高一數學試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求.

1.已知集合"=。23},5={1,3,5},則AU§=（）

A,{1,2,3,5}B.{1,2,3}C.{1,3,5}D.{1,3}

【答案】A

【解析】

【分析】根據并集直接運算即可.

【詳解】因為A={1,2,3},B={1,3,5},所以AU5={1,2,3}U{1,3,5}={1,2,3,5}.

故選：A.

2.命題P：3%<0,尤2一2%+avo的否定是（）

A.V%>0,x2—2x+?<0B.3%>0,x2—2x+a<0

C.Vx<0?x2—2x+?>0D.3%<0,x2—2x+?>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題，：3x<0,V—2%+avo為存在量詞命題，

其否定為：Vx<0,x2-2x+?>0.

故選：C

c\/3日.1/、

3.cosx——THsinx——（）

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據充分條件和必要條件舉反例即可判斷.

［詳解］當x=_/時，cos%=cosf-—=—>sinx=sin(-$］=-2，cosx=走不是sinx=!

6{6J2I6；222

的充分條件，

當x=2時，sin—=-,cos2=—走，sinx」也不是cosx=走的必要條件，

6626222

所以cosx=正是SinX=！的既不充分也不必要條件.

22

故選：D.

4.函數/(x)=lnx-L的零點所在的大致區間是()

X

A.DB.(l,e)C.(e,e2)D.(e2,e3)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用零點存在定理，計算求解即可

【詳解】根據條件，/(-)=-l-e<0,/(1)=-1<0,/(e)=l-->0,可得，

ee

/(!)■/(-)<0,所以，函數/(x)=lnx—L的零點所在的大致區間是(l,e)

ex

故選：B

【點睛】本題考查零點存在定理的應用，屬于基礎題

5.函數〃x)=,，的圖象大致為()

'e+e

【答案】A

【解析】

【分析】分析函數了(%)的奇偶性以及/(%)在(0,+。)內函數值的變化情況，結合排除法可得出合適的選

項.

【詳解】對任意的xeR,e*+eT>0,所以，函數/(%)的定義域為R，

因為x)==-/(X)，即函數八％)為奇函數,排除B選項,

e3"ex

當尤>0時，F(x)=\]>0,排除C選項；

e+e

iP7

因為〃1)=「=F，"2)==一^，則/⑴>/(2)，

e+ee+1e+e

所以，函數/(%)在(0,+a)上不是增函數，排除D選項.

故選：A

6.己知a=log2().3,4=3%c=0.32)則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】由對數函數y=log2X、指數函數>=3晨>=03'.的單調性，可以得到

可得到大小關系

2

【詳解】a=log20.3<log21=0,人=3°2>3°=1，0<0,3<0.3°=1,則0<c<l,

所以a<c<Z?,

故選：B

7.已知函數/(月=1。80.5(尤2+2%—3),則函數/⑺單調遞增區間為()

A(-co,l)B.(-1,-Ko)C.(1,+co)D.(-00,-3)

【答案】D

【解析】

【分析】先求函數定義域，再結合復合函數單調性分析求解.

【詳解】令d+2x—3>0,解得x>l或x<—3,

可知/(%)的定義域為(9,—3)U(L+8)，

因為y=iog05u在定義域內單調遞減,

且〃=V+2x—3在（一8,—3）內單調遞減，在（L+8）內單調遞增，

可知/（幻在（―8,-3）內單調遞增，在（1,+8）內單調遞減，

所以函數/（X）單調遞增區間為（-8,-3）.

故選：D.

"-\r2_CLJCI1Z7

8.7（x）=（,:一—，其中a>0,若〃2。一1）</（3-。），則。得取值范圍是（

x—3cix+2〃+1,冗〈〃

A.［川B.?（2,+”）C.（0,l）D（2,+8）D.（1,2）

【答案】B

【解析】

【分析】畫出函數圖像，結合對稱性構造不等式即可求解；

【詳解】

畫出函數/(九)的圖像，

當x>0時，/(a+x)=(a+尤)--?(a+x)+l=x2+at+l,

于(a—x)=(a—尤)一3a(a—x)+2<7一+1=尤？+ax+1,

即/(a+x)=/(a-x),

同理：當x<0時，也可得/(a+x)=/(a—x),

所以/(%)的圖像的圖像關于x=。對稱；

所以/(2a—1)</(3—a)等價于(2a—1—a)?<(3—a—aj,

即3a2—10。+8>0，

4

解得：〃>2或a<—，

3

又〃>0,

所以a得取值范圍是|o，g）u（2,+"）,

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知函數/（x）=Asin3x+°）1A〉0,o>0,|d<m的部分圖象如圖所示，貝i］（）

