第1章直角三角形的邊角關系（壓軸題專練）目錄：題型1：解直角三角形有關的動態問題題型2：解直角三角形有關的綜合判斷問題題型3：解直角三角形在相似三角形中的應用題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應用題型5：解直角三角形在平面直角坐標系中的應用題型1：解直角三角形有關的動態問題1．如圖，中，，，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉，當點的對應點恰好落在的邊所在的直線上時，線段的長為．

【答案】或或【分析】分四種情況討論．①如圖，當點落在上時，由旋轉性質可得，在中，，，根據銳角三角函數可得；②如圖，當點落在上時，過點作于點，過點作于點，在中，可得，，由旋轉性質可得，，證明，則，設，可得，，根據平行四邊形的性質可得，則，即，解得，得到點與點重合，則；③當點落在上時，如圖，過點作于點，四邊形是矩形，可得，由旋轉性質可得，，得到，再利用勾股定理可得結論；④當點落在上時，過點作于點，由旋轉性質可得，，得到，根據銳角三角函數可得，解得，則，得到，繼而推出點在線段的延長線上，可得結論．【解析】解：①當點落在上時，如圖，∵線段繞點順時針旋轉，點的對應點為點，∴，∴，在中，，，∴；

②當點落在上時，如圖，過點作于點，過點作于點，∴，∴，∵線段繞點順時針旋轉，點的對應點為點，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，，，∴，，∴，設，∴，，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，∴點與點重合，∴；

③當點落在上時，如圖，過點作于點，過點作于點，∴，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵線段繞點順時針旋轉，點的對應點為點，∴，，∴，∴；

④當點落在上時，過點作于點，∴，∵線段繞點順時針旋轉，點的對應點為點，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴點在線段的延長線上，不符合題意；綜上所述，的長為或或．故答案為：或或．

【點睛】本題是旋轉變換綜合題，考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，銳角三角函數，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形三線合一性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，運用了分類討論的思想．掌握旋轉的性質，解直角三角形是解題的關鍵．2．如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊得到，連接.若于點，，則的長為．

【答案】【分析】取中點，連接，取中點，連接，作于點．設，由折疊可知則，得到，從而推導出，由三角形中位線定理得到，從而推導出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．【解析】解：取中點，連接，取中點，連接，作于點．∵，為的中點，∴，，．∵點是的中點，∴是的中位線，∴，則于點，

設，由折疊可知則，∵，∴，，又由折疊得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴，，∴，由折疊知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質等，解答本題的關鍵是設邊長，根據勾股定理列方程求解．3．如圖，將邊長為的等邊折疊，折痕為，點B與點F重合，和分別交于點M、N，，垂足為D，，則重疊部分的面積為．

【答案】【分析】過點E作于點G，根據等邊三角形性質得出，，根據折疊得出，，求出，，根據得出答案即可．【解析】解：過點E作于點G，如圖所示：

∴，∵為等邊三角形，∴，，根據折疊可知，，，∵，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴∴，在中，∵，∴，∴，設，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，三角形內角和定理，折疊的性質，三角形面積的計算，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，數形結合．4．已知等腰，．現將以點B為旋轉中心旋轉45°，得到，延長交直線于點D．則的長度為．【答案】或【分析】分兩種情況：①當繞點B逆時針旋轉得到，過點B作于D，作的垂直平分線交于H，交于F，連接，先求出，再求出，，進而得，，據此可求得的長；②當繞點B順時針旋轉45°得到，過點D作于M，作的垂直平分線交于Q，先求出，設，則，，進而可求得，，據此可求出x，進而可求得的長．【解析】解：∵將繞點B旋轉得到，∴有以下兩種情況：①當繞點B逆時針旋轉得到，過點B作于E，作的垂直平分線交于H，交于F，連接，∵為等腰三角形，，∴，∴，由旋轉的性質得：，∴，又∵，即，∴.在中，，∴，∴，由勾股定理得：，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故：，由勾股定理得：，∴；②當繞點B順時針旋轉45°得到，過點D作于M，作的垂直平分線交于Q，由旋轉的性質得：，，∴，∵，∴，在中，，設，則，由勾股定理得：，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴，

