2023-2024學年八年級數學上學期第一次月考

B卷重點難點過關測

（考試時間：100分鐘試卷滿分：100分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：第一章、第二章（蘇科版）。

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

2.如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標1、2、3）,小華帶第3塊碎片去玻璃店，購買形狀相

同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（）

A-SSSB.ASAc-AASD-SAS

3.如圖，AAOBmAADC,點8和點C是對應頂點，/D=ND=90。，記=a,4ABO=0,當

BC||。4時，a與。之間的數量關系為（）

A.a=pB.a=213C.a+/?=90。D.a+2s=180。

4.如圖，方格中△ABC的3個頂點分別在正方形的頂點（格點上）.這樣的三角形叫格點三角形，圖中

與△ABC全等的格點三角形共有（不含△力BC）（）個.

如圖，在中，ZC=90°,AC=一條線段P,。兩點分別在線段

5.AR'LtAABCLzlll1L2ilrlm,5C=6rm,PQ=4B,

AC和4C的垂線網上移動，若以A、B、C為頂點的三角形與以A、P、。為頂點的三角形全等，貝的

值為（）

A.8cmB.12cmC.12cm或6cmD.12cm或8cm

6.如圖。是長方形紙帶，/DEF=25°,將紙帶沿EF折疊成圖6,再沿8尸折疊成圖c,則圖c中的

4FE的度數是（）

7.如圖，在△ABC中，AD^ZBAC,交BC于D,點、E、G分別在邊48、AC上，連接DE,DG.過Z）

作。F148于下.已知。E=DG,S^ADG=12,SUED=8,則△DEF的面積為（）

8.如圖，在ATIBC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點，則22。+DC的最小值

是（）

A.6B.8C.10D.12

第n卷

二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分.

9.如圖，點、E,尸在BC上，BE=CF,乙AFB=3EC,請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使

得AABFgADCE,你添加的條件是.

10.如圖，在3x3的方格中，每個小方格的邊長均為1,則N1與N2的數量關系是.

11.如圖，aCE=2=ZC8E=90。，DC=CE,AD=3,BE=7,貝妖B=.

12.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZABC,4CB的平分線交點P,點E是AC上一點，且CE=C8.若

PE||AB,則4=_______

注A中

BC

第12題圖第13題圖

13.將一張邊長為6cm的正方形紙片沿虛線對折得圖①，再沿圖①的虛線對折得圖②的小正方形48CD,

已知點M是4B的中點，點N是4D的一個三等分點且更靠近點D,沿圖②的虛線MN剪掉一個直手

形后展開得圖③的中空紙片，這張中空紙片的面積是____cm2.

14.如圖，/B=/C=9Q°,4E平分/AD,DE平分〃AC,右S^CDE：S^ABE=2:3,則S—QE:

SAOCE-------

,<.D

;野

C

第14題圖第15題圖

15.如圖，在四邊形4BCD中，^BAD=105°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分別找一個點M,N,使4

AMN的周長最小，則ZAMN+ZANM=°

16.如圖，在AADE中，AC=BC=BD=DE,乙4=25。，貝UNE的度數是°

17.如圖，Rt^ABC中，ZX=90°,AB=AC,N4BC的平分線BD交力C于點D,CELBD,交BD的延長

線于點E,若BD=5,貝UCE的值為.

18.如圖，邊長為4的等邊三角形4BC中，”是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點

B逆時針旋轉60。得到BN,連接HN.則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是.

三、解答題：本題共7小題，共64分.

⑵求AaiBiG的面積；

(3)在y軸上找一點P使得P8+PC最小.

(6分)20.如圖所示，在△力8c中，AD1BC于D,CE1AB^E,2。與CE交于點F且4B=CF.

（2）已知BC=7,4。=5,求"的長.

（8分）21.已知：如圖，△4BC中NB4c的平分線與BC的垂直平分線交于點。，DE14B于點E,DF1

4C交2C的延長線于點F.

（1）求證：BE=CF-,

（2）若48=15,4C=9,求CF的長.

