專題07三角形中的證明與計(jì)算問題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.............................................................................................1

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................1

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用.......................................................................9

題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算.........................................................21

題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算.........................................................40

中考練場.................................................................................................44

題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述

三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是解決三角形相關(guān)問題、推導(dǎo)幾何結(jié)論的關(guān)鍵工具，

在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查依據(jù)不同幾何情境，精準(zhǔn)選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三

角形全等，并熟練運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的證明與計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個(gè)三角形全等；利用全等三角形性質(zhì)，證明線段

相等、角相等或計(jì)算線段長度、角度大小；在復(fù)雜圖形中，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，解決幾何問題。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理的靈活運(yùn)用，全等三角形性質(zhì)在證明線段、角度關(guān)系及計(jì)算中的應(yīng)用，

全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實(shí)際問題（如測量距離）中的運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能

力，從復(fù)雜圖形中識別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構(gòu)造全等三角形突破解題難點(diǎn)；同時(shí)具備將實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定三角形全等時(shí)，錯(cuò)用判定條件，如誤將“SSA”當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用全等三角形性質(zhì)

時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段、角度計(jì)算錯(cuò)誤；添加輔助線時(shí)缺乏針對性，無法有效構(gòu)造全等三角形；在綜合問題中,

不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計(jì)算。

02解題攻略

【提分秘籍】

全等三角形的判定:

①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個(gè)三角形全等。

②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

全等三角形的性質(zhì)：

對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段（高、中線、角平分線等）相等

【典例分析】

例1.（2024?云南?中考真題）如圖，在VABC和△AED中，AB^AE,NBAE=NCAD,AC=AD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.利用“SAS”證明

△ABC名△AED,即可解決問題.

【詳解】證明：NBAE=/CAD,

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即ZBAC=ZEAD,

在VA2C和△AED中，

AB=AE

，ZBAC=NEAD,

AC=AD

AED(SAS).

例2.（2024.江蘇南通?中考真題）如圖,點(diǎn)。在VA3C的邊AB±,DF經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)E,且跖=DE.求證CF//AB.

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得隹=EC,即可證明AED^CEF,

有ZDAE=ZFCE成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：???點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，

:.AE=EC,

；EF=DE,ZAED=ZCEF,

AAED^ACEF（SAS）,

??.ZDAE=ZFCE,

：.CF//AB.

例3.（2024.福建?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在BC、邊上，ZBAF=ZDAE,求證：BE=DF.

【答案】見解析

【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明NBAE=/ZMF,再證明從

而可得結(jié)論.

【詳解】證明：在菱形ABC。中，

AB=AD,ZB=ZD,

'：ZBAF=ZDAE，

ZBAE+ZEAF=ZEAF+ZDAF,

/.ZBAE=ZDAF,

NB=4D

在和△D4F中，AB=A。,

ZBAE=ZDAF

：.△RAF.g/\DAF,

：.BE=DF.

例4.（2024?四川樂山?中考真題）知：如圖，4B平分NCAD,AC^AD.求證：NC=/D.

【答案】見解析

［分析】利用SAS證明AC4B2AZMB,即可證明NC=/D.

【詳解】解：4?平分NCAD,

:.ZCAB^ZDAB,

在AC4B和AIMS中，

AC=AD

，ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.ACAB^ADAB（SAS）,

:./C=/D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握SAS、AAS、ASA,SSS等全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

例5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則A8=CD.

BCD

請從①CE〃DF；②CE=DF；③NE=4這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號），使結(jié)論成立，并說明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=NEB3NO=NEG1,再由全等三角

形的判定和性質(zhì)得出47=3。，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出

AEC=BFD(SAS),結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：選擇①CE〃小；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=ZFBD,ZD=NECA,

AE=BF,

：.AEC^.BFD(AAS),

AC=BD,

：.AC-BC^BD-BC,即AB=CD；

選擇②CE=Z)產(chǎn)；

無法證明AAEC式ABFD,

無法得出AB=CD；

選擇③NE=NP；

,/AE//BF,

,ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=NF,

：._AEC絲.BFD(AS0,

：.AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=C￡＞；

故答案為：①或③(答案不唯一)

【變式演練】

1.(2025?陜西西安?二模)如圖，E是AB上一點(diǎn)，AB=DE,CB=CE,EC平分NBED,求證：ZD=ZA.

