模塊六立體幾何與空間向量

（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知直線外〃和平面a,且四|a,則是“〃_1_?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】若n±m,則"ua或〃〃&或直線w和平面a相交（包含〃_L&）,充分性不成立；

若〃z||ar,n±a,則必要性成立.

所以〃是"〃_La"的必要不充分條件.

故選：B.

2.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有純凈水，AB=8，A耳=2,圖1中水面高度恰好為棱臺高度

的圖2中水面高度為棱臺高度的：，若圖1和圖2中純凈水的體積分別為匕％,則今=（）

Z3v2

387

208

【答案】D

【解析】設四棱臺的高度為6,在圖1中，中間液面四邊形的邊長為5,在圖2中，中間液面四邊形的邊

長為6,

,1/r~~—h129k—1/—T-r\2h104/z

貝n！JVj=—(64+25+J64x25)?—=------,V=—(4+36+j4x36)-----=-------

3262339

V,387

所以\^~208'

故選：D.

3.如圖，一個圓柱形容器中裝有某種液體，固定容器在墻面和地面的角落內，容器與地面所成的角為

30°,液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點到容器底部的距離分別是10和22,則容器內液體的體積是

C.192兀D.240兀

【答案】C

【解析】如圖為圓柱的截面圖，過M作容器壁的垂線，垂足為廠,

因為平行于地面，故一睦\不=30。，

橢圓長軸上的頂點M,N到容器底部的距離分別是10和22,

故NF=22—10=12,

在用△MFN中，MF=NFxtan30"=4不，即圓柱的底面半徑為2vL

所以容器內液體的體積等于一個底面半徑為2TL高為(22+10)的圓柱體積的一半，

即為:x;rx僅6了x32=192zr.

故選：C

4.已知A,B,C三點不共線，點。不在平面A8C內，W=^OA+xOB+yOC(x,y>^,若A,B,C,D

四點共面，則孫的最大值為()

A.—B.—C.1D.2

816

【答案】B

,—.1—.—.―.1

【解析】由OD=]OA+xOB+yOC(x,y>0)及A,B,C,D四點共面得：—+x+y=1,

即x+y=J,又無>0,y>0,

所以孫當且僅當犬=丫=；時等號成立，

故選:B

5.已知圓錐尸。的軸截面AP6是邊長為2的正三角形.若。為圓錐側面上的動點，點。任平面APfi,

PQ=i,則三棱錐尸-ABQ體積的最大值為()

A.3B.-C.且D.-

3366

【答案】C

【解析】依題意，點。在圓錐的中截面圓上，它到平面APB距離的最大值即為該截面圓半徑3，

而△APB的面積S=

4

所以三棱錐P-ABQ體積的最大值為v==走.

326

故選：C

p

6.如圖，四棱柱A5C。-A旦G2中，四邊形ABC。為平行四邊形，￡,尸分別在線段。仇上，且

DEDF1_CG

7^=忘=￡，6在℃]上且平面人跖〃平面5。0，則內7二（）

L）DDLf[JCCj

【答案】B

【解析】延長4E交C。于點H,連接EH,

則△DEH-ABEA,

因為平面AEF〃平面BDfi,平面AEFc平面CDD￡=FH,

平面BDfic平面CDDG=Dfi,

所以FH//DQ,又四邊形CD2G為平行四邊形,

DFDH

所以aFH?ACIGD],所以=

CjCr

DHDH1?DF1

因為所以77K=5,

AB2

DFDF1

西3所以①=5

所以如I=GG,OF=CG,

故選：B

7.已知正方體ABCO-A4G2的棱長為2,點M為棱的中點，則平面ACM截該正方體的內切球所

得截面面積為（）

71-2兀—-4兀

A.-B.—C.irD.—

333

【答案】A

【解析】球心。為正方體中心，半徑尺=1,

法一：連接AC,3D,相交于點E,點E為AC,3D的中點，連接,

可得ME//BD],因為MEu平面AMC,或＞10平面AMC,

所以平面AMC,。在2,上,

則。到平面AMC的距離等于點B到平面AMC的距離，設為d,

=；x2x2=2,S.C=ACxAffi=^x272x^1+2=76,

S2

由MD,平面ABC、5_AMC=%.ABC得：d=^^=j,

,△AMC7b

則截面圓半徑/=玄-屋=g,

所以截面面積S=7I/=1.

