熱點3?2三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合

明考情.知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

在選擇題與填空題中主要考查三角函數(shù)的定義、圖選擇題和填空題仍然是主要考查形式，重點在于基

象變換、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值礎(chǔ)知識點的運用，如圖象變換、周期性、對稱性、

等基礎(chǔ)知識.在解答題中常與三角恒等變換等知識單調(diào)性等，而解答題可能會結(jié)合實際問題或與其他

綜合考查，難度相對較高.數(shù)學(xué)知識(如導(dǎo)數(shù)、幾何等)綜合考查.

熱點題型解讀

題型1由三角函數(shù)部分圖象確定參數(shù)題型6三角函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用

題型2與三角函數(shù)有關(guān)的識圖問題題型7三角函數(shù)的對稱性及應(yīng)用

題型3三角函數(shù)的圖象變換問題一三角函數(shù)圖象與的綜合一題型8與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題

題型4三角函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用題型9與三角函數(shù)有關(guān)的零點問題

題型5三角函數(shù)的周期性及應(yīng)用題型10三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合應(yīng)用

題型1由三角函數(shù)部分圖象確定參數(shù)

\士"1

:已知/(x)=Asin(ox+0)(A>OM>O)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求

ii

;待定系數(shù)。和0,常用如下兩種方法：

II

(1)由0=1即可求出0;確定。時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的‘'零點''橫坐

:標升,則令。/+夕=0(或公％+。=?)，即可求出。.

(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出。和

0,若對A,。的符號或?qū)Α５姆秶幸螅捎谜T導(dǎo)公式變換使其符合要求.

1.(24-25高三上?貴州銅仁?期末)已知函數(shù)/(x)=sin(w+0)?>O)的部分圖象如圖所示，則。=()

【答案】D

冗

【解析】—1T=2-lnT=4=>0=27r'=2.故選：D.

442

2.（24-25高三上?黑龍江?月考）已知函數(shù)/（x）=sin3x+°）3>0,0<9<27t）從點4仁,-1］到點

【答案】D

兀兀

【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,根據(jù)圖象可知，3T=三5-冷71，則7=兀=2臼，得。=2,

263m

IT9TT

于是/（x）=sin（2尤+。），由/q）=sin（子+夕）=-1,貝|m=2E+/,AeZ,

57rSir

即0=2E+乃結(jié)合0<夕<2兀可得°=—.故選：D

66

3.（24-25高三上?甘肅白銀?月考）已知函數(shù)/（x）=cos（27ix）,則圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）

A./(2x+j)B./(2x+1)C.1f+￡|

【答案】C

【解析】圖象所對應(yīng)函數(shù)的最小正周期為2,

設(shè)圖象所對應(yīng)的解析式為g(x)=COS(?+協(xié)，

由g(o)=-1可得cos°=-l,故夕=兀+2E，左WZ,

故g(九)=COS(7EX+7l+2fal)=COS(7EX+兀),

則g(x)=cosg+兀)=/(］+；］故選：C

4.(24-25高三上?湖北武漢?期末)已知函數(shù)"x)=2cos(&r+°)(o>0)的圖象如圖，點小：,叼,8在外力

的圖象上，過A3分別作x軸的垂線，垂足分別為CD,若四邊形ACB。為平行四邊形，且面積為立兀，

2

【解析】因為四邊形ACB。為平行四邊形，點入序回，ACLCD,BDLCD,

所以忸。=|AC|=0,所以SAS=Sg=*及*『必，

因為平行四邊形AC3。的面積為無兀，

2

所以2xgxJIx|CD|=￥7t,所以|cq=',

結(jié)合對稱性可得函數(shù)f(x)的周期為兀,

2兀

又。>0,所以G=—=2,

71

又點"夕應(yīng)］在〃x)的圖象上，所以2cos(2吟+可=0,所以

jrjrSjr

結(jié)合圖象可得,+0=2E—a，kwZ,所以0=2左兀——,keZ,

所以〃x)=2cos[2x—*,所以/(|^)=2cos[2x|^-菅=2cosH=l故選:D.