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線的定義和等腰三角

形的性質(zhì)可得"EC=N3,進(jìn)而由SAS可得據(jù)此即可求證，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】證明：：CB=CE,

ZB=/BEC,

,/EC平分NBED,

：./DEC=NBEC,

：.ZDEC=ZB,

在△OCE和△ACB中，

DE=AB

<ZDEC=ZB,

CE=CB

：.△DCE段AACB(SAS),

/.ZD=ZA.

2.（2025?福建泉州?一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接DE,A￡>=DEt，點(diǎn)/是￡見上一點(diǎn),

ZAFD=90°.求證：AF=CD.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形的性質(zhì)可得AD〃3C,NDCE=90°,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得/ADR=/DEC,再結(jié)合NAED=90。，可

得NAFD=NOCE,利用AAS可證得△AFD絲aDCE,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：四邊形ABCZ）是矩形，

..AD//BC,ZDCE=90°,

:.ZADF=ZDEC,

又iZAFD=90°,

:.ZAFD=ZDCE,

在△AFD和△￡>（“中，

ZAFD=NDCE

<ZADF=ZDEC,

AD=DE

AFD^DCE(AAS),

AF=CD.

3.(2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)如圖，點(diǎn)、B,C,D,歹在一條直線上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求證:

AC//DE.

【分析】本題考查全等三角形的判定與平行線的判定，先證1MBeREED(SAS),得出NACB=/皿，則

ZACD=ZEDC,再由平行線的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：在VABC和右跖D中，

AB=EF

</CAB=/DEF,

AC=ED

：.ABC^EFD(SAS),

:.ZACB=ZEDFf

：.ZACD=ZEDCf

：.AC//DE.

4.(2025?陜西西安?二模)如圖，在VABC中，點(diǎn)。是A5上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作/位更=4,點(diǎn)石在A5上方，連接AE,

AE=AC,24)石與/E4C互補(bǔ)，求證：DE=BA.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵；由同角的補(bǔ)角相等可得

ZEAC=ZBDE,再證明ABC會ECM(AAS)即可得證.

【詳解】證明：/位比與/E4c互補(bǔ)，

.\ZADE-vZEAC=18Q°f

ZADE+ZBDE=180°,

，/EAC=/BDE,

ZEAD+ZDAC=ZEAD+ZE,

:.ZDAC=ZE,

ZADE=NB,AE=AC.

ABC烏EDA(AAS),

DE-BA.

5.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測)如圖，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD上AB交

AE的延長線于點(diǎn)。，CG平分/ACB交2D于點(diǎn)G,尸為48邊上一點(diǎn)，連接且NACF=NCBG.求證：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，則NACG=N3CG=45。，ZCAF=ZCBF=45°,等量代換，則NC4尸=NBCG,根據(jù)全等三角形的

判定和性質(zhì)，即可；

(2)延長CG交A3于連接AG,根據(jù)題意，垂直平分線的性質(zhì)，證明得到CH是的垂直平分線，則=

AG=BG,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，則AD〃CG,ZD=ZEGC,根據(jù)NGS4+ND=44G+NZMG=90。，推出

ND=NDAG,根據(jù)全等三角形性質(zhì)，則△AFC2/XCGB,得到CF=3G,根據(jù)E為AC邊的中點(diǎn)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，貝UADE絲_CGE(AAS),根據(jù)邊的等量關(guān)系，即可.

【詳解】(1)證明，如下：

VZACB=90°,AC^BC,

：.ZCAF=ZCBF=45°,

：CG平分/ACB交BD于點(diǎn)G

：.ZACG=ZBCG=45°,

：.NCAF=NBCG,

VAC=BC,ZACF=NCBG,

..AFC^CGB(ASA),

AF=CG.

