三角函數易錯與壓軸訓練（4易錯+7壓軸）

01思維導圖

目錄

易錯題型一、弧長的有關計算................................................................1

易錯題型二、已知角，求三角函數值..........................................................3

易錯題型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計算..................................4

易錯題型四、描述正（余）弦型函數圖象的變換過程...........................................6

壓軸題型一、扇形中的最值問題..............................................................8

壓軸題型二、三角函數值、三角函數的化簡、求值.............................................9

壓軸題型三、三角函數在生活中的應用.......................................................12

壓軸題型四、三角函數值、三角函數的化簡、求值一一誘導公式................................17

壓軸題型五、弧長的有關計算、扇形中的最值問題............................................20

壓軸題型六、正弦（型）函數的對稱軸及對稱中心、求sinx型三角函數的單調性................23

壓軸題型七、函數零點的個數求參數范圍....................................................26

02易錯題型

易錯題型一、弧長的有關計算

例題：（24-25高一上?江蘇?階段練習）若扇形面積為1cm"圓心角為2rad,那么該

扇形的弧長為.

【答案】2cm

【知識點】弧長的有關計算、扇形面積的有關計算

【分析】根據扇形的弧長與面積公式求解即可.

【詳解】設該扇形的半徑為『，則;x2x嚴=1,則I,故弧長為lx2=2cm.

故答案為：2cm

鞏固訓練1.（24-25高一上?吉林?期末）已知扇形的周長是8cm,半徑為2cm,則

該扇形所對圓心角的弧度是（）

A.IradB.4radC.3radD.2rad

【答案】D

【知識點】弧長的有關計算

【分析】設扇形所對圓心角為agd）,根據弧長公式得到方程，解得即可.

【詳解】設扇形所對圓心角為C（川），依題意可得2x2+2a=8,解得a=2,

即該扇形所對圓心角的弧度是2rad.

故選：D

2.（23-24高一上?四川涼山?期末）已知扇形的周長為15,圓心角為3弧度，則扇

形的半徑是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【知識點】弧長的有關計算

【分析】根據扇形周長和弧長公式求解即可.

【詳解】因為扇形的周長為15,所以"2-15,

又因為/=0,?=3,所以/=3r,

所以5r=15,解得尸=3,

故選：B.

3.（24-25高一上?吉林長春?期末）扇形圓心角為2,弧長為12cm,則扇形的面

積為（）

A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.48cm2

【答案】c

【知識點】扇形面積的有關計算、扇形弧長公式與面積公式的應用

【分析】根據扇形的圓心角和弧長求出半徑，再根據扇形的面積公式即可求解.

【詳解】因為扇形圓心角為2,弧長為12cm,

所以扇形的半徑廠=￡=6cm,

所以扇形的面積為S=gxl2x6=36cm2.

故選：C.

易錯題型二、已知角，求三角函數值

例題：（24-25高一上?新疆伊犁?期末）COS765。的值是（）

A.7B.C.告D.當

【答案】C

【知識點】特殊角的三角函數值、誘導公式一

【分析】根據誘導公式及特殊角的三角函數值得解.

【詳解】cos765°=cos（720°+45°）=cos45°=半，

故選：C

鞏固訓練1.（22-23高二下?貴州黔東南?期末）已知cosa=-；,0<a<兀，則tana=

（）

A.6B.也C.-V3D.一是

33

【答案】c

【知識點】特殊角的三角函數值、已知弦（切）求切（弦）

【分析】由余弦值和角的范圍求出特殊角，再求角的正切.

177T

【詳解】已知cosc=-],o<a<7i,則a=§,所以tana=-6

故選：C

2.（24-25高三上?北京?開學考試）在平面直角坐標系X。中，角a以Ox為始邊，

且終邊經過點（-4,3）,則cosg-'=.

【答案】-1/-0?6

【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數值、三角函數的化簡、求值——誘導

公式

【詳解】???角a的終邊經過點（-4,3）,則一帆4八32=5,sin?=|,

cos（亞-.=-3儼-==N

I2JU）5

故答案為：-1.

