重難點(diǎn)02相似三角形四種模型

明考情-知方向

2025年考向預(yù)測(cè)：解答題（必考題型）

重難點(diǎn)題型解讀

考向一："8"字模型

模型一：“8”字模型

模型展示：

8字一一平行型

條件：CDWAB,

結(jié)論：△以6?APC。（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面積相等;

四邊形26。為一般梯形.

D

條件：CD\\4B，PD=PC.

結(jié)論:△/^?△。。?△/女上下相似）

△PAAXPBC左右全等;

四邊形26。為等腰梯形；

8字一一不平行型

條件：4CDP:乙BAP.

結(jié)論：

A4Q6?△。2C（上下相似）；

ZL4PZ??"Pq左右相似）；

1.如圖，已知。是BC的中點(diǎn)，M是A。的中點(diǎn).求AN:NC的值.

A

2.（2024?安徽合肥?一模）已知：如圖，兩個(gè)AZMS和A￡BC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,

且點(diǎn)A、B、C在一條直線上，連接AE、ED,AE與BD交于點(diǎn)F.

DF

（2）若止=CE,求仁的值.

DD

3.（1）某學(xué)校"學(xué)習(xí)落實(shí)"數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目

如圖，在中，點(diǎn)。在線段BC上，回班。=30。，EIOAC=75。，A0=6，BO；C0=2：1,求AB的長(zhǎng)經(jīng)過

數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BDBiAC,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造財(cái)BD就可以解決問題（如圖2）

圖1

請(qǐng)回答：BADB°,AB

（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問題:

如圖3在四邊形ABC。中對(duì)角線47與B。相交于點(diǎn)。，4CEL4D,A0=也,SABC=SACB=75°,：。。=2：

1,求0C的長(zhǎng)

4.（2023?安徽合肥,模擬預(yù)測(cè)）在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,tanZABC^a,。是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,

C重合），連接AD,過點(diǎn)C作于點(diǎn)E,連接8E并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)尸.

⑴如圖1,當(dāng)。=1時(shí)，

①求證：ZECD<45°；

BECD

②求證:

EF~CF

（2）如圖2,若。是BC的中點(diǎn),求tan/CEF的值（用含。的代數(shù)式表示）.

考向二："A"字模型

模型二：“A”字模型

模型展示:

/、工eAAADAEDE

⑴如圖1,DE//BC<^/\ADE^=-=—

ADACDC

/、_LEADAEDE

⑵如圖2,AAED=ZB^AAADE^AACB^-^-^=—

ACADDC

ADACCD

⑶共邊共角模型，如圖3,NACD=Ng叢ADCs叢ACBR^F=~^

ACADDL

AA

A

圖3

1、如圖，已知BE,CD是△A3C的兩條高，連接OE,求.證：AADES^ACB.

2.如圖，在AABC中，點(diǎn)〃在線段6。上，ZBAD=75°fZCAD=30°,AD=2,

BD=2DC,求"1的長(zhǎng).

BD

3.一塊直角三角形木板的面積為l.Sn?,一條直角邊AB為1.5m,怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方

形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)說明哪位木匠的方法符合要求（加工損

耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

（甲）（乙）

4.（2022?合肥二模）已知：如圖，AABC中，ZACB=9Q°,CD為池邊上的高,NABC的平分線5石分

別交CD,AC于點(diǎn)P,E.

(1)求證：ACBFs^ABE；

(2)若AB=1O,BC=6,求ACS尸的面積;

^BC=AD,求笠的值.

AE

5.如圖，在蜘BC中，AB=AC,以AB為直徑作回。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作回。的切線0E交AC于點(diǎn)E,交陽(yáng)

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證;DESAC;

(2)若AB=10,BF=-,求AE的長(zhǎng).

3

考向三：“手拉手”旋轉(zhuǎn)型

模型三：“手拉手”旋轉(zhuǎn)型

模型展示

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對(duì)相似三角形.

1、如圖，。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，￡為△ABC外一點(diǎn)，且/ABC=NDBE,N3=/4.求證:

(l)AABDsACBE；

(2)AABCs^DBE.

2.（2021?安徽?二模）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小夢(mèng)進(jìn)行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC（SACB

=90°,AC=BC=13）^ADE（0AZ）E=9OO,AD=DE=5）的銳角頂點(diǎn)A重合，AD在AC邊上.

