熱點11圓錐曲線

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年圓錐曲線的定義、拋物線的焦點與準線，雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲

線的位置關(guān)系、離心率的計算公式，直線與圓錐曲線綜合問題

2023年與曲線方程有關(guān)的新定義，拋物線的定義及其性質(zhì)、離心率的求法、

橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的綜合直線與圓錐曲線綜合問題

2022年雙曲線的性質(zhì)，點到直線的距離公式、橢圓方程的求解、橢圓中最值

與范圍等問題、直線與橢圓綜合及基本不等式的應(yīng)用

熱點題型解讀

遜1求圓錐曲線的離心率

或離心率的取值范圍

題型2圓錐曲線中焦點三角形

I堿

壁3圓錐曲線中的定值、定

圓錐曲線r一點、最值問題

題型4圓錐曲線中的存在性問題

題型5圓錐曲線中的向量'可題

題型6圓錐曲線中的軌跡問題

題型1求圓錐曲線的離心率或離心率的取值范圍

1.求橢圓離心率或其范圍的方法

?______________________________________________________________________________________________________

：（1）直接求出Q,c,利用離心率公式e=￡求解.

a

-----------I

b1

（2）由4與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=1——求解.

Na?

（3）構(gòu)造4,C的方程.可以不求出Q,。的具體值，而是得出4與C的關(guān)系，從而求得e.

2.求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量Q,b,C的方程或不等式，I

II

C

利用02=小+62和0=-轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（或不等式），通過解方程（或不等式）求得離心率的值（或范圍）.

a

工海詈蒲二^瀛航近尾苴箱金置囹荻旭屆訪常不阜無二一

2.（2024?上海?模擬預(yù)測）三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲

線的離心率為.

3.（2025?上海?模擬預(yù)測）雙曲線二-r=1（。＞0）的焦點為片、片，且r為該雙曲線上一點，若歸周=10,

a

|”|=6,則該雙曲線的離心率為.

22

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）橢圓三+七=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為耳與，過不作x軸的垂線交橢圓

ab

于尸,0,若△大尸。為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.

5.（2024?上海楊浦?一模）中國探月工程又稱“嫦娥工程"，是中國航天活動的第三個里程碑.在探月過程中,

月球探測器需要進行變軌，即從一條橢圓軌道變到另一條不同的橢圓軌道上.若變軌前后的兩條橢圓軌道均

以月球中心為一個焦點，變軌后橢圓軌道上的點與月球中心的距離最小值保持不變，而距離最大值擴大為

變軌前的4倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2.5倍，則變軌前的橢圓軌道的離心率為.（精

確到0.01）

題型2圓錐曲線中焦點三角形問題

1.橢圓的焦點三角形

橢圓上的點P（Xo,為）與兩焦點構(gòu)成的△尸尸1/2叫做焦點三角形.如圖所示，設(shè)NQP班2=夕

⑴當(dāng)尸為短軸端點時，e最大,s△耳至最大.

(2)1尸B|max=a+。，|尸B|min=a—

\PFI\+\PF2\

(3)1尸尸i|?I尸尸代

2

22

(4)4c=\PFX|+\PF^-2|PFI||PF2|COS6.

⑸焦點三角形的周長為2(a+c).

2.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|尸尸1|一|尸7引=2。，運用平方的方法，建立與

|尸產(chǎn)小|尸刈的聯(lián)系，利用三角形的面積公式求解.對于選擇題或填空題直接利用焦點三角形的面積公式計算

即可.

1.(2024?上海?三模)已知橢圓C的焦點片、月都在x軸上，尸為橢圓C上一點，ASE的周長為6,且

|P聞，內(nèi)閭，1Pgi成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為.

22

2.(2024?上海寶山?一模)過雙曲線二-匕=1的左焦點尸作圓/+/=9的切線，切點為延長切線交雙

916

曲線的右支于點P,。為坐標原點，點7為線段燈的中點，則1。乃=.

22

3.(2023?上海金山?一模)己知橢圓「：1+2=1(°>6>0)的左、右焦點分別為片、工.