易錯題型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計算

例題：（23-24高一下?上海?階段練習）已知tand=2,求下列各式的值

c、sin+2cos0

()sin0-cos0

(^2)sin20+2sin0cos0+1

【答案】（1）4

(2)y

【知識點】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計算

【分析】（1）分子分母同時除以cose將弦化切即可求解.

（2）利用sm?+cos2e=l將式子進行變形為分式齊次式形式，再進行弦化切即可求

解.

sin0+2cos0(sin9+2cos6)+cos9tan0+22+2

-----=44

【詳解】（1）由題sin0-cos0(sinO-cos+cos0tan0-12-1

(2)因為ta*=2,

sin20+2sinOcos0+l

^sin20+2sinOcos0+l=

sin20+cos20

Zsin?9+2sin°cose+cos2°=(ZsiYO+ZsinOcose+cos?M+cos?9

sin20+cos20(sin26+cos20)+cos20

2tan20+2tan0+12x22+2x2+113

tan20+l_22+l-I"

鞏固訓練1.（22-23高二下?貴州遵義?階段練習）已知sina-cosa=g,則sinacosa=

（）

A.B.Ic.|D.平

【答案】c

【知識點】sina土cosa和sina,cosa的關系

【分析】把sina-cos&q左右兩邊進行平方，再根據同角三角函數基本關系即可得

到答案.

【詳解】sina-cosa=；,，（sina-cosa）2=-^,l-2sinofcos6r=^-,/.sinacosa=~^.

故選：c.

2.（廣西玉林四校（玉一玉實北高容高）2023-2024學年高一上學期12月聯考數

學試題）已知sina+cosa=3cosatana,則cos2atana-1=（）

1c4-2c3

A4.--B.-yC.--D.--

【答案】D

【知識點】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計算

【分析】根據給定條件，可得tana],將co/atana切化弦，再利用齊次式法計算

即可.

[詳解】因為sina+cosa=3cosatana=3sina,

則coso=2sincr,所以tana=；,

j_

.sinacosatana72

貝日cos2atana=cosasina=——；------------=；-------=-—,

sina+cosatancr+1，+]5

4

所以cc^atana—1=（一1=一].

故選：D.

易錯題型四、描述正（余）弦型函數圖象的變換過程

例題：（24-25高三上?重慶渝中?階段練習）為了得到歹=51小”1i的圖象，只需把

正弦曲線7=sinx上所有點的（）

A.橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變

B.橫坐標縮短到原來的X縱坐標不變

C.縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變

D.縱坐標縮短到原來的?，橫坐標不變

【答案】B

【知識點】描述正（余）弦型函數圖象的變換過程

【分析】根據正弦函數圖象的伸縮變換即可得結果.

【詳解1由。=3>1,

因此只需把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變.

故選：B.

鞏固訓練1.（2024高二下?天津河東?學業考試）要得到函數〃x）=cos2x,XCR的圖

象，只需將函數g（x）=c。雙xeR的圖象（）

A.所有點橫坐標擴大2倍，縱坐標不變

B.所有點橫坐標縮小）縱坐標不變

C.所有點縱坐標縮小：，橫坐標不變

D.所有點縱坐標擴大2倍，橫坐標不變

【答案】B

【知識點】描述正（余）弦型函數圖象的變換過程

【分析】根據函數圖像伸縮變換規則即可解決.

【詳解】根據函數圖像伸縮變換規則,g（x）=c網圖像所有點縱坐標不變，橫坐標縮

小為原來的！即可得到/（x）=cos2x.

故選:B.

2.（2024高二上?貴州?學業考試）為了得到函數y=cos（x+T的圖象，只需把函數

尸COSX的圖象上所有的點（）

A.向左平移?個單位長度B.向右平移9個單位長度

C.向左平移己個單位長度D.向右平移方個單位長度

【答案】A

【知識點】相位變換及解析式特征

【分析】根據余弦函數圖象平移規律進行求解即可.

