浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義

第一單元數(shù)與式

《第4講數(shù)的開(kāi)方與二次根式》

【知識(shí)梳理】

1.平方根'算術(shù)平方根與立方根

(1)平方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根,也叫做a的二次方

根,記做±Va_.

(2)算術(shù)平方根:若一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方等于a,則這個(gè)數(shù)叫做a的算術(shù)平方根,記做_份_,0的算

術(shù)平方根是0.

(3)立方根:一般地,一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根,

記做一幅_.

2.二次根式的有關(guān)概念

(1)二次根式:形如歷(。20)這樣表示算術(shù)平方根的代數(shù)式叫做二次根式.

(2)最簡(jiǎn)二次根式:在根號(hào)內(nèi)不含分母，不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式的二次根式叫做最簡(jiǎn)二

次根式.

3.二次根式的性質(zhì)

(1)兩個(gè)重要性質(zhì)：

①(VH)2=a520).

②_相,—=⑷=(\a(a>0);

(-Q(QVO).

(2)積的算術(shù)平方根:Jm=_傷壟7^_(0三0,6三0).

(3)商的算術(shù)平方根：(a>0,b>0).

4.二次根式的運(yùn)算

(1)加減法:先化為最簡(jiǎn)二次根式,再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式合并.

(2)乘法:VHxVF=(a20,b20).

（3）除法:李=J|（a20,b>0）.

（4）分母有理化的常見(jiàn)方法：福=匹（a>0）;下==正獸，六^=立乎

7a~~a---Va+V&-a~b--y/a—y/b-a-b

（a20,bNO,a#）.

【考題探究】

類(lèi)型一平方根、算術(shù)平方根與立方根

【例1】下列說(shuō)法中，正確的是（C）

A.0.09的平方根是0.3

B.V16=±4

C.0的立方根是0

D.1的立方根是±1

變式1[2025?預(yù)測(cè)]5的平方根是土遮，25的平方根是土5，后的算術(shù)平方根

是遍.

類(lèi)型二二次根式的概念與性質(zhì)

【例2][2023?金華]要使[久—2有意義則x的值可以是（D）

A.OB.-1

C.-2D.2

變式2[2024?煙臺(tái)]若代數(shù)式已在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是x>l.

Jx-1

類(lèi)型三二次根式的運(yùn)算

【例3】計(jì)算：^j|+5-i-V3.

解:原式=個(gè)+第=2V1

變式3—1計(jì)算：

(1)(2V2-V3)2-V2(V3+V2).

解:原式=（2位）2+（遮4"\后一布一2

=8+3-476-76-2

=9-5V6.

(2)+V0.125—V6+V32.

解:原式=]逐+1V2+V2—V6+4V2

=g-l)V6+Q+i+4)V2

T連+浮

4xV^.

2

解:原式=；X2?+6xX與一4xF

=xy/x+2xy[x—4xy/x

=—xy/x.

變式3-2如圖,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2V2,5C=企.求斜邊上的高線CD的長(zhǎng).

變式3—2圖

角窣:在RtAlbC中,A5=L4C2+BC2=VT0,

AC?BC_2V10

則CD=

AB5

類(lèi)型四二次根式的化簡(jiǎn)求值

［例4］［2024?湖州模擬］先化簡(jiǎn),再求值：［—3+（山+2—上~，其中加=二手?

3mz—6m\m~2

解:原式=m—3.(m+2)(m—2)—5

3m(m—2)m~2

--------m---~--3-----?m~2

3m(m—2)(m+3)(m—3)

_1

37n(m+3)

_1

37n2+9加

?.?片亨，.?.2.+3=低

，(2帆+3)2=(述)2,

即4/n2+12/n+9=5,

:./n2+3m=~1,

原式=舟嬴

_i

3x(-1)

1

3,

變式4—1蠟一分母有理化的結(jié)果為（B）

V5-1

A.V5+1B漢

2

C3+V5D.T

?22

先化簡(jiǎn),再求值:^y/xy3,其中V3

變式4—2J25%y—4yJ|+x=V3,j=

3,

解:原式=56^一

當(dāng)x=V5,y=苧時(shí),原式=1.

類(lèi)型五二次根式的非負(fù)性

【例5][2024?成都]若肛n為實(shí)數(shù)，且（機(jī)+4了+Jn-5=0,貝火加+江的值為1.

【解析】?.,》/,〃為實(shí)教，且（》i+4）2+Jn—5=0,

/./w+4=0,n—5=0,將得m=~4,n=5,

?*.(m+n)2=(—4+5)2=l2=l.

變式5已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足y=Jx--3+Js—x+2,則（廠工產(chǎn)24的值為1.