題型2與三角函數(shù)有關(guān)的識圖問題

返

圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”

（1）求函數(shù)定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）.

（2）判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）.

（3）找特殊值：①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數(shù)值；②對比各選項，函數(shù)值符號的差別，自主取

值（必要時可取極限判斷符號）.

（4）判斷單調(diào)性：可取特殊值判斷單調(diào)性.

【解析】函數(shù)“X）是定義域為（-8,0）30,+功

函數(shù)〃-x）=[x+Jcos（-7ix）=-1x-Bcosnx=-〃x）,/（久）是奇函數(shù)，所以排除B,C,

又函數(shù)/（X）在原點附近的零點為[和1,可取大于0且接近于0的一個數(shù)，

如0.1,得/（（M）=（（M-1O）8S（O.E）＜O,所以排除D.故選：A.

2.⑵-25高三上?安徽合肥?模擬預(yù)測)函數(shù)=的圖象大致為

【解析】由。一。二0,解得XWO,所以函數(shù)〃尤)的定義域為(一雙0)“0,+8),

COS「兀(-x)lCOS(7LX)/\/、

因為/(一%)二一=T(x),所以函數(shù)“X)為奇函數(shù)，排除c項;

e—e—Ie—eI

設(shè)g(x)=e'-e、顯然該函數(shù)單調(diào)遞增,故當x>0時，g(x)>g(O)=O,

則當寸，y=cosg)>0,故/(x)>0,

當時，y=cosg)<。，故/(x)<0,

當目時，y=cos(7tr)>0,故〃x)>0故排除D項；

當時，y=cos(7tr)<0,故〃力<。故排除B項，故選：A.

3.(24-25高三上?天津?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=(e-Dsmx,貝卯=/(x)的部分圖象大致形狀是()

Le，+l

【答案】A

【解析】函數(shù)y=的定義域為R,

-x

e-l)sin(-%)(e“-l)sinX

/(—x)=

e-x+lex+l

即函數(shù)y=〃x)為偶函數(shù)，排除BD；

當時，〃x)=(el">0,排除c.故選：A.

4.(24-25高三上?安徽六安?月考)已知函數(shù)"x)=2tan(s)(0>O)的圖象與直線>=2的相鄰交點間的距離

為兀，若定義max{a,6}=則函數(shù)//(耳=11^{〃尤),/(%)￡：0次}在區(qū)間e,段］內(nèi)的圖象是()

【解析】根據(jù)題意，/(x)=2tan3x)(o>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點間的距離為兀,

所以〃x)=2tan(oxX0>O)的周期為兀，則0=￡=C=1,

T71

2sinx,xe工，兀

(2_

所以%(x)=max{2tanx,2sinx}=<

C(3兀

2tanx,xe兀,——

I2

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.故選：A.

題型3三角函數(shù)的圖象變換問題

函數(shù)y=Asin(cox+0)+MA>O,0>0)中，參數(shù)A,CD,<p,4的變化引起圖象的變換:

(1)A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換.

(2)。的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換.

(3)°的變化引起左右平移變換，4的變化引起上下平移變換.

圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”.

II

【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對尤而言，即無本身加減多少值，而不是依賴于0X加減多少值；

（2）余弦型、正切型函數(shù)的圖象變換過程與正弦型函數(shù)的圖象變換過程相同.

ii

1.（24-25高三上?山東荷澤?月考）（多選）為了得到函數(shù)〃x）=sin,-口的圖象，只需把正弦曲線上所

有的點（）

兀

A.先向右平移?2個單位長度，再將橫坐標縮短到原米的1;，縱坐標不變

B.先向右平移三個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

C.先將橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，再向右平移g個單位長度

N3

D.先將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移g個單位長度

【答案】AC

【解析】正弦曲線〉=助取先向右平移g個單位長度，得到函數(shù)y=$布卜-^）的圖象，

再將所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，

得到函數(shù)"x）=sin（2xT,勺圖象，故A正確，B錯誤；

先將正弦曲線y=sinr上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，

得到函數(shù)〉=5苗2》的圖象，再向右平移三個單位長度，

得到函數(shù)〃x）=sin（2xT/勺圖象，故c正確，D錯誤.故選：AC.

