同與正多邊形壓軸題專練（9大題型45道）

壓軸題型一垂徑定理問題

1.如圖，在。。中，直徑48垂直于弦8,垂足為點￡,連接AC、DO,延長。。交NC于點尸.

⑴求證：AF2=OFDF-,

(2)如果CO=8,BE=2,求OF的長.

2.如圖，在△/2C中，AB=AC=10,BC=12,ADJ.BqD,。為4D上一點，以。為圓心，04為半

徑的圓交48于G,交8c于￡、F,且/G=4D.

(1)求E尸的長；

(2)連接。G,求ZRDG的余切值.

3.如圖，已知平行四邊形的三個頂點A、B、C都在半徑為5的。。上，且/OL3C,垂足為點

(1)求平行四邊形的邊的長；

(2)延長線段5。交/。于點尸，求點尸到CD的距離.

4.如圖1是一張乒乓球桌，其側面簡化結構如圖2所示，臺面AB=274cm（臺面厚度忽略不計）與地面平

行，且高度為76cm（臺面與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸的上端E,尸與臺面下方相連,

尸尸與0尸的下端尸，。與直徑為4cm的腳輪（側面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計），直線型支架CG

與ZW的上端C,。與臺面下方相連，下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架G8分別與PE,。尸在

點G,8相連，RPC±AB,0Q1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,己知斯=106cm,

—tanZECG=tanZFDH=-

CE93

（2）當初所在的圓經過點尸、。時，求：南所在的圓的圓心到臺面42之間的距離

5.新定義：如果一個三角形中有兩個內角方滿足a+2)=90。，那我們稱這個三角形為“近直角三角

形

⑴若△4BC是“近直角三角形”，48>90。，ZC=50°,則乙1=度；

(2)如圖1,在RtZi/BC中，ABAC=90°,AB=3,AC=4.若5。是入L8C的平分線，在邊NC上是否存

在點E(異于點。)，使得ABCE是“近直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,在RtZ\48C中，NA4c=90。，點。為NC邊上一點，以AD為直徑的圓交3c于點E,連接NE

交BD于點、尸,若△BCD為“近直角三角形“，且43=5,AF=3,求tanNC的值.

壓軸題型二圓周角與圓心角問題

6.如圖，點、A,B,C在。。上，順次連接48,BC,CA,且彳癌=210。，AC=150°-

(1)求/氏4。的度數；

(2)若。。的半徑為2,求△ABC的面積.

(2)如圖2,如果NO_LO2,求ND：D8的值；

(3)延長線段49交弦3c于點E,如果AEOB是等腰三角形，且。。的半徑長等于2,求弦2c的長.

8.如圖，以48為直徑的圓。中，點。為圓心，C為弧48的中點，過點C作CO〃48且CD=02.連接

AD,分別交。C,BC于點、E,F,與圓。交于點G,連接AD.

(1)求證：BD1AB-,

(2)連接BE,OF,求證：BEVOF.

9.如圖，48是。。的直徑，以為腰作等腰△48C,底邊8c交。。于點。，連接4。，延長C4交。O

于點E,連接BE、DE.

⑴求證：ACAD=ABED；

24

⑵若BD=20,tanZBDE=—,求。。的半徑長.

10.如圖，△48C的邊是OO的直徑，點C在。。上，點。是邊上的一點，點E和點。關于3c對

稱，DE交邊BC于點M,過點。作DE的垂線交EC的延長線于點尸，線段。尸交/C于點N.

(1)求證：四邊形CMJN是矩形;

(2)聯結C。，當CD1/3時，求證：EF-CB=2AB-ME.

壓軸題型三直線與圓的位置關系問題

II.如圖，在平行四邊形4BCD中，AD=9,48=15,BDLBC,點尸在邊CO上運動，以尸為圓心，FD

為半徑的圓尸與邊。5交于。、E兩點.

圖1圖2

(1)當圓廠與邊2C相切時，求￡0的長；

(2)設ED=x,△必￡的面積為了，求了關于x的函數解析式，并寫出定義域;

(3)當圓F與平行四邊形ABCD的邊有4個交點時，求x的取值范圍.