①以巴為圓心的圓經(jīng)過橢圓的左焦點片和上頂點求橢圓「的離心率；

(2)已知。=5,6=4,設(shè)點尸是橢圓「上一點，且位于x軸的上方，若《郎月是等腰三角形，求點尸的坐標;

⑶已知。=2/=右，過點鳥且傾斜角為］的直線與橢圓「在x軸上方的交點記作A,若動直線/也過點巴

且與橢圓「交于M、N兩點(均不同于A),是否存在定直線/o：x=x。，使得動直線/與/。的交點C滿足直線

的斜率總是成等差數(shù)列？若存在，求常數(shù)看的值；若不存在，請說明理由.

22

4（2024?上海青浦二模）已知雙曲線：=F],巴分別為其左、右焦點.

⑴求片，片的坐標和雙曲線「的漸近線方程；

（2）如圖，尸是雙曲線「右支在第一象限內(nèi)一點，圓C是△用用的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸片，PF],丹外分別切

于點。，E,F,當(dāng)圓C的面積為4兀時，求直線型的斜率；

⑶是否存在過點月的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,8兩點，且使得/片/8=/月衣4,若存在,

求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

題型3圓錐曲線中的定值、定點、最值問題

1.求解直線或曲線過定點問題的基本思路

⑴把直線或曲線方程中的變量X,V當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就

要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于X,V的方程組，這個方程

組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.

（2）由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)—yo=-x—X。），則直線必過定點（x（）,為）；若

得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=Ax+"?,則直線必過定點（0,優(yōu)）.

2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

（1）求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值.

⑵求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求

!得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得.

3.圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

4.圓錐曲線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

I__________________________________________________________________________

1.(2024?上海?三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家,

也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法"得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在

22

平面直角坐標系中，橢圓C:「+q=l(a>6>0)的面積等于2兀，且橢圓C的焦距為2百.點尸(4,0)、2(0,2)

ab

分別為X軸、y軸上的定點.

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)點尺為橢圓c上的動點，求三角形尺面積的最小值，并求此時五點坐標；

(3)直線/與橢圓C交于不同的兩點N、B,已知A關(guān)于了軸的對稱點為8點關(guān)于原點的對稱點為N,已

知尸、M,N三點共線，試探究直線/是否過定點.若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

2.（2024?上海黃浦?二模）如圖，已知心是中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，匕是以口的焦點斗且

為頂點的等軸雙曲線，點Mg,?是與「2的一個交點，動點?在「2的右支上且異于頂點.

⑴求「與12的方程；

（2）若直線尸耳的傾斜角是直線尸片的傾斜角的2倍，求點P的坐標；

⑶設(shè)直線尸￡,尸鳥的斜率分別為品左2,直線尸片與「1相交于點48,直線坐與和相交于點C,。,

\AFx\-\BFx\=m,\CF2\-\DF2\=n,求證：發(fā)他=1且存在常數(shù)5使得機+〃=的.

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓「：三+必=1的左，右焦點外別為耳匕,

設(shè)尸是第一象限內(nèi)「上的一點，PFN帆的延長線分別交「于點a.

⑴求△尸片2的周長；

⑵求APFQ面積的取值范圍；

⑶求-SAPBOI的最大值,

4（2。24?上海虹口?一模）已知橢圓的左、右焦點分別為叱，右頂點為A,上頂點為5,設(shè)

尸為「上的一點.

⑴當(dāng)尸耳，下罵時,求戶閭的值；

⑵若P點坐標為，則在「上是否存在點。使△/尸0的面積為號1■,若存在，請求出所有滿足條件

的點。的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶已知D點坐標為（0,m）,過點尸和點。的直線/與橢圓「交于另一點T,當(dāng)直線I與x軸和y軸均不平行時,

有行.（而+茄）=0,求實數(shù)加的取值范圍.

22

5.（2024?上海金山二模）已知橢圓「:亍+?=1的右焦點為尸，直線/與橢圓「交于不同的兩點"（看,乂）、

砥/，%）.

（1）證明：點M到右焦點尸的距離為2-￡；

⑵設(shè)點。（0,；），當(dāng)直線/的斜率為且方與西+新平行時，求直線/的方程；

⑶當(dāng)直線/與x軸不垂直，且△肱VF的周長為4時，試判斷直線/與圓C:尤2+r=3的位置關(guān)系，并證明你

的結(jié)論.