2.（24-25高三上?河北保定?期末）函數(shù)g（x）=sin〔2尤-的圖象向左平移巳個單位得到函數(shù)y=〃x）圖象,

則函數(shù)、=〃尤）的解析式為（）

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

【答案】D

【解析】由g（x）=sin,T）的圖象向左平移器個單位得到y(tǒng)=f（x）圖像，

所以/（x）=sin2卜+?卜葛=—cos2x.故選：D

3.(24-25高三上?山東德州?月考)已知函數(shù)/(x)=sin尤與g(x)=cosx的圖象分別向右平移a個單位長度和夕

個單位長度后，所得圖象重合，則()

兀兀

A.a+/3=2k7i--(Z:eZ)B.a—P=2kn+—(^GZ)

jrTi

C.a-P-2hi--(kGZ)D.a+J3=2fai+—(^eZ)

【答案】C

【解析】依題意，得sin(x-a)=cos(x-￡)=sin[x+]—6],

7T71

所以x—a+2E=%+,-￡(左+x+—~)3=兀+2日(左GZ),

得a—分=2E-](%￡Z)或2兀一(a+/7)=]+2E(左EZ)(不恒成立，舍去)，故選：C

4.(24-25高三上?四川成都?期中)已知函數(shù)〃x)=sinxcosx+乎cos2x，將〃x)的圖象向左平移°(°>0)

個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象.若g(x)的圖象與〃x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則9的最小值為()

【答案】B

【解析】由題意得/'(x)=sinxcosx+[cos2x=gsin2x+

cos2%=sin2x+工，

I3

所以g(x)=sin(2(x+e)+]=sin[2x+2夕+方

因為g(x)的圖象與"%)的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以g(x)=/(—x),BPsin^2x+2(p+^=sin^-2x+,

所以2%+20+5+1—2%+1)=71+2E(左GZ)或2%+20+三一1一2%+三)=2E(左GZ)(不合題意),

解得：0=g+E(左￡Z),又因為夕>0,所以夕的最小值為j故選：B

66

題型4三角函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用

1、求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法

（1）代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角a（或。，利用基本三角函數(shù)

的單調(diào)性列不等式求解.

（2）圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間

求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若x的系數(shù)為負，應(yīng)先化為正，同時切莫忽視函數(shù)自身的定義域.

2、已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的3種方法

（1）子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解.

（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集,

列不等式（組）求解.

（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過二周期列不等式（組）求解.

1.（24-25高三上?山西長治?月考）已知函數(shù)〃x）=cos[2x-§J,xe,則函數(shù)"尤）的單調(diào)遞減區(qū)

間為.

?ARIL.「兀3兀]?一兀「2兀8兀

【解析】xe時，2x-§e

結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，當/，兀和2兀,g時,

函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，此時xe

2.（24-25高三上?廣東江門?月考）下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.j=|tanx|D.y=|cosx|

【答案】D

jr37r

【解析】對于A：由sin-'ul,sin-5=-1,可知兀不是其周期，（也可說明其不是周期函數(shù)）故錯誤;

對于B：y=cos|x|=/；cosx,x_UcQs^其最小正周期為2兀，故錯誤；

[cos（-x）,尤<0[cos尤,x<0

對于C：y=|tanx|滿足|tan（x+萬）|=|tanx],以兀為周期，

當時，j=|tanx|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知

、=|皿|=-1￡111彳在區(qū)間已無）上單調(diào)遞減，故錯誤；

對于D,y=|cosx|滿足k°s（x+兀）|=|cosx|,以兀為周期，

當xe］,"時，y=|cosx|=-cosx,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,

y=-cosx在區(qū)間（3,兀］上單調(diào)遞增，故正確；故選:D

3.（24-25高三上?黑龍江?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=2百cos［。尤-］卜oso尤-2sii?0尤+1圖象如圖所示，若函數(shù)

