR).

(1)若4=0,求/(X)的極值；

(2)討論/(x)的單調性.

19.已知數列｛%｝,%=9,%=3見+6-3”,S"是｛%｝的前〃項和.

(1)證明：數列｛才｝為等差數歹!I；

(2)求S"；

，2?，〃為奇數，

Sn-n

(3)若4T"(1+1，記數列也｝的前〃項和為北，證明:

(_1)”置—,〃為偶數

參考數據：ln270.69.

參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

II

1,已知向量”。2),取=(1,0),則”‘一()

A.V2B.V3C.2D.75

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出"—力，再根據坐標法計算其模.

【詳解】因為2=(0,2),3=(1,0)，

所以Q—刃=(0,2)—(1,0)=(—1,2),

所以歸_q=J(_lJ+22=卮

故選：D

-1+i

2.復數在復平面內對應的點所在的象限為()

1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】首先要將復數化簡為。+歷的形式，其中。為實部，6為虛部.根據復數的運算法則進行化簡，然

后根據實部和虛部的正負確定其在復平面內對應的點所在的象限.

.、斗左力.,,A,A.u—1+i(—1+i)xi—i+，—i—1.

【詳解】化簡復數z/-----=----------=------=-----=1+1,

iixi-1-1

對于復數1+i,實部。=1,虛部6=1.

-1+i

因為實部1〉0,虛部1〉0,所以復數——在復平面內對應的點CU)在第一象限.

1

故選：A.

3.已知集合/={-1,0,1,2},5={v|j=3x+l,x>0},則()

A.B.OeNHB

C.le^PlSD.2￡幺05

【答案】D

【解析】

【分析】先根據已知求出集合瓦再根據交集定義計算求解再判斷即可.

【詳解】因為5={引了=3》+1,%〉0}=卜?)1},

又因為N={-l,0,l,2},所以Nc8={2},則2eNc8.

故選：D.

4.某次測試成績X?N(105,225),記成績120分以上為優秀，則此次測試的優秀率約為()

參考數據：若X~N(〃，cr2),則尸(〃—FTVXW〃+(T)”0.6827,P(//-2a<X<ju+2a)?0.9545.

A.31.73%B.15.87%

C.4.55%D.2.28%

【答案】B

【解析】

【分析】根據正態分布的對稱性，結合題中參考數據，即可求得優秀率.

【詳解】因為120=105+15=〃+^,所以由正態分布性質得120分以上的概率為

—0.6827)=0.15865,

故優秀率約為15.87%.

故選：B.

5.已知函數/(x)=--1(a>0),實數"滿足/(")+/(〃)=4,7(加)/(〃)=3,則/(加)=()

A.1B.7C,8D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知條件代入運算可得(機〃『=8,求得

ma+na=6

【詳解】根據題意，可得。“八/°x、，可得(機"『=8,

f(mn)={mnf-1=7

故選：B.

6.已知點片(-夜,0),F,(V2,0),動點P滿足|尸圖一|尸閭=2,當點尸的縱坐標是:時，點尸到坐標原

點的距離是()

A.—B.-C.-D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，利用雙曲線的定義求出點尸的軌跡方程，求出點P的坐標即可得解.

【詳解】設P(x,y),由歸周一|尸閭=2<2應=|片鳥得點尸的軌跡是以耳心為焦點，

實軸長為2的雙曲線右支，方程為「=1小〉0),當y=g時，、2=[,

所以點？到坐標原點的距離是,：+(夕=.

故選：A

7.已知一個圓錐的頂點和底面圓都在球。的球面上，若圓錐的母線與球。的半徑之比為百，則圓錐與球。

的體積之比等于()

【答案】C

【解析】

【分析】畫出草圖，通過已知條件建立等式關系，逐步推導圓錐和球的相關參數，然后代入體積公式求出

體積比.

【詳解】設圓錐底面半徑和高分別為心力，則母線/=，邸+〃2,

顯然球。為圓錐外接球，設半徑為凡由（〃-￡）2+/=氏2,可得R=〃+7=」.

2h2h

又因為圓錐的母線與球。的半徑之比為G，即!=

]23

聯立可得/=6氏，將/=G氏代入可得〃=彳氏.

27z2

3______3

再將/=出氏和〃=5氏代入/=，/+〃2,可得r=7火2.

14

然后求圓錐體積匕與球。體積匕之比：圓錐體積匕球的體積匕=1成3.

3_/?2_/?

〃=—R代入上式可得,2_9

o--------------=—

47?332

故選：C.