【詳解】因為函數尸COSX的圖象上所有的點向左平移?個單位長度得到

y=cos]x+j的圖象.

故選：A

03壓軸題型

壓軸題型一、扇形中的最值問題

例題：（24-25高一上?重慶萬州?階段練習）已知一扇形的周長為40,則這個扇形

面積的最大值是.

【答案】100

【知識點】扇形中的最值問題

【分析】根據扇形弧長和半徑的關系，將扇形面積表示為關于廠的二次函數，求

最值.

【詳解】設扇形所在圓的半徑為「，弧長為/,則2r+/=40,0<r<20,

119

貝|]$=5>=5（40-2/上=-r+20/=一（一10）2+100,

當廠=10時，扇形面積最大，最大值為1。0.

故答案為：10。

鞏固訓練1.（24-25高一上?陜西西安?階段練習）周長為40的扇形的面積取

到最大值時，扇形圓心角的大小是.

【答案】2

【知識點】弧長的有關計算、扇形面積的有關計算、扇形中的最值問題

【分析】設出扇形所在圓半徑，借助扇形面積公式建立函數關系，再求出最大值

即得.

【詳解】設扇形所在圓半徑為廠，則該扇形弧長/=40-2/，。。<20,

于是該扇形的面積S=g"=r（20-r）=-（，T0）2+100V100,當且僅當廠=1。時取等號，

所以當"10時，扇形的面積最大，此時扇形的圓心角等于'=2.

r

故答案為：2

2.(23-24高一下?陜西渭南?階段練習)已知扇形的圓心角是明半徑為『，弧長

為/;

⑴若a=105。/=8cm,求扇形的弧長/;

⑵若扇形的周長為10cm,當扇形的圓心角。為多少弧度時，這個扇形的面積最大,

最大值是多少？并求出此時的半徑

【答案】⑴孕cm)

小、八2525

(2)a=2,ycm-,r=-cm

【知識點】弧長的有關計算、扇形中的最值問題

【分析】(1)利用弧長公式可得答案；

(2)利用周長和面積公式，結合二次函數可得答案.

【詳解】(1)

I=6rr=-x8=^^(cm)

123I八

(2)由已知得，/+2/=10,

25

所以S=；＞=；(10-2+=+一yo,5),

4

所以當一gem時，面積S取得最大值mcm)

此時/=5cm,r=：cm,所以a=:=2.

,2r

壓軸題型二、三角函數值、三角函數的化簡、求值

例題：(24-25高一上?云南大理?階段練習)(1)已知角。的終邊上有一點

P(x,-l),(x^0),且tan<9=-x,求sin。,cos。；

(2)已知函數〃)_lrm[x-E]+cos[x+S+tanw%,設tana=[,求/(&)的值.

J1町—3

COSX

【答案】(1)答案見解析；(2)|

【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數值、三角函數的化簡、求值——誘導

公式

【分析】(1)由條件利用任意角的三角函數的定義，求出si",cos。的值.

(2)由條件利用誘導公式可得/(x)=TTanx,再結合tana一1求得〃a).

【詳解】解：⑴???已知。的終邊上有一點尸(x，T)，(x*0),??.tan。4，再由tan6?=-x,

可得?=-x,求得x=±l.

由于r=|OP|=啦，當x=l時，cosd=：=\=岑,sin6*=，=￡=一亨.

當龍=-1時,sin6*=—=—；X=-^-,cos0=—=—X=-^-.

rV22r及2

⑵「已知函數小)「"-"+35+9+1年萬一OSXEXT「皿,

COSXCOSX

441

,/tana=-—,貝口f(a)=-l-tana=-1+—=—,

鞏固訓練1.(24-25高一上?江蘇無錫?階段練習)下列說法正確的有()

A.。為第三象限角的充要條件為sin6tan6<0

B.若夕為第二象限角，則?為第一或第三象限角

C.sin(a+a)=sina

D.sin(-1071o)sin99°+sin(-171°)sin(-261°)=0

【答案】BD

【知識點】探求命題為真的充要條件、已知角或角的范圍確定三角函數式的符號、

由三角函數式的符號確定角的范圍或象限、三角函數的化簡、求值——誘導公式

【分析】利用三角函數角在各象限三角函數值的正負，以及角在各象限范圍，誘

導公式，同角三角函數基本關系，判斷四個選項即可.