（8分）22.如圖，BE、CF是△ABC的兩條高，P是BC邊的中點，連接PE、PF、EF.

⑴求證：PE=PF；

⑵若4=70。，求NE尸尸的度數.

（8分）23.我們在七年級曾學過“兩點之間線段最短”，利用這一知識點也可以解決兩條線段之和最小的

相關問題.如圖①，已知點A、B在直線2的同一側，在直線I上求作一點P,使得PA+PB最小，我們只要

作點B關于I的對稱點夕（如圖②），根據對稱性可知，PB=PB',因此，求4P+8P最小就相當于求2P+

PB，最小，顯然，當點A、P、在同一直線上時，4P+P9最小，因此連接29，與直線I的交點就是

要求的點P.

4j

"F

,E探究：四邊

DC

④

形力BCD是長方形臺球桌的臺面，有白、黑兩球分別位于點E、F的位置.

(1)如圖③，怎樣擊打白球E,能使它先碰撞臺邊CD,經反彈后再擊中黑球尸?(畫出白球E經過的路線)

(2)如圖④，怎樣擊打白球E,使它能先碰撞臺邊CD,經反彈后又碰撞臺邊力B,然后再擊中黑球F?(畫

出白球E經過的路線)

(8分)24.如圖，已知等邊△ABC的邊長為6cm，現有兩點知、N分別從點A、點8同時出發，沿三角

形的邊運動，運動時間為ts,已知點M的速度與皿小，點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達B點

時，M、N同時停止運動.

備用圖

(1)當點N第一次到達3點時，點M的位置在_____；當M、N運動秒時，點N追上點M；

(2)當點〃、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?如存在，請求出此時〃、

N運動的時間.

(10分)25.問題解決:

(1)如圖1,A/IBC中，AF為BC邊上的中線，則工.尸=：54.「

(2)如圖2,D,E,F分別為BC,4D,CE的中點，則以近尸=ShABC.

(3)如圖3,D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，若=2,貝US-BC=

問題探究：

⑴如圖4,CD,BE是△ABC的中線，他85交于點。匹3%與%邊形4的相等嗎？

解：AABC中，由問題解決的結論可得，sABC0=1SAABC,SAABE=|SAABC.

??S&BCD=S&IBE

S&BCD-S&BODSAABE

即S4BOC=S四邊形ADOE?

(2)如圖5,△ABC中，。是AC上的一點，AC=4CD,AE是AABC的中線，且S-BC=48,試求治的9一

SABEF的值.

問題拓展：

如圖6,△ABC中，AD^^BAC.AD1BD,貝伊小我=S^ABC.

(10分)26.定義：一個內角等于另一個內角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有(只填寫序號).

①頂角是30。的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個角是30。的直角三角形.

(2)如圖1,在AABC中，AB^AC,ABAC>90°,將△48C沿邊4B所在的直線翻折180。得至!]△ABD,延

長DA至!J點E,連接BE.

①若BC=BE,求證：△ABE是“倍角三角形”；

②點P在線段4E上，連接BP.若NC=30。，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個是等腰三角形，一個是

“倍角三角形”，請直接寫出NE的度數.

2023-2024學年八年級數學上學期第一次月考

B卷?重點難點過關測

（考試時間：100分鐘試卷滿分：100分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：第一章、第二章（蘇科版）。

5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

1.如圖，通過尺規作圖得到4'。力'=2OB的依據是（）

【答案】A

【分析】根據作圖過程利用SSS可以證明AOCD三△O'C'。，進而可得結論.

【詳解】解：根據作圖過程可知，

在AO'C'D'中，

oc=o'c'

OD=O'D>

=CD'

OCD=AO'C'D'（sss），

：.ZA0'B1=ZAOB（全等三角形的對應角相等）.

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法.

2.如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標1、2、3）,小華帶第3塊碎片去玻璃店，購買形狀相

同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（）

【答案】B

【分析】根據題意應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證.

【詳解】解：1、2塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，

只有第3塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的，

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定.判定兩個三

角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS、SAS、HL?