6.（2024?上海普陀?二模）設(shè)橢圓「:￡+產(chǎn)=1僅＞1）,「的離心率是短軸長的包倍，直線/交：T于A、B

a4

兩點，C是「上異于A、B的一點，。是坐標原點.

⑴求橢圓「的方程；

（2）若直線/過「的右焦點尸，且由=赤，CF-AB=Q，求國區(qū)的值；

⑶設(shè)直線/的方程為了=履+皿左，機eR）,且歸+麗=函，求|方|的取值范圍.

7.（2024?上海?模擬預(yù)測）日日新學(xué)習(xí)頻道劉老師通過學(xué)習(xí)了解到：法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓

錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點0的軌跡是以橢圓的中心為圓心，4r不（。為橢

圓的長半軸長，6為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓.己知橢圓C：—+/=1.

3

⑴求橢圓C的蒙日圓的方程；

（2）若斜率為1的直線/與橢圓C相切，且與橢圓C的蒙日圓相交于M,N兩點，求AOWV的面積（O為坐標

原點）；

⑶設(shè)尸為橢圓C的蒙日圓上的任意一點，過點尸作橢圓C的兩條切線，切點分別為4B,求AP/8面積的

最小值.

2

8.（2024?上海浦東新?三模）已知雙曲線C:x?-q=1,點片、耳分別為雙曲線的左、右焦點，留再,必）、

3（工2，%）為雙曲線上的點.

（1）求右焦點月到雙曲線的漸近線的距離；

(2)若麗=3@,求直線的方程；

<3)若AFJ/BF],其中/、8兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形/4月8的面積

的取值范圍.

9.(2024?上海普陀?一模)設(shè)。>0,m>0,片、片分別是雙曲線=1的左、右焦點，直線

a

/:x-7孫-2=0經(jīng)過點片與「的右支交于A、B兩點，點。是坐標原點.

⑴若點M是「上的一點，|肛|=2,求|“J的值；

(2)設(shè);I、〃eR,點尸在直線尤=6上，若點。、A、P、8滿足：OA=^BP，礪=〃不，求點尸的坐標;

⑶設(shè)/O的延長線與「交于G點，若向量次與礪滿足：OA-OB>n，求△G48的面積S的取值范圍.

10.(2024?上海?三模)已知拋物線「：y2=4x,P為第一象限內(nèi)「上的一點，直線/經(jīng)過點P.

(1)設(shè)P(4,4),若/經(jīng)過「的焦點/，求/與「的準線的交點坐標；

⑵設(shè)P(l,2),已知/與x軸負半軸有交點/與「有A。兩個交點，若將這三個交點從左至右重新命名

為，、B、C,有方=就，求出所有滿足條件的/的方程；

(3)設(shè)尸(sj),t>0,已知/是「在點尸處的切線，過點尸作直線加使得R是加與「的另一個交點,

求出1PM關(guān)于s的表達式，并求1PM的最小值.

H.(2024?上海徐匯?一模)已知過點網(wǎng)3,0)的雙曲線C的漸近線方程為x土gy=0.如圖所示，過雙曲線C

的右焦點尸作與坐標軸都不垂直的直線/交。的右支于48兩點.

⑴求雙曲線C的標準方程；

⑵已知點。［可，求證：^AQF=ABQF.

⑶若以為直徑的圓被直線X=］截得的劣弧為疝，則疝所對圓心角的大小是否為定值？若是，求出

該定值；若不是，請說明理由.

12.（2024?上海寶山?一模）已知橢圓「:三+乙=1,直線/經(jīng)過橢圓「的右頂點尸且與橢圓交于另一點A,

93

設(shè)線段4尸的中點為M.

⑴求橢圓r的焦距和離心率；

（2）若自“=-；，求直線4尸的方程；

⑶過點尸再作一條直線與橢圓「交于點B,線段8尸的中點為N.若OM1ON,則直線是否經(jīng)過定點？

若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.

2

13.（2024?上海閔行?一模）已知圓。工+/=1,雙曲線「：/一%=1,直線/：了=丘+6,其中

左￡R,b>0.

（1）當(dāng)6=2時，求雙曲線r的離心率；

⑵若/與圓。相切，證明：/與雙曲線「的左右兩支各有一個公共點；

⑶設(shè)/與〉軸交于點尸，與圓。交于點A、B,與雙曲線「的左右兩支分別交于點C、D,四個點從左至右

依次為c、A、B、D.當(dāng)左=正時，是否存在實數(shù)b,使得力.正=方.而成立？若存在，求出b的值;

2

若不存在，說明理由.