即．綜上所述：的長度為或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉變換及性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理等，解答此題的關鍵是理解題意，熟練掌握圖形的旋轉變換，理解在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，分類討論是解答此題的難點，漏解是解答此題的易錯點之一．5．如圖，在菱形中，，、分別在邊、上，將四邊形沿翻折，使的對應線段經過頂點，延長交于點，當時，的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質得出，，由垂直定義及同角的余角相等可得，利用折疊的性質，得出，可設，則，，，，由，設，則，，求得，進而得到，，從而可得答案．【解析】解：菱形，，，，，，，，，，，由折疊的性質可知，，，，，，，即，由折疊可知，，，，設，則，由勾股定理得：，，，，，，設，則，由勾股定理得：，，解得，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質，解直角三角形，勾股定理，菱形的性質，正確表示出和的長是解題關鍵．題型2：解直角三角形有關的綜合判斷問題6．如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點，在上截取，連接，分別交，于點，，點是線段上的動點，于點，連接．下列結論：①；②；③；④的最小值是，其中所正結論的序號是

【答案】①②④【分析】先根據定理證出，從而可得，再根據角的和差即可判斷結論①；根據等腰三角形的性質可得，然后根據線段的和差、等量代換即可判斷結論②；先根據正方形的性質可得，再根據可得，求解，由此即可判斷結論③；過點作于點，連接，先根據角平分線的性質可得，再根據兩點之間線段最短、垂線段最短可得當時，取得最小值，然后解直角三角形即可得判斷結論④．【解析】解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，即，結論①正確；平分，，，，，，，，，結論②正確；，，∴，∴，即，故結論③錯誤；如圖，過點作于點，連接，

平分，，，，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取得最小值，由垂線段最短得：當時，取得最小值，此時在中，，即的最小值是，結論④正確；綜上，所有正確結論的序號是①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、解直角三角形等知識點，較難的是④，利用兩點之間線段最短、垂線段最短得出當時，取最小值是解題關鍵．7．如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，交于M點，交于N點．下列結論：①；②若F是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結論的序號是（把你認為所有正確的都填上）．

【答案】①③/③①【分析】將繞點A逆時針旋轉得到，連接，可得，根據正方形的性質證明，在中，由勾股定理，即可證明①；過A作，交延長線于G，由（1）同理可得，，設，則可表示出設，在中，由勾股定理可得，設，則，即可證明②；根據條件可證明，進而證明，即可證明③．【解析】解：①將繞點A逆時針旋轉得到，連接，

∵，∴，∵繞點A逆時針旋轉得到，∴，，又∵，∴，∴，而，在中，，∴，故①正確；②過A作，交延長線于G，如圖：

由（1）同理可得，，∴，設，∵F是的中點，則，在中，，∴，解得，設，則，∴，在中，，∴，故②不正確；③∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，故③正確，故答案為：①③．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識的綜合應用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解決此類題的關鍵．8．將一張正方形紙片對折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點，將沿所在的直線折疊，使得點C落在折痕上的點F處，連接，，，則得下列結論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】①由折疊的性質和線段垂直平分線的性質得出是等邊三角形，①正確；②設，則，求出，再求出即可得出②正確；③分別求出的面積和正方形的面積得出③錯誤；④證明得出④正確；即可得出結論．【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，，，由折疊的性質得：垂直平分，，，，，，∴，∴，即是等邊三角形，①正確；設，則，∵是等邊三角形，∴，，，∴，∴，②正確；∵的面積，正方形的面積，∴，③錯誤；∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，④正確；故選A．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，三角函數等知識，證明是解決問題的關鍵．9．如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結論中，正確的個數為（

）①；②；③當時，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①根據題意可得，則，即，又,即可判斷①；②設正方形的邊長為，根據勾股定理求得，證明，根據相似三角形的性質求得，進而求得，即可判斷②；過點分別作的垂線，垂足分別為，根據②的結論求得，勾股定理求得，即可判斷③．【解析】∵四邊形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正確；設正方形的邊長為，∵點為邊的中點，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正確；∵，∴,如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，