(2)證明，如下:

延長CG交A3于"，連接AG,

???CG平分/ACS,AC=BC,

???CH是AB的垂直平分線，

：?AH=BH,AG=BG,

；?ZABG=/GAB,

ADJ.AB,

：.AD//CG,ZDAB=90°9

:?/D=/EGC,

:ZGBA+ZD=ZBAG+ZDAG=90°f

:./D=/DAG,

：.DG=AG=GB,

9：AAFC^ACGB,

:.CF=BG,

:.DG=CF,

*/E為AC邊的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

*：ZAED=ZCEG,

???乙AD石空CG石(AAS),

:?DE=GE,

JDG=2DE,

：.CF=2DE.

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述

相似三角形的判定及性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容，它主要研究三角形之間的相似關(guān)系，通過判定定

理確定相似性，并利用性質(zhì)解決線段比例、角度關(guān)系等幾何問題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對相似三角形判定定理（如兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的

準(zhǔn)確運(yùn)用，以及相似三角形性質(zhì)（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類

幾何情境中的應(yīng)用。

2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度、角

度大小、圖形面積；通過構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題，如測量物體高度、距離等。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中的運(yùn)用，相似三角形

與函數(shù)、圓等其他知識的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識別與應(yīng)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖

形分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型求解。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定相似時(shí)錯(cuò)用條件，例如誤將兩邊對應(yīng)成比例且其中一邊的對角相等當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用

相似三角形性質(zhì)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段比例、面積計(jì)算出錯(cuò)；對相似模型的特征把握不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確識別與應(yīng)

用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識解題。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.相似圖形的概念:

把形狀相同的圖形稱為相似圖形。

2.相似三角形的概念：

如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

3.相似三角形的判定：

①平行線法判定：

平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

②對應(yīng)邊判定：

三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。

③兩邊及其夾角判定法：

兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

④兩角判定：

有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

4.相似三角形的性質(zhì)：

①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。

②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角

平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比。

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形A2CD的邊BC,CD±,BE=3,EC=6,CF=2.求

證：△ABEs^ECF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.根據(jù)正方形的性質(zhì),

AR

得出々=NC=9O。，AB=CB=9,進(jìn)而得出三二?，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明.

ECCF

【詳解】解：BE=3,EC=6,

:.BC=9,

四邊形ABCD是正方形，

：.AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AB93BE_3

^C~6~29CF-2?

ABBE

,EC-CF

又?.ZB=ZC=90°,

ABEs,ECF.

例2.（2024?新疆中考真題）如圖，在。中，是。的直徑，弦交A5于點(diǎn)E,AD=BD-

(1)求證：AACD^AECB；

(2)若AC=3,3C=1,求CE的長.

【答案】(1)見解析

中

【分析】(1)利用圓周角定理可得出/ACD=/BCE,ZADC=ZABC,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

AF

(2)利用勾股定理可求出A3,AD,利用等面積法求出卡=3,可求出BE,然后利用(1)中△ACDs/XECB求解

BE

即可.

【詳解】⑴證明：：仞二即，

ZACD=/BCE,

又ZADC=ZABC,

：.AACWAECB；

(2)解：：AB是C。的直徑，

二ZACB=ZADB=90°,

,/AC=3,BC=1,

AB=^AC2+BC2=y/io.

;AD=BD，

：.AD=BD,

AD2+BD2=AB2=10,

：.AD=45,

,：ZACD=/BCE,

到AC、BC的距離相等，

設(shè)E到AC的距離為h,C到AB的距離為機(jī)，

??s11

QBCE-BCh-BEm

22

?..-A-E=-A-C=3.,

BEBC

：.BE=—AB=-yJ15

1+34f

AACD^AECB,

3二十

.ACAD

即法一河

'EC~EB

CE=-y/2.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

例3.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，A3是。的直徑，ACD內(nèi)接于)0,CD=DB，AB，CD的延長線相交于

點(diǎn)E,且=

⑴求證：ACADsACEA；

⑵求/ADC的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握

這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等弧所對的圓周角相等可得出ZCAD=ZDAB，再由等邊對等角得出ZDAB=NE,等量代換可得出Z.CAD=ZE,

又NC=NC,即可得出△QWSACEA.