()

8兀兀8兀71

C.~9~94D.~9~94

【解析】?//(x)=2GsinG%,cos5-2sin2如；+l,/(x)=cos2s+J^sin2(a)x=2sinI2o)x+：)，

???〃司的圖象過點,等,。］,

371

--(f)+—=0,(o=-,/./(x)=2sin—x+—

96846

兀，3兀,…兀,―88兀，,8,4兀

由2kli----W—xH—W2%兀H—,kGZ,/1=,—k7-7i-----<%<—kn-----,kGZ,

24623939

二函數(shù)/'（x）的單調(diào)增區(qū)間為|fal-y,|^+^,keZ.

若函數(shù)在九:單調(diào)增，則優(yōu)的取值范圍是故選：C.

4.（24-25IWJ二上,北京石景山,期末）“0=-不+2E（左￡Z）“是“函數(shù)/（x）=sin（2x+0）在［-刁,0］上單調(diào)遞減，

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

7T

【解析】由題意，若夕=一萬+2E伏￡Z),

則/(無)-sin(2x-*^+24兀)=sin^2x--|-^=-cos2x,

TT

由一5VXVO,得—7i<2x<0,

此時函數(shù)/(x)=-cos2x單調(diào)遞減，所以充分性成立；

若函數(shù)/(x)=sin(2x+°)在［4,0］上單調(diào)遞減,

71

由一得一兀+°<2%+夕工0,

71_,

一兀+夕之一+2KTI

則［-兀+9，夕仁+2far,+2k7i(kGZ),所以<2,keZ,

’3兀…

（p<——+2E

37Tjr

解得。=^+2far化eZ),即°=-,+2E(丘Z),所以必要性成立；

因此“夕=-々+2E(keZ)”是“函數(shù)f(x)=sin(2x+°)在［-*0］上單調(diào)遞減”的充分必要條件.故選：C.

題型5三角函數(shù)的周期性及應(yīng)用

0。與圖

_2%

函數(shù)y=Asin（3t+o）,y=Acos（勿x+0）（0>0）的周期為/=

T71

函數(shù)y=Atan(5+o)(。〉0)的周期為7=時求解.

1.(24-25高三上?浙江寧波?期末)已知函數(shù)〃尤)=tan［j尤一5)，則〃x)的最小正周期為.

【答案】2

7=—=2

【解析】代入正切型函數(shù)的最小正周期的公式：兀一，得到最小正周期7=2.

2

2.（24-25高三上?河南鄭州?模擬預(yù)測）若％=：，尤2=，是函數(shù)”x）=sin0x（o>O）兩個相鄰的最值點,

則。等于（）

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】A

【解析】由西=%尤2=,是函數(shù)/（x）=sinox（0>O）兩個相鄰的最值點，

所以7=兀，即O=B=2.故選：A.

2442式

3.（24-25高三上?廣西柳州?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)〃尤）=cos（s+2（0>O）,已知〃不）=—1,/（x2）=l,且

國-馬|的最小值為g，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,

因為函數(shù)〃x）=cos]0x+《j（0>O）,已知y（%）=-l,/（x,）=l,且上1-司的最小值為：，

T_2兀_2兀—

則4=9,可得T=S，故。一T一瓦一.故選：D.