3.如圖，△4。8三△4DC,點B和點C是對應頂點，/-0-Z.D-90°,記乙。4。=a,Z-ABO=/?,當

BC||。力時，a與0之間的數量關系為（）

A.a=0B.a=2/3C.a+￡=90°D.a+2￡=180。

【答案】B

【分析】由全等三角形的性質可推出NBAC=ZOAD=a,再結合平行線的性質即可求解.

【詳解】解：?.?△40B三△4DC,

.".AB=AC,ZBAO=ZCAD,

/.ZBAC=ZOAD=a,

-1

在△ABC中，ZABCH80°-a),

YBC||OA,

???ZOBC=180°-/O=180°-90°=90°,

1

：.B+-11800-a)=90°

y2

整理得，a=20.

故選：B

【點睛】本題考查了全等三角形的性質、平行線的性質.熟記相關結論是解題關鍵.

4.如圖，方格中△力BC的3個頂點分別在正方形的頂點（格點上）.這樣的三角形叫格點三角形，圖中

與△ABC全等的格點三角形共有（不含△力BC）（）個.

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根據Sss在圖中畫出格點ABA。，使得△BAD三△4BC,則可得出答案.

【詳解】解：如圖

AB

DC

所示，根據SSS，可得ABAD三AABC,

即以大正方形的每個邊為底邊，都可作兩個全等的三角形，所以共有八個全等三角形，除去A4BC外有七

個與△ABC全等的三角形.

即：

AB

DC

故選：c.

【點睛】本題考查全等三角形的性質與判定等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵.

5.如圖，在山△ABC中，NC=90。,47=12cm，BC=6cm，一條線段PQ=4B,P,。兩點分別在線段

AC和4C的垂線4V上移動，若以A、B、C為頂點的三角形與以A、P、。為頂點的三角形全等，則AP的

值為（）

A.8cmB.12cmC.12cm或6cmD.12cm或8cm

【答案】C

【分析】分兩種情況，由全等三角形對應邊相等，即可解決問題.

【詳解】解：當ABca三APAQ時，

'.AP=BC=6cm，

當ABCA三AQ/IP時，

/.PA=AC-12加，

；.4P的值是6cm或12cm.

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的性質.正確的找到對應邊，是解題的關鍵.注意，分類討論.

6.如圖。是長方形紙帶，ADEF=25°,將紙帶沿EF折疊成圖6,再沿B尸折疊成圖c,貝I圖。中的4FE

【答案】A

【分析】在圖。中，由題意可得：AD||BC,貝ikCFE=155°,NEFB=25。,再根據折疊的性質求解即

可.

【詳解】解：在圖“中，由題意可得：AD||BC,

：.Z.CFE=155°,ZEFB=25°,

在圖6中，由折疊的性質可得：乙CFE=155°,/EFB=25°

/.ZCFG=130°

在圖c中，由折疊的性質可得：ZCFG=130°,ZEFB=25°

:.NCFE=105°,

故選：A

【點睛】此題考查了平行線的性質，折疊的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質.

7.如圖，在△48C中，2D平分NB4C,交BC于。，點E、G分別在邊4B、2C上，連接。E,DG.過。作

DF14B于尸.已知DE=DG,S^ADG=12,ShAED=8,則ADEF的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】過點。作。H14C于點H,角平分線的性質得到DH=。尸，進而推出Rt^DFE三立△

D"G（HL），Rt^DFA三RtAD”4（HL）'得至"ADEF=S^DHG，^LAFD=S%OH，進而得到S“EQ+S^DFE=

S^ADG—S^DHG，進行求解即可?

【詳解】過點。作D”1/C于點”，

,?工。平分MAC,DF上AB,

Azl=Z2,DH=DF,ZDFE=ZDHG=90°,

又DE=DG,

‘Rt△DFE三Rt△DHG（HL），

,?S^DEF-S^DHG，

*.*ZDHA=ZDFA=90°fDF=DHfAD=AD.

??Rt△DFA.=Rt△。//71（HL），

?,^AAFD=^^ADH9

?,^^AED+S^DFE=S^ADG—S^DHG，

?,^LAED+S^DFE—SUOG—S^DFE'即：2S〉DFE=S“OG—^LAED=12—8=4,

??S^DFE=2；

故選A.

