第五章

頻率特性分析方法

1、頻率特性的定義；系統(tǒng)或環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入函數(shù)之比。2、頻率特性的物理意義；可以反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。3、極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）5.1.2.1極坐標(biāo)圖（幅相曲線）是ω的復(fù)變函數(shù)。(1)定義當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，矢量的端點(diǎn)在復(fù)平面上畫出的軌跡叫作G(jω)的極坐標(biāo)圖。即：ImReωU(ω)V(ω)矢量的端點(diǎn)在實(shí)軸與虛軸上的投影分別為的實(shí)部和虛部坐標(biāo)，它們分別叫作實(shí)頻特性和虛頻特性，5.1.2.2一些典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖（1）一階慣性環(huán)節(jié)ImReK●●●（2）放大環(huán)節(jié)（3）純滯后環(huán)節(jié)01ωImReKImRe（4）積分環(huán)節(jié)與微分環(huán)節(jié)ww

積分環(huán)節(jié)使系統(tǒng)產(chǎn)生相位滯后微分環(huán)節(jié)使系統(tǒng)產(chǎn)生相位超前高頻時(shí)幅頻特性趨近于0低頻時(shí)幅頻特性趨近于0（5）一階加純滯后環(huán)節(jié)ImRe1（6）二階慣性（滯后）環(huán)節(jié)分析：當(dāng)時(shí)，（低頻特性）當(dāng)時(shí)，（高頻特性）1ImRe當(dāng)時(shí)，與虛軸相交

幅頻特性不僅是ω的函數(shù)，也是ζ的函數(shù)

與虛軸交點(diǎn)頻率ω＝ωn

隨著ω的增加，相位滯后越大，0→－180°

當(dāng)ζ小于0.707后，幅頻特性超過(guò)1在最大峰值處ω＝

ωr（諧振頻率），系統(tǒng)產(chǎn)生諧振。當(dāng)輸入信號(hào)頻率達(dá)到一定值時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)將產(chǎn)生諧振，這是振蕩環(huán)節(jié)特有的現(xiàn)象。諧振時(shí)振幅將最大，可求出諧振頻率。

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性為幅值最大—發(fā)生諧振（7）三階慣性環(huán)節(jié)分析：當(dāng)時(shí)，↗在負(fù)的方向上逐漸增加↙當(dāng)時(shí)，ImRe1（8）比例積分（PI）環(huán)節(jié)實(shí)部不變=Kc，虛部隨改變，按實(shí)虛部作圖。ImReKcKc（9）比例積分微分（PID）環(huán)節(jié)分析：實(shí)部不變=Kc，虛部隨改變。ImRe0Kc﹣∞﹢∞低頻時(shí),積分起主要作用，相位滯后90°,高頻時(shí)，微分起主要作用，相位超前90°。物理意義：UV∠0KcKcKc-∞+∞0∞-90°90°0°5.1.2.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖實(shí)際控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的繪制：（1）極坐標(biāo)圖的起始段當(dāng)w→0時(shí)，極坐標(biāo)的起始段取決于開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)（系統(tǒng)的型數(shù)）v和開環(huán)增益K。當(dāng)時(shí)，可以確定特性的低頻部分，其特點(diǎn)由系統(tǒng)的類型近似確定，如下圖所示：（2）極坐標(biāo)圖的終止段當(dāng)w→∞時(shí)，因?yàn)閚>m,幅相特性的高頻段的極坐標(biāo)圖以順時(shí)針?lè)较蜈呌谠c(diǎn)處。注意終止點(diǎn)：w=￥ReIm01=-mn2=-mn3=-mn例：ⅠⅡⅢⅣ角度的選擇：不能只根據(jù)tg-1，還要根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的符號(hào)，判斷在哪個(gè)象限。注意：（3）幅相特性與負(fù)實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)幅相頻率特性與虛軸的交點(diǎn)的頻率由下式求出

幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的頻率由下式求出（4）若v＝0，m＝n，則開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖將始于實(shí)軸上某一有限點(diǎn)而止于實(shí)軸上的另一有限點(diǎn)。極坐標(biāo)圖的形狀與系統(tǒng)的型號(hào)有關(guān)，一般情況如下（注意起始點(diǎn)）：（1）0型系統(tǒng)的幅相頻率特性①開環(huán)傳遞函數(shù)

②頻率特性③幅相頻率特性(極坐標(biāo)圖)繪制當(dāng)w＝0時(shí)：當(dāng)w→∞時(shí)：（2）I型系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性①開環(huán)傳遞函數(shù)

