四川省廣安第二中學校2025屆高三下學期二模數學試題

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一、單選題

1.已知集合2="|上|<0；,集合3={小2+》-26},則/口2=()

A.[-2,3]B.[-1,1]C.(T,2]D.(—1,1]

2.已知同=如石=(2,2),辟-2印=回，則2在B方向上的投影向量為()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(2在2&)D.(-2亞,-2亞)

O

3.若x>l,則函數>=2》+^的最小值為()

x-1

A.8B.9C.10D.11

4.已知向量￡=(私2),加=(1,1),"=(1,3),且(2￡-否)，乙則實數機為()

A.-4B.-3C.4D.3

5.已知e,3cos(?+￡)=cosacos￡,則tan(a+〃)的最小值是()

A.273B.2石C.2底D.277

6.已知函數/（x）的定義域為R,且對任意xeR,滿足/（x+1）-/（尤-l）=x,且

/⑴=/（2）=1則下列結論一定正確的是（）

A./(100)<2500B./(100)>2500

C./（101）＜2500D./（101）＞2500

7.底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為（）

A.—7tB.兀C.2兀D.3兀

3

8.已知長方形的四個頂點/（。,0）、以2,0）、C（2,l）、一質點從N5的中點■沿與

48夾角為6的方向射到BC上的點6后，依次反射到C。、DA、48上的點巴、呂、旦（入

射角等于反射角）.設心的坐標為（匕，°）.若1＜匕＜2,則tan。的取值范圍是（）.

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知Z“Z2是復數，i為虛數單位，則下列說法正確的是()

A.若閡=1,則4=iB.Vz1；zzeCjzjZ^lzJIzJ

C.Z1―2>0是4>馬的充要條件D.若z/2=0,則4/2中至少有一個為0

10.已知函數"x)=sin2x,若將f(x)的圖象向右平移自個單位后，再把所得曲線上所有

點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，則下列說法正確的是

()

B.g(x)的圖象關于點(J,。)對稱

C.g(x)的圖象關于直線片三對稱

D.g(x)的圖象與〃尤)的圖象在［0,2可內有4個交點

11.已知函數/(x)=2xlnx+亦則下列說法正確的是()

A.當a>0時，/(x)在(0,+(?)上是增函數

Q

B.當。=2時，/(x)在x=l處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為］

C.若〃尤)在(0,+8)上為減函數，則

D.當°<0時，若函數/(x)=〃x)+ax有且只有一個零點，則

三、填空題

12.若函數/(x)=7^-cosx為奇函數，則實數加的值為一.

13.數列｛%,｝中，滿足。1=1,a,+i=eN"),則用+%+…+。2025.

14.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為尸(近,0),直線y=x-l與其相交于W,N兩點,

試卷第2頁，共4頁

2

MN中點橫坐標為則此雙曲線的方程是.

四、解答題

15.為考察某種藥物A對預防疾病B的效果，進行了動物(單位：只)試驗，得到如下列聯

表：

疾病

藥物合計

未患病患病

未服用10080S

服用15070220

合計250t400

⑴求s,t；

(2)記未服用藥物A的動物患疾病3的概率為P,給出P的估計值；

(3)根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為藥物A對預防疾病B有效?

n(ad-bc『

(a+6)(c+d)(a+c)(6+4)

P(/訓0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.在V/BC中，角A、B、C所對的邊為。、b、c,已知/+c?一/=碇.

⑴求角B的值；

(2)若6=遙，V48c的面積為孚，求VABC的周長.

17.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，PDL4B,PB=PD,底面/BCD是邊長為26的菱形,

ZBAD=~兀.

3

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：平面尸NC_L平面4BCD；

(2)若直線CP與平面ABCD所成角的正切值為:，尸。=§尸。，求二面角8-NQ-C夾角的余

弦值.

18.已知函數f(x)=e"-辦+1.