【點睛】本題考查角平分線的性質，以及全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點

到角兩邊的距離相等，構造全等三角形.

8.如圖，在AdBC中，Z.BAC=90°,=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點，貝!)240+DC的最小值是

()

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】過點C作射線CE,使NBCE=30。，再過動點。作。尸，CE,垂足為點R連接力D,在

此△DFC中,NDCF=30。,。尸=+DC=2Q4D+：DC)=2(4。+DF)當A,D,E在同一直線

上，即AF1CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長.

【詳解】解：過點C作射線CE,使NBCE=30。，再過動點。作。尸，CE,垂足為點F連接4D,如圖所

1

：.DF=-DC,

2

,/2AD+DC=2（A。+1DC）

=2（AD+￡）尸），

...當A,D,尸在同一直線上，即4FICE時，4D+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長,

此時，ZB=ZADB=60°,

...△4BD是等邊三角形，

：.AD=BD=AB=4,

在ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

：.BC=8,

：.DC=4,

DF=-DC=2,,

2

：.AF=AD+DF=4+2=6,

；.2（AD+DF）=2AF=12,

.?.2（4。+DC）的最小值為12,

故選：D.

【點睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造胡不歸模型，學

會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

第n卷

二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分.

9.如圖，點、E,尸在BC上，BE=CF,N4FB=/DEC,請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使

得AABF咨ADCE,你添加的條件是______.

【答案】AF=DE^ABF=NDCE或4=/D

【分析】本題要判定△ABF^ADCE,已知乙4FB=乙DEC,由BE=CF可得BF=CE,那么只需添加一

個條件即可.添邊可以是4F=DE或添角可以是乙4BF=NDCE或4=/D.

【詳解】解：所添加條件為：AF=DE或乙4BF=NDCE或4=/D,

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE,

添加：AF=DE,

在和△￡>￡1￡?中，

AF=DE

ZAFB=/DEC,

-BF=CE

△ABF=ADCE（SAS）；

添加：NABF=/DCE,

在△ABF和△DCE中，

（ZABF=ZDCE

]BF=CE,

\ZAFB=/DEC

△ABF=DCE（ASA）

添加：ZA=/D,

在△4BF和ADCE中，

（ZA=ZD

jZAFB=/DEC，

IBF=CE

AABF=ADCE（AAS）?

故答案為：AF=DE或乙4BF=NDCE或4=/D.

【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題的關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的

參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

10.如圖，在3x3的方格中，每個小方格的邊長均為1,則N1與N2的數量關系是.

【分析】證明AABC三ADEF得出N2=NDEF,根據Nl+/DEF=90。即可得出Nl+N2=90。.

【詳解】解：根據網格特點可知，^ACB=Z.DFE=90°,EF=BC,AC=DF,

△ABC=△DEF,

=/DEF,

?.21+/DEF=90。，

Zl+Z2=90°.

故答案為：Zl+Z2=90°.

A

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法.

11.如圖，A.DCE=^.A=/.CBE=90°,DC=CE,AD=3,BE=7,則4B=.

【答案】4

【分析】先證得=進而可證得△DC4三△CEB,可得到AC=BE=7,4。=BC=3,即可求

得答案.

【詳解】?//DCE=4=NCBE=90°,

：.ADCA+Z.BCE=乙DCE=90°,ZBCE+ZE-180°-ZCBE=90°.

/.ZDCA=ZE.

在ADC力和△CEB中

'/DCA=/E

'ZA=/CBE

[DC=CE

??△DCA=ACEB.

：.AC=BE=7,AD=BC=3.

：.AB=AC-BC=7-3=4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，牢記全等三角形的判定方法（兩角分別相等且其中一

組等角的對邊相等的兩個三角形全等）是解題的關鍵.

12.如圖，在△ABC中，AB=AC,4ABC,N4CB的平分線交點P,點E是AC上一點，且CE=CB.若

PE||AB,貝U/4=

【分析】根據題意可證△PCB三APCE,設乙4=/尸員？=%,則=2%,根據三角形的內

角和定理即可建立方程求解.