題型4圓錐曲線中的存在性問題

00混

存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論.

（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.

（3）當(dāng)要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

L（2024?上海崇明?一模）已知橢圓「｝+==1,點片、片分別是橢圓的下焦點和上焦點，過點片的直線

43一

/與橢圓交于/、2兩點.

⑴若直線/平行于x軸，求線段N2的長；

__.__.9

（2）若點/在了軸左側(cè)，且44?苞/=.,求直線/的方程；

⑶已知橢圓上的點C滿足|。|=口耳，是否存在直線/使得△/8C的重心在x軸上？若存在，請求出直線/

的方程，若不存在，請說明理由.

22

2.（2。24?上海?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系皿中’已知點A為橢圓「》與=|上一點’片、耳分別為

橢圓的左、右焦點.

⑴若點A的橫坐標為2,求M周的長;

⑵設(shè)「的上、下頂點分別為M、M2,記△/百片的面積為每。/此此的面積為邑，若S舊$2,求31的

取值范圍

⑶若點A在X軸上方，設(shè)直線/名與r交于點5,與了軸交于點K,K與延長線與「交于點C,是否存在X軸

上方的點C,使得即+而+麻=%（項+展+城）。eR）成立?若存在，請求出點C的坐標;若不存在,

請說明理由.

3.（2024?上海?三模）已知橢圓C：：+[=：!,片、用分別為左、右焦點，直線/過心交橢圓于A、8兩

點.

（1）求橢圓的離心率；

⑵當(dāng)/月/8=90。，且點A在x軸上方時，求A、8兩點的坐標；

⑶若直線N片交y軸于直線3月交了軸于N,是否存在直線/,使得2招=2.照,？若存在，求出直線/

的方程；若不存在，請說明理由.

22

4.（2024.上海虹口?二模）己知橢圓「:三+勺=1（。>6>0）的焦距為2vL點*0,1）在橢圓「上，動直線/

ab

與橢圓r相交于不同的兩點48,且直線尸4PB的斜率之積為1.

⑴求橢圓「的標準方程；

⑵若直線PA為的法向量為n=（1,-2）,求直線/的方程；

⑶是否存在直線/,使得AP/B為直角三角形？若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

22

5.（2024?上海?三模）已知橢圓。：、+方=1（。＜6＜2）,設(shè)過點/（I。的直線/交橢圓。于N兩點,交直

線％=4于點尸，點E為直線x=l上不同于點A的任意一點.

（1）橢圓C的離心率為求6的值；

⑵若|/"斗，求6的取值范圍；

⑶若6=1,記直線及W,EN,EP的斜率分別為左，《，右，問是否存在勺，k2,質(zhì)的某種排列的，%,

心（其中也耳總?cè)藍123},使得“,ki2,心成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；

若不存在，說明理由.

6.（23-24高二下?重慶?期中）己知橢圓E:1+/=1（。＞人＞0）的離心率為日，且過點。1）.圓O:x?+/=2

的切線/與橢圓E相交于4,5兩點.

⑴求橢圓E的方程；

⑵直線。8的斜率存在為左，k2,直線/的斜率存在為匕若左=《?內(nèi)，求直線/的方程；

⑶直線ON,08與圓。：/+/=2的另一個交點分別為C,D,求△0/2與AOCD的面積之和的取值范圍.

226

7.（2024?上海楊浦?二模）已知橢圓「q+4=l（a>6>0）的上頂點為離心率e=也■，過點尸（一2,1）

ab2

的直線/與橢圓「交于8,C兩點，直線NC分別與x軸交于點M、N.

（1）求橢圓「的方程；

⑵已知命題“對任意直線/,線段的中點為定點”為真命題，求A/W的重心坐標;

⑶是否存在直線/，使得S△/的=2%刖0?若存在，求出所有滿足條件的直線/的方程；若不存在，請說明理

由.（其中國/阿、S/Bc分別表示A/AW、△/BC的面積）

2

8.⑵24?上海松江二模）如圖‘橢圓r：?x』的上、下焦點分另■小冷過上焦點片與，軸垂直的

直線交橢圓于M、N兩點,動點P、。分別在直線"N與橢圓「上.