(2)連接8￡>,由直徑所對的圓周角等于90。得出/ADB=90。，設(shè)/C4D=NZMB=a,即NC4E=2a,由相似三角

形的性質(zhì)可得出/ADC=NC4E=2。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出2“+2或+90。=180。，即可得出a的值，進(jìn)

一步即可得出答案.

【詳解】(1)證明：

ZCAD=ZDAB,

?；DE=AD,

ZDAB=ZE,

：.ZCAD=ZE,

又；NC=NC

(2)連接5D,如下圖：

；AB為直徑，

ZAD3=90°,

設(shè)/CAD=NDAB=a,

/CAE=2a,

由（1）知：^CAD^/\CEA

：.ZADC=ZCAE=2a,

:四邊形ABOC是圓的內(nèi)接四邊形,

ZC4B+ZCZ）B=180°,

即2?+2?+90°=180°,

解得：a=22.5°

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

例4.(2024?四川?中考真題)如圖，在四邊形A3。中，ZA=90°,連接80,過點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E,CE交BD

于點(diǎn)/，Z1=ZABC.

C

⑵若N4=45。.

①請判斷線段2C,8。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BC=13,AD=5,求EF的長.

【答案】(1)見解析

25

⑵①3C=3。，理由見解析；②歷=五

【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)由余角的性質(zhì)可得H+N3=90。，Z2+ZABC=90°,根據(jù)/1=/ABC,可得N2=/3；

(2)①設(shè)N2=N3=X，可求ZBFE=90'x=ZDFC,可求ZBCD=ZBZJC=45。+.%,根據(jù)等腰三角形的判定可得BC=%>；

EFBE

②由勾股定理可求AB=12,由“AAS"可證"DB四△ESC,可得8E=AD=5,通過證明△EFBs&v汨，可得丁=「

ADAB

即可求解.

【詳解】(1)證明：CE1AB,

.\ZCEB=90°=ZAf

.?.Nl+N3=90。，Z2+ZABC=90°,

Z1=ZABC,

.?.N2=N3；

(2)解：①BC=BD,理由如下：

設(shè)N2=Z3=x,

:.ZBFE=90°-x=ZDFC,

N4=45。，

ZCDB=180。—45°-(90°—x)=45。+%,

ZBCD=Z4+Z2=45°+x,

.\ZBCD=ZBDC,

BC=BD；

BC=BD=13fAD=5f

AB=yjBD2-AD2=V169-25=12，

BC=BD,ZA=ZCEB,N2=N3,

:.ADBWEBC(AAS),

BE=AD=5,

ZA=NCEB,Z3=Z3,

:NEFB^NADB,

.EFBE

,,一,

ADAB

.EF5

512，

“25

:.EF=——.

【變式演練】

1.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測）如圖，VABC中，ZACB=9Q°,CD是AB邊上的高，求證：AACD-ACBZ）.

DB

【答案】見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：：NACB=90。，

ZA+ZB=90°,

CD是A3邊上的高，

ZADC=NBDC=90°,

ZA+ZACD=90°,

：.ZACD=ZB,

：./\ACD^Z\CBD.

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，將VABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到&|刎，連接MA,CN.求證：ABM^CBN.

M

【答案】見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：AB=MB,BC=BN,ZABC=/MBN,進(jìn)而可得又=幽，ZABM=ZCBN,由此根據(jù)相似三角

形的判定定理即可證明ABMs.CBN.

【詳解】證明：I將VABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AWSN,

二由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得AB=MB,BC=BN,ZABC=ZMBN,

,ABMB

"BC~BN'

ZABC=NMBN,

ZABC+ZABN=ZMBN+ZABN,

即ZABM=/CBN,

:..ABMs,CBN.