【詳解】對于A,當。為第三象限角時，sin6?<0,tan。>0,所以sindtan。<0,

反之，當sindtanOvO時，則有

①當sin"0,tan0>0,。為第三象限角，

②當sin0>O,tan"O時，。為第二象限角，故A錯誤;

對于B,若。為第二象限角，即■|+2?<6<無+2反，keZ,

則>hZ,則g為第一或第三象限角，故B正確；

對于C,sin(兀+a)=-sina,故C錯誤；

對于D,sin(-1071o)sin99o+sin(-171o)sin(-261o)--sinl071osin99o+sinl71osin261o

=-sin(1080°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(180°+81°)

=sin9°cos9°-sin9°sin81°

=sin9°cos9°-sin9°cos9°=0,故D正確；

故選：BD.

2.(24-25高一上?江蘇鎮江?期末)⑴若cos(兀+a)=_；,a為第一象限角，求cos《+”

的值；

(2)若cos[-“=g,求cos(g+“sin]g_“的值.

【答案】(1)-冬(2)

【知識點】三角函數的化簡、求值——誘導公式

【分析】(1)利用誘導公式求出cosa=；,結合給定條件求出具體角度，再代入得

到所求式子的結果即可.

(2)利用誘導公式對給定式子合理變形，結合給定條件代入求解即可.

【詳解】（1）因為cos（兀+a)=-g,所以-cosa=-g,解得cosa=；

因為a是第一象限角，所以一左eZ,

所以cos—+a=cos—+—+2ht

5兀兀1(71}.(71

(2)因為cos

6JUJI6JI3

.(2K)(71兀

所以cos(g+asinI----aI=-cosI——aIsinI—+a

因為cosJ-a

71兀]_

=——sm|-----\-a

269

cosP?sin

所以+

(6J9,

壓軸題型三、三角函數在生活中的應用

例題：（24-25高一上?全國?課后作業）如圖是兩個齒輪旋轉的示意圖，被動

輪隨著主動輪的旋轉而旋轉，而且被動輪與主動輪有相反的旋轉方向.45兩

點分別位于該齒輪的主動輪與被動輪上，初始位置如圖①所示，42兩點到兩

齒輪中心a,&所在直線的距離隨時間的變化滿足如圖②所示的函數圖象，已知

主動輪轉動一圈的時間小于被動輪轉動一圈的時間，則43兩點再次同時回到

初始位置所經過的時間為S.

主動輪被動輪

圖①

【答案】4

【知識點】三角函數在物理學中的應用

【分析】根據題意有被動輪和主動輪同時轉動，轉動時間相同，據此可以得到周

期，由此可得42兩點再次同時回到初始位置的時間.

【詳解】設主動輪、被動輪的周期分別為4Z，則%=ls，I=ls,

故7]=+Z=2s,所以37]=2%=4s,故需要經過4s,42同時回到起點.

故答案為：4

鞏固訓練1.（24-25高一上?甘肅蘭州?期末）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械

建筑設施，許多地方的摩天輪已成為當地的地標性建筑，如天津永樂橋摩天輪

號稱天津之眼，深圳快樂港灣摩天輪是亞洲最大的摩天輪.游客坐在摩天輪的

座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度

為110m,轉盤直徑為100m,開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距

離地面最近的位置進艙，進艙后開始計時，若開始轉動出苗后距離地面的高度

為Hm,轉一周大約需要30min.

