PAGEPAGE1“12＋4”小題綜合提速練(四)一、選擇題1．(2024·湘潭聯(lián)考)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}，則A∩?UB＝()A．(0,2) B．[2,4]C．(－∞，－1) D．(－∞，4]解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}．?UB＝{x|－1＜x＜2}．所以A∩?UB＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)．故選A.答案：A2．(2024·廣西三校聯(lián)考)已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a－b＝()A．－1 B．1C．2 D．－3解析：eq\f(a＋2i,i)＝eq\f(a＋2ii,i2)＝2－ai＝b＋i，所以b＝2，a＝－1，a－b＝－3，故選D.答案：D3．(2024·大連八中模擬)設(shè)向量a，b滿意|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，則|a＋2b|＝()A．6 B．3eq\r(2)C．10 D．4eq\r(2)解析：|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋9＋2a·b＝9，a·b＝－2，|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2|a＋2b|＝4eq\r(2)，選D.答案：D4．設(shè)a＝log23，b＝eq\f(4,3)，c＝log34，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a解析：∵a＝log23＞＝eq\f(4,3)＝b，b＝eq\f(4,3)＝＞log34＝c，∴a，b，c的大小關(guān)系為c＜b＜a.答案：D5．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，bn＝2an，數(shù)列{bn}的前n項，前2n項，前3n項的和分別為A，B，C，則()A．A＋B＝C B．B2＝ACC．(A＋B)－C＝B2 D．(B－A)2＝A(C－B)解析：∵{an}是公差不為0的等差數(shù)列，∴{bn}是以公比不為1的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得A，B－A，C－B成等比數(shù)列，∴可得(B－A)2＝A(C－B)，故選D.答案：D6．下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是()A．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sinx＋cosx解析：對于選項A，因為y＝－sin2x，T＝eq\f(2π,2)＝π，且圖象關(guān)于原點對稱，故選A.答案：A7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(4,3)＋πcm3 B.eq\f(2,3)＋πcm3C.eq\f(4＋π,3)cm3 D.eq\f(4＋2π,3)cm3解析：由三視圖可知，該幾何體是半個圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為1，高為2，體積為eq\f(1,2)×π×12×2＝π，四棱錐體積為eq\f(1,3)×4×1＝eq\f(4,3)，所以該幾何體體積為eq\f(4,3)＋π，故選A.答案：A8．若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，則a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018的值為()A．22018－1 B．82018－1C．22018 D．82018解析：令x＝0，得a0＝1.令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝(1－9)2018＝82018.所以a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝82018－a0＝82018－1.故選B.答案：B9．(2024·吉林百校聯(lián)考)運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸入的ai(i＝1,2，…，10)分別為1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，則輸出的值為()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,9)解析：閱讀流程圖可得，流程圖中的k記錄輸入的數(shù)據(jù)中大于等于6.8的數(shù)據(jù)的個數(shù)，i＋1記錄的輸入數(shù)據(jù)的總個數(shù)，10個數(shù)據(jù)中，大于等于6.8的數(shù)據(jù)的個數(shù)是5，據(jù)此可得：輸出的值為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：C10．(2024·邢臺質(zhì)檢)已知f(n)表示正整數(shù)n的全部因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則f(12)＝3；21的因數(shù)有1,3,7,21，則f(21)＝21，那么eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝51))f(i)的值為()A．2488 B．2495C．2498 D．2500解析：由f(n)的定義知f(n)＝f(2n)，且若n為奇數(shù)，則f(n)＝n，則eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝1))f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100)＝eq\f(50×1＋99,2)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2500＋eq\o(∑,\s\up12(50),\s\do4(i＝1))f(i)，∴eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝51))f(i)＝eq\o(∑,\s\up12(100),\s\do4(i＝1))f(i)－eq\o(∑,\s\up12(50),\s\do4(i＝1))f(i)＝2500.選D.答案：D11．正方形ABCD的四個頂點都在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是()A．(eq\f(\r(5)－1,2)，1) B．(0，eq\f(\r(5)－1,2))C．(eq\f(\r(3)－1,2)，1) D．(0，eq\f(\r(3)－1,2))解析：設(shè)正方形的邊長為2m，∵橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，∴m＞c，又正方形ABCD的四個頂點都在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，∴eq\f(m2,a2)＋eq\f(m2,b2)＝1≥eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,b2)＝e2＋eq\f(e2,1－e2)，e4－3e2＋1≥0，e2≤eq\f(3－\r(5),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2，∴0＜e＜eq\f(\r(5)－1,2)，故選B.答案：B12．(2024·宣城市調(diào)研)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于隨意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合是“好集合”．給出下列4個集合：①M(fèi)＝{(x，y)|y＝eq\f(1,x)}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝cosx}；④M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中為“好集合”的序號是()A．①②④ B．②③C．③④ D．①③④解析：對于①，y＝eq\f(1,x)是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90?，所以在同一支上，隨意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，滿意“好集合”的定義；在另一支上對隨意(x1，y1)∈M，不存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，所以不滿意“好集合”的定義，不是“好集合”．對于②，M＝{(x，y)|y＝ex－2}，如圖(1)中的直角始終存在，對于隨意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取M(0，－1)，則N(ln2,0)，滿意“好集合”的定義，所以是“好集合”；②正確.對于③，M＝{(x，y)|y＝cosx}，如圖(2)，對于隨意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如(0,1)、(π，0)，滿意“好集合”的定義，所以M是“好集合”；③正確.對于④，M＝{(x，y)|y＝lnx}，如圖(3)，取點(1,0)，曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線相互垂直，所以不是“好集合”．所以②③正確．故選B.答案：B二、填空題13．(2024·洛陽市聯(lián)考)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,3x＋4y≤12，))則eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范圍是________．解析：作出可行域：∵設(shè)z＝eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋eq\f(2y＋1,x＋1)，令s＝eq\f(y＋1,x＋1)，s表示動點P(x，y)與定點(－1，－1)連線的斜率，當(dāng)點P在B(0,0)時，s最小，即z的最小值為1＋2＝3；當(dāng)點P在A(0,3)時，s最大，即z的最大值為1＋8＝9.答案：[3,9]14．(2024·海南省八校聯(lián)考)已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點，過F的直線l與直線x＋eq\r(3)y－1＝0垂直，且直線l與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析：F是拋物線C：y2＝16x的焦點，∴F(4,0)，又過F的直線l與直線x＋eq\r(3)y－1＝0垂直，∴直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－4)，代入拋物線C：y2＝16x，易得：3x2－40x＋48＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝eq\f(40,3)，x1x2＝16，|AB|＝eq\r(1＋3)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(64,3).答案：eq\f(64,3)15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＝(2a－c)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))，且b＝eq\r(3)，記h為AC邊上的高，則h的取值范圍為________．解析：由bcosC＝(2a－c)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))得bcosC＋ccosB＝2acosB?a＝2acosB?cosB＝eq\f(1,2)，∴3＝a2＋c2－2accosB≥ac.∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bh，∴h＝eq\f(1,2)ca∈(0，eq\f(3,2)]．答案：(0，eq\f(3,2)]16．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家探討過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(n2＋n,2)，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形數(shù)：N(n,4)＝n2；五邊形數(shù)：N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六邊形數(shù)：N(n，6)＝2n2－n，…，由此推想N(8,8)＝______