法二：以。為原點，況，覺，西為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則0(1,1』)，M(0,0,1),a(2,0,0),c(0,2,0),

AM-(-2,0,1),CM=(O,-2,l),加=(1,1,0),

設平面AMC的一個法向量為元=(x,y,z),

n?AM=-lx+z=0

，令x=l,則y=1*=2,

n-CM=—2y+2=0

所以為二(1,1,2),

\MO-n\

則0到平面AMC的距離d=1,,1=十2，

同瓜

截面圓半徑-屋j所以截面面積s=?4

故選：A.

8.已知正方體A5CD-A與GA，E,F,G分別為棱ASCQ,CD的中點，若平面EFG截該正方體的

截面面積為氈，點尸為平面E/G上動點，則使正。=鉆的點P軌跡的長度為()

2

A.兀B.2nC.57271D.2Y/2TI

【答案】C

【解析】由題意截面EG歹則為正六邊形，如圖所示，

由截面面積為空及三角形面積公式可得6x」G產.3=±8,解得GF=1,.?.正方體的棱長43=0.

2222

因為。瓦，截面EFG,。為。耳的中點，也是截面EFG的中心，S.DO=—,

2

3F）

:.PD2=PO2+OD2,即。。2+7=2,解得PO=J.

22

???使得尸。=3的點尸的軌跡是以。為圓心，半徑為5的圓，所以軌跡長度為&兀.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在四棱柱ABCD-AAGQ中，AB=AD=AAl=l,ZBAD-ZBAA,=ZDA^=60°,0為底面4月。19

的中心，貝!)()

A.AC,=AB+AD+A4f

C.防=2D.（麗，西=120。

【答案】AD

【解析】對于選項A,AC[=AB+AD+AA；,正確；

對于選項B,DO=DDl+Dp=A\+^DB=A\+^（AB-AD^,錯誤；

對于選項C,|西|=|福-而|=|通+福-麗卜J1+1+1+1-1-1=后,錯誤;

對于選項D,易得AB。。為正三角形,

故而,e=時,e=冗一/BQDI=12仃,正確；

故選：AD.

10.如圖，已知正方體A8CD-A4G2的棱長為2,則下列說法正確的是（）

A.BCX±CA

B.BC[//平面ACDX

C.直線CA與平面ABC。所成的角為45。

D.點。與平面ACR的距離為逆

3

【答案】ABD

【解析】A選項，以。為坐標原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

3（2,2,0）C（0,2,2）,C（0,2,0），A（2,0,2）,

故的=（-2,0,2）,04；=（2,-2,2）,

故鑿.可=（-2,0,2＞（2,-2,2）=T+0+4=0,所以相，區，

故BG^CA，A正確；

B選項，因為AB=G2，A8〃G2,所以四邊形A3GQ為平行四邊形,

故〃明，

又平面AC?,ARu平面AC，，故BQ〃平面AC。，B正確;

C選項，平面ABCD的一個法向量為溫=（0,0,1）,

又可=（2,-2,2）,故

設直線CA與平面ABC。所成的角大小為6,

怎化」（2,-2,2卜（。,0,1）|_2一6

則sin6=cosg叫一巾亦一2五一3

故直線C4與平面ABCD所成的角不為45。，C錯誤;

D選項，A（2,0,0）,C（0,2,0）,Dx（0,0,2）,D（0,0,0）,

則衣=（一2,2,0）,西=（0,-2,2）,方=（2,0,0）,

設平面AC2的一個法向量為力=（o,b,c）,

n-AC=(“/,<?)?(-2,2,0)=-2a+2b=0

n-CD{=(a,b,c)-(0,-2,2)=-2b+2c=0

令o=l,則6=l,c=l,故“=(1,1,1),

|(2,0,0)-(1,1,1)|22^

故點￡）與平面ACj的距離為D正確.