242-

4.（24-25高三上?河北滄州?期中）（多選）已知下列函數(shù)中，最小正周期為兀的是（）

A.y=cos|2乂B.y=2sin^2x+^+l

C.y=|sin2HD.y=tan（x--）

【答案】ABD

2冗

【解析】因為cos|2%|=cos2x,所以y=cos|2.的最小正周期為耳=兀，故A正確；

函數(shù)y=2sin（2x+]]+l的最小正周期為兀，經(jīng)過上下翻折后周期沒有發(fā)生變化,

所以函數(shù)>=2sin[2x+g）+l的最小正周期為兀，故B正確；

JT

函數(shù)y=sin2x的最小正周期為兀，經(jīng)過上下翻折后周期減半，變?yōu)槿?/p>

2

所以函數(shù)y=kin2X的最小正周期為故C錯誤；

函數(shù)y=tan(x-g)的最小正周期為兀，經(jīng)過上下翻折后周期沒有發(fā)生變化,

4

7T

所以函數(shù)〉=tan(x-R的最小正周期為兀，故D正確.故答案為：ABD.

題型6三角函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用

三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)一般可化為y=Asinox或y=Atanox

的形式，而偶函數(shù)一般可化為y=Acosox+6的形式.常見的結(jié)論有：

TT

(1)若,=羔皿5+0)為偶函數(shù)，則有夕=配+/GZ)；若為奇函數(shù)，則有9=foc/dZ).

IT

(2)若尸Acos(s+夕)為偶函數(shù)，則有夕=而(&Z)；若為奇函數(shù)，則有9=fai+/￡Z).

(3)若y=Atan(①x+夕)為奇函數(shù)，則有9=析(左￡Z).

1.(24-25高三上?貴州貴陽?月考)下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()

\x\

A./(x)=21nxB?g(x)=J

X

1兀

C./z(x)=AsinxD.p(x)=cos—x+—

24

【答案】C

【解析】A,定義域為(。,+8),定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，錯誤；

B,定義域為{xlxwO},g(T)=%=-W=_g(x),所以函數(shù)是奇函數(shù)，錯誤；

-XX

C,定義域為R,K~x)=(-x)sin(-x)=xsinx=h(x),所以函數(shù)是偶函數(shù)，正確；

D,定義域為R,p(-尤)=可-；％+：］=3&-Twp(尤)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，錯誤.故選：C

2.(24-25高三上?山東泰安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=初》+485彳，且/卜+向是偶函數(shù)，則實數(shù)。=()

A.-B.3C.3D.2

332

【答案】B

【解析】/(x)=sinx+<7cosx=-Jl+a2sin(x+^?),其中tan°=a,

=Jl+〃2sin；+0

（冗、jrTTjr

/|x+w|為偶函數(shù)，故；+9=彳+加水eZ,解得e=：+E,左wZ,

ViJ326

則a=tan。=故選：B

3.（24-25高三上?黑龍江雞西?期中）已知函數(shù)〃x）=2cos（x+m是偶函數(shù)，則tan。的值為

【答案】-1

【解析】因為函數(shù)〃同=23卜+：+可是偶函數(shù),

兀71

所以一+夕=也，4EZ,即e=祈--，左EZ,

44

Tt兀Y

所以tan(p—tanII=tan-tan—=-1

4

4.（23-24高三下?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=AtanWx+e）（A0wO）為奇函數(shù)，則。=（）

A.ht{kGZ）B.2lat（keZ）C.弓（左eZ）D.（2左+1）E（左eZ）

【答案】C

【解析】若0在定義域內(nèi)，由尤=0時，＞=。得，0=E（ZeZ）；

JT

若。不在定義域內(nèi)，由x=0時，tan。無意義，^（p=—+kR（kGZ）.

綜上，e=g（ZeZ）.故選：c.

題型7三角函數(shù)的對稱性及應(yīng)用

|

j三角函數(shù)對稱性問題的2種求解方法

1、定義法：正（余）弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x

：軸的交點，即函數(shù)的零點.

\2、公式法：

（1）函數(shù)尸Asin（s+p）的對稱軸為x=*^+券，對稱中心為得譚0）.

(2)函數(shù)尸Acos(ox+9)的對稱軸為x=^譚對稱中心為嚕—2+券，0).