12.如圖①，已知：在矩形48co的邊4D上有一點O,OA=^3,以。為圓心，CM長為半徑作圓，交AD

于恰好與AD相切于“，過"作弦HP〃/8,弦HP=3.若點￡是CO邊上一動點(點、E與C,。不

重合)，過￡作直線EF//BD交于F,再把ACEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G.設CE=x,AEFG

與矩形48。重疊部分的面積為S.

圖①備用圖

(1)求矩形ABC。的周長；

(2)AEEG的直角頂點G能落在OO上嗎？若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由;

(3)求：S與x之間的函數關系式及其定義域，并直接寫出尸G與O。相切時，S的值.

13.如圖1,在邊長為6的正方形48CD中，￡是邊CD的動點，以E為圓心，DE為半徑作圓，AF^QE

相切于點尸，連接E尸并延長交2c于點G,連接4E、AG.

⑴求證：△ABGg^AFG；

(2)如圖2,NE與OE相交于點〃，連接3〃并延長交AD于點K,當滿足DK+EG+CG=12時，試判斷3K

與OE的位置關系并說明理由.

14.如圖，42是OO的直徑，連接8c交。。于點。，連接NC、AD,使得AB?=BDBC.

(1)試判斷AC與O。的位置關系并說明理由

(2)若點E是麗的中點，AE與BC交于點、F,求證：CA=CF.

15.如圖1,。是正方形/BCD對角線上一點，以。為圓心，0C長為半徑的。。與4。相切于點￡,與/C

相交于點尸.

(2)若正方形的邊長為行+1，點"是半徑OC上的一個動點，過點M作交近于點N.當

QW:FW=1:4時，求CN的長

壓軸題型四正多邊形問題

16.【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°(如圖2),這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的

【操作實踐】

(2)如圖3,圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊“、b,c、d之間存在某種數量關系.小昕按所

示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點尸為端

點的四條線段之間的數量關系；

【探究應用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎上，小昕將△尸。C繞點尸逆時針旋轉，他發現旋轉過程中4P存在最

大值.若PE=8,PF=5,當ND4P最大時，求的長；

E

BC

圖5

17.閱讀與思考

下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務.

關于“等邊半正多邊形”的研究報告博學小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念一性質一判定”的路徑，由一般到特殊進行研究.

研究方法：觀察（測量、實驗）一猜想一推理證明

研究內容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我

們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖①，我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，

類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形……

【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖②，如果六邊形/3CDEF是等邊半正六邊形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZA=NC=/E,ZB=ZD=ZF,5.ZB.

內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為上。.

對角線：……

⑴直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：.

（2）如圖③，六邊形/3CDEF是等邊半正六邊形.連接對角線/D,猜想NA4Z）與NE4D的數量關系，并說

明理由；

（3）如圖④，已知是正三角形，是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形/BCDEF（要

求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

18.在圓內接正六邊形48COEb中，AC,EC分別交AD于點X,G.

(1)如圖①，求證：點”，G三等分AD.

(2)如圖②，操作并證明.

①尺規作圖：過點。作/C的垂線，垂足為K,以點。為圓心，0K的長為半徑作圓；(在圖②中完成作圖,

保留作圖痕跡，不需要寫作法)

②求證：CE是①所作圓的切線.

19.如圖，M,N分別是O。的內接正三角形N3C、正方形48cD、正五邊形4BCDE的邊4g、8c上的

點，S.BM=CN,連接。Af、ON.

E

(1)圖①中NMON的度數是；

(2)圖②中NMCW的度數是,圖③中NMCW的度數是；

⑶若M、N分別是正"邊形4BCQE…的邊/8、5c上的點，且BM=CN,連接ON、ON,則NMON的

度數是

20.【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪(如圖1)中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的

安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r(m)的圓面.噴灑覆蓋率s為待噴灑區域面積，k為

S

待噴灑區域中的實際噴灑面積.

圖1

【數學建模】

這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題.