⑴已知〃關于1的函數關系式滿足"。）=然皿&+°）+3（其中/>0,。>0,冏節），

求摩天輪轉動一周的解析式”⑺；

⑵若游客在距離地面至少851n的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪在運行

一周的過程中，游客能有多長時間有最佳視覺效果？

【答案】（l）“0=5Osin[]fqJ+6（V?O,3O]

（2）10min

【知識點】解余弦不等式、由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）、三角

函數在生活中的應用

【分析】（1）根據最高、最低點距離地面高度計算出42,根據轉一周的時間計

算出叫再結合初始位置計算出。，由此可求H”）；

（2）化簡H"），根據“（心85求解出，的范圍，由此可知結果;

【詳解】（1）由題意可知：摩天輪最高點距離地面HOm,最低點距離地面

110-100=10m,

B+A=U04=50

所以所以

B-A=10B=60

又因為轉一周大約需要30min,所以。手吟弋,

所以〃（。=50sin['+°）+60,

又因為H（0）=50sine+60=10,

所以sin°=-l且帆歸所以聯

所以"⑺=50sinj|t-3+60je[0,30]；

(2)因為"⑺=50sin]■^7-3+60=-50??普+60,

令-50cos里+60285,貝cos衛4---,

M15z152

又因為fe[0,30],則.式0,2可，所以年4,4午,

所以10W/W20,且20-10=10min,

故摩天輪在運行一周的過程中，游客能有lOmin最佳視覺效果.

2.（24-25高一上?全國?課后作業）某地區的一種特產水果最早一批在每年11月

上市，上市初期產量較低，因此價格居高且逐漸上漲，中期產量增大時價格逐漸

下跌，后期又由于供應量不足價格上漲，其銷售價格〃x）（單位：元/千克）隨著

月份x的變化滿足函數y（x）=/sin「x-tj+2（xe[l,10],xeN,,其中1表示^^一月份,

2表示十二月份，…），經調查統計，一月份該水果的平均銷售價格為10元/千克,

五月份該水果的平均銷售價格為6元/千克.

⑴求函數/'(X)的解析式；

(2)若該水果價格小于7元/千克時，果農就會聯合批發商積極拓寬外銷渠道，則

每年哪幾個月份需要采取外銷策略？

【答案】(l)〃x)=2singx-力+8

(2)每年4月、5月、6月這三個月需要采取外銷策略

【知識點】三角函數在生活中的應用

【分析】(1)根據“3)=1。,"7)=6,代入運算求解即可;

(2)令〃x)<7,可得結合正弦函數運算求解即可.

/⑶=/sin

【詳解】(1)由題意可得:角軍得/=2,8=8,

/⑺=/sin

所以f(x)=2sin[%-費+8.

⑵令〃x)=2sinCx_T+8<7,即

貝|2ht+V<—：<2kit+^^-,keZ,解得8k+?<x<8后+胃,上eZ,

1775

因為xe[l,10],xeN*,則丁<x〈至，故x可取6,7,8,

因此每年4月、5月、6月這三個月需要采取外銷策略.

3.(24-25高一上?福建龍巖?階段練習)電影《流浪地球》中反復出現這樣的人工

語音：“道路千萬條，安全第一條.行車不規范，親人兩行淚”成為網絡熱句.講的

是“開車不喝酒，喝酒不開車”.2019年，公安部交通管理局下發《關于治理酒駕

醉駕違法犯罪行為的指導意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規

定，根據國家質量監督檢驗檢疫總局下發的標準，車輛駕駛人員飲酒后或者醉酒

后駕車血液中的酒精含量閾值見表.經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒

后酒精在人體血液中的變化規律的“散點圖”見圖，且圖表所示的函數模型

40s.in(—萬x、+13,0Vx<2,、_,.,.,..人.,,,.

〃x)=(3),X表示時t間，車輛駕枝t人員血t液酒精t含量測值:

90.e-°5x+14,x>2

駕駛行為類別閾值(mg/100mL)

飲酒駕車[20,80)

醉酒駕車[80,+oo)

IC

0E

I070-

&

￡50-.,*

*30/

如

爨io-???????....................

?