⑴求線段MN的長；

⑵若線段P。的中點在x軸上，求△月尸。的面積；

⑶是否存在以月尸為鄰邊的矩形&QEP,使得點E在橢圓「上？若存在，求出所有滿足條件的點。

的縱坐標；若不存在，請說明理由.

22

9.（2024?上海長寧?二模）已知橢圓「：器+'=1。為坐標原點；

⑴求r的離心率e；

⑵設(shè)點N（l,o）,點〃在「上，求的最大值和最小值；

⑶點7（2,1）,點尸在直線x+y=3上，過點尸且與07平行的直線/與「交于43兩點；試探究：是否存在常

數(shù)彳，使得|莎?麗卜,月（恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由；

10.（2024?上海?二模）在△4BC中，已知B（T,0）,C（l,0）,設(shè)G,〃,少分別是△48C的重心、垂心、外心,

且存在2eR使麗二2反?.

（1）求點A的軌跡「的方程；

（2）求4ABC的外心W的縱坐標m的取值范圍；

⑶設(shè)直線”少與「的另一個交點為記△/印G與AMGH的面積分別為工，邑，是否存在實數(shù)九使

S7

U=不？若存在，求出彳的值；若不存在，請說明理由.

題型5圓錐曲線中的向量問題

!00混!

II

II

J?一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一?一?一

22

1.（2024?上海閔行?一模）已知耳、月分別為橢圓±+二=1的左、右焦點，過耳的直線交橢圓于A、B兩

一42

點.若福.正=0,則正?麗=.

22

2.（2023?上海崇明?二模）已知橢圓「：F+二=1加＞0,加*逝），點4臺分別是橢圓「與了軸的交點（點

A在點8的上方），過點。（0,1）且斜率為后的直線/交橢圓「于瓦G兩點.

（1）若橢圓「焦點在x軸上，且其離心率是,，求實數(shù)加的值；

（2）若加=左=1,求ABEG的面積；

⑶設(shè)直線/￡與直線＞=2交于點a,證明：8,G,〃三點共線.

3.（2023?上海松江?一模）已知橢圓「：，+，=1（。＞6＞0）的長軸長為26，離心率為，，斜率為左的直

線/與橢圓「有兩個不同的交點43.

（1）求橢圓r的方程；

⑵若直線/的方程為：y=x+/,橢圓上點關(guān)于直線/的對稱點N（與“不重合）在橢圓「上,

求/的值;

⑶設(shè)尸（-2,0）,直線產(chǎn)工與橢圓「的另一個交點為C,直線依與橢圓「的另一個交點為。，若點和點

三點共線，求上的值.

4.（2022?上海松江?二模）已知橢圓「:[+[=1（。>6>0）的右頂點坐標為/（2,0）,左、右焦點分別為B、

ab

F2,且|B&I=2,直線/交橢圓「于不同的兩點M和N.

（1）求橢圓「的方程；

⑵若直線/的斜率為1,且以為直徑的圓經(jīng)過點/,求直線/的方程；

⑶若直線/與橢圓「相切，求證：點B、B到直線/的距離之積為定值.

22

5.（2。22?上海黃浦二模）已知雙曲線「：?=1,尸為左焦點，尸為直線、=1上一動點、，°為線段小

17^1

與「的交點.定義："（P）二焉.

⑴若點。的縱坐標為衣，求d（尸）的值；

（2）設(shè)或尸）=2，點尸的縱坐標為八試將產(chǎn)表示成2的函數(shù)并求其定義域;

⑶證明：存在常數(shù)加、"，使得加"（尸）=中尸|+".

22

6.（2023?上海浦東新?三模）已知橢圓土+匕=1左、右頂點分別為A、B,P是橢圓上異于A、3的任一

43

點，直線/:x=t,M,N是直線/上兩點，AM、/N分別交橢圓于點。、E兩點.

（1）直線尸N、尸B的斜率分別為匕、k2,求占名的值;

(2)若E、。、。三點共線，OM10N,求實數(shù)/的值；

⑶若直線。E過橢圓右焦點尸，且t=4,求面積的最小值.