⑴若a=0時，求曲線”X)在(1J。))處的切線方程；

⑵若l<“<e時，f(x)在區間［05上的最小值為3-21n2,求實數。的值.

19.已知橢圓。的離心率為左、右焦點分別為耳乙(L0)

⑴求C的方程；

(2)已知點(1,4),證明：線段片的垂直平分線與。恰有一個公共點；

⑶設M是坐標平面上的動點，且線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明”的

軌跡為圓，并求該圓的方程.

試卷第4頁，共4頁

《四川省廣安第二中學校2025屆高三1，學期二7慎數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DBCACDACBDBD

題號11

答案BD

1.D

【分析】先分別解分式不等式和一元二次不等式求出集合48,再求兩集合的交集即可.

%-31(%—3)(X+1)W0

【詳解】由一?0,得/二，解得-1<XV3,

x+1[x+lwO

所以/={小1<》43},

由一+工-2=0,得(x—l)(x+2)W0,解得—2<xVl,

所以叼力24x41},

所以如8=(-1,1].

故選：D

2.B

【分析】根據給定條件，利用數量的運算律及投影向量的意義求解.

【詳解】依題意，|b|=25/2,由得/-474+4片=551，則a%=-4,

所以方在3方向上的投影向量為今孩6=-；(2,2)=(-1,-1).

II，

故選：B

3.C

【分析】利用基本不等式可得答案.

【詳解】若x>l,貝！|x-l>0,

所以函數了=2(尤一1)+卷+2221)^y+2=10,

Q

當且僅當2(x-l)=—；即工=3時等號成立.

故選：C.

4.A

【分析】根據向量垂直列方程，化簡求得加的值.

答案第1頁，共12頁

【詳解】2々-5=（2w4）-（1,1）=（2加-口，

由于（2O—B）_LC,

所以（2Q-B）?C=2m-1+9=2m+8=0,加=一4.

故選：A

5.C

【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得tanatan尸的值，再由兩角和的正切展開式、基本

不等式可得答案.

【詳解】由3cos（a+，）=3cosacos，一3sinasin，=cosacos，，

得2cosacos夕=3sinasin，,

因為a,月金［。‘：），所以tanatan尸=g,且tana>0,tan夕>0,

tan（a+3］=tan"+tan'=（tana+tanB^3-2J^anatanB=2夕,

v）］—tanatan,vrv

當且僅當tana=tan/=，取等號.

故選：C.

6.D

【分析】根據累加法可得/（2力=/,/（2》+1）=/+》+1,即可求解.

【詳解】當xeN*時，

因為/■（x+l）-/（尤-l）=x,

^/（2x）-/（2x-2）=2x-l,/（2x-2）-/（2x-4）=2x-3,-,/（4）-/（2）^3,

由累加法可得

/（2X）-/（2）=（2X-1）+（2JC-3）+---+5+3,.-./（2X）=1+3+5+---+（2X-1）-X2,

故/（100）=502=2500,故AB錯誤，

由/（2x+1）-f（2x-1）=2xf（2x-1）-f（2x-3）=2尤一2,…,/（3）-/（1）=2,

所以f（2尤+1）=尤2+X+1,故y（101）=2551>2500，所以C錯誤,D正確，

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：利用累加法可得/（2x）=x2j（2x+l）=/+x+l.

答案第2頁，共12頁

7.A

【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進而利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】由題可知圓錐的底面半徑R=l,母線長/=2,高〃=廬二記=FF=6，

?,?圓錐的體積為憶=—nR2h=

33

故選：A.

8.C

【詳解】解：設PiB=x,

ZPiPoB=0,則CPi=l-x,

NP1P2C、NP3P2D、NAP4P3均為仇???tanO=PiB/PoB=x.

又tan0=CPi/CP2=(1-x)/CP2=x,

CP2=(1-X)/x=l/x-1.

而tane=P3D/P2D=DP3/(3-l/X)=X,

DP3=X(3-1/x)=3x-l.