3.(2024.四川樂山.模擬預(yù)測)如圖，已知線段AB,CO相交于點(diǎn)。，ADCD,AO=2,AB=5.求

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可證NO=NC,根據(jù)對頂

角相等可得NAQD=N50C，所以可證BOC,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可求結(jié)果.

【詳解】解：如下圖所示，

../D=/C,

又?ZAOD=ZBOC,

AOD^BOC,

OP_OA

'~OC~~OB'

AO=2,AB=5,

:.OB=AB-OA=3,

.0。_OA_2

*OC-OB-3,

4.（2024?廣西?模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形A5C中，BD=CE,BE、相交于點(diǎn)?求證：AE?=EFEB.

【答案】證明見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，先證明

△ABD經(jīng)△BCE(SAS)得到/BAD=NCBE,進(jìn)而可證明NAEE=NB4E=60。，再證明,即可根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【詳解】證明：???VABC是等邊三角形，

/.AB=BC,ZABD=ZC=ZBAE=60°,

又,：BD=CE,

JAABD^ABCE(SAS),

：?ZBAD=/CBE,

：./AFE=/BAD+/ABE=/CBE+NABE=/ABC=60。,

:.ZAFE=ZBAE,

XVZAEF=ZBEA,

Z\AEFSABEA,

.AEEF

??__—―~~,

BEAE

AE2=EFEB.

5.(2025?上海虹口?一模)如圖，在Rt^ABC中，ABC=90,點(diǎn)。在邊AC上，過點(diǎn)。作OE垂直AC交A5于點(diǎn)E,

連接EC、80交于點(diǎn)

(I)求證：AB"ACE；

(2)如果3c=BE,求證：^CE2=BFBD.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識：

AF)ApAF)Afi

(1)由NADE=NABC=90o,NA=NA,證明ADE^ABC,得——=——，所以——=——，貝hABDsACE；

ABACAEAC

(2)由相似三角形的性質(zhì)得/ABD=NACE,推導(dǎo)出/BDC=/BEC,由3c=BE,NCBE=90°,得

NBCF=/BEC,CE?=BC?+BE?=2BC?,則/BCF=/BDC,BC?=；CE?,而NFBC=/CBD,所以_FBCsCBD,

則生=絲，所以BC2=BFBD,貝IJ=CE2=B/

BDBC2

【詳解】(1)ZABC=90°,DE±AC

:.ZADE=ZABC=90°

ZA=ZA

/.ADEsABC

AD_AE

AD_AB

*AE-AC

ABDsACE

(2)AB，ACE

.\ZABD=ZACE

ZBFC-ZACE=ZBFC-ZABD

ZBDC=ZBFC—ZACE,ZBEC=ZBFC-ZABD

:./BDC=/BEC

BC=BE,NCBE=90。

，/BCF=NBEC,CE2=BC2+BE1=2BC2

ZBCF=/BDC,BC2=1CE2

/FBC=/CBD

：.FBCs.CBD

BCBF

"BD~BC

BC2=BFBD

1,

:.-CE2=BFBD

2

6.(2025?重慶大渡口?模擬預(yù)測)如圖，在ABCD中，對角線AC與相交于點(diǎn)0,NC4B=NACB,過點(diǎn)3作6EAB

交AC于點(diǎn)E.

⑴求證：ABO^BEO；

⑵若AB=10,AC=16,求OE的長.

【答案】(1)證明見詳解

9

(2)OE的長為5

【分析】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可證平行四邊形ABCD是菱形，則ACL3。，由垂直的定義可得NA03=/30E=90。，由同角的余角

相等可得NO必=NOEB,由此即可求解；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC，8RQ4=8,由勾股定理得到03=6,由（1）中的相似得到嬰=嬰，B|jf=-|-,

BOEO6EO

由此即可求解.

