PAGEPAGE12不等式選講1．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有實數解的充要條件是________．解析a≥|x－4|＋|x－3|有解?a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.答案a≥12．設x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0則(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值為________．解析(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](22＋22＋12)≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81.答案93．已知函數f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集為{x|－2≤x≤3}，則實數a的值為________．解析∵不等式f(x)≤6的解集為{x|－2≤x≤3}，即－2，3是方程f(x)＝6的兩個根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，∴|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.答案14．若不等式|x＋eq\f(1,x)|>|a－2|＋1對于一切非零實數x均成立，則實數a的取值范圍是________．解析∵|x＋eq\f(1,x)|≥2，∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，解得1<a<3.答案(1，3)5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，則m的取值范圍為________．解析∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤4.即－3≤m≤5.答案[－3，5]6．設f(x)＝eq\f(1,a)x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，則實數t的取值范圍是________．解析∵eq\f(1,a)x2－bx＋c<0的解集是(－1，3)，∴eq\f(1,a)>0且－1，3是eq\f(1,a)x2－bx＋c＝0的兩根，則函數f(x)＝eq\f(1,a)x2－bx＋c圖象的對稱軸方程為x＝eq\f(ab,2)＝1，且f(x)在[1，＋∞)上是增函數，又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，則由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，得7＋|t|>1＋t2，即|t|2－|t|－6<0，亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，∴|t|<3，即－3<t<3.答案(－3，3)8．設函數f(x)＝|x－a|＋1，a∈R.(1)當a＝4時，解不等式f(x)<1＋|2x＋1|；(2)若f(x)≤2的解集為[0,2]，eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝a(m>0，n>0)，求證：m＋2n≥3＋2eq\r(2).(2)依題可知|x－a|≤1?a－1≤x≤a＋1，所以a＝1，即eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝3＋eq\f(2n,m)＋eq\f(m,n)≥3＋2eq\r(2)當且僅當m＝1＋eq\r(2)，n＝1＋eq\f(\r(2),2)時取等號．9．設函數f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．解(1)當a＝1時，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2),－4x≤x＋2))?無解，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,2),2≤x＋2))?0≤x<eq\f(1,2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2),4x≤x＋2))?eq\f(1,2)≤x≤eq\f(2,3)綜上，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(2,3))))).(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，轉化為|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0.令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，因為a>0，所以h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5x＋a－3，x≤－\f(1,2),－x＋a－1，－\f(1,2)<x<\f(a,2),3x－a－1，x≥\f(a,2)))，在a>0下易得h(x)min＝eq\f(a,2)－1，令eq\f(a,2)－1≥0，得a≥2.10．已知函數f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集為{x|－1≤x≤5}，求實數a，m的值；(2)當a＝2且0≤t≤2時，解關于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化為|x－2|＋t≥|x|.當x∈(－∞，0)時，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；當x∈[0,2)時，2－x＋t≥x，x≤1＋eq\f(t,2)，0≤x≤1＋eq\f(t,2)，∵1≤1＋eq\f(t,2)≤2，∴0≤x≤1＋eq\f(t,2)；當x∈[2，＋∞)時，x－2＋t≥x，t≥2，當0≤t<2時，無解，當t＝2時，x∈[2，＋∞)．∴當0≤t<2時原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(t,2)＋1))；當t＝2時x∈[2，＋∞)．11．設函數f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)?x∈R，使f(x)≥t2－eq\f(11,2)t，求實數t的取值范圍．(2)易得f(x)min＝－eq\f(5,2)，若?x∈R都有f(x)≥t2－eq\f(11,2)t恒成立，則只需f(x)min＝－eq\f(5,2)≥t2－eq\f(11t,2)，解得eq\f(1,2)≤t≤5.12．已知函數f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.(1)試求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范圍；(2)若關于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求實數a的取值范圍．解(1)f(x)＝|x－4|＋|x＋5|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≤－5，,9，－5<x<4，,2x＋1，x≥4.))