【詳解】解：9：AB=AC

ZABC=ZACB

???依,*分別平分/48心ZAC

NABP=ZPBC=/PCB=/PCE

VCE=CB

C.LPCB=^PCE

NABP=/PBC=/PCB=/PCE=/PEC

*：PE||AB

ZA=/PEC

設NA=乙PEC=x,則=/ACB=2x

?\x+2%+2%=180°

解得：x=36°

故答案為：36

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、三角形的內角和定理.掌握相關結論是

解題關鍵.

13.將一張邊長為6cm的正方形紙片沿虛線對折得圖①，再沿圖①的虛線對折得圖②的小正方形ZBCD,

已知點M是4B的中點，點N是4。的一個三等分點且更靠近點。，沿圖②的虛線剪掉一個直角三角

形后展開得圖③的中空紙片，這張中空紙片的面積是cm2.

【答案】6

【分析】先根據進而求得4M,2N,得到A4MN的面積，最后乘以即可解答.

【詳解】解：由折疊的性質可得力B=AD=3cm，

,/點M是力B的中點，點N是4。的一個三等分點且更靠近點D,

32

?MM，cm，AN=3x§=2cm

-1-too

AAMN的面積為5aMXAN=5X5X2=5,

張中空紙片的面積是|x4=6cm2.

故答案為6.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質、三角形的面積公式、線段中點與等分點等知識點，根據題意求得

A4MN的面積是解答本題的關鍵.

14.如圖，zB=zC=90°,4E平分/BAD,DE平分NZMC,若SACDE：SAABE=2：3,則以人成：

SRDCE=---

【答案】5:2

【分析】過點E作EF14D于F,根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得BE=EF,然后證明內△

ABE三RtA2FE（HL），根據全等三角形的面積相等可得SMBE=SAME，同理可得：S^FD=S?，設

S4CDE=2k,S-BE=3k,表示出4的后=5k,然后求解即可.

【詳解】如圖，過點E作EF12D于F,

?:NB=90。,

：.EBLAB,

9：AE^ZBAD,

：.BE=EF,

在內△ABE和山△4FE中，

(AE=AE

SE=EFf

??Rt△A.BE=Rt△A,FE(HL)，

,?SFBE=S^AFE，

問理：S^EFD=S^ECD，

設S^COE=2k,SLABE—3k,

?LADE=LAFE+S^EFD=^ABE+i^CDE=3/c+2k=Sk,

?3式0由S^DCE=5k:2k=5:2,

故答案為：5:2.

【點睛】此題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質

并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.

15.如圖，在四邊形/BCD中，Z-BAD=105°,ZB=ZD=90°,在BC,CD上分別找一個點M,N,使4

AMN的周長最小，則NAAW+NA7VM=°

【答案】150

【分析】要使AAMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出/關于和

的對稱點4,即可得出乙4'+乙4”=75。，進而得出4MN+4NM=2(4Z'M+4〃)，即可得

出答案.

【詳解】解：作/關于8C和CO的對稱點4,A",連接44",交BC于M,交CD于N,則4/"即為的

周長最小值.

???/DAB=105°,

ZA'+4”=180°-ZBAD=180°-105°=75°,

vZ.A'=/.MAA',/-NAD=Z.A",5.Z.A'+/.MAA'-/.AMN,ZNAD+^4"=ZANM,

???/AMN+NANM=4,+ZMAA+/NAD+4"=2(4,+4")=2X75°=150°

故答案為：150.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質

和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M,N的位置是解題關鍵.

16.如圖，在AADE中，AC=BC=BD=DE,乙4=25。，則NE的度數是°

【答案】75

【分析】首先根據N4=25。，AC=BC,利用等腰三角形的性質得到NABC=乙4=25。，然后利用三角

形的外角的性質求得NBCD=乙4+/,ABC=50°,再根據BC=8。得到NBDC=乙BCD=50°,從而得到

乙CBD=180°-4BCD-乙BDC=80°,進一步得至IJ/DBE=180°-^ABC-乙CBD=75°,最后禾用

BD=ED得到4=/DBE=75°.