B.將/（%）的圖象向右平移］個單位，得到y=2sin2x的圖象

C.Vxpx2eR,都有〃（花）-/（尤2）|44

兀/兀

D.函數/（光）的單調遞減區間為knH----,knH-----,keZ

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據圖象求出函數的解析式，利用三角函數的性質及函數的平移變換即可求解.

【詳解】由圖知，A=2,-=即7=兀=如，

43124co

所以0=2,由題意25由12義^+夕］=0,結合圖象解得夕=（2左—1）?！骵Z,

又因為---<(p<—，

22

7T

所以左=1,夕=4,

所以“X）的解析式為：f（x）=2sin^2x+|j,

對A，/[m]=2sin12x_|+|J=-2sin]=—V^,故A正確；

對B,將/（%）的圖象向右平移g個單位，得y=2sin2^x-|^+|=2sin12x—三）的圖象，故B錯

誤；

對C,由三角函數的性質知，—2</（x）<2,所以%,%eR,者陌卜4,故C正確;

TT7T3717T771

對D,由2防c+—W2%+一42防iH----，左eZ,得依+—KXVEH------,keZ,所以函數八%）的單調

2321212

兀7兀

遞減區間為析+五,也+石',keZ,故D正確.

故選：ACD.

10.己知實數滿足0<a<",則下列不等式中一定成立的是（）

11,,

A.—>—B.a">b2

ab

aa+2i------i-----

C.—<--D.Ja+l〉J/?+l

bb+2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據給定條件，利用不等式性質，結合作差法、特例法比較大小即得.

【詳解】對于A,由0vav〃，得A正確；

ab

對于B,由0<〃<人，得"2—/=（〃—/^（Q+Z^VO,所以〈人2,B錯誤;

a+2a(〃+2)匕一〃(/?+2)l(b-a)a+2

對于C,由0<avb,得>0,所以C正確;

b+2~~b(。+2)。(b+2)。bb+2

對于D,當a=l<Z?=3時，?前斤二后〈癡斤=2,D錯誤.

故選：AC

11.已知函數F（x）=（aeR）,下列結論正確的是（）

[2—。，%>0

A.7（九）是奇函數

B.若，(x)在定義域上是增函數，則aWl

C.若的值域為R.則。之1

D.當aWl時，若/(x)+/(3x+4)>0,則xe(—l,+oo)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據題意，結合函數的奇偶性、單調性、值域，將分段函數分情況討論，逐一判斷即可.

【詳解】對于A,由題函數定義域為(TgO)u(O,”)，關于原點對稱，

當x<0時，-x>0,/(%)=-2~x+a,/(-%)=2-'-a--(-2-Y+a)--/(x)；

當x>0時，—x<0,/(x)=2'—a,f(—x)=—2A+a——(2'—ci)——f(x),

則函數/(%)為奇函數，故A正確；

對于B,若/(%)在定義域上是增函數，則—24+aW2°—。，即aWl，故B正確；

對于C,當了<0時，/(x)=—2"+。在區間(一*0)上單調遞增，此時值域為(—8,a—1),

當x>0時，〃尤)=2,-a在區間(0,+8)上單調遞增，此時值域為(1—a,+8).

要使/(%)的值域為R，則a—1>1—。，即a〉l,故C不正確；

對于D,當aWl時，由于—2-°+a42°—a，則函數/(%)在定義域上是增函數，

又函數/(%)是奇函數，故由/(x)+/(3x+4)>0,得/(%)>/(—3x—4),

則無。0,且一3x-4w0,且x>-3x-4,

解得xe(—l,0)u(0,+8),故D不正確.

故選：AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知tana=!，貝Usincrcosa=.

3

3

【答案】—##0.3

10

【解析】

【詳解】將原式分母化為sida+cos?1，再利用正弦余弦齊次式，弦化切后即可代入求解.