(kit(p\

(3)函數(shù)y=Atan(Gx+9)的對稱中心為(2口一①，01上述女￡Z

1.(24-25高三上?北京?月考)已知直線x.是函數(shù)〃x)=sin[s+40＜。＜8)圖像的一條對稱軸，則。

的值為()

A.3B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】依題意得/C)=sin(o&+m)=±l,

666

所以o—+—=Qr+—,%￡Z,即G=6左+2/￡Z,

662

又0＜G＜8,所以口=2.故選：C.

2.(24-25高三上?福建福州?月考)已知函數(shù)/(x)=sin(yx+acos(yx(0＞O)圖象的對稱軸方程為

x=E+：(左eZ),貝1]/1'|兀]=()

A.1B.-1C.—D.一立

22

【答案】A

【解析】/(尤)=sin0x+acos0x=Jl+a?sin(ox+0),其中tano=a.

由函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=E+：/eZ),得的最小正周期7=2兀，

所以69=1,所以/(x)=sinx+acosx.

由函數(shù)“X)圖象的對稱軸方程為X=E+：(丘z),得巾(E+：)T=〃x)(keZ),

令x=0,得+=/(0)(左eZ),g|Jsin^2fai+-1^+acos^2fai+-|^=a(^keZ),得。=1,

所以〃x)=sinx+cosx,經(jīng)驗證滿足題設(shè)，貝lj/(■|無)==sin/+cos5=1.故選：A.

3.(24-25高三上?河北唐山?月考)已知函數(shù)4)=8$3+/0＜夕＜父的圖象關(guān)于點但,0]中心對稱,

貝|」9=()

【答案】A

【解析】因為函數(shù)〃"=85(2尤+夕)(0＜夕＜小的圖象關(guān)于點傳,01中心對稱,

jrJI7t

所以2x—+o=fai+—,左$Z,gp(p=kn+—,kE,Z,

626

-TTTT

又0<°<7，所以0.故選：A.

26

4.(24-25高三上?江蘇南通?月考)“函數(shù)y=ta嗚-可的圖象關(guān)于點。卜寸稱”是“p=1+E,左已2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當函數(shù)y=tan|^-,的圖象關(guān)于點對稱時，；_0=如

解得0=J-W，AeZ,不能得至=J+

X2o

TT(X71,A(X71^)

當夕=—+時,y=tan『二版尸叫丁利,

8

由二一四=迎歡eZ得，x=&+kK,keZ,函數(shù)的對稱中心為(E+?,o]?eZ,

2824^4)

令k=0得對稱中心為

的圖象關(guān)于點。。]JT

綜上得,對稱”是“(p=-+kJt,k&Z”的必要不充分條件.

O

故選：B.

題型8與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題

三角函數(shù)值域或最值的3種求法

1、直接法：形如y=asinx+4或y=acosx+A的三角函數(shù)，直接利用sinx,cosx的值域求出.

2、化一法：形如y=asinx+6cosx+Z的三角函數(shù)，化為y=Asin(ox+0)+Z的形式，確定cox+p的范圍,

根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域（最值）.

3、換元法：

（1）形如y=Qsin2x+/?sinx+Z的三角函數(shù)，可先設(shè)sin%=/，化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域（最值）.

（2）形如y=4sinxcosx+/?（sin壯cosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)￡=sinx±cos%,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求

值域（最值）.

I.（24-25高三上?河北滄州?期末）函數(shù)/'（彳）=8牘（2$加+?08%）在區(qū)間（0,1"）

上的值域為（）

11+6]

A.B.5

V2

1+內(nèi)1+75

C.D.

25'2

【答案】A

【解析】由/(%)=cosx(2sinx+cosx)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+1+學(xué)、'

/、1._1_2

=sin2x+-cos2x+-=—sin(2x+^)+—,sm(p=,cos(p=-j=,

222

由尤e〔畤卜2%+0￡(0,兀+0)，貝人1!1(兀+0)<5111(2%+0)41,

又sin(兀+夕)=-sin。=一^^,所以一-^-<sin(2%+<10<sin(2%+^?)+^<.故選：

A.