【詳解】解：???〃=25。,AC=BC,

ZABC=ZA=25。，

/BCD=4+ZABC=250+25°=50°,

BC=BD,

■.ZBDC=/BCD=50°,

???NCBD=180°-/BCD-/BDC=180°—50°-50°=80°,

/DBE=180-ZABC-ZCBD=180°-25°-80°=75°,

BD=ED,

：./E=/DBE=75°,

故答案為：75.

【點睛】考查了等腰三角形的性質，三角形外角性質，解題的關鍵是了解等腰三角形等邊對等角，難度

不大.

17.如圖，Rt^ABC中，N4=90。，AB=AC,NABC的平分線BD交AC于點D,CE1BD,交BD的延長

線于點E,若BD=5,貝UCE的值為.

【答案w

【分析】延長BA、CE相交于點F,由角平分線的性質可得乙4BD=NCBD,利用ASA證明△BCE三小

BFE,得到CE=EF,根據同角的余角相等得至UNABO=N4CF,通過ASA證明△AB。三△人。尸，得到

BD=CF,從而即可得到答案.

【詳解】解:如圖，延長B4CE相交于點F,

BD平分4BC,

:.ZABD=ACBD,

CELBD,

???/BEF=/BEC=90。,

在ABCE和ABFE中，

ZABD=ZCBD

BE=BE

ZBEF=/BEC=90°

BCEBFE（ASJ\），

??.CE=EF,

vZBAC=90°,CE工BD,

^ACF+ZF=90°,ZABD+NF=90。，

:.ZABD=ZACF,

???^BAC=90°,ZBAC+ZCAF=180°,

??.ZBAC=ZCAF=90。，

在△48。和△ZCF中，

（/ABD=ZACF

（AB=AC,

[^BAC=ZCAF=90°

**.△ABD4CF（ASA），

:.BD=CF,

???CF=CE+EF=2CE,

BD=2CE—5,

CE=

2

故答案為：|.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、同角的余角相等，熟練掌握全等

三角形的判定與性質、角平分線的性質、同角的余角相等，添加適當的輔助線，是解題的關鍵.

18.如圖，邊長為4的等邊三角形4BC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段BM繞點

B逆時針旋轉60。得到BN,連接HN.則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是.

【答案】1

【分析】取的中點G,連接MG,根據等邊三角形的性質可得BH=BG,再求出4HBN=LMBG,根據

旋轉的性質可得MB=NB,然后利用“邊角邊”證明AUBG三△NBH,再根據全等三角形對應邊相等可得

HN=MG,然后根據垂線段最短可得MG1CH時最短，再根據/BCH=30。求解即可.

【詳解】解:取BC的中點G,連接MG,如圖所示：

???旋轉角為60。，

/MBH+/HBN=60°,

又?:ZMBH+ZMBC=ZABC=60。，

???/HBN=/GBM,

???CH是等邊△ABC的高線，

???HB=-AB,

2

??.HB=BG,

又???MB旋轉到BN,

??.BM=BN,

在△MBG和ANB”中，

BG=BH

ZMBG=/NBH,

、MB=NB

MBG=△NBH（SAS），

??.MG=NH,

根據垂線段最短，當MG1C”時，MG最短，此時即HN最短，

111

???（BCH=-x60°=30°,CG=-AB=-x4=2,

222

-I-1

在Rt^CGM中，Z.MCG=30°,Z.CMG=90°,MG=~CG=-x2=1,

???HN=MG=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短的性質,

含30。的直角三角形等，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.

三、解答題：本題共7小題，共64分.

（6分）19.如圖，已知網格上最小的正方形的邊長為1.

⑴作△ABC關于無軸對稱的圖形△4/16(不寫作法);

⑵求AaiBiG的面積；

(3)在y軸上找一點P使得P8+PC最小.

