2025屆安徽省安慶五校聯(lián)盟高三畢業(yè)考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．142．設非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．5．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知集合,，則A． B．C． D．7．已知當，，時，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定8．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．10．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．11．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，則＝_______．14．已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.15．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，則S10=_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當時，求證：.19．（12分）已知分別是的內(nèi)角的對邊，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面積．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的值．20．（12分）已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：于不同的兩點M，N（其中M在N的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.21．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．22．（10分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎題.2、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．3、C【解析】

將圓，化為標準方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標準方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4、D【解析】由復數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項.5、B【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.6、D【解析】

因為,,所以,,故選D．7、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用得：設，求得可得為增函數(shù)，又，，時，根據(jù)條件得，即可得結(jié)果．【詳解】解：設，則，即為增函數(shù)，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導數(shù)的應用，屬中檔題．8、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點，故與在時的圖象必有兩個交點，故只需與在時的圖象有兩個交點，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可，即，當設切點，則，.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.9、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.10、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進而得到結(jié)果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得，，當時，，因為，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用、冪、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先把復數(shù)進行化簡，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點睛】本題主要考查復數(shù)模的求解，利用復數(shù)的運算把復數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).14、8【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.15、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.16、55【解析】

由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題意，當n=1時，，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，，即，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）證明后可得平面，從而得，結(jié)合已知得線面垂直；（2）以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因為，為中點，所以，又，，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面.（2）由已知及（1）可知，，兩兩垂直，所以以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，則，，，，，.設平面的法向量，則，即，令，則；設平面的法向量，則，即，令，則，所以.故銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直，解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化．考查求二面角，求空間角一般是建立空間直角坐標系，用向量法易得結(jié)論．18、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)的導函數(shù)進行分類討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當時，，所以在上單調(diào)遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.【點睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）由已知結(jié)合正弦定理先進行代換，然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后結(jié)合三角形的面積公式可求；（Ⅲ）結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）因為，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因為，所以；（Ⅲ）由于，．所以．【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在，設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯(lián)立直線方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得，利用弦長公式及點到直線的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解：（Ⅰ）可得，結(jié)合，解得，，，得橢圓方程；（Ⅱ）易知直線的斜率k存在，設：，由，得，由，得，∵，設點O到直線：的距離為d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，則，四邊形的面積當且僅當，即時取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點睛】本題考查了由求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于難題.21、（1）當時，直線l方程為x＝－1；當時，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數(shù)即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，根據(jù)條件Δ＝0，即可求解.【詳解】(1)當時，直線l的普通方程為x＝－1；當時，消去參數(shù)得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cos