8.從幾何體的某一頂點開始，沿著棱不間斷、不重復地畫完所有棱的畫法稱為'一筆畫”.下列幾何體可以‘一

筆畫”的是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】根據一筆畫的要求，先找到都是偶點的圖形，一定可以一筆畫，再驗證奇點的圖形是否符合一筆

畫的條件.

【詳解】從一頂點出發的邊數為雙數的頂點叫偶點，凡是偶點組成的圖形一定可以一筆畫，所以c選項正

確；

從一頂點出發的邊數為單數的頂點叫奇點，凡是奇點組成的圖形，必須滿足只有兩個奇點，其余點為偶點

才可以一筆畫，

而ABD選項圖形中，每個點都是奇點，所以不能一筆畫.

故選：C

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設8是一個隨機試驗中的兩個事件，若尸(2)=L，P(B)=L,P(AB)=L貝U()

234

-21

A.P(5)=-B.P(B\A)=-

-15

C.P(AB)=—D.P(A+B)=-

126

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據對立事件的概率公式判斷A,根據條件概率公式判斷B,根據全概率公式判斷C,根據和事件

的概率公式判斷D.

【詳解】因為尸(幺)=1,P⑻=上,P(AB)=]

234

-/、12

所以0(8)=1—尸(8)=1——=故A正確；

J

P(B|A)=J,/J=-7-=—,故B正確；

產⑷￡2.

2

因為尸(8)=尸(48+辦)=尸(48)+尸(辦)，

所以尸(初)=尸(8)-尸(48)=；—；=',故C正確；

1117

P{A+B)=P[A}+P(B')-P[AB)=-+---=—,故D錯誤.

故選：ABC

10.已知函數/(x)=cos(sinx)-sin(cosx),則()

A./(x)圖象關于了軸對稱B.2兀是丁=/(x)的一個周期

C./(x)在(0,兀)單調遞減D./(x)圖象恒在x軸的上方

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據偶函數的定義判斷A,計算/(x+2兀)=/(x)即可判斷B,利用特殊值判斷C,根據正弦函

數的性質及誘導公式判斷D.

【詳解】函數/(x)=cos(sinx)—sin(cosx)的定義域為R,

又

/(-%)=cos(sin(-X))—sin(cos(-X)=cos(-sinx)-sin(cosx)=cos(sinx)-sin(cosx)=f(x),

所以/(X)為偶函數，則/(X)圖象關于了軸對稱，故A正確；

因為/(x+2兀)=cos(sin(x+27i))-sin(cos(x+27i))=cos(sinx)-sin(cosx)=/(x),

所以2兀是y=/(x)的一個周期，故B正確；

因為/(0)=cos(sin0)-sin(cos0)=1-sin1>0,

f(7i)=cos(sinit)-sin(cosK)=1+sin1>0,

又140,2，所以sinl>0,所以/⑼</(兀)且/(x)在定義域R上連續，

所以/(x)在(0,兀)不可能單調遞減，故C錯誤；

因為一l<sinx?l,

7T7T7T

當OVsinxVl時，—1<---sinx(一且一14cosx<1,

222

又因為sinx+cosx=V^sin|x+—兀4y，

4

LLt、t兀._71/兀

所以cosx<——sinx，Bp-1<cosx<——sinx<—，

222

.(n

由^=5由》在—mg上單調遞增，所以sin（cosx）<sin---sinx=cos(sinx),

2)

所以/(%)=cos(sinx)-sin(cosx)>0；

7C7T

當一IVsinxVO時，——14一+$指工<一且一1<cosx<1,

222

又因為cosx-sinx=J^cosx+—<V2<—,

LLr、t兀.an1/兀./兀

所以cosx<—+smx,BP-I<cosx<—+smx<—,

222

兀兀(7Cl

由^=5皿%在——，一上單調遞增，所以sin(cosx)<sin—+sinx=cos(sinx),

所以f(x)-cos(sinx)-sin(cosx)>0；

綜上可得：對VxwR,/（x）〉0恒成立，即/（%）圖象恒在％軸的上方，故D正確.

故選：ABD

H.“四葉草”形態優美、寓意美好.已知曲線。：（/+/）3=（4孫）2,其形態極像“四葉草。設。為坐

標原點，P為C上異于原點的一點，過點尸作直線。尸的垂線交坐標軸于A,B兩點，則（）

A.。有4條對稱軸B.C圍成的面積大于4兀

C.\AB\=4D.ACMB的面積最大值為4

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,通過方程中的變換得新曲線的對稱軸判斷；對B,由該曲線在以原點為圓心，半徑為2的

圓內，故面積小于圓的面積判斷；對C,設點尸（根,〃），求出直線48,點4臺的坐標，結合

（川+〃2丫=（4加〃『求解；對口，由|48|=4結合］。尸|<2,得解.

