2025屆湖北省公安縣第三中學高三下學期5月模擬考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知等差數列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．63．已知定義在上的偶函數，當時，，設，則（）A． B． C． D．4．設等差數列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．295．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．6．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題7．已知函數（e為自然對數底數），若關于x的不等式有且只有一個正整數解，則實數m的最大值為（）A． B． C． D．8．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．9．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．10．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．12．以下關于的命題，正確的是A．函數在區間上單調遞增B．直線需是函數圖象的一條對稱軸C．點是函數圖象的一個對稱中心D．將函數圖象向左平移需個單位，可得到的圖象二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圖（1）是第七屆國際數學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.14．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗原料都不超過12千克.通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是__________元.15．已知數列的前項滿足，則______.16．函數在的零點個數為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司欲投資一新型產品的批量生產，預計該產品的每日生產總成本價格)(單位:萬元)是每日產量(單位:噸)的函數:.（1）求當日產量為噸時的邊際成本(即生產過程中一段時間的總成本對該段時間產量的導數)；（2）記每日生產平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數列(單位:億元)遞減，連續注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.18．（12分）某商場為改進服務質量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調查．調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.20．（12分）設等差數列的首項為0，公差為a，；等差數列的首項為0，公差為b，.由數列和構造數表M，與數表；記數表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數t，若t不屬于數表M，則t屬于數表；（3）設，，對于整數t，t不屬于數表M，求t的最大值.21．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．22．（10分）某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規定問卷得分不低于70分的市民稱為“環保關注者”，請完成答題卡中的列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環保關注者”與性別有關？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環保達人”．視頻率為概率．①在我市所有“環保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環保達人”又有女“環保達人”的概率；②為了鼓勵市民關注環保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現某市民要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數的性質可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質來考慮與焦點三角形有關的問題，本題屬于基礎題.2．C【解析】

方法一：設等差數列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．3．B【解析】

根據偶函數性質，可判斷關系；由時，，求得導函數，并構造函數，由進而判斷函數在時的單調性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數，所以所以;當時，，則，令則，當時，，則在時單調遞增，因為，所以，即，則在時單調遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點睛】本題考查了偶函數的性質應用，由導函數性質判斷函數單調性的應用，根據單調性比較大小，屬于中檔題.4．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.5．D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數列是以為公比的等比數列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.6．B【解析】

由的單調性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數是R上的增函數，知命題p是真命題．對于命題q，當，即時，；當，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.7．A【解析】

若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，利用導數求出的最小值，分別畫出與的圖象，結合圖象可得.【詳解】解：，∴，設，∴，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，∴，當時，，當，，函數恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，∴且，即，且∴，故實數m的最大值為，故選：A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數解問題，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了數形結合思想，考查了數學運算能力.8．D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.9．A【解析】

設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，，其中，，即關于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.10．A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．11．B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據極值的定義，要使是函數的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據與的圖象關系，可得，故選B．12．D【解析】

利用輔助角公式化簡函數得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數先增后減，錯誤B選項，不是函數對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用，其中化簡三角函數是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量數量積，解題關鍵是找到向量和的夾角.14．1元【解析】設分別生產甲乙兩種產品為桶，桶，利潤為元

則根據題意可得目標函數，作出可行域，如圖所示作直線然后把直線向可行域平移，

由圖象知當直線經過時，目標函數的截距最大，此時最大，

由可得，即此時最大，

即該公司每天生產的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1．【點睛】本題考查用線性規劃知識求利潤的最大值，根據條件建立不等式關系，以及利用線性規劃的知識進行求解是解決本題的關鍵．15．【解析】

由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結論，同時要注意的求解方法．【詳解】∵①，∴時，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案為：．【點睛】本題考查求數列通項公式，由已知條件．類比已知求的解題方法求解．16．【解析】

求出的范圍，再由函數值為零，得到的取值可得零點個數．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數的導函數，由此求得求當日產量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉化為證明，構造函數，利用導數證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結論，判斷出，由此結合對數運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設則所以在上單調遞減，所以所以，即；（3）因為又由（2）知，當時，所以所以所以【點睛】本小題主要考查導數的計算，考查利用導數證明不等式，考查放縮法證明數列不等式，屬于難題.18．有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；.【解析】

由題得，根據數據判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機抽取人，所有基本事件有個，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個，進而求出獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關．獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個．所以獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率．【點睛】本小題主要考查統計案例、卡方分布、概率等基本知識，考查概率統計基本思想以及抽象概括等能力和應用意識，屬于中檔題．19．（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲線的參數方程，得兩式平方相加求解，根據直線的極坐標方程，展開有，再根據求解.（2）因為曲線C是一個半圓，利用數形結合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點由圖可知.【詳解】（1）因為曲線的參數方程為所以兩式平方相加得：因為直線的極坐標方程為.所以所以即（2）如圖所示：圓心C到直線的距離為：所以圓上的點到直線的最小值為：則點M(2，0)到直線的距離為最大值：【點睛】本題主要考查參數方程，普通方程及極坐標方程的轉化和直線與圓的位置關系，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20．（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數．反證法：假設集合中任何一個元素，都不是7的倍數，則集合中每一元素關于7的余數可以為1，2，3，4，5，6，又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關于7的余數相同，不妨設為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數，即，所以，與矛盾，所以假設不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數，不妨設該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負整數，設，則，且，，，，所以，當，時，對于整數，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對于整數，，則，假設命題不成立，即，且．則對于整數，存在，，，，，使成立，整理，得，又因為，，所以