【詳解】（1）證明：'：ZBAC=ZBCA,

；?BA=BC,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

???平行四邊形ABCQ是菱形，

???ACVBD,

???ZAOB=ZBOE=9Q0,

：.ZOBE^ZOEB=90°,

?；BE工AB,

：./OBE+/OBA=900,

：.ZOBA=ZOEB,

???ABO^BEO；

（2）解：???平行四邊形A3c。是菱形，

ACJ_BD,OA=OC=—AC=—xl6=8,

22

在MAO5中，OB=7AB2-OA2=A/102-82=6,

由（1）可知.ABOsHEO,

.AOBO

??茄—訪’

.8__^

??,一?,

6EO

9

解得，EO=/

9

???。￡的長為

題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算

01題型綜述________________________________________

結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何知識綜合運(yùn)用的關(guān)鍵內(nèi)容，深度融合全等三角形與相似

三角形的核心性質(zhì)，對學(xué)生綜合分析與解決問題能力要求較高，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查靈活運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，在復(fù)雜幾何情境下，通過

尋找、構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對三角形中線段長度的精準(zhǔn)計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型有在一個(gè)圖形中，先證明三角形全等得到部分線段相等關(guān)系，再借助相似三角形對應(yīng)邊比例，

計(jì)算其他線段長度；或者先利用相似三角形求出部分線段比例，再通過證明全等三角形，確定關(guān)鍵線段長度，進(jìn)而計(jì)

算所求線段。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應(yīng)相

等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及全等與相似三角形性質(zhì)在串聯(lián)線段關(guān)系、計(jì)算

線段長度過程中的綜合體現(xiàn)。

4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復(fù)雜圖形中迅速識別全等與相似三角形的基本模型；擁有強(qiáng)大

的邏輯推理能力，依據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等與相似的證明順序，搭建線段計(jì)算的橋梁；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，處理

復(fù)雜線段比例與長度計(jì)算。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和性質(zhì)，導(dǎo)致證明過程出錯(cuò)；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí),

輔助線添加不合理，無法有效建立線段聯(lián)系；在利用相似三角形對應(yīng)邊成比例計(jì)算時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混亂，造成計(jì)算錯(cuò)誤；

對題目中隱含的全等或相似條件挖掘不充分，影響解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）如圖，AC,5。相交于點(diǎn)0,AB//DC,M是48的中點(diǎn)，MN//AC,交BD

于點(diǎn)N.若DO:OB=1:2,AC=12,則MN的長為（）

C.6D.8

【答案】B

從而得到=』再根據(jù)〃得到一從而得到

【分析】根據(jù)AB〃OC可得BAO,COOA,MNACBOA,

2

MN=-OA最后得到ACV=CO即可求解.

2f

【詳解】解：AB//DC,

DCOBAO,

.DOCO_1

:.CO=-OA,

2

CO=-AC,

3

^：MN//AC,

BNMBOA,

BMMN

'~BA~~OA'

M是AB的中點(diǎn),

BM_MN_1

,^A~~OA~2,

\MN=-OA,

2

:.MN=CO,

:.MN=-AC=-xl2=4,

33

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，掌握相似三角形的性質(zhì)及判定方法是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12,點(diǎn)E,尸分別在邊5C,CD上，A石與所相交

于點(diǎn)G,若BE=CF=5,則BG的長為

【分析】根據(jù)題意證明△AB￡與ABC"SAS）,EBGsFBC,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：四邊形A5CD是正方形，

.\ZABE=ZC=90°,AB=BC,

BE=CF,

.?.AABE/ABCF（SAS）,

,\ZBAE=ZCBFf

ZCBF+ZABG=90°,

ZBAE+ZABG=90°,

ZBGE=90°,

:.ZBGE=/C,

又ZEBG=ZFBC,

EBG^FBC,

.BGBE

一~BC~1SF'

BC=AB=12fCF=BE=5,

:.BF=VBC2+CF2=A/122+52=13，

?BG_5

??=,

1213

BG=—.

13

故答案為：卷?