【詳解】對于A,將x換為-x方程不變，所以曲線關于7軸對稱;

將》換為方程不變，所以曲線關于x軸對稱；

將X換為了，了換為X方程不變，所以曲線關于y=x對稱；

將x換為二”，了換為一8方程不變，所以曲線關于>=-X對稱;

所以曲線C有4條對稱軸，故A正確；

對于B,?.?（》2+了2）3=163）24]6乂X+-V=4（必+/）-,則》2+/44,

I2J

所以曲線C包含在圓X?+了2=4的內部，因為圓尤2+/=4的面積為4兀，

所以曲線C的面積小于4n,故B錯誤；

對于C,設點尸（見〃），則左0?=2，且（/+〃2丫=（4冽〃）2,

所以直線AB:y—n=---（x-m）,即mx+ny=加？+/,

n

22（2,2\

A八/曰m+7?日口口口加+〃

令x=0,得=-------，BPB0,--------,

〃In）

27<2,2A

人八/曰加+〃m+?

令>=0,得x=-------，即4--------，0，

m{mJ

對于D,由C可知，.回=4,又一+/?4,則|。尸|<2,

鄴|。尸|=2]。尸|<4,當且僅當點尸在圓/+丁=4上時等號成立,故D正確.

【點睛】關鍵點點睛：本題求曲線C的對稱軸，關鍵是通過替換方程中x，V去分析證明.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數/（x）="J（xwO）滿足/（x）=/d）,則實數。=________.

X+QX

【答案】1

【解析】

【分析】根據/(x)=/d)推導出("D即可得到"1=0,解得即可.

JC

【詳解】因為函數"X)="J(X*0)滿足/(x)=/(-),

x+ax

j.

則^^=-^=7^,即l+”=x2+a,所以(。-1乂/-1)=0,

x+a1.1+cix

x-

所以a-1=0,解得a=l,經檢驗符合題意.

故答案為：1

13.圍棋是世界上最古老的棋類游戲之一.一副圍棋的棋子分黑白兩種顏色，現有6枚黑色棋子和2枚白

色棋子隨機排成一行，每枚棋子排在每個位置可能性相等，則兩端是同色棋子的概率為.

4

【答案】~

【解析】

【分析】計算兩端棋子顏色不同的概率，再使用對立事件概率的性質即可.

【詳解】若兩端的棋子顏色不同，那么兩端的棋子的顏色分布有2種可能，中間的棋子的顏色分布有

r=6種可能.

2x6334

所以兩端棋子顏色不同的概率為"cf故兩端是同色棋子的概率為P=1-,二,.

4

故答案為：一.

7

14.已知函數/(x)=|lnx|,曲線y=/(x)在A,3兩點(不重合)處的切線互相垂直，垂足為〃，兩切

線分別交了軸于C,。兩點，設面積為S,若S<4恒成立，則久的最小值為.

【答案】I

【解析】

2

【分析】先根據已知條件求出國々=1，進而得至再求出“"一17T，根據馬的范圍得出S

的范圍，最后根據S<2恒成立求出4的最小值.

-lnx,0<x<1

【詳解】由函數/(x)=|lnx[=<,設0<玉<1<%2，4(國,一1口西)，5(x,lnx).

lnx,x>l22

對夕=-lnx(O<x<1)求導得V=--,所以在點A處切線4:y=----x+1-In.

?x國

對>=lnx(x>l)求導得y=—,所以在點8處切線4：y=-x-1+Inx.

XX22

11I

因為切線垂直，則一不.『二一1，所以

1

此時C(O,l-lnXi),因為石馬=1，即石=[,所以C(0,l+lnx2),B(0,-l+lnx2),于是|CD|=2.

111

y=----x+1-Iny=-xx+1+Inx

玉I22

由<，因為再々=1，再=一，則<1,,

v=——x-1+Inx2

y=-x-l+lnx2",馬一

x2

212

x

解得H二T,因為s==7,

I2-1-------12-------

Xz%2

1c

又21,根據基本不等式/+云〉2,所以S<1.

由S<2恒成立，則彳e[l,+00).則彳的最小值為1.

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△48C內角4,B,C所對的邊分別為a,6,c,<7sin5=6sin2^4.