2

7.(2024?上海?模擬預(yù)測)已知雙曲線「/-右=1,(6>0),左右頂點分別為4,4,過點〃(-2,0)的直線/交

b

雙曲線r于只。兩點.

(1)若離心率e=2時，求6的值.

(2)若6=半，△朋4P為等腰三角形時，且點尸在第一象限，求點尸的坐標.

(3)連接。。，直線。。交雙曲線「于另一點A,若布?衣=1,求6的取值范圍.

22

8.(2024?上海徐匯?二模)已知橢圓0：二+匕=1,4、4分別為橢圓C的左、右頂點，片、匕分別為左、

43一

右焦點，直線/交橢圓C于〃、N兩點(/不過點4).

⑴若。為橢圓c上(除4、4外)任意一點，求直線。4和04的斜率之積；

(2)若麗=2標，求直線/的方程；

9

⑶若直線與直線私的斜率分別是左、左2,且左色=-彳，求證：直線/過定點.

9.(2023?上海楊浦一模)已知曲線￡：彳+/=1&片0)的左右焦點為片，￡,P是曲線￡上一動點

⑴求鳥的周長；

(2)過巴的直線與曲線E交于48兩點，且/2=2月瓦求直線48的斜率；

⑶若存在過點》(0㈤俏>1)的兩條直線4和4與曲線E都只有一個公共點，且求力的值.

丫2

10.(2024?上海?三模)將離心率相等的所有橢圓稱為〃一簇橢圓系〃.已知橢圓從土+/=1的左、右頂點

2

分別為45,上頂點為

22

⑴若橢圓尸式+匕=1與橢圓￡在“一簇橢圓系，，中，求常數(shù)S的值；

s2

(2)設(shè)橢圓G：；+/="0<X<1),過A作斜率為勺的直線4與橢圓G有且只有一個公共點，過D作斜率為

%的直線4與橢圓G有且只有一個公共點，求當(dāng)幾為何值時，歸|+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若橢圓〃:三+。=1。>2)與橢圓E在"一簇橢圓系"中，橢圓〃上的任意一點記為C(%,%),試判斷

△48C的垂心M是否都在橢圓E上，并說明理由.

題型6軌跡問題

平面內(nèi)到一個定點和相應(yīng)一條定直線I的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡:

⑴當(dāng)0<e<l時，軌跡為橢圓.

⑵當(dāng)e>l時，軌跡為雙曲線.

L（2023?上海浦東新?一模）已知平面直角坐標系中的直線（：y=3x、4：y=-3x.設(shè)到r4距離之和為2Pl

的點的軌跡是曲線G，4、4距離平方和為2P2的點的軌跡是曲線G,其中0、0>0.則G、公共點的

個數(shù)不可能為（）

A.0個B.4個C.8個D.12個

2.（2024?上海?三模）舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，如圖，。是滑槽的

中點，短桿ON可繞。轉(zhuǎn)動，長桿及W通過N處的錢鏈與ON連接，上的栓子?？裳鼗跱2滑動，當(dāng)

點。在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動時，帶動點N繞。轉(zhuǎn)動，點州也隨之而運動，記點N的運動軌跡為G，點M

的運動軌跡為C?.若ON=DN=1,MN=3,且4824,過C?上的點尸向G作切線，則切線長的最大值為_

3.（2024?上海奉賢?二模）點P是棱長為1的正方體/BCD-44G，棱上一點，則滿足|"|+歸［=2的點P

4.（2023?上海?模擬預(yù)測）正方體44G2的邊長為1,點分別為3c邊的中點，尸是側(cè)面

4￡1口4上動點，若直線即1與面GPN的交點位于AC『N內(nèi)（包括邊界），則所有滿足要求的點尸構(gòu)成的圖

形面積為.

5.（2023?上海松江,一模）動點P的棱長為1的正方體-481GA表面上運動，且與點A的距離是

口8,點尸的集合形成一條曲線，這條曲線的長度為

3

22

6.（2024?上海?三模）設(shè)4,8是雙曲線〃：2=1（。>0,6>0）上的兩點.直線/與雙曲線，的交點為

P,0兩點.