■八工廠..sincos。

【分析】sincir-coscr=——-------------

sino+cosa

1

tana_3_3

tan2a+1卜110,

9

3

故答案為：—.

13.外在美加內容美才是真的美，重慶書法家席純雙在一個扇環牌匾上模仿王羲之的《蘭亭序》，在精美的

牌匾上寫上優美的詩句，書法家飄逸靈動的字體，真是美輪美奐，扇環牌匾的兩條弧長分別為15,9,AD

【答案】24

【解析】

【分析】延長相交于點。，由圓心角求得QD,再結合扇形面積公式即可求解;

【詳解】延長相交于點0,設=

915

則=二^—，解得廠=3,

r2+r

所以扇環的面積為,xl5x5—,><9x3=24,

22

故答案為：24

14.定義：在某個區間內，如果一條直線丁=履+匕的圖象始終夾在了(%)與g(x)的圖象之間，即

/(x)<卮+6<g(x)在這個區間恒成立，則這條直線叫做“％)與g(x)的隔離直線，現有兩個定義在

99

(0,+“)的函數〃x)=2x——,g(x)=2x+—,則"%)與g(x)的隔離直線為

X-X

【答案】y=2x

【解析】

【分析】根據隔離直線的概念結合恒成立可得結果.

29

【詳解】由題設有2x--<6+Z?<2x+—在（0,+“）上恒成立，

XX

故（左一2）/+旅+2>0在（0,+8）上恒成立，

且（2—左—加;+2>0在（0,+s）上恒成立，

若左>2,則y=（2—左）*—陵+2（%>0）為右側向下的拋物線，

（2—左）*—區+2>0在（0,+“）上恒成立不成立，

若左<2,同理（左—2）/+瓜+2>0在（0,+“）上恒成立也不成立，

99

故左=2,故-一<人<一在（0,+。）上恒成立，

XX

22

而一>0在（0,+8）上恒成立，且一一<0在（0,+8）上恒成立，

XX

故人<0且Z?N0,故b=0,

所以/（%）與g（%）的隔離直線為y=2x.

故答案為：y=2x.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合4={尤|爐-2%-3<。},3={尤|m<x<2m—l\.

（1）當根=2時，求A|J5；

（2）若人。5=5,求實數加的取值范圍.

【答案】⑴{x|-l<%<3}

（2）（-00,2]

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A,然后由并集運算可得；

（2）由人口8=6先得出集合A與集合3的關系，再對集合B進行分類討論，

【小問1詳解】

已知得,A={x|（x+l）（x-3）<0}={x|-l<%<3},

當777=2時，B=|x|2<X<31,

AoB=|x|-l<%<3};

【小問2詳解】

-.?AC\B=B,

/.BoA,

當3=0時，m>2m-l,即相<1,

m<2m-1,

當時，<2m-l<3,=^>1<m<2,

m>—l

綜上所述，實數加的取值范圍為（-8,2].

16.在直角坐標系內，已知角。的頂點與原點重合，始邊與1軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點

2后_4￡

Z，~~~

sin。一cosa

（1）求值:

tan。

sin（2兀一a）sin（兀+a）sin（5兀-a）cos—a

（2）先化簡再求值：

cos（兀一a）sin（3兀一a）sin（—兀+a）sin[：+a

【答案】（1）正

5

⑵」

4

【解析】

【分析】（1）直接根據三角函數的定義求解sina,cosa,tana,代入計算即可;

（2）結合弦切互化利用誘導公式化簡，代入tana=」計算即可.

2

【小問1詳解】

由三角函數的定義可得sina=一道~,cosa=一,tana=—

552

旦,近

所以sinacosa_5（5）_2非.

tana￡5

2

【小問2詳解】

sin（2兀一a）sin（兀+a）sin（5兀-a）cos一a]

cos（兀-a）sin（3兀-a）sin（—兀+a）sin[]+a]

_（一sina）（—sini）sini（—sina）_sinisina__1

—---------------------------------------——tan2cc——

（一cos。）sino（-sina）cos。cosacosa4

a-V

17.已知函數/（%）=2^石（〃為實數）是奇函數.

（1）求。的值；

（2）解不等式：/（X）〉—；；

（3）若實數加滿足/（2加2—3）+/0—3機）>0,求優的取值范圍.