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

例3.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于《O,點(diǎn)。在上，AD平分ZB4c交.。于。，連接8。.若

AB=W,BD=2y[5,則BC的長為

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，

延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,進(jìn)而可證明，極注,AED（ASA）,

得至1]BD=DE=2下,即得BE=4君，利用勾股定理得4。=4石，再證明△4?Os1^BCE,得到竺=翌，據(jù)此即

ABAD

可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：延長AC,BD交于E,

項(xiàng)是（:。的直徑，

ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

平分NBAC,

:.ZBAD=ZDAE,

又：AD=AD,

：.aASD空A￡D（ASA）,

BD=DE=2A/5,

.-.BE=475,

AB=W,BD=2s/5,

AD=J102_（2國=475,

ZDAC=ZCBD,

又：ZBAD^ZDAE,

：.NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE=90°,

ABDsBEC,

.BE_BC

「說一茄’

45/5_BC

BC=8,

故答案為：8.

例4.(2023?遼寧營口?中考真題)如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,將AC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

AF

CD,連接BZ)交AC于在E,則==.

【分析】連接AD，證明，ACD是等邊三角形，則AC=AD=CD,ZADC=ZCAD=60°,^AC=AD=CD=a,貝U

AB=AC=a,取AC的中點(diǎn)X,連接求出。//=且°,設(shè)AE=x,貝i|￡W=1a-x,證明得到

22

(|=爵，解得x=(2-⑹°,即AE=(2-⑹a,再利用勾股定理求出OE?=3(2-⑹/，進(jìn)一步即可得到答案.

【詳解】解：連接AD,

將AC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CD,

AC=CD,

???,ACD是等邊三角形，

二AC=AD=CD,ZADC=ZCAD=60°,

設(shè)AC=AD=CD=a,貝!JAB=AC=a,

取AC的中點(diǎn)H,連接。H,

AH=CH=—AC=—a,ZAHD=90°,

22

DH=—a,

2

設(shè)AE=%，貝=—AE=』Q—九,

2

ABAC=90°,

:.ZBAE=NDHE,

,:ZAEB=ZHED,

：.LAEBS_HED,

.AEAB

??一,

HEDH

x_a

?*,La-X百,

2晝〃

解得x=(2_V^)a,

即AE=(2-百)a,

???EH=AH-AE=-a-x=-a-(2-y/3}a=2^~3a,

22V)2

???。石2=3(2—

?AE_lAE2

(2—可a2

3

3

18-1273+6

4

3

_3A/2-76

=--------,

6

故答案為：3W.

6

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合

和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

例5.(2024?四川成都?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD是VABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn),

連接BE.若BE=BC,CD=2,則3D=.

717+1

【答案】

-2-

【分析】連接CE,過石作。1。于尸，設(shè)BD=x,EF=m,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)

證得CF=DF=；CD=1,NEAC=NECA,NECD=NEDC=NBEC,進(jìn)而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性

質(zhì)得到NCEE?=2NC4E,AC=2EF=2m,證明11cB￡s、血),利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得至lj〃廣=3+2%；

根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明,EBE得到2m②=(x+l)(x+2),進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二

次方程，進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：連接CE,過E作EF1CD于R設(shè)=EF=m,

VZACB=90°,E為AD中點(diǎn),

CE=AE=DE,又CD=2,

ACF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA,/ECD=/EDC,

2

:.NCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

■:BE=BC,

；?ZBEC=/ECB,則ZBEC=NEDC,又/BCE=/ECD,

:.CBEsCED,

.CECB

:.—=—,ZCBE=ZCED=2ZCAE,

CDCE

??.C石2=CD.CB=2（2+X）=4+2X,

則m2=EF2=CE2-CF2=3+2%;

???是VABC的一條角平分線，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=/BFE=900,

：...C4BsFBE,

.ACBC

**BF-EF

.2rri_=x+2^則2裙=（x+l）（x+2）,

x+1m

2（3+2x）=（x+l）（x+2）,BP%2-x-4=0?

解得尤=晅±1（負(fù)值已舍去），

2

故答案為：姮±1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角

形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相

關(guān)知識是解答的關(guān)鍵.

例6.（2024?山東?中考真題）如圖，點(diǎn)E為ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AC=5,CE=1,連接。E并延長至點(diǎn)尸,

使得EF=DE,連接班則跖為（）

7

AB.3C.D.4

-I2

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)

鍵.