【課后作業(yè)】

1.[2024?綏化]若式子12/—3有意義,則m的取值范圍是（C）

23

A./nW-BmN--

32

C.m^-D.nzW--

23

2.[2024?內(nèi)江]16的平方根是（D）

A.2B.-4

C.4D.±4

3.下列計(jì)算中，正確的是（A）

A.V22=2B.J(-2)2=—2

D.J(-2)2=±2

C.V22=±2

4.下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（A）

A.V5B.V12

C.Va1D.4

7a

5.[2024?湖南]計(jì)算/XV7的結(jié)果是（D）

A.2V7B.7V2

C.14D.V14

6.下列各式計(jì)算正確的是（B）

A.14+9=2+3

B.V4X9=2X3

c.府=32D.V4?9=0.7

7.[2024?鹽城改編]矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為迎cm,V10cm,設(shè)其面積為S（cm2）,貝ljS在哪兩

個(gè)連續(xù)整數(shù)之間（D）

A.1和2B.2和3

C.3和4D.4和5

【解析】5=V2XV10=V20(cm2).

VV16<V20<V25,.\4<720<5,

；?S在4和5之間.

V5+1

8.計(jì)算—小與二的結(jié)果是（B

2)

A.0B.1

C.2D.?

9.[2024?安徽]我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為6。祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式

的近似值為彳.比較大小:"U三章填“>”或“V”）.

10.[2024?濱州]寫(xiě)出一個(gè)比舊大且比V1U小的整數(shù)：2或3.

11.[2023?黃岡]請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)m的值使得倔^是整數(shù):m=2（答案不唯一）.

12.W石的平方根是.+2.

13.[2023?內(nèi)江]若a"互為相反數(shù),c為8的立方根,則2a+2b-c=-2.

14.計(jì)算:

(1)[2024?威海]A/12~V8XV6=~2V3.

(2)[2024?天津](Vn+l)(Vn—1)=10.

15.若|a—2|+Ja+b=0,則ab=-4.

【解析】V\a-2\+Ja+b=0,

:?a—2=0,。+。=0,

解得a=2,b=—2,

：.ab=2X(-2)=-4.

16.若3—四的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則代數(shù)式(2+/0?b的值是2.

【解析]\"1<V2<2,

/.1<3-V2<2.

又T3一四的整數(shù)部分為a,小教部分為b,

/.a=l,b—3—V2—1=2—V2,

，(2+缶)?Z>=(2+V2)(2-V2)=2.

17.[2024?河北]已知a,b,n均為正整數(shù).

(1)若n<V10<n+l,貝I]n=3.

(2)若n-l<VR<n,n<4b<n+l,則滿(mǎn)足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少2個(gè).

【解析】(2)*.*n—l<Va<n,

/.(n—l)2<a<n2,

/.a的取值范圍是/一(〃一1)2=/一/+24—1=2”—1.

Vn<V6<w+l,

:.n2<Z><(n+l)2,

.,.b的取值范?3^(n+l)2—n2=n2+2n+l—n2=2n+l.

,.,(2n+l)-(2n-l)=2,

.?.滿(mǎn)足條件的a的個(gè)數(shù)總比b的個(gè)數(shù)少2個(gè).

18.計(jì)算：

(1)[2024?甘肅]V18-V12XJ|.

解:原式=3或一3或=0.

⑵陽(yáng)內(nèi)一鴻).

解:原式=a(3遮一2遮)=V2X2V2=4.

19.先化簡(jiǎn),再求值：

(l)a(a+2Z?)—(tz+1)2+2G,其中a=V2+1,/>=V2—1.

解:原^4=a2+2aZ>—a2—2a—l+2a

=2ab~\.

當(dāng)a—y[2+1,b—\[2~l時(shí)，

原^=2(V2+1)(V2-1)-1=2-1=1.

(2)[2023?宜昌]史券？+梟二+3,其中。=遮一3.

a2—4a'+2a

解:原灰=,―2.?史吐2+3

(a+2)(a—2)a—2

-a—2.a(a+2)十3

a+2a—2

=a+3.

當(dāng)a=W—3時(shí)，原式—3+3=V3.

20.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了著名的秦九韶公式，也

叫三斜求積公式，即若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則該三角形的面積S滿(mǎn)足公式：

S=卜a2b2一戶(hù).

NL

現(xiàn)已知ZkABC的三邊長(zhǎng)分別為1,3,V5,求△A5C的面積.

==

解:不妨令a=1,b3fCA/5,

則S=[*X32—"可

_Vii

4?

21.如圖，C為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B,D在B