【答案】(1)見解析

7

(2)SA4]BICI=2；

(3)見解析

【分析】(1)分別作出各點關于久軸的對稱點，再順次連接即可；

(2)用所在的長方形面積減去周圍三個三角形面積進行求解即可;

(3)作點B關于y軸的對稱點m，連接交y軸于點P,貝十點即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

1117

（2）解：SAA1B1C1=3x3-|xlx3-jxlx2-jx2x3=f;

(3)解：如圖所示，P點即為所求.

【點睛】此題考查了利用軸對稱變換作圖，利用軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握網格結構以及平面

直角坐標系準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

(6分)20.如圖所示，在AABC中，4D1BC于。，CE14B于E,AD與CE交于點況且4B=CF.

(1)求證：XABD三XCFD；

(2)已知BC=7,4。=5,求AF的長.

【答案】(1)見解析

(2)XF=3

【分析】(1)根據垂直的定義得出=NCDF,再根據同角的余角相等得出NBA。=NFCD,然后由

■S證明AABD=ACF。即可；

(2)由全等三角形的性質得出BD=DF,再根據線段的和差即可解決問題.

【詳解】(1)證明：：aDlBC,CELAB,

：.ZADB=/CDF=NCEB=90°,

/./BAD+/B=/FCD+ZB=90°,

/./BAD=ZFCD,

ABD^ACFD中

ZADB=NCDF

ZBAD=ZFCD

AB=CF

??AAiBD三△CFD（AAS），

（2）解：?:國ABD三XCFDQ?,

：.BD=DF,

,:BC=7,AD=DC=5,

：.DF=BD=BC-CD=2,

：.AF=4。一。尸=5-2=3；

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質的應用，證明三角形全等是解決問題的關鍵，屬于中考常

考題型.

（8分）21.已知：如圖，AaBC中NBAC的平分線與BC的垂直平分線交于點。，DE1于點E,DF1

AC交4C的延長線于點F.

⑴求證：BE=CF；

（2）若48=15,4。=9,求CF的長.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】（1）連接BD,根據垂直平分線的性質和角平分線的性質可得=DC=DB,利用HL可證

RtAOCFsRtA￡>5E,從而證出結論；

（2）利用HL可證RtAADFmRt△力。凡利用全等三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）解：連接DB,

;點。在N82C的平分線上，DE1AB,DF1AC,

：.DE=DF,

??,點。在BC的垂直平分線上，

：.DB=DC,

在Rt△DCF與內△DBE中，

???DE=DF,DB=DC,

Rt△DCF三口△DBE(HL)，

CF=BE；

(2)在近△ADF與ADE中，

DE=DF,AD=AD,

??Rt△ADF=Rt△AJDE(HL)，

：.AF=AE,

：.AB-BE=AB-CF=AC+CF,

9CAB=15,"=9,

：.15-CF=9+",

ACF=3.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質.證明/^△8。￡三△。。尸是解題

的關鍵.

(8分)22.如圖，BE、CF是△ABC的兩條高，尸是邊的中點，連接尸E、PF、EF.

A

(1)求證：PE=PF；

(2)若4=70。，求N￡P尸的度數.

【答案】(1)見解析

(2)40。

【分析】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求證；

(2)根據三角形的內角和定理得出乙4BC+乙4cB=110°,再推出NBEP=NABC,NCEP=ZACB,即

可求解.

【詳解】（1）解：???CF14B,BEVAC,P為BC中點,

PF=-BC,PE=-BC,

22

??.PE=PF；

(2)解：??Z=70。，

???ZABC+NACB=110。，

TP是BC邊的中點，

PF=BP=-BC,PE=PC=-BC,

22

.,.乙BEP=/.ABC,/.CEP=^ACB,則4EP+NCEP=110°,

???/FPB+/EPC=360°-110°x2=140°,

???/EPF=180°—140°=40°.

【點睛】本題主要了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握

相關內容，并靈活運用.

（8分）23.我們在七年級曾學過“兩點之間線段最短”，利用這一知識點也可以解決兩條線段之和最小的

相關問題.如圖①，已知點A、B在直線1的同一側，在直線1上求作一點P,使得P2+PB最小，我們只要

作點B關于/的對稱點方（如圖②），根據對稱性可知，PB=PB',因此，求4P+BP最小就相當于求力P+

最小，顯然，當點A、P、夕在同一直線上時，4P+P次最小，因此連接A夕，4所與直線1的交點就是

要求的點P.

