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文檔簡介

山東臨沂市2025屆高三第一次階段考試數學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數f(x)=2x-3A.[32C.[322.已知集合,,則的真子集個數為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.已知i為虛數單位,則()A. B. C. D.4.已知等差數列的前項和為,若,則等差數列公差()A.2 B. C.3 D.45.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q,且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.6.設不等式組表示的平面區域為,若從圓:的內部隨機選取一點,則取自的概率為()A. B. C. D.7.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數為()A.1 B.2 C.3 D.48.定義運算,則函數的圖象是().A. B.C. D.9.已知直線:過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.已知是等差數列的前項和,,,則()A.85 B. C.35 D.11.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.12.已知函數是定義在上的奇函數,函數滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則________.14.某市公租房源位于、、三個小區,每位申請人只能申請其中一個小區的房子,申請其中任意一個小區的房子是等可能的,則該市的任意位申請人中,恰好有人申請小區房源的概率是______.(用數字作答)15.“北斗三號”衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛星運行軌道的離心率為__________.16.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨立.現統計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長(單位:),得到下面的頻數表:亮燈時長/頻數1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.(1)試估計的值;(2)設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數目.①求的數學期望和方差;②若隨機變量滿足,則認為.假設當時,燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計,在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時長(結果保留為整數).附:①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商;②若,則,,.18.(12分)設函數.(1)求不等式的解集;(2)若的最小值為,且,求的最小值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點、分別為,的中點,且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)在數列和等比數列中,,,.(1)求數列及的通項公式;(2)若,求數列的前n項和.21.(12分)在開展學習強國的活動中,某校高三數學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組,其中黨員學習組有4名男教師、1名女教師,非黨員學習組有2名男教師、2名女教師,高三數學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參加學校的挑戰答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數;(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數,求X的概率分布和數學期望.22.(10分)如圖,在中,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)若,,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據冪函數的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數y=2x-3解得x≥32且∴函數f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數的解析式,則構造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解;(3)若已知函數fx的定義域為a,b,則函數fgx2、C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個數.【詳解】由,解得或,∴中有兩個元素,因此它的真子集有3個.故選:C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題,解題時可先確定交集中集合的元素個數,解題關鍵是對集合元素的認識,本題中集合都是曲線上的點集.3、A【解析】

根據復數乘除運算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復數代數運算,屬于基礎題題.4、C【解析】

根據等差數列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5、B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F關于原點的對稱點;,,所以,,設,則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.6、B【解析】

畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應的圓心角,根據幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區域,如圖所示,因為直線,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎題.7、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復合命題的真假,可得出選項.【詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關于命題,函數,當時,,當即時,取等號,當時,函數沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數為1個.故選:A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用,以及復合命題的真假的判斷,注意運用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎題.8、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值,因此函數,只有選項中的圖象符合要求,故選A.9、A【解析】

根據直線:過雙曲線的一個焦點,得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因為直線:過雙曲線的一個焦點,所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.10、B【解析】

將已知條件轉化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設公差為,則,所以,,,.故選:B【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式的基本量計算,考查等差數列前項和的計算,屬于基礎題.11、C【解析】

結合正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.12、D【解析】

說明函數是周期函數,由周期性把自變量的值變小,再結合奇偶性計算函數值.【詳解】由知函數的周期為4,又是奇函數,,又,∴,∴.故選:D.【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】

由導函數的應用得:設,,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【點睛】本題考查了導函數的應用、二項式定理,屬于中檔題14、【解析】

基本事件總數,恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數,由此能求出該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個小區,每位申請人只能申請其中一個小區的房子,申請其中任意一個小區的房子是等可能的,該市的任意5位申請人中,基本事件總數,該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數:,該市的任意5位申請人中,恰好有2人申請小區房源的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.15、【解析】

畫出圖形,結合橢圓的定義和題設條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【詳解】如圖所示,設橢圓的長半軸為,半焦距為,因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質,列出方程組,求得的值是解答的關鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.16、2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點,即求.【詳解】不妨設點P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點∴,.∵M,N分別為PQ,PF的中點,∴,∵PQ垂直l于點Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點,∴,故答案為:2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①,,②72【解析】

(1)將每組數據的組中值乘以對應的頻率,然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數,將此平均數除以(個小時),即可得到的估計值;(2)①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解;②先根據條件計算出的取值范圍,然后根據并結合正態分布概率的對稱性,求解出在滿足取值范圍下對應的概率.【詳解】(1)平均時間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據頻數分布表求解平均數、幾何概型(長度模型)、二項分布的均值與方差、正態分布的概率計算,屬于綜合性問題,難度一般.(1)如果,則;(2)計算正態分布中的概率,一定要活用正態分布圖象的對稱性對應概率的對稱性.18、(1)或(2)最小值為.【解析】

(1)討論,,三種情況,分別計算得到答案.(2)計算得到,再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)當時,由,解得;當時,由,解得;當時,由,解得.所以所求不等式的解集為或.(2)根據函數圖像知:當時,,所以.因為,由,可知,所以,當且僅當,,時,等號成立.所以的最小值為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式,函數最值,均值不等式,意在考查學生對于不等式,函數知識的綜合應用.19、(1)見解析(2)【解析】

(1)首先可得,再面面垂直的性質可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過點做平面的垂線,以為原點,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點為的中點,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點,∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過點做平面的垂線,以為原點,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,∵,∴,,,,∴,,,設平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質定理的應用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.20、(1),(2)【解析】

(1)根據與可求得,再根據等比數列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設數列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點睛】本題主要考查了等比數列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.21、(1)28種;(2)分布見解析,.【解析】

(1)分這名女教師分別來自黨員學習組與非黨員學習組,可得恰好有一名女教師的選派方法數;(2)X的可能取值為,再求出X的每個取值的概率,可得X的概率分布和數學期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3

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