又tan0=AP3/AP4=(2-3x)/APd=x,

AP4=2/X-3.

依題設IVAP4V2,即1V2/X-3V2,

.*.4<2/x<5,1/4>x/2>1/5.

A1/2>tan0>2/5

9.BD

【分析】AB選項，根據復數模的計算公式判斷；C選項，根據復數定義判斷；D選項，根

據2必2=0列方程，解方程即可.

【詳解】若㈤=1,則4可以為故A錯；

設馬=〃+歷，z2=c+d\.,a,b,c,dER,

則I2/21=|ac-bd+(ad+bc)i|=yj(ac-bd)2++bc)2=2+b22+d2)，

㈤匕21=\la2+b2-yjc2+d2,

所以VZ],Z2WC,上摩上團㈤,故B正確；

當6w0,dwO時，z”Z2為虛數，不能比較大小，故C錯；

答案第3頁，共12頁

2^2=ac—bd+(ad+/?c)i=0,貝！j<,角軍得q=6=0或c=d=0,故D正確.

-\aa+bc=O

故選：BD.

10.BD

【分析】根據函數圖象的變換可得g(x)=sin(x-1；即可代入驗證求解ABC,作出兩個

函數的圖象即可求解D.

【詳解】小)的圖象向右平移三個單位后，可得小-曰=5m21馬=5皿為-3，

進而可得8卜)=$也上-0，故A錯誤，

對于B,g［F)=sin(/-)=0,故B正確，

對于C,gD=sin(m-：)=sin"±l,故x=］不是g(x)的對稱軸，故C錯誤，

對于D,分別作出/(x)與g(x)在［0,2兀］內的圖象，可知有4個交點，故D正確,

故選：BD

II.BD

【分析】利用導數研究函數的單調性判斷A；導數的幾何意義求切線方程，進而求交點坐標,

即可求三角形面積判斷B；問題化為在(0,+司上2aW-1-21nx恒成立,應用導數研究右側

X

1_9InY

的最小值，即可得參數范圍判斷C；問題化為有唯一解，應用導數研究右側的

X+1

單調性和值域判斷D.

【詳解】對于A,/(x)=21nx+2依+1為增函數0時/'(X)趨向負無窮，xf”時/''(X)

趨向正無窮,

所以存在為e(0,+oo)使/(%)=0,故無e(0,尤0)上/(x)<0J(x)在(0,尤0)上為減函數，錯;

對于B,由題設/'(x)=21nx+4x+l,貝1]r(1)=5,且"1)=1,

所以/'(x)在x=l處的切線方程為了=5x-4,

答案第4頁，共12頁

切線與X軸的交點坐標為,與了軸交點坐標為（0,-4）,

14Q

所以/'（X）在x=l處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為］x］x4=3對;

對于C,因為函數/（x）在（0,+"）上為減函數,

則在（0,+司上/'（x）=21nx+2辦+1V0恒成立，即2aW土網二

X

令g(x)-T-，nx,貝Ug'(x)=^1^,易知o<x<1時g'(x)<。,x>1時g。)>。,

所以g（x）在［,e［上為減函數，在e2,+<?上為增函數,

222

所以g(x)min=g12=-2e=>2a<-2e=>a<-e,錯;

對于D,函數方(x)=/(x)+ax=2xlnx+ax2_x+ax有且只有一個零點,

1_2lr?Y

即2xlnx+ax2一X+QX=o有唯一解，則。=-------,

x+1

ci2r

2Inx-------3

令g（x）=x+J且%>0，貝Ug'（無）=_______，

(x+lf

71710

令〃(x)=21nx——3,顯然在(0,+8)上為增函數，/z(5)=21n5---<0</z(6)=21n6,

x53

2

貝！］Hr。e(5,6)，使得人(%)=2山％-二一3=0,易知0cx</時"x。)<0，尤>天時〃(毛)>0,

2

則g(x)在(0,%)為減函數，在(%,+(?)為增函數，貝！Jg(x)1nhi=g(x°)=-二，

xo

當a<0時，limg(x)f+oo,limg(x)->0,

-Xf0'/Xf+oo'z

所以。有且只有一個解時,a=g（x0）=-—,spa---對.

x+1x0/I53J

故選：BD

【點睛】關鍵點點睛：對于C、D,化為在（0,+s）上244T-2Ex恒成立、。=二^有

唯一解為關鍵.

