山東臨沂市2025屆高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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山東臨沂市2025屆高三第一次階段考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[322.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.45.已知雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足以下條件:①雙曲線(xiàn)E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線(xiàn)E與過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).則雙曲線(xiàn)的離心率是()A. B. C. D.6.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.7.已知命題:是“直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.9.已知直線(xiàn):過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線(xiàn)平行,則雙曲線(xiàn)的方程為()A. B. C. D.10.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,則()A.85 B. C.35 D.11.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿(mǎn)足,且時(shí),,則()A.2 B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則________.14.某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,則該市的任意位申請(qǐng)人中,恰好有人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是______.(用數(shù)字作答)15.“北斗三號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行軌道的離心率為_(kāi)_________.16.已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長(zhǎng)/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).(1)試估計(jì)的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿(mǎn)足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí),燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì),在一場(chǎng)燈光展中,處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商;②若,則,,.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.(12分)在開(kāi)展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)如圖,在中,,,點(diǎn)在線(xiàn)段上.(1)若,求的長(zhǎng);(2)若,,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類(lèi)型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx2、C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)集.3、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.5、B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線(xiàn)的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),已知拋物線(xiàn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線(xiàn)的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,難度一般.6、B【解析】

畫(huà)出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€(xiàn),的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線(xiàn)性可行域的畫(huà)法,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

先由兩直線(xiàn)垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)即時(shí),取等號(hào),當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時(shí),滿(mǎn)足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.9、A【解析】

根據(jù)直線(xiàn):過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn),得,又和其中一條漸近線(xiàn)平行,得到,再求雙曲線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn):過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn),所以,所以,又和其中一條漸近線(xiàn)平行,所以,所以,,所以雙曲線(xiàn)方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.12、D【解析】

說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】

由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),,所以,,又,所以,即,由二項(xiàng)式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設(shè),,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理,屬于中檔題14、【解析】

基本事件總數(shù),恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,該市的任意5位申請(qǐng)人中,基本事件總數(shù),該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù):,該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】

畫(huà)出圖形,結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【詳解】如圖所示,設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為,半焦距為,因?yàn)榈厍虬霃綖镽,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì),列出方程組,求得的值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點(diǎn),即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,P為C上一點(diǎn)∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∴,∵PQ垂直l于點(diǎn)Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點(diǎn),∴,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)①,,②72【解析】

(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)的頻率,然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù),將此平均數(shù)除以(個(gè)小時(shí)),即可得到的估計(jì)值;(2)①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解;②先根據(jù)條件計(jì)算出的取值范圍,然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對(duì)稱(chēng)性,求解出在滿(mǎn)足取值范圍下對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】(1)平均時(shí)間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時(shí)間長(zhǎng)度為72分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長(zhǎng)度模型)、二項(xiàng)分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計(jì)算,屬于綜合性問(wèn)題,難度一般.(1)如果,則;(2)計(jì)算正態(tài)分布中的概率,一定要活用正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性對(duì)應(yīng)概率的對(duì)稱(chēng)性.18、(1)或(2)最小值為.【解析】

(1)討論,,三種情況,分別計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據(jù)函數(shù)圖像知:當(dāng)時(shí),,所以.因?yàn)?,由,可知,所以,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式,函數(shù)最值,均值不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于不等式,函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)首先可得,再面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,再由,即可得到線(xiàn)面垂直;(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線(xiàn),以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出線(xiàn)面角;【詳解】解:(1)∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線(xiàn),以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,∵,∴,,,,∴,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求線(xiàn)面角,屬于中檔題.20、(1),(2)【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.21、(1)28種;(2)分布見(jiàn)解析,.【解析】

(1)分這名女教師分別來(lái)自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3

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