第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年陜西省名校聯(lián)盟TOP10檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷★祝考試順利★一?單項(xiàng)選擇題（每題5分，共40分，每道試題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A. B. C.4 D.9【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，是方程的兩根，利用韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】有題得，因?yàn)椋呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則，是方程的兩根，所以，從而可得，又因?yàn)榈缺葦?shù)列，可得，且，所以.故選：B.2.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作圓的切線與的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，確定的關(guān)系，求雙曲線的離心率.【詳解】如圖：設(shè)直線與圓的切點(diǎn)為，作，交于點(diǎn)，則.因?yàn)椋?又為中點(diǎn)，所以，.又，，所以可設(shè)：，，.由.根據(jù)雙曲線的定義：.所以.所以.故選：A3.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，，代入求解即可.【詳解】由題，，故選：A.4.已知甲箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出1個(gè)球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為事件，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，條件概率及全概率公式可得答案.【詳解】記“從甲箱中取出的球恰有個(gè)紅球”為事件，根據(jù)題意可得，，所以.故選：D.5.為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】將變形為的形式，從而確定平移的方向和單位長(zhǎng)度.【詳解】將變形為對(duì)于函數(shù)，要得到的圖象，根據(jù)“左加右減”的原則，需要將的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度。只要把的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，就可得到的圖象.故選：A.6.已知集合，則（）A. B.?C.? D.【答案】B【解析】【分析】求解分式不等式，確定集合，再結(jié)合子集概念，逐個(gè)判斷即可.【詳解】等價(jià)于且，故解不等式得，所以，，所以可得：?，.故ACD錯(cuò)，B對(duì).故選：B.7.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及虛部概念即可求解；【詳解】由，解得，所以．所以虛部為1．故選：C．8.已知向量，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且方向是沿的方向繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到的，則稱經(jīng)過(guò)一次變換得到，現(xiàn)有向量經(jīng)過(guò)一次變換后得到，經(jīng)過(guò)一次變換后得到，…，如此下去，經(jīng)過(guò)一次變換后得到，設(shè)，，，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，，，即當(dāng)時(shí)，一次，變換將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將所得向量的長(zhǎng)度再伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到向量．因此當(dāng)時(shí)，運(yùn)用矩陣變換公式，算出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量，從而得到，，，所以．接下來(lái)再對(duì)、、、各項(xiàng)在時(shí)的情況進(jìn)行計(jì)算，對(duì)照所得結(jié)果可得只有項(xiàng)是正確的選項(xiàng)【詳解】根據(jù)題意，，一次，變換就是將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，即由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且設(shè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為，則有，，即向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1弧度，得到向量，再將的模長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到，，因此當(dāng)時(shí)，，，，即，由此可得對(duì)于，當(dāng)時(shí)，與計(jì)算結(jié)果不相等，故不正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，與計(jì)算結(jié)果相等，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，與計(jì)算結(jié)果不相等，故不正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，與計(jì)算結(jié)果不相等，故不正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，用矩陣解決向量的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題和數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題二?多項(xiàng)選擇題（每題6分，共18分，每道試題全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的部分分）9.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（）A.三棱錐的體積為定值B.C.二面角的平面角的大小為D.存在某個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角為【答案】ABC【解析】【分析】A.根據(jù)等體積法的等高等底即可判斷；應(yīng)用空間向量法計(jì)算得出線線垂直判斷B，再應(yīng)用空間向量法計(jì)算線面角的正弦范圍得出線面角的最大值為判斷D，再結(jié)合二面角空間向量法計(jì)算判斷C.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：三棱錐轉(zhuǎn)化為三棱錐的底面積為定值，因?yàn)槠矫嫫矫妫缘狡矫娓卟蛔儯w積為定值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖建系，設(shè)，則因?yàn)椋缘茫蔬x項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t設(shè)直線與平面ABCD所成角,則，當(dāng)時(shí)，，這時(shí)直線與平面ABCD所成角最大值為，故選項(xiàng)D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)平面法向量為，，所以，所以所以令，可得，設(shè)平面法向量為，設(shè)二面角為，則所以二面角的大小為，故選項(xiàng)C正確.故選：ABC.10.已知的斜邊長(zhǎng)為，則其內(nèi)切圓半徑取值可能為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)三角形斜邊長(zhǎng)以及勾股定理可得，再由等面積法可得，利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性計(jì)算可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的兩直角邊長(zhǎng)為，且；顯然，即，可得；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)等面積法可得，因此；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；易知,即符合題意；故選：CD11設(shè)數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，有則（）A.， B.，C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過(guò)累乘法，可判定A正確；結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，可以證明，從而可判定B錯(cuò)誤；求得的值，猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法，得到，，可判定C正確；根據(jù)通項(xiàng)公式和C選項(xiàng)，可以求出的通項(xiàng)公式，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，可得且，，則，即，所以，即，因?yàn)椋裕郑裕訟正確；對(duì)于B中，由成立，假設(shè)，則由，知，所以，即時(shí)，也成立，所以，不存在，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，猜想，當(dāng)時(shí)，成立，假設(shè)，由，則，即時(shí)，也成立，所以，故C正確；對(duì)于D中，因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)所以，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，求得的通項(xiàng)公式，從而可以得出，最后逐項(xiàng)即可判斷.