又∵，∴四邊形是矩形，∵是的角平分線，∴，∴四邊形是正方形，∴∵∴設，則在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，的平分線交于點，于點，交于點，連接，．下列結論：①；②四邊形是菱形；③；④．上述結論中正確的序號是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】②證明得出，，證明得出，，可得四邊形是菱形，即可判斷②；證明是等腰直角三角形，可得，設，則，進而求得，即可判斷③；連接，根據為的中點，可得，根據得出，進而判斷④,①根據角平分線的性質得到，而＞，求得＞，根據三角函數的定義得到，故①錯誤．【解析】②在中，，∴，∵平分，∴∴∵∴，∴∴∵∴又∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，又∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故②正確；③∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴設，則∴∴，故③正確；④連接，∵在中，，，∴，

∵和等底同高，∴，∵∴，∴，∴，故④正確．①∵四邊形是菱形，∴∵，∴，即又∵，即∵是的角平分線，∴，而＞，∴＞，∴，故①錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了正切的定義，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，全等三角形的性質與判定，菱形的判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．題型3：解直角三角形在相似三角形中的應用11．如圖，是等邊三角形，射線在右側，，點B、E關于直線對稱，連接、，且交射線于點D，連接并延長交射線于點F．

(1)當時，求的度數；(2)當時，延長到G，使（如圖2），隨著m的變化，判斷的形狀是否變化，并說明理由；(3)在m變化過程中，若，，求線段的長．【答案】(1)(2)形狀不變，等邊三角形，理由見解析(3)【分析】（1）根據垂直平分線的性質可得，，再根據等邊三角形的性質，，從而求得，，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可得，再將代入求解即可；（2）由（1）得，，則，從而可得，可證，可得，，從而可得，再根據等邊三角形的判定即可得出結論；（3）過點A作于點H，利用銳角三角函數求得，，再利用勾股定理求得，再利用銳角三角函數即可求解．【解析】（1）解：∵點B、E關于直線對稱，∴垂直平分，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴當時，；（2）解：形狀不變，等邊三角形，理由如下：由（1）得，，則，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，在中，，，∴是等邊三角形，形狀不變；

（3）解：過點A作于點H，由（2）可得，，∵，∴，，又∵，∴，在中，，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查軸對稱的性質、線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質及勾股定理、全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．12．如圖，在等腰中，，點是射線上的一點，聯結，以為底邊作等腰，使得，聯結．

(1)求邊的長；(2)當點在線段上時，記線段的長為，的面積為，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；(3)當取何值時，是直角三角形．【答案】(1)12(2)(3)或20【分析】（1）如圖1中，過作于，解直角三角形求出，再利用等腰三角形的性質即可解決問題；（2）首先證明，利用相似三角形的性質求出（用表示），即可解決問題；（3）分兩種情形和．分別求解即可解決問題；【解析】（1）解：如圖1中，過作于F，則，設，，；（2）如圖1中，設交于點．

∵，，，∴，，，，，，（3）當時，，如圖2中，當時，作于．綜上所述，滿足條件的的值為或20．

【點睛】本題屬于相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題13．如圖1，已知線段，，線段繞點A在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數量關系是；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當時，求此時的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）證明，根據相似三角形的性質得出，，進而證明，根據相似三角形的性質即可求解；（2）求出，延長交于點F，在中，由直角三角形的性質求得，，進而求得的長，根據（1）的結論，得出，在中，勾股定理求得，進而根據，即可求出案．（3）如圖所示，以為邊在上方作，，連接，，同（1）可得，得到求出的長，含30度角的直角三角形的性質，求出的長，根據相似三角形的對應角相等，得到，利用正切的定義即可得出答案．【解析】（1）解：在中，，在中，，，∴，，∴，∴，．∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：在，，，，∴，，延長交于點F，如圖所示，

∵，∴，∴，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，即；（3）如圖所示，以為邊在上方作，使，則：，