請(qǐng)完成下列探究：

（1）tanHABE的值為；

（2）將0AOE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為銳角），連接8E,當(dāng)C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，取線段

8E的中點(diǎn)M,線段。0的長(zhǎng)為.

A

3.（2023?亳州三模）如圖1,在A/幽和AACE中，ZBAD=Z.CAE,ZABD=ZACE.

圖1圖2

（1）①求證：AABC^AADE；

@^AB=AC,試判斷AADE的形狀，并說明理由；

（2）如圖2,旋轉(zhuǎn)AADE,使點(diǎn)D落在邊3c上，若NR4C=NZME=90。，ZB=ZADE.求證：CELBC.

4.（2024九年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1,VA5C和VADE均為等邊三角形，點(diǎn)B,D,

E在同一條直線上.填空：

①線段8。，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；

②NBEC=0.

（2）（類比探究）如圖2,VABC和VADE均為等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC=BC,AE=DE,

點(diǎn)8,D,E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段8。，CE之間的數(shù)量關(guān)系及/3EC的度數(shù)，并給出證明.

（3）（解決問題）如圖3,在VABC中，ZACB=90°,/A=30。，AB=5,點(diǎn)。在AB邊上，DE且AC于

點(diǎn)、E,AE=3,將VAZ汨繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OE所在直線經(jīng)過點(diǎn)8時(shí)，CE的長(zhǎng)是多少？（直接寫出答案）

圖1圖2圖3

考向四：“一線三等角”模型

模型四：“一線三等角”模型

模型展示：

(1)“三垂直”模型

如圖1,N6=N2=N/B=90°,則△4?叱/\期

(2)“一線三等角”模型

如圖2,/B=/ACE=/D,則△/及?！髀?/p>

特別地，連接AE,若C為初的中點(diǎn)，則△/龍s△ABCs△CDE.

1、如圖，AB±BC,DC±BC,E是BC上一點(diǎn),使得AE_LDE.

(1)求證.：AABEsAECD；

(2)若48=4,AE.=BC=5,求CD的長(zhǎng).

2、如圖，在△ABC中，AB^AC,點(diǎn)E在邊8C上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)8,C重合)，滿足/DEF=/B,且點(diǎn)

D,尸分別在邊A3,AC上.

(1)求證：4BDEsACEF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到2C的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分/DFC.

F

BC

E

3.某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識(shí)后，在等腰加8C中，其中

AB^AC,如圖1,進(jìn)行了如下操作：

第一步，以點(diǎn)4為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)E,F,如圖2；

第二步，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)。，作射線45

第三步，以。為圓心，DA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線4E于點(diǎn)G；

⑴填空；寫出回。\。與EIGAD的大小關(guān)系為—；

⑵①請(qǐng)判斷與BC的位置關(guān)系，并說明理由.

②當(dāng)A8=AC=6,8C=2時(shí)，連接DG,請(qǐng)直接寫出金名=—；

⑶如圖3,根據(jù)以上條件，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)/W為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM,PC,當(dāng)NCPM=NB

時(shí)，求4M的長(zhǎng).

4.(1)問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)/DPC=NA=/3=90。時(shí)，求證：ADBC^APBP.

(2)探究

若將90。角改為銳角或鈍角(如圖2),其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

(3)應(yīng)用

如圖3,在AABC中，AB=2近,48=45。，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰HAWE.點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E在

AC上，點(diǎn)F在BC上，且NEFD=45。，若CE=M,求CD的長(zhǎng).

5.(2022?磁山縣模擬)如圖1,在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，且AB=AC.尸是邊上一動(dòng)點(diǎn),

連接AF,DF,DF交AC于點(diǎn),E,其中NZM尸=90。，ZAFD=ZB.

(1)求證：ACEC=BFCF■,

(2)若AB=AC=10,3c=16.

①如圖2,若DF//AB,求旦的值；

AB

6.矩形AOBC中，OB=4,04=3.分別以。8、。4所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)

系.F是8c邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8、C重合).過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=8(k>0)的圖象與邊AC交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為;

(2)連接EF,求回FEC的正切值；

⑶如圖2,將回CE尸沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在邊0B上的點(diǎn)G處，求BG的長(zhǎng)度.

2Q

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線片-§/一2彳+］交x軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線

上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,連接BC交y軸于點(diǎn)D.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)P作PG取軸于G,點(diǎn)E在線段PG上，連接4E,過點(diǎn)E作E用AE

交線段0B于F,若EF=AE,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3線段PE的長(zhǎng)為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)”在線段0B上，連接CE、EH,若回C￡F=ME”，EH-CE=^AH,求點(diǎn)P的

3

坐標(biāo).