0246810121416

時間(h)

根據上述條件，回答以下問題：

(1)試計算某人喝1瓶啤酒后多少小時血液中的酒精含量達到最大值？最大值是

多少？

(2)試計算某人喝1瓶啤酒后多少小時才可以駕車？(時間x以整小時計)(參考

數據：lnl5?2.71,ln30?3.40)

【答案】(1)1.5小時，最大值是53毫克/百毫升

(2)6小時

【知識點】三角函數在生活中的應用

【分析】(1)在0。<2時，/(x)取得最大值，由正弦函數性質求解；

(2)在a2時，解不等式〃x)<20可得.

【詳解】(1)由圖可知，當函數/(x)取得最大值時，0<x<2.

此時/(幻=40金仁1+13.

當與片方時，即x=T時，函數/(x)取得最大值為九,x=40+13=53,

故喝一瓶啤酒后L5小時血液中的酒精達到最大值，最大值是53毫克/百毫升；

(2)由題意知當車輛駕駛人員血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此

時x>2,

x>2

由彳90xe?5，+i4<20,即

-0-5x<—^

e15

解得x>21nl5?2x2.71=5.42,

?rxeN*,."的最小值為6,故某人故喝一瓶啤酒后6小時才可以駕車.

壓軸題型四、三角函數值'三角函數的化簡、求值——誘導公式

例題：(24-25高一上?吉林長春?期末)已知。角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的

非負半軸重合，終邊經過點尸(-4,3).

(1)求sino,cos?tana；

(Ji)

cos—+a|+2cosCL

(2)求…乜J_________.的值.

\7sin(兀-a)+2cosa

［答案］(l)sina=|,cosa=—g,tana=一?

⑵？

【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數值、三角函數的化簡、求值——誘導

公式

【分析】(1)利用三角函數的定義即可求得結果.

(2)用誘導公式化簡完將(1)的結果代入即可.

【詳解】(1)因為角。的終邊經過點「(-43),由三角函數的定義知

x_-4_4

/J（-4）2+325?

sma3

tana=----

cosa4

(2)由誘導公式，得

cos[2+a|+2cosa-sina+2cosa一^十?"，711

f（。）=~~7-----\_------sina+2cosa3,z45

'7sin-crj+2cosa-+9y2x（-y）

鞏固訓練L（（24-25高一上?甘肅?期末）已知。角的頂點在坐標原點，始邊與x

軸的非負半軸重合，終邊經過點尸(512).

(1)求Sina,COS?,tan(兀-a)；

⑵求/()V/12J的值.

2sm(-a)+cos(兀一

［答案］(l)sina=-^|,cosa*,tan(n-a)=y

⑵得

【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數值、三角函數的化簡、求值——誘導

公式

【分析】(1)根據三角函數定義結合誘導公式求解;

(2)利用誘導公式化簡/(0,從而得解.

【詳解】(1)因為角。的終邊經過點玖5,-12),由三角函數的定義知

12

s.m。=一y

r13'

x55

COSa=—=/,=■=—

r7（-12）2+5213'

sin6z12/、12

tana=----=----,tan(7i-a)=—tana=--

coscr55'

(WTI).(3%

cos----a-sm——+a

（2）由誘導公式，得/g）=I2JI2

2sin(-a)+cos(4-a)

一sma+cosa

一2sina-cosa

125

---1---

1313_17

519-

13

2.（24-25高一上?江蘇揚州?階段練習）如圖，以必為始邊作角。與須＜/?＜。＜兀）,

它們的終邊分別與單位圓相交于點尸，0,已知點尸的坐標為

3sin(兀一a)+5sin(a----)

(1)求------------7^——tan(兀+a)的值;

2cos(-a)-cos(a+—)

(2)若a=￡+5,求2sin￡cos￡-2cos我的值.

【答案】⑴條

⑵

【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數值、誘導公式五、六、三角函數的化

簡、求值——誘導公式

【分析】（1）根據給定條件，利用三角函數的定義及誘導公式化簡計算得解.

（2）由已知及（1）中信息，利用誘導公式求出si”,cos/?即可得解.