(I)求A；

⑵若a=6,2AB-AC=15,求△/屆的周長.

JT

【答案】(1)/=—

3

(2)15

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，及二倍角公式化簡求解；

(2)由2萬.就=15得be=15,結合余弦定理求得b+c=9,得解.

【小問1詳解】

由正弦定理及二倍角公式得sin4sin8=2sinBsin4cos4,

因為力，5￡(0,兀)，所以sin4〉0,sin5>0,故cosZ='，

2

71

所以/=一.

3

【小問2詳解】

由2萬?％=15，得2AccosN=15,則bc=15,

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

所以(b+c)2="+36c=81,故b+c=9,

所以△Z3C周長為a+Hc=15.

16.已知拋物線C:/=4x的焦點為尸，直線/過/與。交于A,5兩點，。為坐標原點，直線04交C

的準線于點。.

(1)當/的傾斜角為:時，求H到；

(2)求直線AD的斜率；

(3)若。，F,B,。四點共圓，求該圓的半徑.

【答案】(1)8(2)0

⑶￡1

4

【解析】

【分析】(1)可利用直線方程與拋物線方程聯立，再根據弦長公式計算.(2)需要先求出8、。兩點坐標,

通過直線。4與準線方程求出。點坐標，再結合直線48與拋物線方程求出3點坐標.(3)若。，F,B,

。四點共圓，根據圓內接四邊形的性質求出相關關系，進而求出圓的半徑.

【小問1詳解】

由題意知，拋物線C焦點/坐標為(1,0),直線/的方程為x=y+l,

2

,fy=4x9,

聯,則v?—4y-4=0,所以必+%=4,必為=-4，

x=y+l

所以M邳=也|必-刃=及&乂+%)?=8.

【小問2詳解】

設直線48的方程為工=叼+1,幺(國,必),8(%,%)，

”2—4x4

聯立,,,j2-4mv-4=0,所以必+%=4M，%%=一4,所以%=—,

x=my+1%

VV=』=』=」

直線幺。方程為y=」x,所以點。的縱坐標為切一百一X-必，

FT

所以％=為，直線8。的斜率為0.

【小問3詳解】

由題意知，0(0,0),尸(1,0),5(X2，%),。(-1,%)，不妨設A在第一象限，

因為。，F,B,。四點共圓，直線平行x軸，故可設圓心坐標為(：))，圓半徑為R,

二^一=5，即X?=2,所以8(2,—2也')，

R2=:+〃=|+(-2>/2-Z))2,

解得6?=：,故氏2=衛，所以R=皮.

884

17.如圖，四棱臺4BCD—451GA的底面為正方形，AB=2AXBX,E為的中點.

77l\

]/:0::*/I[II\\

/**/If\

////II\

/脹;....u

Ll____________

AB

(1)證明：￡，//平面BOG；

(2)若側面DCG2為等腰梯形，ED,:DtD:DE=4u：3:2.

(i)證明：平面。CGAJ■平面48CD；

(ii)求平面8QG和平面夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(i)證明見解析；(ii)—.

【解析】

【分析】(1)取8。中點為M,證明四邊形EMGA為平行四邊形，得EDJ/MQ,利用線面平行的判

定定理證明；

(2)(i)由勾股定理可得ED，DQ,即又ADLDC,可證NO，平面。CG2,由面面

垂直的判斷定理得證；(ii)過。點作直線。Z,平面Z5CD,以。為坐標原點建立如圖坐標系

D-xyz,求出平面和平面8DG的法向量，代入公式運算得解.

【小問1詳解】

取BD中點為連結EN,QM,由E為40的中點得EM7/43,EM=-AB,

2

在四棱臺中，由已知得4G//Z8,Dfix=^AB,所以EM//。]。，EM=DG，

所以四邊形EMCQ]為平行四邊形，則EDJ/MQ,

又MC[u平面BDC-EQZ平面BDC,,

所以EQ//平面ADG.

【小問2詳解】

(i)因為￡口：2。：￡>￡=巫：3:2,所以皮>；=口加+。爐，

所以皮即40，￡>]￡>,

又/OLOC,DXD[}DC=D,￡>C,DQu平面。CCQ1,

所以40,平面。CG2，

由4Du平面ABCD,故平面DCCn1平面ABCD.