【探索發現】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率P=

9

(2)如圖3,在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為2m的自動噴灑裝置；如圖4,設計安裝9個噴灑半徑

9

均為3m的自動噴灑裝置;,以此類推，如圖5,設計安裝/個噴灑半徑均為-m的自動噴灑裝置.與

n

(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出

理由.

(3)如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率

0=1.已知正方形48CD各邊上依次取點尸，G,H,E,使得力E=BF=CG=DH,設/E=x(m),Q0,

的面積為/(m?),求V關于x的函數表達式，并求當了取得最小值時廠的值.

——^\r?

圖6

【問題解決】

(4)該公司現有噴灑半徑為3亞m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率。=1?(直接寫出結果即可)

壓軸題型五弧長、扇形面積問題

21.定義：若圓內接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形”.

(1)如圖1,是。。的一條弦(非直徑)，若。。在上找一點C,使得是“圓等三角形”，則這樣的點

C能找到個.

⑵如圖2,四邊形48。是。。的內接四邊形，連結對角線3。仙48。和△BCD均為“圓等三角形”，且

AB=AD.

①當4=140。時，求—4DC的度數；

②如圖3,當NN=120。，22=6時，求陰影部分的面積.

22.如圖1,扇形NO6中，ZAOB^O°,。/=13,點P在半徑上，連接相.

⑴把AN。尸沿的翻折，點O的對稱點為點Q.

①當點0剛好落在弧N8上，求弧40的長；

②如圖2,點。落在扇形/O8外，/。與弧交于點C,過點0作叫，。4,垂足為H,AH=3,求/C

的長，猜想并直接寫出。》、AH,QC三者之間的數量關系；

⑵如圖3,記扇形408在直線的上方的部分為圖形M把圖形少沿著個翻折，點8的對稱點為點E,弧

4E與。4交于點尸，若。尸=3,求P。的長.

23.如圖，在△NBC中，AB=AC,以48為直徑作半圓。，交BC于點D,交/C于點E.

(1)求證：BD=CD.

(2)若NBNC=50。，求麗、DE藍的度數.

(3)過點。作。尸，48于點尸，若BC=8,AF=3BF,求訪的長.

24.如圖，△ASC內接于OO,N2為直徑，//C2的平分線交。。于點。，交4B于點尸，過點。作

DE//AB,交CA的延長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線；

⑵若。尸=10,CF=6,求圖中陰影部分的面積.

25.如圖，在△NBC中，zS=90°,4c4=60。.過點A,C與48交于點。，連接DO并延長，交4c

于點尸，交。。于點E,連接CO并延長，剛好過薪的中點〃，交弦4E于點尸，且標=2麗，連接C”

⑴求證：5C是。。的切線；

(2)求證：AAPEsADPC；

(3)若。。的半徑為2cm,求圖中陰影部分的面積.

壓軸題型六圓中多結論問題

26.圖1是一張圓形紙片；如圖2,將圓形紙片作兩次對折，且折痕垂足為點M；如圖3,把

紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點8,M重合，折痕斯與48相交于點N,連接/E,AF,

BE,BF.下列四個結論中錯誤的是（）

A.四邊形MEAF是菱形B.A/E尸為等邊三角形

C.EN-FN—AM2-BN2D.S四邊切理尸：S扇形斯=3庭:2兀

27.已知正方形/BCD的邊長為4,點P是平面內的一動點，連接3尸，且BP=/B,點。是上一點，

BQ=l,連接DP,CP,下列結論錯誤的是（）

A.的最小值是3B.DP的最小值是4收-4

C.尸￡）+依的最大值是8+2后D.尸的最小值是5

28.如圖，正方形4BCD中，￡是48上一點，將沿翻折得△。尸￡,點力的對應點是點R直線

AF與DE交于點H,與/CZ（斤的平分線交于點G,連接BG,下列說法：?DH=GH-②N/G2=45。；③

若連接CG,則CGLNG；④若正方形邊長為2,￡為的中點，則〃G=延.其中正確的個數是（）

29.如圖，在菱形488中，NBAD=120。，對角線NC,5。交于點。，動點P在邊8c上（不與點C重

合），連接的，羽的垂直平分線交相于點E,交BD于點、F,連接尸P,CE,OE,現有以下結論：①點

CF1

A,E之間的距離為定值；②FP=2FE；③。的值可以是二；④NEOF=30。或150。.其中正確的

BC3

是.（寫出所有正確結論的序號）

30.如圖，點C在以4B為直徑的半圓上，AB=6,/C胡=30。，點。在線段4B上運動，點E與點。關

于NC對稱，DF工DE于點、D,并交EC的延長線于點尸.下列結論正確的.(填序號)

