河北省省級示范高中聯合體2025年高考沖刺四數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學生的化學考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，2．已知，則，不可能滿足的關系是（）A． B． C． D．3．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．45．若復數是純虛數，則()A．3 B．5 C． D．6．已知復數滿足，則（）A． B．2 C．4 D．37．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1288．做拋擲一枚骰子的試驗，當出現1點或2點時，就說這次試驗成功，假設骰子是質地均勻的.則在3次這樣的試驗中成功次數X的期望為（）A．13 B．19．已知雙曲線，為坐標原點，、為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、、元）．甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（）A． B． C． D．11．設復數滿足，則（）A． B． C． D．12．若與互為共軛復數，則（）A．0 B．3 C．－1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．14．某高校組織學生辯論賽，六位評委為選手成績打出分數的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則所剩數據的平均數與中位數的差為______.15．根據如圖所示的偽代碼，若輸入的的值為2，則輸出的的值為____________.16．已知復數（為虛數單位），則的模為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.18．（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，底面，且，為的中點.（1）證明：；（2）設點是線段上的動點，當直線與直線所成的角最小時，求三棱錐的體積.19．（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設為直線上一點，且直線、的斜率的積為．證明：點在軸上．20．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數時，S是否為整數？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.21．（12分）已知函數，.（1）求函數的極值；（2）當時，求證：.22．（10分）已知函數的圖象向左平移后與函數圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數，求的單調遞增區間及圖象的對稱軸方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統計的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個，成績不小于60且小于80的有26個，故，．考點：程序框圖、莖葉圖．2、C【解析】

根據即可得出，，根據，，即可判斷出結果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數式和對數式的互化，對數的運算，以及基本不等式：和不等式的應用，屬于中檔題3、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據公理2對②進行判斷；根據空間角的定義對③進行判斷；根據空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數形結合思想，化歸與轉化思想.4、A【解析】

根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5、C【解析】

先由已知，求出，進一步可得，再利用復數模的運算即可【詳解】由z是純虛數，得且，所以，.因此，.故選：C.【點睛】本題考查復數的除法、復數模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.6、A【解析】

由復數除法求出，再由模的定義計算出模．【詳解】．故選：A．【點睛】本題考查復數的除法法則，考查復數模的運算，屬于基礎題．7、C【解析】

根據給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執行上述程序框圖，可得第1次循環，滿足判斷條件，；第2次循環，滿足判斷條件，；第3次循環，滿足判斷條件，；第4次循環，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、C【解析】

每一次成功的概率為p=26=【詳解】每一次成功的概率為p=26=13故選：C.【點睛】本題考查了二項分布求數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.9、D【解析】

根據，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉化為的關系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示：因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【點睛】本題考查根據雙曲線中的長度關系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.10、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得．【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為．故選：B．【點睛】本題考查獨立性事件的概率．掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎．11、D【解析】

根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.12、C【解析】

計算，由共軛復數的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數的運算，共軛復數的概念.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數，再求出滿足的事件數，根據古典概型公式求出結果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數.14、【解析】

先根據莖葉圖求出平均數和中位數，然后可得結果.【詳解】剩下的四個數為83，85，87，95，且這四個數的平均數，這四個數的中位數為，則所剩數據的平均數與中位數的差為.【點睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統計量的計算，側重考查數據分析和數學運算的核心素養.15、【解析】

滿足條件執行，否則執行.【詳解】本題實質是求分段函數在處的函數值，當時，.故答案為：1【點睛】本題考查條件語句的應用，此類題要做到讀懂算法語句，本題是一道容易題.16、【解析】，所以．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）要證明，只需證明平面即可；（2）以C為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法求，并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】（1）連結AC、AE，由已知，四邊形ABCE為正方形，則①，因為底面，則②，由①②知平面，所以.（2）以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設，，則，所以，設，則，所以當，即時，取最大值，從而取最小值，即直線與直線所成的角最小，此時，則，因為，，則平面，從而M到平面的距離，所以.【點睛】本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計算、換元法求函數最值以及等體積法求三棱錐的體積，考查的內容較多，計算量較大，解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標，是一道中檔題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設點，可得，且，，求出直線的斜率，進而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯立，求出點的坐標，即可證得結論.【詳解】（1）由題設，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設，則，，．所以直線的斜率為，因為直線、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯立，解得點的縱坐標為．因為點在橢圓上，所以，則，所以點在軸上．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.20、（1）（2）當G點橫坐標為整數時，S不是整數．【解析】

（1）先求解導數，得出切線方程，聯立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設，因為p是質數，且為整數，所以或，當時，，是無理數，不符題意，當時，，因為當時，，即是無理數，所以不符題意，當時，是無理數，不符題意，綜上，當G點橫坐標為整數時，S不是整數．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線中的切線問題通常借助導數來求解，四邊形的面積問題一般轉化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.21、(1)的極小值為，無極大值.（2）見解析.【解析】

（1）對求導，確定函數單調性，得到函數極值.（2）構造函數，證明恒成立，得到，，得證.【詳解】（1）由題意知，，令，得，令，得.則在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）當時，要證，即證.令，則，令，得，令，得，則在上單調遞減，在上