②頻率特性當(dāng)時(shí)③幅相頻率特性(極坐標(biāo)圖)繪制當(dāng)時(shí)即幅值趨于，而相角位移為

當(dāng)n–m=4時(shí)I型系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖如圖：（3）II型系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性①開環(huán)傳遞函數(shù)

②頻率特性當(dāng)時(shí)③幅相頻率特性(極坐標(biāo)圖)繪制:當(dāng)時(shí)即幅值趨于，而相角位移為

繪制概略極坐標(biāo)圖的步驟總結(jié)如下：計(jì)算和繪制極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)(ω=0

)和終點(diǎn)(ω=∞)；(2)計(jì)算和繪制極坐標(biāo)圖與實(shí)軸的交點(diǎn)；(4)估算極坐標(biāo)圖的變化范圍，包括曲線的象限和單調(diào)性等。(5)描繪完整的極坐標(biāo)圖。(3)計(jì)算和繪制極坐標(biāo)圖與虛軸的交點(diǎn)；例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制其幅相頻率特性。解v=1當(dāng)w→0+時(shí)，當(dāng)w→∞時(shí)，方法2：相角：漸近線：*5.1.3典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)（Bode）圖幅頻特性圖相頻特性圖5.1.3.1坐標(biāo)的選擇（1）橫坐標(biāo)取角頻率ω?cái)?shù)值，但標(biāo)在以10為底的對(duì)數(shù)刻度上。0.1110100–1012每一大格，頻率變化了10倍，叫一個(gè)十倍頻程，記做/dec

。選擇頻率范圍時(shí)，一般在感興趣的頻率范圍附近取2~3個(gè)dec即可。（2）相頻特性采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙。﹣135°045°90°﹣45°﹣90°0.10.20.30.50.7123456710相頻特性的縱坐標(biāo)為相角，以度為單位，取

等分刻度。(3)

幅頻特性的縱坐標(biāo)

一般取的對(duì)數(shù)采用等分刻度，采用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙。換算關(guān)系：﹣40﹣2002040﹣2﹣10120.010.111010001020﹣10﹣200.10.20.30.50.7123456710：20的值。單位是分貝（db）。5.1.3.2對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的特點(diǎn)（1）畫法很簡(jiǎn)單，利用漸近線迅速畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。如：幅頻特性相加相頻特性相加（3）對(duì)橫坐標(biāo)ω取對(duì)數(shù)刻度，可以擴(kuò)大橫坐標(biāo)的頻率范圍，既可以看到高、中頻段的特性，又不降低低頻段（工作頻率）的準(zhǔn)確度。（2）運(yùn)算方便，串聯(lián)環(huán)節(jié)總的對(duì)數(shù)頻率特性，很容易通過(guò)各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性疊加得到。5.1.3.3典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（1）比例環(huán)節(jié)分析：0.1110020﹣200.1110∠G0°90°﹣90°ImReK

改變?cè)鲆妫瑢?duì)相頻特性沒(méi)有影響，幅頻特性只需上下平移。當(dāng)K增加10倍，分貝增加20。當(dāng)以分貝表示時(shí)，數(shù)值與其倒數(shù)之間相差一個(gè)符號(hào)對(duì)于數(shù)值K：相加。若放大環(huán)節(jié)串聯(lián)（2）一階慣性（滯后）環(huán)節(jié)如RC濾波器：將ωT作為變量，以使不同T的環(huán)節(jié)能用相同的圖形表示。RCU1U2畫法：a）逐點(diǎn)計(jì)算法：0.10.51210020﹣20∠G90°0°﹣90°0.10.51210l

相角對(duì)于ω=1/T頻率點(diǎn)()是斜對(duì)稱的b）漸近線法(僅對(duì)幅頻特性）畫法：低頻段：一條0db的直線。高頻段：當(dāng)●直線斜率為–20db/dec●與低頻段漸近線交于Tω=1,叫作轉(zhuǎn)折頻率。