【答案】（1）a=l

⑵（-8,。23）

【解析】

【分析】(1)結合指數運算，根據奇函數的定義列式求解；

(2)將不等式等價化簡得2*<3,然后結合對數概念利用指數函數單調性解不等式即可；

(3)由復合函數的單調性判斷，并用定義證明，然后由奇偶性變形，由單調性化簡，解一元二次不等式

即可得解.

【小問1詳解】

由題意函數/(九)是定義在R上的奇函數，所以/(-%)=-/(%)，

即一勺=-，整理得I—"'2'：a-2,恒成立,即0—同(2工+1)=0.

2+22+2>i22+22+22''

所以。=1；

【小問2詳解】

1—,％11—1

由（1）知/（x）=-----T，則/（X）〉——=-------->——o2'<3,

V72+2>I'）41+2*2

所以2工<3=2隰3,由函數單調遞增得x<log23,所以原不等式的解集為log23)；

【小問3詳解】

1-2X1

由⑴可得〃可=亍%1=5義3=。，］+擊］

取任意且石<%,

則小)-小2)=*1+高)的+合

)511+2_為_1+:2*

11_1+2*-(1+2』)_2巧-2』

―1+2-1+2巧一(1+2為乂1+2巧)―(1+2為)(1+2*)'

因為占<々，所以2巧一2為>0，又易知(1+2再)(1+2迎)>0,

所以〃再)—/(±)>。,即/a)>/(9)；

因此函數/(%)單調遞減函數；

由/(2m2-3)+/(l-3m)>0可得—3)>；

由/(%)為單調遞減可知2加一3<3加一1，即2w一3加一2<0，

解得—；〈加<2,所以加的取值范圍為1—；,2)

18.己知函數/(%)=加一2依一3.

(1)若。=1,求不等式/(力》0的解集；

(2)已知a>0,且/(力》0在［3,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)若關于尤的方程/(x)=0有兩個不相等的正實數根%,求片+月的取值范圍.

【答案】(1){RxW—1或XN3}

(2)

(3)(2,4)

【解析】

【分析】(1)由題意得/一級-320,求解即可得出答案；

(2)函數/(芯)=依2一20￥一3二〃(％一1)2—〃—3(〃>0),可得二次函數/(%)圖象的開口向上，且對稱軸為

X=l,題意轉化為了(X)1nln》0,利用二次函數的圖象與性質，即可得出答案;

(3)利用一元二次方程的根的判別式和韋達定理，即可得出答案.

【小問1詳解】

當a=l時，/(%)=x2-2%-3,

/(X)>0,即/一%一320,解得xV—1或X23,

/.不等式的解集為｛小W—1或x?3｝；

【小問2詳解】

/(%)=ax2—2ax—3=a(x—I)2—a—3(a>0),XG［3,+oo)

則二次函數/(x)圖象的開口向上，且對稱軸為x=l,

/(X)在［3,+8)上單調遞增，二/(x)mm=/(3)=3a—3,

/(x)?0在［3,+8)上恒成立，轉化為Ax)1nhi>0,

A3a-3>0,解得。之1,故實數。的取值范圍為口,包)；

【小問3詳解】

關于x的方程f(x)=0有兩個不相等的正實數根西,々，

2

Vf(x)^ax-2ax-3,Xj+x2>0,xtx2>0,

A=4a-+12a>0

，aw0且<Xi+4=2〉0,解得a<—3，

3八

Xj,%2=---->U

、a

26

+%；—(玉+4)—2X1%2=4H—,

令g(a)=4+￡(av-3),

a

???g(〃)在(一8,-3)上單調遞減，

.二一G(—2,0),g(a)e(2,4),

a

故的取值范圍為(2,4).

19.已知函數/(%)=山(%-2)+%-3與g(x)=(log2%y—(a+l),log2%+3?

(1)請用定義法證明函數/(幻的單調性；

(2)當a=0時，求g(x)=(log2X)2—(a+l)-log2無+3在區間g,4上的值域；

(3)對于函數/(%)和g(x)，設aw{%|=0},尸w{%|g(x)=0}，若存在a/,使得\a-/3\<\，則稱函數

/(X)和g(x)互為“零點相鄰函數”.若函數/(%)=ln(x—2)+%—3與gOc)=(log2xf-(?+l)-log2x+3

是“零點相鄰函數”，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

11二

(2)—,5