12.2

【分析】根據函數是定義在R上的奇函數，應用/（0）=。計算求參.

【詳解】函數/（》）=：詈-cosx為定義在R上的奇函數，

答案第5頁，共12頁

所以〃o）="等一cos0=%-l=0,所以〃7=2.

1+e2

故答案為：2.

2025,1012

13./I——

10131013

【分析】先利用“累乘法”求數列｛。“｝的通項公式，再利用“裂項求和法”求和.

YldQun

【詳解】因為一=毒,所以上

b”2x20252025

所以6+%+…+%025=2025+]

1013

2025

故答案為:

1013

22

14.土-匕=1

25

22T2

【分析】設雙曲線的標準方程為二-「=1（。>0力>0）,利用點差法可求得勺的值，再結

aba

合焦點的坐標可求得小和〃的值，由此可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】設點河（玉,乂）、

,口工+―,口無+x,24/、-10

由您思可行—~—=――>?>-x2=,%+%=（再+工2）—2=一§，

直線MN的斜率為km=9二立=1,

xx-x2

22

Xz

11

-

一-

22

Qb=12222

則,兩式相減得爻子-五?=0,

2z2

X

22

-b1ab

一-

22

Q

所以

axx-x2（匹-x2+%）2

由于雙曲線的一個焦點為尸（5,o）,則/+/=7,，/=2,從=5,

答案第6頁，共12頁

22

因此，該雙曲線的標準方程為土-匕=1.

25

22

故答案為：土-匕=1.

25

【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，涉及點差法的應用，考查計算能力，屬于中等題.

15.（1）5=180,"150

⑵a

-9

（3）能認為藥物A對預防疾病B有效

【分析】（1）根據列聯表求和即可；

（2）用頻率估計概率，計算即可；

（3）根據公式計算然后根據臨界值表分析判斷即可.

【詳解】（1）由列聯表知s=100+80=180,1=80+70=150；

（2）由列聯表知，未服用藥物A的動物有s=180（只），

未服用藥物A且患疾病8的動物有80（只），

所以未服用藥物A的動物患疾病3的頻率為言=g,

所以未服用藥物A的動物患疾病3的概率的估計值為尸=巳；

（3）零假設為"藥物A對預防疾病3無效，

由列聯表得到/=400（100x7。-150x8。）、2000^6.635，

180x220x250x150297

根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，推斷區不成立，

即認為藥物A對預防疾病B有效，該推斷犯錯誤的概率不超過0.01,

所以根據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能認為藥物A對預防疾病B有效.

71

16.（1）-

（2）6+76

【分析】（1）由余弦定理求出COS8的值，結合角B的取值范圍可求得角8的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得敬的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得該

三角形的周長.

【詳解】（1）由余弦定理可得853='+，-62=匹=[,且0<B<兀，故3=巴.

lac2ac23

答案第7頁，共12頁

(2)由三角形的面積公式可得Sc=Lacsin5=Jzc=2,可得m=10,

△女242

2

由余弦定理可得6=〃=/+。2-2accos8=〃+o2一《Q+@2_^ac=(a+^一3(,故

a+c=6,

因此，V的周長為q+b+c=6+.

