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文檔簡介
甘肅省武威市民勤一中2025屆高三第五次適應性訓練數學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復數滿足(是虛數單位),則()A. B. C. D.2.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機變量服從正態分布(),若,則D.設是實數,“”是“”的充分不必要條件3.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.4.已知,則的大小關系為()A. B. C. D.5.函數的最大值為,最小正周期為,則有序數對為()A. B. C. D.6.以下關于的命題,正確的是A.函數在區間上單調遞增B.直線需是函數圖象的一條對稱軸C.點是函數圖象的一個對稱中心D.將函數圖象向左平移需個單位,可得到的圖象7.根據最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關系數為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關8.設是定義在實數集上的函數,滿足條件是偶函數,且當時,,則,,的大小關系是()A. B. C. D.9.已知等差數列的前項和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.3610.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題;“三百七十八里關,初行健步不為難,次后腳痛遞減半,六朝才得到其關,要見每朝行里數,請公仔細算相還.”其意思為:“有一個人走了378里路,第一天健步走行,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達目的地,求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里11.設i是虛數單位,若復數是純虛數,則a的值為()A. B.3 C.1 D.12.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若在上單調遞減,則的取值范圍是_______14.數列的前項和為,則數列的前項和_____.15.設雙曲線的左焦點為,過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于,兩點若,則的離心率為________.16.設定義域為的函數滿足,則不等式的解集為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數方程是是參數),若直線與圓相切,求實數的值.18.(12分)如圖,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分別為,,的中點,以為折痕將折起,使點到達點位置(平面).(1)若為直線上任意一點,證明:MH∥平面;(2)若直線與直線所成角為,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大小;(2)求點到平面的距離.20.(12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點F到準線的距離為3,拋物線E上的兩個動點A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.21.(12分)已知函數.(1)求函數的單調區間;(2)當時,如果方程有兩個不等實根,求實數t的取值范圍,并證明.22.(10分)已知點P在拋物線上,且點P的橫坐標為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點,且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準線與y軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
利用復數乘法運算化簡,由此求得.【詳解】依題意,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算,考查復數模的計算,屬于基礎題.2、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態分布的性質可判斷選項C;或,利用集合間的包含關系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關的命題、正態分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.3、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質,考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題.4、A【解析】
根據指數函數的單調性,可得,再利用對數函數的單調性,將與對比,即可求出結論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數性質比較大小,注意與特殊數的對比,屬于基礎題..5、B【解析】函數(為輔助角)∴函數的最大值為,最小正周期為故選B6、D【解析】
利用輔助角公式化簡函數得到,再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項,函數先增后減,錯誤B選項,不是函數對稱軸,錯誤C選項,,不是對稱中心,錯誤D選項,圖象向左平移需個單位得到,正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數的單調性,對稱軸,對稱中心,平移,意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用,其中化簡三角函數是解題的關鍵.7、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數據中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關系數為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關系數r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應從左到右是上升的,則變量x與y正相關,故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數,∴f(-x+1)=f(x+1),即函數f(x)關于x=1對稱.
∵當x≥1時,為減函數,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故選C9、D【解析】
由等差數列的性質可知,進而代入等差數列的前項和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點睛】本題考查等差數列的性質,考查等差數列的前項和.10、C【解析】
設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數列,由題意得,求出(里,由此能求出該人第四天走的路程.【詳解】設第一天走里,則是以為首項,以為公比的等比數列,由題意得:,解得(里,(里.故選:C.【點睛】本題考查等比數列的某一項的求法,考查等比數列等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數與方程思想,是基礎題.11、D【解析】
整理復數為的形式,由復數為純虛數可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數,所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復數的類型求參數范圍,考查復數的除法運算.12、A【解析】
由兩圓相外切,得出,結合二次函數的性質,即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以,即當時,取最大值故選:A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得導數在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當時,顯然,符合題意;當時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性,屬于中檔題.14、【解析】
解:兩式作差,得,經過檢驗得出數列的通項公式,進而求得的通項公式,裂項相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡得,檢驗:當n=1時,,所以數列是以2為首項,2為公比的等比數列;,,令故填:.【點睛】本題考查求數列的通項公式,裂項相消求數列的前n項和,解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論,側重考查運算能力.15、【解析】
設直線的方程為,與聯立得到A點坐標,由得,,代入可得,即得解.【詳解】由題意,直線的方程為,與聯立得,,由得,,從而,即,從而離心率.故答案為:【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據條件構造函數F(x),求函數的導數,利用函數的單調性即可得到結論.【詳解】設F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數F(x)在定義域上單調遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷和應用,根據條件構造函數是解決本題的關鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
將圓的極坐標方程化為直角坐標方程,直線的參數方程化為普通方程,再根據直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求實數的值.【詳解】由,得,,即圓的方程為,又由消,得,直線與圓相切,,.【點睛】本題重點考查方程的互化,考查直線與圓的位置關系,解題的關鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據中位線證明平面平面,即可證明MH∥平面;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標系,找到點的坐標代入公式即可計算二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接,∵,,分別為,,的中點,∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)連接,在和中,由余弦定理可得,,由與互補,,,可解得,于是,∴,,∵,直線與直線所成角為,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵為中點,,∴平面,如圖所示,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,則,,,,.設平面的法向量為,∴,即.令,則,,可得平面的一個法向量為.又平面的一個法向量為,∴,∴二面角的余弦值為.【點睛】此題考查線面平行,建系通過坐標求二面角等知識點,屬于一般性題目.19、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉化為異面直線與直線所成的角的大??;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學生的數學建模以及數學運算能力.20、(1)y2=6x(2).【解析】
(1)根據拋物線定義,寫出焦點坐標和準線方程,列方程即可得解;(2)根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E:y2=2px(p>0),焦點F(,0)到準線x的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為y2=6x;(2)設線段AB的中點為M(x0,y0),則,y0,kAB,則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一個解,所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點,且點C(5,0),由①可得直線AB的方程為y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由題意y1,y2是方程③的兩個實根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到線段AB的距離h=|CM|,所以S△ABC|AB|h?,當且僅當9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)時等號成立,所以S△ABC的最大值為.【點睛】此題考查根據焦點和準線關系求拋物線方程,根據直線與拋物線位置關系求解三角形面積的最值,表示三角形的面積關系常涉及韋達定理整體代入,拋物線中需要考慮設點坐標的技巧,處理最值問題常用函數單調性求解或均值不等式求最值.21、(1)當時,的單調遞增區間是,單調遞減區間是;當時,的單調遞增區間是,單調遞減區間是;(2),證明見解析.【解析】
(1)求出,對分類討論,分別求出的解,即可得出結論;(2)由(1)得出有兩解時的范圍,以及關系,將,等價轉化為證明,不妨設,令,則,即證,構造函
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