CFDFDCRFFG3

解法一：延長。方和AB,交于G點(diǎn)，先證得到==再證BGFsAGE,得至!）不二寸=:，

AEGEAGAEEG4

即可求得結(jié)果；

解法二：作FH//AB交AC于點(diǎn)H,證明出&CDE空HF￡（AAS），得到HE=CE=1,9=8,然后證明出四邊形ABFH

是平行四邊形，得到陟=A"=AC—CH=3.

【詳解】解：解法一：延長。方和A5,交于G點(diǎn)，

DC//AB,DC=AB^DC//AG,

DECsGAE

CEDEDC

AE-GE-AG?

AC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC1

*AE-GE-AG-4

DE_DE_1

又???EF=DE,

GE~EF+FG~4"

?竺」

*FG-3

..DCDC_1

DC=AB,

.AGAB+BG~4

.DC1

??—―，

BG3

.EFDC1

**FG-BG-3?

.BGFG3

**AG-EG-4

:.AE//BF,

:?BGFsAGE,

.BFFG_3

??5=4,

???BF=3.

解法二：作"/〃AB交AC于點(diǎn)”

:?/CDE=/HFE,/DCE=/FHE,

又＜EF=DE,

：.CDE^HFE(AAS),

/.HE=CE=19FH=CD,

??,四邊形ABC。是平行四邊形，

ACD//AB,CD=AB,

HF//AB,HF=AB,

???四邊形AB切是平行四邊形，

???BF=AH=AC-CH=3.

故選：B.

【變式演練】

1.（2025?山西朔州?一模）如圖，AB//CD,AC與30相交于點(diǎn)E,已知AE=4,CE=6,3E=5,則臺￡＞的長為

【答案】12.5

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)，利用平行線證明三角形相似，得到線段成比例即可求解.

【詳解】解：：AB〃CD,

\ZA=ZC,ZB=ZD,

■.AABE^ACDE,

AEBE

'CE~DE'

45

即:

6DE

DE=7.5，

???50=5+7.5=12.5；

故答案為：12.5.

2.（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）如圖，ABC中，AB^AC,點(diǎn)。是ASC的外心，且。4=2,延長8。交AC于點(diǎn)。,

若AD2=ABxDC,則OD=.

【答案】V5-1

【分析】本題主要考查三角形外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解三角形外心的性質(zhì),

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形外心得到OB=OC=OA=2,可證&AOB^AOC（SSS）,得到ZAOD=ZBAD,可證一AOD^BAD,則

器=喘=器，所以有OD（2+OD）,AB2W=（+Q?,運(yùn)用等量代換可得

OD（2+or＞）=（75-1）（2+00）,由此即可求解.

【詳解】解：：點(diǎn)。是ABC的外心，且。4=2,

OB=OC=OA=2,

：./OAB=/OBA,

：.ZAOD=Z.OAB+NOBA=2ZOAB,

AB=AC,OB=OC,OA=OA,

：.：.A0B^A0C（SSS）,

：.ZOAB=ZOAC,

：.NBAD=2NOAB,

：.ZAOD=ABAD,

NODA=ZADB,

^AOD^BAD,

.ODAD_OA

"AD-BD-AB?

：.AD2=ODBD=OD（2-^OD\AB?AD=OABD=-（+Q@,

?.,AD1=ABDC=AB（AC-AD）=AB（AB-AD）,

AB2-AD-AB-AD2=0,

.4nAD±ylAD2+4AD2AD±y/5AD

??AD=-------------------------------=-------------------,

22

AB=好±1A。或48=迷上1Ao（不符合題意，舍去）,

22

把AD代入ABAD=OABD=2（2+OD）,

：.J1±LAD2=2（2+OD）,

：.AD2=（75-1）（2+00）,S,AD2=OD-BD=OD（2+OD）

：.OD（2+OD）=（A/?—1）（2+OD）,

：2+ODHO,

OD=y/5-l,

答案為：V5-1.

3.（2025?陜西西安?一模）如圖，在VABC中，ZBAD=2ZC,Z1=Z2