專題13統計與統計案例

目錄

題型一：統計

易錯點01混淆總體與總體容量、樣本與樣本容量

易錯點02求中位數、百分位數時忽略數據順序

易錯點03對頻率分布直方圖中的數據特征理解不透

題型二統計案例

易錯點04混淆函數關系和相關關系而出錯

易錯點05忽視回歸直線與回歸曲線方程的區別與聯系

易錯點06求解獨立性檢驗問題對K2的值理解不準確

題型一：統計

易錯點01：混淆總體與總體容量'樣本與樣本容量

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?上海?階段練習）某校為了解高三年級學生體重情況，從該年級1000名學生中抽取125

名學生測量他們的體重進行分析.在這項調查中，抽取的125名學生的體重是（）

A.總體B.樣本C.總體容量D.樣本容量

【答案】B

【分析】根據樣本的定義即可求解.

【詳解】抽取的125名學生的體重是樣本，故選：B

【易錯剖析】

本題容易混淆樣本與樣本容量而出錯.

【避錯攻略】

抽樣調查

（1）總體：統計中所考察對象的某一數值指標的全體構成的集合稱為總體.

（2）個體：構成總體的每一個元素叫做個體.

（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構成的集合叫做總體的一個樣本，樣

本中個體的數目叫做樣本容量.

易錯提醒：（1）總體是指考察對象的全體，而總體容量是指總體的個數；（2）樣本是指從總體中抽取的若干個

個體組成的集合，而樣本容量是指樣本個體的數目，要注意二者的區別.

舉一反三

1.（2024高三?全國?專題練習）為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績，從中抽取了200

名學生的成績進行調查分析，在這個問題中，被抽取的200名學生的成績是（）

A.總體B.個體

C.樣本D.樣本量

2.（24-25高二上?安徽?階段練習）某中等職業學校為了了解高二年級1200名學生的視力情況，抽查了其中

200名學生的視力，并進行統計分析.下列敘述正確的是（）

A.上述調查屬于全面調查B.每名學生是總體的一個個體

C.200名學生的視力是總體的一個樣本D.1200名學生是總體

3.（24-25高三?甘肅蘭州?訓練）為了了解參加運動會的1500名運動員的年齡情況，從中抽取了150名運動

員的年齡進行調查，則下列說法正確的是（）

A.1500名運動員的年齡是總體

B.抽取到的150名運動員是樣本

C.這個抽樣方法可以采取隨機數表法抽樣

D.每個運動員被抽到的機會相等

能易錯題通關一

1.（23-24高三?西藏日喀則?期末）高考結束后，為了分析該校高三年級1000名學生的高考成績，從中隨機

抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法中正確的是（）

A.100名學生是個體

B.樣本容量是100

C.每名學生的成績是所抽取的一個樣本

D.1000名學生是樣本

2.（24-25高三上?福建福州?開學考試）為檢查某校學生心理健康情況，市教委從該校1400名學生中隨機抽

查400名學生，檢查他們心理健康程度，則下列說法正確的是（）

A.1400名學生的心理健康情況是總體B.每個學生是個體

C.400名學生是總體的一個樣本D.400名學生為樣本容量

3.（23-24高一下?山西晉中?階段練習）為了了解某路口每天在學校放學時段的車流量，有下面幾個樣本,

統計該路口在學校放學時段的車流量，你認為合適的是（）

A.抽取兩天作為一個樣本

B.春、夏、秋、冬每個季節各選兩周作為樣本

C.選取每周星期日作為樣本

D.以全年每一天作為樣本

4.（24-25高一上?全國?課堂例題）（多選）某市模考共有70000多名學生參加，某校教科室為了了解本校

3390名考生的數學成績，從中抽取300名考生的數學成績進行統計分析，下列說法正確的是（）

A.3390名考生是總體的一個樣本B.3390名考生的數學成績是總體

C.樣本容量是300D.70000多名考生的數學成績是總體

.（23-24高一下?青海海東?階段練習）為了了解某社區60周歲以上老年人的體重，進行如下調查：

調查一：對該社區所有60周歲以上老年人的體重進行調查；

調查二：對該社區部分60周歲以上老年人（500名）的體重進行調查.

關于上述調查，下列說法正確的是（）

A.調查一是普查，調查二是抽樣調查

B.調查二中的總體是指該社區抽取的500名60周歲以上老年人的體重

C.調查二中的樣本量是500

D.檢測一批燈泡的壽命宜采用調查一的調查方式，以使收集的數據更精確

6.（23-24高二上?湖北武漢?期中）"知名雪糕31℃放1小時不化”事件曝光后，某市市場監管局從所管轄十

五中、十七中、常青一中三校周邊超市在售的28種雪糕中抽取了18種雪糕，對其質量進行了檢查.在這

個問題中，18是（）

A.總體B.個體C.樣本D.樣本量

易錯點02：求中位數'百分位數時忽略數據順序

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024?河南?統考模擬預測）樣本數據16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位數定義即可得.