三?填空題（每題5分，共15分.）12.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】由在恒成立即可求解.【詳解】由題意可知：在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：13.已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______.【答案】240【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求出，再利用賦值法求出，根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的展開(kāi)式求出常數(shù)項(xiàng)，即可；【詳解】由于的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得．又由于的展開(kāi)式系數(shù)和為729，令得，即，解得或（舍去），的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，又，，故答案為：24014.已知的面積等于1，若，則當(dāng)這個(gè)三角形的三條高的乘積取最大值時(shí)，______【答案】【解析】【分析】設(shè)三條高分別為，根據(jù)面積計(jì)算出三條高，并將三條高的乘積的最大值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最大來(lái)求解.【詳解】依題意可知，三條高分別為，根據(jù)三角形面積公式有，故，，而，即，所以.故當(dāng)取得最大值時(shí)，三條高的乘積取得最大值.作平行于且與距離為的平行直線，作的垂直平分線，交直線于.過(guò)上一點(diǎn)作圓，使圓經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，由于由于圓外角小于圓周角，故此時(shí)取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，，由余弦定理得，.即三角形的三條高的乘積取最大值時(shí).【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.四?解答題（共77分.）15.已知函數(shù)在處的切線垂直于軸．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的極小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)斜率即可求解，（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)極值的定義求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，則，由于，故，【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為16.已知點(diǎn)，，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，垂足位于線段上且不與點(diǎn)A，B重合，.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且與曲線相交的兩條線段分別為和，（直線EF，MN的斜率均存在，且點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N都在曲線上），若G，H分別是和的中點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明見(jiàn)解析，直線過(guò)定點(diǎn).【解析】【分析】（1）先設(shè)設(shè)，，接著由列方程化簡(jiǎn)即可得解；（2）由題先設(shè)直線的方程為，接著與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而求出直線GH的斜率，再利用點(diǎn)斜式計(jì)算時(shí)x的值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，，因?yàn)椋裕淼茫磩?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，所以，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)椋灾本€方程為，同理可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，易得直線;當(dāng)時(shí)，直線斜率為，所以直線的方程為，令.所以直線過(guò)定點(diǎn).17.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求五面體的體積；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由勾股定理與矩形可得線線垂直，利用線面垂直的判定與面面垂直的判定，可得答案；（2）將圖形分割為三棱柱與四棱錐，利用三棱柱與四棱錐的體積公式，可得答案；（3）由題意建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：取棱的中點(diǎn)G，連接，易證四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)樗倪呅问蔷匦危裕驗(yàn)椋矫妫遥云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?wèn)2詳解】取棱的中點(diǎn)O，連接．因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫±獾闹悬c(diǎn)H，連接，則．【小問(wèn)3詳解】取棱的中點(diǎn)M，連接，易證兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．平面一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面所成的角為，則．18.已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）若數(shù)列滿足，證明：（e為自然對(duì)數(shù)的底）．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求導(dǎo)，可得的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）由題意需證，由（2）可得，利用放縮法與裂項(xiàng)相消法可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為成等比數(shù)列，則，所以，解得或（舍去），所以；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，所以，由（1）可知，則有，所以不等式恒立．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋砸C，只需證：，根據(jù)（2）可知，那么，，所以.19.在我們所作的三角形外接圓中，有常見(jiàn)的以下幾種如圖：（1）如圖一，三角形不經(jīng)過(guò)圓的直徑，叫做“阿圓▲”，設(shè)該三角形為，其外接圓半徑為，角所對(duì)的邊分別為.定義函數(shù)，，且的最大值為，若，設(shè)D為三角形外接圓劣弧上的一點(diǎn)，且不與重合，求的取值范圍.（2）如圖二，三角形經(jīng)過(guò)圓的直徑，叫做“泰圓▲”，若該三角形為ABC，為定點(diǎn)，C為動(dòng)點(diǎn)，試用向量方法證明數(shù)學(xué)常見(jiàn)結(jié)論：“”.（3）如圖三，三角形包跨過(guò)圓的直徑，叫做“秘圓▲”，假設(shè)該圓的直徑為，其中一條邊的位置固定，長(zhǎng)度為3，求滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）或.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式求解最值，得利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，聯(lián)立，解得，進(jìn)而求解，符合“阿圓▲”定義，再利用圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合幾何圖形求范圍可得；（2）由“泰圓▲”定義，利用向量數(shù)量積為證明垂直關(guān)系即可；（3）建系設(shè)點(diǎn)，利用幾何法求圓的圓心可得軌跡方程，注意結(jié)合“秘圓▲”定義求解范圍,【小問(wèn)1詳解】由，得，，其中由，不妨取，由，得，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，化簡(jiǎn)得，又，由，解得或，由，則，聯(lián)立，解得，則，則，由題意，為“阿圓▲”，即為鈍角三角形，有一內(nèi)角為鈍角，而，滿足題意，此時(shí)，，如圖，由題意D為三角形外接圓劣弧上的一點(diǎn)，且不與重合，為圓心，取中點(diǎn)，連接，則，，三點(diǎn)共線，所以.，結(jié)合圖形可知，，且，因此，故.即的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由題意，由為“泰圓▲”