【詳解】（1）依題意，cosa=-|,sina=1,tan?=-p

]]兀

3sin(7i-a)+5sin(a———)

/、3sina+5cosa

-tan(7i+a)=--------------tana

所以2cosa-sina

2cos(-a)-cos(a+

3《+5x(-|)449

-------1---

330,

(2)依題意，B=a*,貝!jsin^=-cosa=：,cos^=sina=1,

所以2sin￡cos￡-2cosy5=2x—x--2x—=--1

壓軸題型五、弧長的有關計算、扇形中的最值問題

例題：（21-22高一上?江蘇蘇州?期末）立德中學擬建一個扇環形狀的花壇（如

圖），該扇環面由以點。為圓心的兩個同心圓弧和延長后可通過點。的兩條直線段

圍成.按設計要求扇環的周長為30米，其中大圓環所在圓的半徑為10米，設計小

圓環所在圓的半徑為X米，圓心角為6（弧度），當"。時，"米；現

要給花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾，已知直線部分的裝飾費用為4元/米，弧

線部分的裝飾費用為9元/米，則花壇每平方米的裝飾費用m的最小值為

一總費用、

花壇總面積

【答案】5g/3g

【知識點】弧長的有關計算、扇形中的最值問題、扇形弧長公式與面積公式的應

用、基本（均值）不等式的應用

【分析】由題意可得，30=W+100+2（10-X）,當0=g時，解得x,再結合換元法，以

及基本不等式的公式，即可求解.

【詳解】由題意可得，30=e+100+2(10-x),解得八黑三,

當。=g時，解得》=5,

S花=；xlOx6>xlO-g.6>.x2=?(100—x==—x2+5x+50(0<x<10),

裝飾費為9仇x+l0)+2(l°-x).4=9xd+9°'+8(l°-x)=170+10x

故?°+l°x=_；°(17+x),

—x+5x+50x~—5x—50

令f=17+x,17<t<27,

M___________10?_________10/_10

貝lj一—(7-17)2-5(17)-50--Z2-39/+324":第?324,

t

—>2》號=36，當且僅當公羋，即「18,即x=l時，等號成立,

二,的最小值為一七罟，

花壇每平方米的裝飾費用m最小為三元.

故答案為：5;y.

【點睛】關鍵點點睛：題意可得，30=/+10。+2(10-x),得人節展是解決本題的關

鍵.

鞏固訓練1.(23-24高一上?陜西西安?階段練習)如圖1所示的是杭州2022年第

19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，錢塘江和錢塘江潮頭是會徽的形象核心，綠水青

山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表達了浙江兒女勇立潮頭的精

神氣質，整個會徽形象象征善新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發展.圖2是

會徽的幾何圖形，設防的長度是/,前的長度是廠，幾何圖形相。的面積為s,

扇形20c的面積為S,已知g=2,ABOC=a.

（2）若幾何圖形的周長為4,則當a為多少時，S最大?

【答案］⑴3

（2）t

【知識點】扇形中的最值問題、扇形弧長公式與面積公式的應用

【分析】（1）通過弧長比可以得到以與。5的比，再利用扇形面積公式即可求解;

（2）由題意得2O8+3/J4,S$OB,然后利用基本不等式求最值即得.

【詳解】（1）由40C=a,貝=/'=/。8,

aOA

所以公—=2,即04=208,

aOB

-IOA--1'OB--2l'-2OB--r-OB

=2222

-I'OB-I'OB

22

(2)由(1)知，AB=CD=0B,

幾何圖形/BCD的周長為，8+/+/'+CO=2O8+3r=4,

S=-l-OA--l'-OB=--2l'-2OB--I'-OB=-!,-OB=--(3l'Y(2OB]

2222241八'

31'=2OB

當且僅當即a=g時，S最大值為1.