同（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，銳角三角函數的定義，熟練掌握解直角三角形及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．14．在中，已知，作，D是上一點，，連接、，在上截取，連接．(1)如圖1所示，若，，求的周長；(2)如圖2所示，若分別取、的中點N、H，連接、，求證：；(3)如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點P，N為中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）如圖，過作于，證明，求解，可得，，再證明，，證明，，可得，從而可得答案；（2）如圖，連接，，，由（1）同理可得：，證明，是的垂直平分線，在的垂直平分線上，，，共線，再證明，，為等邊三角形，可得；（3）如圖，為定點，當且在的左側時，最短，證明，，，共線，為等腰直角三角形，可得，求解，可得，設，同理可得：，，再建立方程，求解x從而可得答案．【解析】（1）解：如圖，過作于，∵，，∴，∵，而，∴，，∴，，∵，，，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴的周長為：；（2）如圖，連接，，，由（1）同理可得：，∵，，∴，是的垂直平分線，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴設，，∴在的垂直平分線上，∵，為的中點，∴，是的垂直平分線，∴，，共線，∴，同理：，∴，，∴，∵、的中點為N、H，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；（3）如圖，為定點，當且在的左側時，最短，由（1）（2）同理可得：，，，，，共線，∵，關于直線對稱，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，結合對稱可得：，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，，，∴，∵，∴，∴，設，同理可得：，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的性質，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質，軸對稱的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的中位線的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，解直角三角形，本題難度較大，考查的知識點多，靈活應用各知識點，作出適當的輔助線是解本題的關鍵．題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應用15．是菱形邊上一點，是等腰三角形，，（），，交邊于點，，連接．

(1)如圖，當時，①求的度數；②若，，請直接寫出的長；(2)如圖，當時，若，，求的面積．【答案】(1)；；(2)．【分析】（）如圖，過點作于點，證明，得，即可；延長至，使，連接，，證明，設，則，，在中，根據勾股定理，得，再代入計算即可；（）如圖，連接，先證明，得，過點作于點，交邊于點，過點作于點，由，根據三角形相似對應邊成比例即可求得．【解析】（1））如圖，過點作于點，則，

∵，∴菱形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；由①中結論：是等腰直角三角形，則，∴，如圖所示，延長至，使，連接，，

∵菱形是正方形，∴，，∴，∴，，∵是等腰三角形，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，，在中，∴，解得，即，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故的長為；（2）如圖，連接，

∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如圖，過點作于點，過點作于點，交邊于點，過點作于點，則，∴四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∵，，∴，∵∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，解得，同理可得，∴，解得，∴，∴的面積．【點睛】此題考查了菱形的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合運用以上知識點，作出正確的輔助線是解題的關鍵．16．用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動點（點不與點和點重合），在射線上取一點，連接，，使．操作探究一

(1)如圖1，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，則，操作探究二(2)如圖2，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，探索與的數量關系，并說明理由；拓展遷移(3)在菱形中，，．若點在直線上，點在射線上，且當時，請直接寫出的長．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)的長度為或【分析】（1）證明得到，，從而得到，推出為等腰直角三角形，最后根據等腰直角三角形的性質即可得到答案；（2）證明得到，，從而得到，作交于，則，，根據含角的性質及勾股定理得出，從而得到；（3）當時，點和點重合，再分兩種情況：當點在線段的延長線時，過點作于點；當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點；利用等腰直角三角形的性質以及銳角三角形函數進行計算即可得到答案．【解析】（1）解：四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：，；（2）解：，理由如下：四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，，，，，，，如圖，作交于，則，，

在中，，，，，；（3）解：當時，點和點重合，如圖，當點在線段的延長線時，過點作于點，

設，，，為等腰直角三角形，，四邊形是菱形，，，，，，由菱形的對稱性及可得，在中，，，，，，，；如圖，當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點，

設，同①可得：，，，，，綜上所述，的長度為或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、菱形的性質、正方形的性質、銳角三角函數、含角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．17．綜合與實踐【問題情境】在數學活動課上，同學們以“折疊矩形”為主題開展數學活動．已知，在矩形中，，，點P是邊上一點，將沿直線折疊，點A的對應點為點．