（1）若雙曲線〃的離心率是右，且點（血,血）在雙曲線〃上，求雙曲線〃的方程；

YV2

（2）設(shè)/、3分別是雙曲線X：1y-方=1（。>0,6>0）的左、右頂點，直線/平行于y軸.求直線/尸與2。

斜率的乘積，并求直線AP與2。的交點〃的軌跡方程；

⑶設(shè)雙曲線Hx2-y2=l,其中｛-"I）,5（V2,1）,點M是拋物線C：x2=2y上不同于點/、3的動

點，且直線M4與雙曲線X相交于另一點尸，直線M3與雙曲線〃相交于另一點0,問：直線尸0是否恒

過某一定點？若是，求該定點的坐標；若不是，請說明理由.

22

7.（2024?上海嘉定?二模）如圖：已知三點A、B、尸都在橢圓上+匕=1上.

->

X

⑴若點A、B、。都是橢圓的頂點，求△450的面積;

（2）若直線42的斜率為1,求弦48中點M的軌跡方程；

⑶若直線的斜率為2,設(shè)直線力的斜率為左四，直線尸3的斜率為左.，是否存在定點產(chǎn)，使得電+%=。

恒成立？若存在，求出所有滿足條件的點P,若不存在，說明理由.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、填空題

1.（2024?上海崇明?一模）雙曲線--反=1的漸近線方程是_______.

4

2.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知拋物線/=4x上有一點尸到準線的距離為9,那么點尸到x軸的距離為.

3.（2024?上海靜安?一模）到點片（TO）,巴（3,0）距離之和為10的動點尸的軌跡方程為.

22

4.（2024?上海普陀?一模）設(shè)橢圓C：=+q=l（a>6>0）的左、右焦點分別為耳、鳥，左頂點為A,若橢

ab

圓。的離心率為1:，則I—K^I的值為______.

3|淚

5.（2024?上海?三模）過拋物線E:必=2px（0>O）的焦點廠的直線交E于點48,交￡的準線/于點C,

點。為垂足.若尸是/C的中點，且刊=3,則|/8|=.

6.（2024?上海奉賢三模）若曲線得右頂點A,若對線段。/上任意一點P,端點除外,

a

在「上存在關(guān)于X軸對稱得兩點。、R使得三角形P0尺為等邊三角形，則正數(shù)a得取值范圍是.

7.（2024?上海浦東新?三模）已知點48位于拋物線r=2px（p>0）上，|/即=20,點M為線段的中

點，記點M到y(tǒng)軸的距離為d.若"的最小值為7,則當(dāng)d取該最小值時，直線的斜率左化>。）為.

8.（2024?上海奉賢?一模）已知拋物線工2=即（“>0）上有一點尸到準線的距離為6,點尸到x軸的距離為4,

則拋物線的焦點坐標為.

22

9.（2025?上海?模擬預(yù)測）已知雙曲線二-一J=l（a>0）的左、右焦點分別為斗F2.通過鳥且傾斜角為

a6—a

1的直線與雙曲線交于第一象限的點H延長/瑪至3使得/8=N片.若48片乙的面積為3而，則a的值

為.

10.（2024?上海普陀?一模）設(shè)feR,直線/：x+yT=0與曲線。：y=（04x44）和曲線0,：了=分

別交于尸、。兩點，則|尸@的最大值是.

11.（2024?上海?三模）如圖，5地在/地的正東方向，相距4km；C地在2地的北偏東30。方向，相距

2km,河流沿岸尸。（曲線）上任意一點到/的距離比它到3的距離遠2km,現(xiàn)要在曲線尸。上選一處“建

一座碼頭，向/、B、C三地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算，從M到/、3兩地修建公路費用都是10萬元/km,從〃

到C修建公路的費用為20萬元/km.選擇合適的點可使修建的三條公路總費用最低，則總費用最低是

萬元（精確到0Q1）

Q

12.（2024?上海?模擬預(yù)測）考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓。:^+/=1上，且其中至

2024-

少有兩個頂點為橢圓C的頂點.這樣的等腰三角形有個.

二、單選題

13.（2024?上海徐匯?一模）下列拋物線中，焦點坐標為的是（)

A.y2=LB.y2=-x

24

14.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知直線/與橢圓「，點片,外分別為橢圓「：］+/=1的左右焦點，直線

F、MLI,F2N1l,垂足分別為點MN（MN不重合），那么"直線/與橢圓「相切”是