①CE=CF；②當E尸〃相時，點尸恰好落在弧3c上；③當E尸與半圓相切時，40=2;④當點。從點A

運動到點3時，線段E尸掃過的面積是6G.

壓軸題型七圓中翻折、旋轉問題

31.如圖，在等邊三角形/BC中，AB=8,點E是射線48上的一個動點，點。隨著點E的運動而在射線

(1)為如圖1,若點。在邊NC上，求證：CE是。。的切線；

(2)如圖2,若圓心。在邊N3上時，求工。的長；

(3)如圖3,當點￡運動到邊N8的延長線上時，將O。的優弧DE沿直線OE翻折，交2。的垂線4尸于點R

若AF〃DE,求弧E尸的長.

32.點。是以/C為直徑的。。上一點，點2在C。延長線上，連接4B交。。于點￡.

(1)如圖1,當點E是石的中點時，連接CE,求證：AC=BC；

(2)連接40,。區將ABDE沿。￡所在的直線翻折，點8的對應點落在。O上的點尸處，作尸G〃BC交4B

于點G.

①當￡,G兩點重合時(如圖2),求與△FEO的面積之比；

②當BC=10,EG=行時，求48的長.

33.在學習圖形的旋轉時，創新小組同學們借助三角形和菱形感受旋轉帶來圖形變化規律和性質.

【操作探究】（1）如圖1,已知△/8C,ZC=90°,將△ABC繞著直角邊NC中點G旋轉，得到SE尸，當

GEF的頂點。恰好落在44BC的斜邊上時，斜邊DE與AC交于點H.

①猜想：ZADC=°；

②證明：ADGHsxADH；

【問題解決】（2）在（1）的條件下，己知4=30。，BC=2道,求CH的長;

【拓展提升】（3）如圖2,在菱形48co中，AC=S,BD=6,將菱形48co繞著48中點M順時針旋轉,

得到菱形EFGH,當菱形EFGH的頂點E分別恰好落在菱形ABCD的AD邊和對角線AD上時，菱形EFGH

的邊與3c邊相交于點N,請直接寫出的V的長.

34.【問題背景】

已知點/是半徑為r的。。上的定點，連接CM,將線段CM繞點。按逆時針方向旋轉々（0°<?<90。）得到

OE,連接NE,過點/作。。的切線/,在直線/上取點C,使得NC4E為銳角.

（1）如圖1,當NC4E=20。時，a=_°；

【問題探究】

（2）以線段/C為對角線作矩形4BCD,使得邊4D過點E,連接CE,對角線NC,3。相交于點尸.

①如圖2,若/￡=DC,求證：AC=2r

42

②如圖3,當=CE=丁時，請仿照圖2補全圖形.

（。）判斷過點。、E、C三點能不能作一個圓，并說明理由;

（6）探究與3c之間的數量關系，并寫出探究過程.

35.已知在等邊△/BC中，將線段4c繞點A旋轉a(0°<a<60。)，得到線段4。，連接CD,BD.

CC

圖1圖2圖2備用圖

(1)如圖1,將線段4c繞點A順時針旋轉30。，若4B=4,則4BDC=_。，四邊形4BDC的面積為」

(2)①在圖2中依題意補全圖形，并求/ADC的度數；

②取8。的中點E,連接NE,交直線CD于點尸，連接叱.用等式表示線段2月，CD,q之間的數量

關系，并證明.

壓軸題型八圓中新定義問題

36.新定義：如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形.