【詳解】將這些數據從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數為16.

故選：B.

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略講數據從小到大排列而出錯.

【避錯攻略】

1.眾數、中位數、平均數

（1）眾數：一組數據中出現次數最多的數叫眾數，眾數反應一組數據的多數水平.

（2）中位數：將一組數據按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的

平均數）叫做這組數據的中位數，中位數反應一組數據的中間水平.

（3）平均數：〃個樣本數據芯,％的平均數為嚏=乜土三土二七2，反應一組數據的平均水平，公

n

式變形：Ex：="X.

;=1

2.百分位數

（1）定義：一組數據的第,百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有0%的數據小于或等于

這個值，且至少有（100-P）%的數據大于或等于這個值.

（2）計算一組〃個數據的的第。百分位數的步驟

①按從小到大排列原始數據.

②計算，=〃xp%.

③若i不是整數而大于，的比鄰整數j,則第p百分位數為第/項數據；若i是整數，則第p百分位數為

第，項與第i+1項數據的平均數.

（3）四分位數：我們之前學過的中位數，相當于是第50百分位數.在實際應用中，除了中位數外，常

用的分位數還有第25百分位數，第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份,

因此稱為四分位數.

易錯提醒：在求數據的中位數、百分數時，一定要先把數據從小到大排列，然后再根據中位數、百分數的

定義進行求解.

舉—反三

1.（2025高三上?四川眉山?階段練習）假設有一組數據為6,8,3,6,4,6,5,這些數據的眾數與中位數

分別是（）

A.5,6B.6,4C.6,5D.6,6

2.（24-25高三上?天津和平?期末）一組數據按從小到大的順序排列為1,3,〃1，7,10,11,若該組數據

的中位數是這組數據極差的則該組數據的第45百分位數是（）

A.3B.4C.5D.7

3.（24-25高三上?山東淄博?期末）某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學演講后，6位

評委對甲、乙的演講分別進行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統計圖，則（）

M數

9,------------a-7----------------

9&.a'Xjo-c7---?-a；9

&-二千,7工工8；6

7a

-8

7.*

2三一4―5―6評^&號

一甲-+乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數大于乙得分的中位數

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數小于乙得分的上四分位數

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

易錯題通關

1.（2025高三?全國?專題練習）一組數據18,12,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位數是（）

A.10B.12C.4D.3

2.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習）四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙

耙柑果園的質檢員對剛采摘下來的耙耙柑采用隨機抽樣的方式對成筐的耙耙柑進行質檢，記錄下了8筐耙

耙柑中殘次品的個數為5,7,6,3,9,4,8,10,則該組樣本數據的第30百分位數為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

3.（24-25高三上?湖北十堰?期末）已知x>0,且x,x+l,/,2x的中位數為1,貝i]x=（）

123

A.-B.-C.1D.-

332

4.（24-25高三上?天津紅橋?期末）從某學校高二年級隨機抽取10名學生進行數學能力測試，測試成績為

68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,設學生測試成績的平均數，中位數，眾數分別為凡瓦c,則（）

A.a—b<cB.a<b=c

C.a<b<cD.b<a<c

5.（2024高三?全國?專題練習）一組數據從小到大依次為3,5,6,7,8,9,m,10,11,13,且眾數為

9,下列說法錯誤的是（）

A.m=9B.中位數為8.5C.平均數為8D.極差為10

6.（2024高三?全國?專題練習）（多選）有一組樣本數據再,%,…,乙，其中占是最小值，%是最大值，則

（）

A.%,三,匕65的平均數等于占戶2,…戶6的平均數

B.的中位數等于網外,…,乙的中位數

C.X2,X3,X4,X5的標準差不小于占戶2,…,Z的標準差

D.苫233，匕65的極差不大于網,々,…,X6的極差

7.（24-25高三上?江蘇?階段練習）（多選）有一組樣本數據1,2,3,5,7,8,9,a,下列說法正確的是

（）

A.若該組數據的平均數為0,則a=5B.若該組數據的中位數為a,則a=5

C.當aV9時，該組數據的極差為8D.當a=5時，該組數據的方差最小

8.（2025高三?全國?專題練習）（多選）2024年10月央行再次下調人民幣存款利率，存款利率下調是為了

刺激經濟增長、促進投資和消費而采取的一種貨幣政策.下表為某銀行近年來幾個時間發布的人民幣一年定

期存款利率:

時間2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月

利率

1.351.501.751.751.551.351.10

/%

關于表中的7個數據，下列結論正確的是（）

A.極差為0.25B.平均數不大于1.5

C.20%分位數與30%分位數相等D.中位數為1.75

易錯點03:對頻率分布直方圖中的數據特征理解不透

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?廣東汕頭?期末）某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價格，隨機抽取100戶居民,

得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據直方圖的數據信息，下列結論中正確的是（）

B.100戶居民的月均用水量低于16.21的用戶所占比例超過90%

C.100戶居民的月均用水量的極差介于211與27t之間

D.100戶居民的月均用水量的平均值介于16.21與22.21之間

【答案】C

【分析】首先根據頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和為1求出b的值，再分別求出100戶居民的月均

用水量的中位數，平均數，極差等即可判斷.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030+0.017+0.010+0.013+^)x3=1,

對于A,月均用水量在［1.2,4.2)的頻率為0.077x3=0.231<0.5,

月均用水量在［127.2)的頻率為0.231+0.107x3=0.231+0.321=0.552>0.5,

所以100戶居民的月均用水量的中位數在［4.2,7.2),故A錯誤；

對于B,因為100戶居民的月均用水量低于16.2t的用戶的頻率為

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)x3=0.861,

所以100戶居民的月均用水量低于16.2t的用戶所占比例為86.1%,故B錯誤;

對于C,由圖知，極差的最大值為28.2-1.2=27,最小值為25.2-4.2=21,

所以100戶居民的月均用水量的極差介于21t與27t之間，故C正確；

對于D,100戶居民的月均用水量的平均值為

(0.077x2.7+0.107x5.7+0.043x8.7+0.030xll.7+0.030xl4.7

191

+0.017x17.7+0.010x20.7+0.013x23.7+------x26.7x3=8.907t,故D錯誤.

3000J

故選：C.

【易錯剖析】

本題在計算過程中容易對中位數、百分位數、眾數、平均數估計值的計算公式理解不透徹而出錯.

【避錯攻略】

1、畫頻數分布直方圖與頻率分布直方圖的步驟：

(1)找出最值，計算極差；

(2)合理分組，確定區間；

(3)整理數據；

(4)作出相關圖示；

頻數分布直方圖縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形的高度與頻數成正比

頻率分布直方圖縱坐標是頻率/組距，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，每個矩形的面積

等于這一組數對應的頻率，所有矩形的面積之和為1

2、頻率分布表與頻率分布直方圖的特點

頻數分布表反映具體數據在各個不同區間的取值頻率，但不直觀，數據的總體態勢不明顯；頻率分布

直方圖能直觀地表明數據分布的行狀態勢，但失去了原始數據。

3、頻數分布折線圖和頻率分布折線圖

把頻數分布直方圖和頻率分布直方圖中每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來。

為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的。

4.頻率分布直方圖中的統計參數

(1)頻率分布直方圖中的“眾數”

根據眾數的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(些)點的橫坐標為這組數據的眾數.一般用

中點近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數”

根據中位數的意義，在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數.

因此，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可估計中位數的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數”

平均數是頻率分布直方圖的“重心”.因為平均數可以表示為數據與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分

布直方圖中，樣本平均數可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.

易錯提醒：利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，易出錯，應注意區分這三者.在頻率分

布直方圖中：

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；

(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底

邊中點的橫坐標之和.

舉一反三

1.（2024高三?全國?專題練習）某校高三年級共800名學生，將其期中考試的數學成績進行適當分組后，得

到頻率分布直方圖如圖所示.若要從這800人中按分數從高到低錄取72人組成數學興趣小組，則錄取分數

線估計為（）

C.110分D.112.5分

2.（24-25高三上?四川成都?階段練習）某校1000名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試

成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中。的值為0.004

B.估計這20名學生考試成績的平均數為76.5

C.估計這20名學生數學考試成績的眾數為80

D.估計總體中成績落在［60,70）內的學生人數為150

3.（2024高三?全國?專題練習）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明

顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

頻率頻率

組距組距

P40

40

0

3

O..O

6

^

S

3

0

3

4

.O

3

6

A

3

4

O.

.O

.O

-

----

----

---

-—

J--

0—

0.01

.........

2........

0.01

》

--I~

」…」

一」…

」一」

匕」…

.002

_0

II

II

II

~~

1-r

0.002

指標

0105

9510

90

8085

75

O70

標

130指

0125

512

011

0011

1001

O95

者

未患病

患病者

人判

C的

等于

小于或

性，

定為陽

的人判

于C

標大

該指

C,將

界值

定臨

需要確

準，

檢測標

定一個

指標制

利用該

為陽

判定

病者

未患

是將