2025屆山東省臨沂市十九中高三數學試題5月最后一卷試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若的展開式中二項式系數和為256，則二項式展開式中有理項系數之和為（）A．85 B．84 C．57 D．562．如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．3．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．如圖所示的“數字塔”有以下規律：每一層最左與最右的數字均為2，除此之外每個數字均為其兩肩的數字之積，則該“數字塔”前10層的所有數字之積最接近（）A． B． C． D．6．若函數（其中，圖象的一個對稱中心為，，其相鄰一條對稱軸方程為，該對稱軸處所對應的函數值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象()A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7．已知為虛數單位，若復數滿足，則（）A． B． C． D．8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．849．函數的值域為（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．11．已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．12．已知偶函數在區間內單調遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，則_____，（的值為______．14．已知函數，若，則實數的取值范圍為__________．15．在數列中，，，曲線在點處的切線經過點，下列四個結論：①；②；③；④數列是等比數列；其中所有正確結論的編號是______.16．定義在上的奇函數滿足，并且當時，則___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為拋物線的焦點，，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若點在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當時，求點縱坐標的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量．20．（12分）對于給定的正整數k，若各項均不為0的數列滿足：對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”.（1）證明：等比數列是“數列”；（2）若數列既是“數列”又是“數列”，證明：數列是等比數列.21．（12分）已知函數.（Ⅰ）已知是的一個極值點，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關于的方程根的個數.22．（10分）設數列是公差不為零的等差數列，其前項和為，，若，，成等比數列．（1）求及；（2）設，設數列的前項和，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先求，再確定展開式中的有理項，最后求系數之和.【詳解】解：的展開式中二項式系數和為256故，要求展開式中的有理項，則則二項式展開式中有理項系數之和為：故選：A【點睛】考查二項式的二項式系數及展開式中有理項系數的確定，基礎題.2．A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數量積的運算性質、向量垂直與數量積的關系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3．D【解析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【詳解】解：，；．故選．【點睛】考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算．4．B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.5．A【解析】

結合所給數字特征，我們可將每層數字表示成2的指數的形式，觀察可知，每層指數的和成等比數列分布，結合等比數列前項和公式和對數恒等式即可求解【詳解】如圖，將數字塔中的數寫成指數形式，可發現其指數恰好構成“楊輝三角”，前10層的指數之和為，所以原數字塔中前10層所有數字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規律求解問題，邏輯推理，等比數列前項和公式應用，屬于中檔題6．B【解析】

由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再根據函數的圖象變換規律，誘導公式，得出結論．【詳解】根據已知函數其中，的圖象過點，，可得，，解得：．再根據五點法作圖可得，可得：，可得函數解析式為：故把的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故選B．【點睛】本題主要考查由函數的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數的圖象變換規律，誘導公式的應用，屬于中檔題．7．A【解析】分析：題設中復數滿足的等式可以化為，利用復數的四則運算可以求出.詳解：由題設有，故，故選A.點睛：本題考查復數的四則運算和復數概念中的共軛復數，屬于基礎題.8．B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.9．A【解析】

由計算出的取值范圍，利用正弦函數的基本性質可求得函數的值域.【詳解】，，，因此，函數的值域為.故選：A.【點睛】本題考查正弦型函數在區間上的值域的求解，解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.10．C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11．C【解析】

根據，兩邊平方，化簡得，再利用數量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量，滿足，且，所以，所以，所以，所以，所以與的夾角為.故選：C【點睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數量積運算，屬于基礎題.12．D【解析】

首先由函數為偶函數，可得函數在內單調遞增，再由，即可判定大小【詳解】因為偶函數在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【點睛】本題考查函數的奇偶性和單調性,不同類型的數比較大小,應找一個中間數,通過它實現大小關系的傳遞，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7201【解析】

利用二項展開式的通式可求出；令中的，得兩個式子，代入可得結果.【詳解】利用二項式系數公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用，考查賦值法，是基礎題.14．【解析】

畫圖分析可得函數是偶函數，且在上單調遞減，利用偶函數性質和單調性可解.【詳解】作出函數的圖如下所示，觀察可知，函數為偶函數，且在上單調遞增，在上單調遞減，故，故實數的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用函數奇偶性及單調性解不等式.函數奇偶性的常用結論：(1)如果函數是偶函數，那么．(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．15．①③④【解析】

先利用導數求得曲線在點處的切線方程，由此求得與的遞推關系式，進而證得數列是等比數列，由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵，∴曲線在點處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項為1，公比為的等比數列，從而，，.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為：①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據遞推關系式證明等比數列，考查等比數列通項公式和前項和公式，屬于基礎題.16．【解析】

根據所給表達式，結合奇函數性質，即可確定函數對稱軸及周期性，進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數對稱性可知關于對稱，且令，代入可得，由奇函數性質可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數，則當時，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了函數奇偶性與對稱性的綜合應用，周期函數的判斷及應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）由拋物線的性質，當軸時，最小；（2）設點，，分別代入拋物線方程和得到三個方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解：（1）由拋物線的標準方程，，根據拋物線的性質，當軸時，最小，最小值為，即為4.（2）由題意，設點，，其中，.則，①，②因為，，，所以.③由①②③，得，由，且，得，解不等式，得點縱坐標的范圍為.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質和二次方程的解的問題，考查運算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解.18．（1）；（2）【解析】

（1）分類討論去絕對值號，即可求解；（2）原不等式可轉化為在R上恒成立，分別求函數與的最小值，根據能同時成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當時,不等式可化為,得，無解；②當-2≤x≤1時,不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當x>1時,不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當時，又當時，取得最小值，且又所以當時，與同時取得最小值.所以所以，即實數的取值范圍為【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法，分類討論，函數的最值，屬于中檔題.19．矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.20．（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）由是等比數列，由等比數列的性質可得：即可證明.（2）既是“數列”又是“數列”，可得，，則對于任意都成立，則成等比數列，設公比為，驗證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數列，由等比數列的性質可得：等比數列是“數列”.（2）證明：既是“數列”又是“數列”，可得，（）（），（）可得：對于任意都成立，即成等比數列，即成等比數列，成等比數列，成等比數列，設，（）數列是“數列”時，由（）可得：時，由（）可得：，可得，同理可證成等比數列，數列是等比數列【點睛】本題是一道數列的新定義題目，考查了等比數列的性質、通項公式等基本知識，考查代數推理、轉化與化歸以及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力，屬于難題.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數的導數，利用x=2是f(x)的一個極值點，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結合導數的幾何意義進行求解即可；（Ⅱ）利用參數法分離法得到，構造函數求出函數的導數研究函數的單調性和最值，利用數形結合轉化為圖象交點個數進行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因為，則，因為是的一個極值點，所以，即，所以，因為，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因為，所以，所以，設，則，所以在上是增函數，在上是減函數，故，所以，所以，設，則，所以在上是減函數，上是增函數，所以，所以當時，，函數在