口V1+1+1一石-3

故選：ABD

11.已知圓臺QQ上、下底面半徑分別為1,4,半徑為R的球0內切于圓臺，則（）

B.圓臺側面展開圖扇環的圓心角為彳

C.過。?的截面與底面所成角為60。時，。，到截面距離為好

2

D.在圓臺內放一正方體，正方體可繞其中心自由轉動，則該正方體棱長的最大值為拽

3

【答案】ABD

【解析】對A,圓臺上、下底面半徑分別為1，4,

AO2=4,BO[=1,48=1+4=5,AOZ-BQ=3,00、=飛AB。-W=4,

則半徑為R的球。內切于圓臺，所以2R=4,故A正確;

B°iC

對B,由A母線長為5,設圓臺側面展開圖扇環的圓心角為a,則根據扇形弧長&*/=2兀0。+5）=8兀,

所以。=號，故B正確；

對C,過的截面與底面所成角為60。時，/07。2=60。,002，圓面。2，

所以/。2。7=30。，002=4,。2到截面距離為O02xsin3Oo=2,故C錯誤;

對D,由題意A,圓臺中能放下的最大球的半徑為2,直徑為4,

故在圓臺內放置一個可以任意轉動的正方體，則正方體為該球的內接正方體，棱長為耳4=耳4括/-，故D正

確；

故選：ABD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正四棱臺上底面邊長為夜，下底面邊長為20，側棱與底面所成角為45。，則該正四棱臺的體積

如圖，點S,。分別為上下底面的中心，連接OS,

在正四棱臺中，有OS,平面ABCD,又QSu平面AACG，所以平面

在平面AACG內，過點A作片石_LAC于點石，又平面AACqc平面ABCD=AC,所以A]EJ■平面

ABCD,

所以AE是44]在平面ABC。上的射影，所以/AAE是直線與平面ABC。所成角的平面角，

又側棱與底面所成角為45。，所以4AE=45。，

因為上底面邊長為夜，下底面邊長為2及，所以AS=1,AO=2,

則。E=AS=1,AE=OA-OE=19所以4石=人石=1，則四棱臺的高為1,

114

所以該正四棱臺的體積為§x(2+8+4)xl=§.

14

故答案為：—.

13.如圖，裝有水的正方體無蓋容器放在水平桌面上，此時水面為跳G”,已知4石=；44,=1.為了將

容器中的水倒出，以BC為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒出，當水剛好能從容器中倒出時，水面

距離桌面的高度為

【解析】如圖，平面A4D2與水面的夾角為

則平面用8CG與水平桌面的夾角為￡)4加4.

由題意可得三棱柱—D]C\N的體積為4x4x1=16,

所以；4/-4旦-42=16,解得AM=2,

所以sin〃VWB[=^=—

MB{5

水面距離桌面的高度為8月sinNAMg=竽

故答案為：述.

5

14.棱長為1的正方體A8CD-A與G2中，點尸在棱CO上運動，點Q在側面ADAA上運動，滿足qQ1

平面ARP,則線段P。的最小值為一.

【答案】逅

3

【解析】以。為坐標原點，D4,oc,r>2分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖,

則4(1,0,0),，(0,0,1),4(1,1」)，設尸(0,w,0),04m<1,e(n,0,r),

所以南=(〃,0j)—。,1,1)=5-1,一11-1),

=(-1,0,1),AP=(0,m,0)-(1,0,0)=(-1,m,0),

因為平面ARP,

所以麗?礪二(九一1,一1/-1)(一1,0,1)=1—〃+.-1=.一〃=0,

故，=幾，

BXQ-AP=(n—1,—1,—1)?(―1,m,0)=1—n—m=0,故m=1—〃，

其中迎=(n,0,)-(0,m,0)=(n,-m,t),

2

故園2=〃2+根2+*=2/+0一〃)2=3/-2〃+1=3+一,

3

1I一.i222

故當〃=；時，P。=-,此時機=1一〃=T?滿足要求,

31?min33

所以線段尸。的最小值為

故答案為T

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A與G2中，M.E分別是G2、AA的中點，尸是MC的中點.