(ii)過。點作直線DZL平面N5C。，以。為坐標原點建立如圖坐標系。-巧N,

不妨設4片=2,則48=4,

因為平面。J"平面45CD,且側面QCG。為等腰梯形，易求得四棱臺的高為20，

則。(0,1,2次)，幺(4,0,0),8(4,4,0),q(0,3,2a),

所以西=(0,1,2四)，A4=(4,0,0),麗=(4,4,0),西=(0,3,2收)，

設平面4DD4的一個法向量為1=(x,y,z),

y+2A/2Z=0

4x=0

令z=1,得平面NDQ4的一個法向量為1=(0,-272,1),

同理，得平面ADG的一個法向量為元=(2亞,-2亞,3),

——?I|"1,〃211

wn)|=l?=—,

H1；2

所以平面BDCX和平面NDD/1夾角的余弦值為—.

18.已知函數/(x)=(a+2)e*+0b-2x(aeR).

(1)若a=0,求/(x)的極值;

(2)討論/(x)的單調性.

【答案】(1)無極大值，極小值為/(0)=2

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)求出/(x)的解析式和定義域，根據導數求解；

(2)求出/'(X),分aV—2、—2<a<—1、a=—1、一1<a<0和a20結合導數即可求解.

【小問1詳解】

x

a=0時，f(x)=2e-2x.t定義域為R,

f'(x)=2ex-2,由/'(x)=0得x=0,

當x<0時,f'(x)<0,/(x)單調遞減，

當x>0時,f'(x)>0,/(x)單調遞增，

所以/(X)有極小值，無極大值，極小值為/(0)=2；

【小問2詳解】

/(x)=(a+2)e，-ae-*1-2=?+2)e*+a](e=l),

ex

①當aW—2時，a+2<0,(a+2)e'+a<0,

x

當xe(-e,O)時，e<1,f(x)>0,/(x)單調遞增,

當xe(O,+8)時，e*〉l，/,(%)<0,/(x)單調遞減;

②當—2<a<—1時，a+2>0,二<T，ln(一一^-)>0,

、a+2a+2

"2)卜+工卜I

r(x)=

e*

xx

xe(-oo,0)時,e-l<0，e+—^-<0,f(x)>0,/(x)單調遞增，

xefo,lnf--二八時，e，—1〉0，ex+^-<0,f(x)<0,/(x)單調遞減,

IIa+2JJq+2

xe(ln(-T)，+8)時,ex-l>0,e，+—>0,f(x)>0,/(x)單調遞增;

Q+2a+2

③當。=—1時，r(x)=^^>0,/(x)在R上單調遞增；

④當一1<。<0時，a+2>0,-l<^-<0,ln(--^)<0,

'Q+2Q+2

xx

xe(_oo,ln(--^))時,e-l<0,e+—^—<0,f(x)>0,/(x)單調遞增,

xe(ln(-T)，°)時，e，—1<0，e，+T>0,f(x)<0,/(x)單調遞減，

a+2a+2

xx

xe(0,+oo)時,e-l>0?e+—^->0,f'(x)>0,/(x)單調遞增；

⑤當Q20時，(a+2)ex+a>0,

xe(-e,0)時，e*<l，f(x)<0,/(x)單調遞減，

x

xe(0,+8)時,e>l，f'(x)>0,/(x)單調遞增.

【點睛】關鍵點點睛：本題(2)關鍵在于對。取值范圍的正確分類.

19.已知數列｛%｝,q=9,an+I=3a?+6-3",S”是｛%｝的前〃項和.

(1)證明：數列｛岌｝為等差數列;

⑵求s“；

q2n,〃為奇數，

s-〃

(3)若“，，記數列出｝的前〃項和為北，證明：&<1.

(-廬1/一,〃為偶數

S,

參考數據：ln2。0.69.

【答案】(1)證明見解析

(2)5“=/3用

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據等差數列通項公式證明即可；

(2)應用錯位相減法計算求和即可；

(3)分奇偶應用等比數列求和，再構造函數應用導函數判斷函數的單調性結合累加法及對數運算證明即

可.

【小問1詳解】

由題，得瑞-岌=2；

又母=3,所以數列｛去｝是以3為首項，2為公差的等差數列.

【小問2詳解】

由(1)可知上=3+2("-1)=2〃+1,故。“=(2"+1>3".

Sn=3x3'+5x3?+7x33+…+(2"-1>3"7+(2"+1).3",

則3S"=3x32+5x33+7x34+---+(2n-l)-3"+(2M+1)-3M+1,

兩式相減得,

12n<

-2Sn=3x3+2-(3+3'+…+3"一+3")-(2n+l)-3

=9+-(2??+l)-3,,+1