17.(1)證明見解析

s、3反

⑵b

【分析】(1)連接2。交/C于點O,連接尸。，通過ADL/C,POLB。即可求證；

(2)過戶作交NC于點H,確定則/PCH即為直線C尸與平面/BCD所成角

,再以以。為原點，。2,。＜^所在直線為陽/軸建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可

求解；

【詳解】(1)連接8。交/C于點O,連接尸。，因為/2CO是菱形，所以ADL/C,

又因為O為此的中點，尸。=P8所以尸O_L8D

又/C,尸Ou面4PC,且/CCPO=0,所以AD工平面"C

又ADu平面48CD,所以平面P4C_L平面48CD

(2)過戶作PH_LZC交ZC于點H,面APC1面ABCD,PH_L/C,面APCPl面ABCD=AC,

PHu面APC,

所以PH，面ABCD,則NPCH即為直線CP與平面ABCD所成角

因為AB工PD,AB工PH,PH,PD爭PHD,PHRPD=P,所以/8_L面尸

又DHu面PHD,所以

所以H為。NO的交點，△48。為等邊三角形，所以77為△/8D的重心，

PH3

所以0H=1,CH=4,在△PCH中tan/PCH=—=-,解得尸〃=3,

CH4

以。為原點，。5,OC所在直線為xj軸建立如圖坐標系，

答案第8頁，共12頁

則/(0,-3,0),8(6,0,0)，50,3,0)尸0-1,3)

加=(33,0),而=萬+!PC=|o,，

設平面ABQ和平面ACQ的法向量分別為所=(xj,z)和力,

百x+3y=0

ABm=O

則--即《:10c八令》=-3,可得：X=3A/3,Z=5

AQ-m=0—y+2z=0

即所=卜百，一3,5),

又2D」平面/。。，則力=(1,0,0)

設平面ABQ和平面ACQ的夾角為6,則cosJ=|cos<m,n)\=嚕^

18.(l)ex->+1=0

(2)a=2

【分析】(1)求導，即可根據點斜式求解直線方程，

(2)求導，根據導數確定函數的單調性，即可求解/'(xLu/gNa-alna+l,構造函

數g(a)=。-alna+l(l<a<e),求導即可求解.

【詳解】(1)當a=0時，/(x)=e，+lj(l)=e+l,且廣(x)=e，,

所以左=/'(l)=e,

故切線方程為V-(e+l)=e(x-l),即ex-y+l=0,

(2)/,(x)=ex-a,xe[0,1],exe[l,e],

由1<a<e,存在x0e[0,1],使得/'伉)=0,即e*=a=x°=lna,

當xe[0%)時，r(x)<0,此時/(x)單調遞減，

當時，/'(x)>0,此時/'(X)單調遞增，

Xo

故/(x)min=f(xo^=e-axQ+l=a-a\na+l=3-21n2,

g(a)=a-alna+1(1<a<e),g'(a)=1-(1+Ina)=-Ino<0,

故g(〃)在(l,e)單調遞減,又g⑵=3-21n2,

答案第9頁，共12頁

故Q=2

22

19.⑴土+匕=1

43

（2）證明見解析

⑶點〃的軌跡是圓，該圓的方程為（x-iy+v=16

【分析】（1）根據橢圓焦點坐標得C=l,離心率為得。=2,從而求出6,得出橢圓方程;

（2）寫出中垂線方程，聯立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個公共點；

（3）解法一：利用設直線方程聯立橢圓方程的方法，根據判別式等于0,即可求解.

解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質結合光學性質，得到|崢|=4,從而得到

點W的軌跡和軌跡方程.

【詳解】（1）因為橢圓左、右焦點分別為片8（1,0）,所以c=l,又因為橢圓C的

離心率為

22

得a=2,.?方=3,所以橢圓方程為土+匕=1.

43

（2）由4（1,4）,大（-1,0）得直線此片斜率為無=2,中點坐標為（0,2）,

所以線段大河。的垂直平分線方程為V=-gx+2,

聯立垂直平分線方程和橢圓方程

（22

工+匕=1

<4;得f_2x+i=o,x=l,y=w

y———x+2"

12

QA=4-4=0,所以直線與橢圓相切，

線段片M。的垂直平分線與C