（D判斷A、C、M、A四點是否共面（結論不要求證明）；

（2）證明：EF〃平面A3CD；

（3）求異面直線AB與取所成角的余弦值.

【解析】（1）A、C、4三個不共線的點確定平面ACG4,顯然M任平面ACGA，

所以A、C、M、A四點不共面.（3分）

(2)如圖，以D為原點,DA,DC,分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系,

ZA

i一一-V

E-一7\

班--......K

k-7

則E(2,0,l),小，|，1)，故訪=[-2,|,0)

又平面ABCD的法向量為為=(。,。,1)

所以訪?為=0，故/_1_方.

又EPU平面ABCD,故EP〃平面ABCD.（8分）

(3)由(2)可知麗12,■!，()],

又4(2,0,2),8(2,2,0),故率=(0,2,—2),

訴“cos“，喬=?"=4=述

所以

4|AB||￡F|*10J

故異面直線AB與EF所成角的余弦值為“2

（13分）

16.(15分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,平面PAD_L平面ABCD,ILPA=PD=^2AD,

點M在]線段尸。上，PM=3MD.

BC

⑴求證：AM，平面PCD；

(2)求平面MAC與平面R鉆夾角的余弦值.

【解析】(1)設4。=2,則上4=P￡>=20,取AD中點。，8C中點為E,

則尸O_LA。,，平面PADJ_平面ABCD,POu平面PAD,

平面上4Dc平面ABCD=AD,所以P。，平面A3C￡）,

而OE//AB,所以OEJLAD,

則以OEORO尸所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，（3分）

則A（0,-l,0）,B（2,-L,0）,C（2,L0）,D（0,l,0）,P（0,0,V7）,

因而=3初方，則M

——?f7A/7

于是，AM=0,-,^-,PD=（0,1,-A/7）,CD=（-2,0,0）,

l44

7

則麗晨麗=0,而7■?①=0,

即AM_LP2AM_LCE>,PDcCD=D,PD,CDu平面PC。，

所以AM,平面PCD；（7分）

（2）AC=（2,2,0）,AB=（2,0,0）,A?=（0,l,^）,

設點=（占,必，4）是平面MAC的一個法向量，

n.±AM,12%+2%=0,一,廣、

則,一r令占=1,則%=1,—1,舊，（9分）

n}±AC,[7M+A/7Z]=0,''

設%=（々,%/2）是平面PA5的一個法向量，

rb,±AB,]2尤2=0,一/

則」一???■廠c令％=-7,則%=0,-7,4，（12分）

7

n2±AP,[y2+^lz2=0,'

設平面MAC與平面BIB的夾角為6,

7+7714

?.cos。=COS可=

同?同3X2A/14~6~

平面鞏8與平面PC。的夾角的余弦值為恒.（15分）

6

17.(15分)

如圖，在平行六面體ABCD-A'B'CZ)'中，AB=AD^2,NA'AB=NA'">且A'2_LAC,設AC與BO

的交于點0.

⑴證明:A。，平面ABCD；

⑵若A4，=3,且/84￡）=60。，求直線A3與平面4力CD所成角的正弦值.

【解析】（1）因為底面ABS為平行四邊形，且=

所以DABCD為菱形，所以AC13O.

又A3_LAC,AB,BE>u平面AfiD,且A'BcBD=3,

所以AC_L平面

因為A'Ou平面A'BD,所以ACL4O.（3分）

在△AAB和AAAD中:

A'A=AA

"^A'AB=ZA'AD=>△AABkAAAD(SAS).

AB=AD

所以A5=AO.

又。為2。中點，所以A'OLBD.

又AC,BDu平面ABCD,S.ACC\BD=O,

所以A。，平面A3CD（6分）

（2）由（1）可知，OA,OB,0A兩兩垂直，所以以。為原點，建立如圖空間直角坐標系:

因為AB=AD=2,A4'=3,ZR4D=60°,

所以OA=A/LOB=1,OA!=46.