0.1110020﹣200.10.51210200db0－20l

在轉(zhuǎn)折頻率處，幅頻特性的誤差最大。其誤差值：l

若需精確，可用校正曲線加以校正，一般校正以上三點(diǎn)。

討論：2）一階慣性環(huán)節(jié)，相位角始終為負(fù)，輸出相位落后于輸入，所以稱為滯后環(huán)節(jié)，倒數(shù)稱為超前環(huán)節(jié)。如，互為倒數(shù)。3）一階滯后環(huán)節(jié)具有低通濾波特性即：在低頻段，高頻段，輸出復(fù)現(xiàn)輸入。輸入信號(hào)被衰減。1)相角對(duì)于轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)是斜對(duì)稱的。4）時(shí)間常數(shù)T的影響：0.1110200﹣200.1110T=1T=20.050.55T=0.50.22200.10.51210200﹣20T=0.5T=1T=20.10.51210∠G0°-45°-90°T↓→曲線右移，引起幅值衰減、相角滯后的頻段減少。T↑→曲線左移，引起幅值衰減、相角滯后的頻段加寬。T→0時(shí)，接近于一個(gè)比例環(huán)節(jié)特性。（3）純積分環(huán)節(jié)橫坐標(biāo)取。幅頻特性是一條斜率為-20db/dec直線，且該直線通過(guò)的點(diǎn)。為一平行線。0.1110200﹣200.1110∠G0°﹣90°若傳遞函數(shù)中有2個(gè)積分器串聯(lián)，幅頻特性：斜率為-40db/dec的直線。相頻特性：若有幾個(gè)積分環(huán)節(jié)可以以此類推。0.1110400﹣400.1110∠G0°﹣180°（4）純滯后環(huán)節(jié)橫坐標(biāo)：τω純滯后環(huán)節(jié)不影響幅頻特性，只影響相頻特性與比例環(huán)節(jié)恰相反﹣180°﹣90°0.1110∠G0°0.1110200﹣20相角滯后隨ω增加而迅速線性增加。純滯后引起的高頻滯后是極為嚴(yán)重的。（5）理想比例積分環(huán)節(jié)（Kc=1）低頻段：時(shí)相當(dāng)于積分環(huán)節(jié)。，高頻段：時(shí)，，相當(dāng)于比例環(huán)節(jié)。相頻特性：；；討論：0.1110200﹣200°0.1110∠G-45°﹣90°a)在低頻段，積分起作用，輸出幅值增加，相位滯后。b)高頻段，相當(dāng)于比例作用。c)Kc變化，曲線上下移動(dòng)。d)

Ti變化，起作用的頻段不同。,∵,∴轉(zhuǎn)折頻率↓，左移，起積分作用的頻段減小。

Ti↓,積分作用增強(qiáng)，起作用的頻段增加。（6）理想比例微分環(huán)節(jié)（Kc=1）低頻段：高頻段：是斜率為20db/dec的直線。相頻特性：90°0.1110∠G0°45°討論:0.1110200﹣20a)

在低頻段，微分不起作用。b)

在高頻段，微分起作用，使幅值增加，相角超前。c)Td變化，則起作用的頻段變化。轉(zhuǎn)折頻率左移，曲線左移，起作用的頻段增加，微分作用增強(qiáng)。Td↓，曲線右移，起作用的頻段減小，微分作用減弱。（7）理想PID環(huán)節(jié)（Td<Ti，Kc=1）相當(dāng)于比例積分環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率在漸近線：相當(dāng)于比例微分環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率在

漸近線：橫坐標(biāo):ω﹣90°90°0.1110∠G0°低頻段，近似于比例積分特性，相角滯后，高頻段，近似于比例微分特性，相角超前。Bode圖如下：0.1110200﹣20低頻段積分起作用，高頻段微分起作用。相角：低頻段滯后，高頻段超前。（8）二階慣性（滯后）環(huán)節(jié)：以為橫坐標(biāo)，ζ為參變量。取不同ζ值，算出:1）逐點(diǎn)計(jì)算作圖當(dāng)ζ≤0.707，ω接近ωn時(shí)，出現(xiàn)諧振。02040﹣20﹣40﹣600.11100﹣45﹣90﹣135﹣180/2）漸近線法作圖低頻段：高頻段：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，時(shí)，即時(shí)，兩條漸近線交于點(diǎn)，ωn稱為轉(zhuǎn)折頻率。每變化10倍頻程，幅頻特性下降-40db，是一條斜率為-40db/dec的直線。0.1110400﹣40在高頻段：漸進(jìn)線與實(shí)際曲線的誤差與ξ值有關(guān)，ξ越小，誤差越大；0<ξ<0.707,ωr<ωn,ξ↓,Mr↑,ωr→ωn.諧振頻率:ξ→0，ωr

→ωn；Mr→∞

ξ≥0.707，沒(méi)有諧振現(xiàn)象,需要時(shí)可用校正曲線校正。02040﹣20﹣40﹣600.1110K和ωn的影響:(對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖以ω為橫坐標(biāo)來(lái)討論。轉(zhuǎn)折頻率＝？)ωn

=1時(shí)，轉(zhuǎn)折頻率在ω=1處；

K值使圖形上下移動(dòng),