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：120分鐘）

1.（2024?安徽合肥?三模）如圖1,C為線段8E上一點(diǎn)，分別以BC,EC為底,在8E的同側(cè)作等腰VABC和

等腰ADCE且/ABC=/OCE.在線段AC上取一點(diǎn)F,使得AF=DC,連接即，AD.

（1）求證：AAB尸絲ACW；

⑵如圖2,延長(zhǎng)班■交AO于點(diǎn)G,若G是AD的中點(diǎn)，且AB=2,求CO的長(zhǎng).

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為。。的直徑，。為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線，切點(diǎn)為

C,過點(diǎn)B作8ELOC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BC.

（1）求證：BC平分NDBE；

⑵連接E。，交5c于點(diǎn)孔若BC="U，求。。的半徑.

3.(2024?安徽宣城?三模)如圖1,在VABC中，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為射線C4上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,

A重合)，分別過點(diǎn)A,C向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,連接DE,DF,ZDFE=30°.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在AD邊上時(shí)，求證：DE+AE=CF；

⑶如圖2,當(dāng)—ABC為鈍角，且點(diǎn)P在C4延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想。E,AE,C尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+6與反比例函數(shù)y=：(l>0)的

圖象相交于M(2,2),N兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且滿足NMPN=90。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.(2024?安徽六安?一模)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，80平分/ABC,交AC于點(diǎn)M.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：AD2=DMDB.

(2)如圖2,若AC經(jīng)過圓心。，且AB=4,BC=3,求的長(zhǎng).

6.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=af+x-6(a*0)與無軸交于點(diǎn)

A,B,與y軸交于點(diǎn)C,OB=；OC.

⑴求拋物線的解析式;

⑵已知點(diǎn)。在拋物線上，且在第二象限，連接8。交y軸于點(diǎn)E.

①若CE的長(zhǎng)為d,點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為f,求d與f的函數(shù)關(guān)系式；

②取30的中點(diǎn)R連接Ab,當(dāng)A尸〃3c時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

7.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知，如圖1,在RtZkABC,ZACB=90°,ZABC>60°,點(diǎn)。是AB的中

點(diǎn)，將線段AO繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。度，得DE,連接CE.

⑵如圖2,若夕=90。，求證：BC+0CE=AC;

⑶若a=120。，—=求tanZABC.

BC4

8.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))如圖①，四邊形A3C。中，ZABC=90°,ZBAC=30°,將AACD沿翻

折得到△"心，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,EF=BC=3,連接50,且3D=7.

圖①圖②

(1)求證：AE=AB-

⑵求DE的長(zhǎng)；

7

(3)如圖②，連接BE交AC于點(diǎn)交AD于點(diǎn)N,求證：MN=-DN.

9.(2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè))(1)已知：如圖1,在VABC和VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=NDAE,

若點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，連接CE.求證：DC=EC；

(2)已知：在VABC和VADE1中，AB=BC,AD=DE,NBAC=NDAE.

①如圖2.若點(diǎn)D在3C上，ADJ.BC,F是AC的中點(diǎn)，連接OF,EF.求證：DF=EF；

②如圖3,點(diǎn)。在AC上，且是AC的三等分點(diǎn)(CD<AD),若8=2,AE=3,求CE的長(zhǎng).

10.(2024?安徽合肥?三模)已知RtVABC中CD為斜邊A3上的高，過AC邊上的點(diǎn)E作跖〃BC交AD于

點(diǎn)、F.

(1)如圖1,求證：ZAFE=ZACD；

⑵如圖2,連接即并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若ZAED=NDBG,求證：EF=BG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，取ED上一點(diǎn)H,連接CH并延長(zhǎng)，交所的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接。M,延

長(zhǎng)DM交CG于點(diǎn)N,若NCMN=2NECM,AF=7,GW=18,求OF的長(zhǎng).

n.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖，在菱形ABCD中，E為邊C。的中點(diǎn)，連接AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，CG

平分工OCF交AF于點(diǎn)G,連接AC.

(1)如圖1,求NACG的大??；

⑵如圖1,證明：點(diǎn)G為線段AF的三等分點(diǎn);

⑶如圖2,連接BE交AC于點(diǎn)尸，若5c=5,BP=3,求AC的長(zhǎng).

12.(2024?安徽安慶?二模)如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,