【問題提出】

(1)如圖1,若四邊形是美好四邊形，且4D=AD,//5C=90。，AB=4,BC=3,求四邊形4BCD

的面積；

【問題解決】

(2)如圖2,某公園內需要將4個信號塔分別建在A,B,C,D四處，現要求信號塔C建在公園內一個

湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為200m的圓，記為OE.已知點A到該湖泊的最近距離為500m,

是否存在這樣的點。，滿足4C=8。，使得四邊形N8co的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，

請說明理由.

BAB

圖I圖2

37.我們定義：過三角形的一個頂點的線段將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似,

且相似比為1:2，則原三角形叫做“友好三角形”;

圖1圖2圖3

(1)如圖1,已知在△23C中，AB=2,BD=^BC=1,求證：△4BC是“友好三角形”;

(2)如圖2,在5x5的網格圖中，點/、3在格點上，請在圖中畫出一個符合條件的“友好三角形”△48。，要

求點C在格點上;

(3)如圖3,在(1)的條件中，作ANC。的外接圓。。，點E是。。上的一點，CE=CA,連接

①設/D=x,AE=y,求了關于x的函數關系式；

②當CE〃48時，求。。的半徑.

38.在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”.

(1)如圖1,48是。。的弦，作作。CLCM、ODLOB,分別交。。于點C,。，連接CD交于點￡.求

證：48、CD是。。的等垂弦；

RF1

⑵如圖2,O。的半徑為5,48、8是O。的等垂弦，4B與CD交于點E,—求48的長.

AE3

39.定義：我們將能完全覆蓋某平面圖形的圓稱為該平面圖形的覆蓋面.其中，能完全覆蓋平面圖形的最

小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.

例如：如圖1,線段的最小覆蓋圓就是以線段N8為直徑的圓；

圖I

【初步思考】

（1）邊長為1cm的正方形的最小覆蓋圓的半徑是cm；

（2）如圖2,邊長為1cm的兩個正方形并列在一起，則其最小覆蓋圓的半徑是cm；

【深入研究】

（1）請分別作出圖3中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

圖3

（2）如圖4,在正方形網格中建立的平面直角坐標系中，△/BC的頂點A位于坐標原點，頂點8、C的坐

標分別為（4,0）、（3,3）.則△4BC的最小覆蓋圓的圓心坐標為,半徑長為；如圖5,鈍角△ACVP

中，MN=5,/MPN=123°,則△肱VP的最小覆蓋圓的半徑為.

某地有四個村莊A,B,C,D（其位置如圖6所示），現擬建一個5G網絡信號中轉站，為了使這四個村

莊的居民都能接收到信號，且使中轉站所需發射功率最小（距離越小，所需功率越小），經過工程人員測量

得到。=8km及圖中相關各角度等數據，四邊形N5CO區域最小覆蓋圓的半徑為.

40.(1)如圖1,在中，OA=OB,ZAOB=120°,AB=12,若O。的半徑為2,點尸在。。上，M

是線段上一動點，連接尸“，求線段尸河的最小值，并說明理由.

圖1

新定義：在平面直角坐標系中，已知點"為定點，對點A給出如下定義，在射線上，若MN=hMA

(%>0,且左為整數)，則稱N是點A的“上倍點”.

(2)如圖2,點A是半徑為1的。。上一點，且M(3,l),N是點A的“二倍點”，點尸為直線丁=瓜上一

點，是否存在點P，使得線段PN最小；若存在，請求出尸N的最小值，并直接寫出此時N點的坐標；若不

圖2

壓軸題型九圓中各類最值問題

41.如圖，是。。的直徑，"N=6,點A在。。上，ZAMN=30。,8為京的中點，尸是直徑上W上

一動點.

(1)在圖中確定尸點的位置，使尸N+P8最小.

(2)求R4+PB的最小值.

42.問題提出

(1)如圖①，半圓O的直徑/3=10,C是標的中點，點。在前上，且而=2而，P是48上的動點,

試求PC+PZ)的最小值.

問題解決

(2)如圖2,扇形花壇/O8的半徑為20m,乙4OB=45。.根據工程需要，現想在篇上選點P,在邊04

上選點E,在邊03上選點尸，用裝飾燈帶在花壇內的地面上圍成一個A