又|2x＋1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≤－\f(1,2)，,2x＋1，x>\f(1,2)，))所以若f(x)＝|2x＋1|，則x的取值范圍是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因為f(x)＝|x－4|＋|x＋5|≥|(x－4)－(x＋5)|＝9，∴f(x)min＝9.所以若關于x的不等式f(x)<a的解集非空，則a>f(x)min＝9，即a的取值范圍是(9，＋∞)．13．已知函數f(x)＝|x＋2|－|x－1|.(1)試求f(x)的值域；(2)設g(x)＝eq\f(ax2－3x＋3,x)(a>0)，若隨意s∈(0，＋∞)，隨意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，試求實數a的取值范圍．解(1)函數可化為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3，x<－2，,2x＋1，－2≤x≤1，,3，x>1.))∴f(x)∈[－3，3]．(2)若x>0，則g(x)＝eq\f(ax2－3x＋3,x)＝ax＋eq\f(3,x)－3≥2eq\r(3a)－3，即當ax2＝3時，g(x)min＝2eq\r(3a)－3，又由(1)知f(x)max＝3.若?s∈(0，＋∞)，?t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，則有g(x)min≥f(x)max，∴2eq\r(3a)－3≥3，∴a≥3，即a的取值范圍是[3，＋∞)．14．設函數f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若關于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上無解，求實數t的取值范圍．解(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥\f(1,2)，,－3x－1，－2≤x＜\f(1,2)，,3－x，x＜－2，))所以原不等式轉化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,x－3≥3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤x＜\f(1,2)，,－3x－1≥3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜－2，,3－x≥3，))所以原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪[6，＋∞)．(2)只要f(x)max＜t2－3t，由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞eq\f(3＋\r(5),2)或t＜eq\f(3－\r(5),2).15．設函數f(x)＝|x＋eq\f(1,a)|＋|x－a|(a>0)．(1)證明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍．(1)證明由a>0，有f(x)＝|x＋eq\f(1,a)|＋|x－a|≥|x＋eq\f(1,a)－(x－a)|＝eq\f(1,a)＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝|3＋eq\f(1,a)|＋|3－a|.當a>3時，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得3<a<eq\f(5＋\r(21),2).當0<a≤3時，f(3)＝6－a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得eq\f(1＋\r(5),2)＜a≤3.綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(5＋\r(21),2))).16．已知函數f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值．解(1)當a＝2時，f(x)＋|x－4|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋6，x≤2，,2，2<x<4，,2x－6，x≥4.))當x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；當2<x<4時，f(x)≥4－|x－4|無解；當x≥4時，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集為{x|x≤1或x≥5}．(2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，則h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a，x≤0，,4x－2a，0<x<a，,2a，x≥a.))由|h(x)|≤2，解得eq\f(a－1,2)≤x≤eq\f(a＋1,2).又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)＝1，,\f(a＋1,2)＝2，))于是a＝3.17．已知函數f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.(1)當a＝1時，解不等式f(x)≥4；(2)若?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范圍．(2)應用肯定值不等式，可得f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|.(當且僅當(2x－4)(2x＋a)≤0時等號成立)因為?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，所以(f(x)＋|x－2|)min<3，所以|a＋4|<3，解得－7<a<－1，故實數a的取值范圍為(－7，－1)．18．已知x，y∈R＋，x＋y＝4.(1)要使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求實數a的取值范圍；(2)求證：x2＋2y2≥eq\f(32,3)，并指出等號成立的條件．解(1)因為x，y∈R＋，x＋y＝4，所以eq\f(x,4)＋eq\f(y,4)＝1.由基本不等式，得eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,4)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))≥eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＝1，當且僅當x＝y＝2時取等號．要使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥|a＋2|－|a－1|恒成立，只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成馬上可．構造函數f(a)＝|a＋2|－|a－1|，則等價于解不等式f(a)≤1.因為f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，a≤－2，,2a＋1，－2<a<1，,3，a≥1，))所以解不等式f(a)≤1，得a≤0.