2.（24-25高三上?江西上饒?一模）函數(shù)/a）=sinx+cos2x+3的值域是（）

331

A.h—B.[1,4]C.—AD.[1,5]

_o」|_2_

【答案】A

【解析】f(x)=sinx+1-2sin2x+3=-2sin2x+sinx+4.

令，=sinx,^e[-l,l],此時函數(shù)變?yōu)閥=—2〃+%+4.

對于二次函數(shù)y=-2/+/+4,其對稱軸為才=-2x：2)=I

Wc/1、2「c1-11133

當/=一時，y=—2x(—)HF4=—2x1F4=11-74=1—1-y4l=——

4441648488

當/=_]時，J；=-2X(-1)2+(-1)+4=-2-1+4=1.

所以y=_2/+f+4在w,l]上的值域是[1,京.故選：A.

O

3.（23-24高三上.山東?月考）設(shè)函數(shù)〃x）=cos（s+2-2（。>0）的導(dǎo)函數(shù)尸（x）的最大值為2,則

jrjr

在-之7上的最小值為（）

02

A.立一2B.--C.---2D.-3

222

【答案】D

【解析】：/（切=-3也［5+^^的最大值為2,二0=2.

兀兀71771

二〃x)=cosI2xH—-2,XG2X+—E

I66"2'66，-6-

cosf2x+—je[—1,1],即/(x)e[—3,—1],〃x）的最小值為-3.故選：D.

4.(23-24高三下?河南南陽?一模)已知角a為銳角，則「二+d——tana的最小值為()

2sinacosa

A.2B.--A/3C.1D.

333

【答案】A

【解析】一―\-----tanof=(sin2cr+cos26Z)|——+—\—|-tan?=—+tan2a+——------tan<7.

2sinacosav7^2sinacosa)22tana

令，=tana,因為。為銳角，所以，>0.

13

貝ij廣⑺=2一1一產(chǎn)，設(shè)g(f)=f'(t)ng?)=2+1>0,

所以尸(f),在t>0時是單調(diào)遞增函數(shù).

又r(1)=0,所以當一(0,1)時,r(。<0,/(。單調(diào)遞減；

當一(1,+8)時,/3>0J(f)單調(diào)遞增,所以〃。2〃1)=2.

所以當t>0時，，⑺的最小值為2.故選：A.

題型9與三角函數(shù)有關(guān)的零點問題

。0日肯

1、性質(zhì)+數(shù)形結(jié)合：通過研究三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析零點.

I

：2、分離參數(shù)+數(shù)形結(jié)合：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

3、方程+數(shù)形結(jié)合：將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，借助圖象求解.

14、利用導(dǎo)數(shù)研究零點：通過求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值點，結(jié)合圖象分析零點.

1.（24-25高三上?江西贛州?期末）當xe[0,2可時，曲線y=cosx與y=|cos（3x-：|的交點個數(shù)為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.故選：B.

2.（24-25高三上?遼寧大連?期末）當尤e[0,可時，曲線y==sin2尤與曲線y=的交點個數(shù)為（）

21-tanx

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

?左萬工「八1tanx.7ttan%1.

【解析】xe[0,7i_|,j=--------—^x^-,y=---------=-tan2.x,

LJ1-taiTx21-tan12x2

11sin2尤

令一sin2%=—tan2x,即sin2x=tan2x--------,

22cos2x

故sin2x=0或cos2x=l,

若sin2x=0,貝lJ2x=E,左EZ,^^x=—,keZ,

當左=0時，X=0G[0,TI],

當左=1時，x=^,不合要求，

當上=2時，X=7lG[O,7l],其他左值，均不合要求，

若cos2x=l,貝iJ2x=2E,左cZ,解得x=E,左wZ,

若當后=0時，X=0e[0,7l],當左=1