【操作發現】操作一：如圖①，當點P與點B重合時，過點作，交于點，連接，試判定四邊形的形狀，并說明理由；操作二：如圖②，當點落在邊上時，______；操作三：如圖③，當點為中點時，延長交于點，連接，則______．【答案】操作一：菱形，理由見詳解操作二：操作三：【分析】操作一：由折疊的性質可得，，結合平行線的性質可得，易得，即可證明，即可證明四邊形為平行四邊形，再根據“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”即可證明四邊形為菱形；操作二：由折疊的性質可得，，，在中，由勾股定理可解得，易得，設，則，在中，由勾股定理列式求解即可獲得答案；操作三：結合矩形的性質和折疊的性質，證明，由全等三角形的性質可得，設，則，，在中，由勾股定理可解得，在中，可求得的值．【解析】解：操作一：四邊形的形狀為菱形，理由如下：根據題意，將沿直線折疊，點A的對應點為點，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形；操作二：∵四邊形為矩形，，，∴，，，由折疊的性質可得，，，∴在中，，∴，設，則，∴在中，，即，解得，∴．故答案為：；操作三：∵四邊形為矩形，，，∴，，，∵點為中點，∴，由折疊的性質可得，，，，∴，，在和中，，∴，∴，設，則，，∴在中，可有，即，解得，，∴在中，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三角函數等知識，熟練掌握矩形的性質和折疊的性質是解題關鍵．18．平移，翻折和旋轉是幾種重要的幾何變換方法，它們可以通過改變圖形的位置，使分散的條件集中，從而便于問題解決．

(1)知識理解：如圖1，中，，，將向右平移，使B與C重合，得，連接，則四邊形是形；(2)問題探究：如圖2，E是正方形的邊的中點，F是延長線上的點，，若，直接寫出正方形的邊長；（不用書寫解答過程，但需在圖中作出必要的輔助線）(3)拓展應用：中，，，，延長至E，使，作，與交于G，當時，求的值．【答案】(1)正方(2)6(3)【分析】（1）由題意易得四邊形是矩形，然后根據正方形的判定定理可進行求證；（2）過點F作于點H，然后由題意易得，則有，設，則，然后可建立方程進行求解；（3）作平分，交于點D，過點D作于點J，則有，然后可得，設，則有，，進而根據相似三角形的性質可建立方程進行求解．【解析】（1）解：四邊形是正方形，理由如下：由向右平移，使B與C重合，得，可知：，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形；故答案為正方；（2）解：過點F作于點H，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，∵E是正方形的邊的中點，∴，∴，∴在中，，即，∵，∴是等腰直角三角形，∴，設，則，，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得，解得：（負根舍去），∴，即正方形的邊長為6；（3）解：作平分，交于點D，過點D作于點J，如圖所示：

∵，∴，∵，，平分，∴，∵，∴，∴，設，則有，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，即，，∵，∴，整理得：，解得：，由題可知只有符合題意，∴，∴．【點睛】本題主要考查平移的性質、正方形的性質與判定、勾股定理、相似三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握平移的性質、正方形的性質與判定、勾股定理、相似三角形的性質與判定及三角函數是解題的關鍵．題型5：解直角三角形在平面直角坐標系中的應用19．把兩個等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標系中，已知，，，．將繞點順時針旋轉．

(1)當旋轉至如圖1所示的位置時，若點的縱坐標為2，求旋轉角的值；(2)如圖2，當三點在一條直線上時．①求證：；②求的長；(3)當旋轉至的度數最大時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)①見解析；②(3)【分析】（1）過點作于點，由題意可得，從而得到，即可得到答案；（2）①由等腰直角三角形的性質可得，，從而得到，即可得證；②過點作于點，由全等三角形的性質可得，由等腰直角三角形的性質及勾股定理可得，，，，從而即可得到答案；（3）當時，的度數最大，此時，過點作于點，過點作軸于點，證明即可得到答案．【解析】（1）解：如圖1，過點作于點，

，由已知得，點的縱坐標為2，，∵，，∴旋轉角的值為；（2）①證明：是等腰直角三角形，，，，，；②如圖2，過點作于點，

，，，在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：6，當時，的度數最大，此時，如圖3，過點作于點，過點作軸于點，

，，，，，，∵，，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、正弦的定義等知識，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解題的關鍵．20．在平面直角坐標系中，O為原點，點，點，把繞點A逆時針旋轉，得，點B，O旋轉后的對應點為，，記旋轉角為α．(1)如圖1，若，連接，求的長度；(2)如圖2，若，求的坐標并直接寫出的坐標；(3)在（2）的條件下，邊上的一點P旋轉后的對應點為，請直接寫出的最小值和此時點P的坐標．【答案】(1)5(2)點；(3