所以實數a的取值范圍為(－∞，0]．(2)因為x，y∈R＋，x＋y＝4，所以y＝4－x(0<x<4)，于是x2＋2y2＝x2＋2(4－x)2＝3x2－16x＋32＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,3)))2＋eq\f(32,3)≥eq\f(32,3)，當x＝eq\f(8,3)，y＝eq\f(4,3)時等號成立．19．知函數f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)≤9；(2)若方程f(x)＝－x2＋a在區間[0,2]上有解，求實數a的取值范圍．解(1)f(x)≤9，即|2x－4|＋|x＋1|≤9，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,3x－3≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,5－x≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，,－3x＋3≤9，))解得2<x≤4或－1≤x≤2或－2≤x<－1.∴不等式的解集為[－2,4]．(2)當x∈[0,2]時，f(x)＝5－x.由題意知，f(x)＝－x2＋a，即a＝x2－x＋5，x∈[0,2]，故方程f(x)＝－x2＋a在區間[0,2]上有解，即函數y＝a和函數y＝x2－x＋5的圖象在區間[0,2]上有交點，∵當x∈[0,2]時，y＝x2－x＋5∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(19,4)，7))，∴a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(19,4)，7)).20．f(x)＝|2x＋a|－|x－2|.(1)當a＝－2時，求不等式f(x)≤4的解集；(2)若關于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范圍．解(1)當a＝－2時，由f(x)≤4，得2|x－1|－|x－2|≤4，當x≤1時，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1；當1<x<2時，由2(x－1)－(2－x)≤4，得1<x<2；當x≥2時，由2(x－1)－(x－2)≤4，得2≤x≤4.綜上所述，f(x)≤4的解集為[－4,4]．(2)由不等式f(x)≥3a2－3|2－x|，得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，即為|2x＋a|＋|4－2x|≥3a2，即關于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，而|2x＋a|＋|2x－4|≥|(2x＋a)－(2x－4)|＝|a＋4|，當且僅當(2x＋a)(2x－4)≤0時等號成立，所以|a＋4|≥3a2，解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，解得－1≤a≤eq\f(4,3)或a∈?.所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3))).21．函數f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤8－|x－3|的解集；(2)若正數m，n滿意m＋3n＝mn，求證：f(m)＋f(－3n)≥24.(1)解此不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，,－2x－1＋3－x≤8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3，,2x＋1＋3－x≤8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3，,2x＋1＋x－3≤8，))即不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(10,3))).(2)證明∵m>0，n>0，m＋3n＝mn，∴m＋3n＝eq\f(1,3)(m·3n)≤eq\f(1,3)×eq\f(m＋3n2,4)，即m＋3n≥12，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3n，,m＋3n＝mn，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝2))時取等號，∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1|≥|2m＋6n|，當且僅當(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥eq\f(1,6)時取等號，又|2m＋6n|≥24，當且僅當m＝6，n＝2時，取等號，∴f(m)＋f(－3n)≥24.22．函數f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.(1)求不等式f(x)>a的解集；(2)若恰好存在4個不同的整數n，使得f(n)<0，求a的取值范圍．解(1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|，不等式兩邊同時平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，即5x2>10x，解得x<0或x>2.所以不等式f(x)>a的解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)設g(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤－\f(1,2)，,－5x，－\f(1,2)<x<\f(1,3)，,x－2，x≥\f(1,3)，))作出函數g(x)的圖象，如圖所示，因為g(0)＝g(2)＝0，g(3)<g(4)＝2<g(－1)＝3，又恰好存在4個不同的整數n，使得f(n)<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3<0，,f4≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a<0，,2＋a≥0，))故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1)).23．函數f(x)＝x2＋|x－2|.(1)解不等式f(x)>2|x|；(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)對隨意x∈R恒成立，求證：eq\r(ab)·c<eq\f(7\r(2),32).(1)解由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x2＋x－2>2x))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<2，,x2＋2－x>2x))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋2－x>－2x，))解得x>2或0<x<1或x≤0，即x>2或x<1.所以不等式f(x)>2|x|的解集為(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)證明當x≥2時，f(x)