1—I=a?OB

鞏固訓練2.（23-24高一下?北京?階段練習）（1）一條弦神的長等于它所在圓的

半徑R,求弦相和劣弧N8所組成的弓形的面積；

（2）一扇形的周長為10而，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇

形的面積最大?并求出最大值？

【答案】（1）”芋及2；0）扇形半徑［由，扇形圓心角為2,扇形面積最大值

12/

4.

【知識點】扇形面積的有關計算、扇形中的最值問題

【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧N8所對的圓心角，再求出扇形面積及三角

形面積即得.

（2）設出扇形的半徑，結合已知建立函數關系，借助二次函數求解即得.

【詳解】（1）如圖，在圓。中，弦AB=R,則△水加是正三角形，^AOB=~,4B邊

上的高為5汽，

因此5-斗爭=?，而扇形,面積為*小港，

所以弦N2和劣弧居所組成的弓形的面積是加-32="2上

6412

（2）設扇形的半徑為『，則扇形弧長/=10-2,,

扇形面積5="=孑+5_一（一孑+=4不，當且僅當“：時取等號,

所以扇形半徑廠=gem,扇形的圓心角為（=2時，扇形面積取得最大值意加2.

壓軸題型六、正弦（型）函數的對稱軸及對稱中心、求sinx型三角函數的單調

性

例題：（24-25高一上?內蒙古鄂爾多斯?期末）設函數/（x）=7cos]4x-3-2.

（1）求的最小正周期，圖象的對稱中心；

（2）求/（X）的單調遞減區間.

【答案】（1）7、；自+。,-2,eZ）.

/一、「左兀兀祈兀

（2）[2+1了+?，5

【知識點】求COSX型三角函數的單調性、求余弦（型）函數的最小正周期、求

COSX（型）函數的對稱軸及對稱中心

【分析】（1）根據周期公式求周期，令4x/=E+W，逅Z,求得對稱軸；

（2）根據余弦函數單調區間求法求出單調區間.

【詳解】⑴仆）的最小正周期為T4=會

令4x\=加+梟左eZ,解得x=兀，kwZ,

故/（x）的圖象的對稱中心為之+（兀，-21eZ）.

（2）令2kli<4x-—<2kji+7i,左￡Z,

解得￡+考+：,選Z,

故的單調遞減區間為「+2將+不，"Z.

鞏固訓練1.（21-22高一?全國?課后作業）已知函數〃x）=2sin（2s+￡j（0>O）的最小

正周期為冗.

⑴求。的值；

⑵將函數〃x）的圖像向左平移巳個單位長度，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短

到原來的g（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖像，求g（x）的單調區間.

【答案】（1）0=1

⑵單調遞增區間為佟-荒，一盤］（壯為，單調遞減區間為2M割加Z）.

【知識點】求sinx型三角函數的單調性、求圖象變化前（后）的解析式、由正弦

（型）函數的周期性求值

【分析】（1）利用三角函數的周期公式可得答案；

（2）利用三角函數圖像平移規律、伸縮變換得到函數g3的圖像的解析式，再利

用正弦函數的單調性可得答案.

【詳解】（1）由題意，知？=§/=兀，所以。=1；

ICOCD

（2）由（1）,知/（x）=2sin］2x+3,

將函數〃x）的圖像向左平移5個單位長度后，得到函數

y=2sin21+:+三=2sin（2x+g］的圖像，

再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的！（縱坐標不變），得到函數

g（x）=2sin（4x+,的圖像，

^--+2fai<4x+—<-+2foc優eZ）,—-

?232V6仔224224V八

由3+2而V4x+/45+2加（"eZ）,得弓一最+（左eZ）,

故函數g（x）的單調遞增區間為忤-3有一4］任"）,單調遞減區間為

鞏固訓練2.（23-24高一下?云南紅河?開學考試）已知函數〃x）=2sinxcosx+2cos2xT,

XGR,

（1）求函數/（x）的單調遞減區間；

⑵求函數/（X）在-go上的值域.

【答案】⑴《+伍涉也代團

⑵RM.

【知識點】求sinx型三角函數的單調性、三角恒等變換的化簡問題、求含sinx(型)

函數的值域和