探究：四邊形4BCD是長方形臺球桌的臺面，有白、黑兩球分別位于點E、尸的位置.

（1）如圖③，怎樣擊打白球E,能使它先碰撞臺邊CD,經反彈后再擊中黑球F?（畫出白球E經過的路線）

（2）如圖④，怎樣擊打白球E,使它能先碰撞臺邊CD,經反彈后又碰撞臺邊4B,然后再擊中黑球F?（畫

出白球E經過的路線）

【答案】（1）圖見詳解；

⑵圖見詳解；

【分析】（1）作出點E關于CD的對稱點E-連接E'產交CD于一點連接EM,即可得到白球E的路線;

（2）分別作E、（分別關于CD、4B的對稱點？，F',連接E'F',即可得到路徑；

【詳解】（1）解：作出點E關于CD的對稱點連接E'尸交CD于一點連接EM,即可得到白球E的路

線：EM-MF,如圖所示，

AB

DC

E'

（2）解：分別作E、F分別關于CD、AB的對稱點？，F',連接Ef,交CD、4B于點M、。即可得到路

徑：EM-MQ-QF,如圖所示，

F、、、

【點睛】本題主要考查了利用軸對稱作圖，熟練掌握軸對稱定義是解題的關鍵.

（8分）24.如圖，已知等邊AABC的邊長為6cm，現有兩點加、N分別從點A、點8同時出發，沿三角

形的邊運動，運動時間為ts,已知點M的速度lcm/s，點"的速度為2cm/s.當點N第一次到達8點

時，M、N同時停止運動.

備用圖

（1）當點N第一次到達8點時，點M的位置在_____；當M、N運動秒時，點N追上點M；

（2）當點M、N在8c邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AAMN?如存在，請求出此時M、

N運動的時間.

【答案】（DBC中點，6

（2）存在，運動的時間是8s時.得到以MN為底邊的等腰三角形AAMN

【分析】（1）求出M運動的路程即可判斷M的位置，由題意得：2/=lxf+6,求出t的值即可;

（2）列出關于t的方程，求出t的值，即可解決問題.

【詳解】（1）當點N第一次到達B點時，

t=18+2=9(s),

運動了1x9=9(cm),

.??點M的位置在8C中點；

當點N追上點M時，

由題意得：2?=1xr+6,

t=6,

.?.當M、N運動6秒時，點N追上點M,

故答案為：8C中點，6.

(2)如圖，AM=AN,

作AH1BC于H,

HC=HB,HM=HN,

：.MC=BN,

t-6=18-2t,

t=8,

：.M,N運動的時間是8s時.得到以MN為底邊的等腰三角形

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質,一元一次方程的應用，關鍵是由題意得到關

于t的方程.

(10分)25.問題解決：

a

BFCBDCBDC

圖1圖2作13

(1)如圖1,aaBC中，AF為BC邊上的中線，則工鉆尸=：5

'△ABC?

（2）如圖2,D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，貝"ADEF=S^ABC.

（3）如圖3,D,E,F分別為BC,4D,CE的中點，若%FC=2,則入謝=

問題探究：

5

⑴如圖4,CD,BE是△ABC的中線，。。,85交于點。風2（如與'四邊形4的相等嗎？

解：△ABC中，由問題解決的結論可得，'△BCD=2，S^ABE~~S^ABC?

??S/\BCD=S^ABE

,△BOD

BPSgoc=S四邊形AOOE.

（2）如圖5,△ABC中，。是/C上的一點，AC=4CD,A石是△ABC的中線，且S-BC=48,試求一

尸的值?

問題拓展：

如圖6,△ABC中，AD^^BAC.ADLBD,貝1"“兒=S^ABC.

【答案】問題解決：（2）-（3）8；問題探究：（2）12；問題拓展：!

oZ

【分析】問題解決：（2