所以*0,1,0）,D（0,-l,0）,A（0,0,后），C（-V3,0,0）.

所以1^=（0,1,_后），DC=（-73,1,0）,初=（0,1,痛）.

設平面A'8'a）的法向量為萬=（x,y,z）,

（x,y,z）.（-V3,l,0）=04氐+y=,

nYDCn-DC=0

則=<__.=<=>〈,（10分）

nlDA'n-DA'=0（無,X2）.（0,1,"）=0y+s/6z=0

取z=l,得亢=.及，-娓,1）.

所以=同=3,福?萬=（0,1,_指,1）=_2".

設直線A3與平面A'8'CD所成的角為0,

?_?麗R2癡2^/42

則sin9=cosA'B,n\=,,="=上空.（15分）

11\A'B\-\n\3s21

18.（17分）

在空間直角坐標系。尤yz中，點A,B,C分別在x,y,z軸上.

（1）證明：VABC是銳角三角形；

⑵已知|Q4j+|Q5|+|oq=3.

①求VABC面積的最大值；

②設二面角4_3（?_0,8_40_0,0_超_0的大小分別為％月,乙證明:

coscrcos/?+cosJ3cos/+cosycosa<1.

【解析】（1）設點A（a,0,0）,B（0設,0）,C（0,0,c）,

則|AB]=yja2+b2,|BC|=s]b2+c2,|CA|=\/c2+a2,

在VABC中，由余弦定理,

所以A是銳角，同理3、。也是銳角，故VABC是銳角三角形，命題得證；（4分）

（2）①仍采用（1）中的設點，且不妨設“,b,c>0,由題意，Q+Z?+C=3,

L2/?2+Z?2C2+C26Z2

貝“sinA=Vl-sin2A

4(a?+/)(c2+叫

la2b2+b2c2+c2a2

S=^|AB||AC|sinA=；{(a?+廿)-八一+叫,(a?+/).+/)

y/a2b2+b2c2+c2a2

2

不妨設a是〃也c中最小的數，則OWaWl,由基本不等式，

?_^a2b2+b2c2+c2a2_da2(b2+c2)+b2c2J"S+°)+(kJ

kJ———2：

222

,仃分)

—2

令f(a)=/仁—4+(0<a<1),

則r(a)=l^(一17a2+30a-9),

令f'(a)=^^(-17a2+30o-9)=0,

解得a=15心》或〃=15+6夜(舍去)或。=3(舍去)，(7分)

1717

.止鼠15-6&]

故當ae。，———時，f'(a)<0,

當〃￡時，r（?）>o,

15-60、

故〃。）在ae0,上單調遞減，在上單調遞增,

17)

又"0)=3"1)=5,所以〃口=3

所以〃嘰=max{/(0)，/(!)}=max惜5卜1

9

9,即VABC面積的最大值為三.（9分）

8&

22

②仍采用①中的設點,

先求cosa：顯然平面3c。的一個法向量而=（1,0,0）,

設平面A3C的一個法向量〃=（印/）,

-as+bt=O

又Z?,0),AC=(-a,0,c),則

-as+cr=0

t=ac-

令s=bc,解得,i^n=(bc,ac,ab),

r=ab

m-nbe

(m,n)=~

cosa=cos2222

'/|m|-|；|^ab+bc+c2a2

acab

同理得cos/7=,s,cosy=/，—，?,(13分)

^a2b2+b2c2+c2a2yla2b2+b2c2+c2a2

故有cos2?+cos邛+cosV=咂+義+吶：=1,

a'b'+bc+ca'

要證coscrcos/7+cos/?cos/+cos/cosa<1,即等價于證:

cosacos^+cos/?cos/+cos/cos?<cos2?+cos2^5+cos2/-----①.

事實上，有(cos<z-cos￡)，+(cos/?-cos7)-+(cosy-costz)->0,

即2COS2?+2cos2/?+2cos2/>cosacos/?+cos/?cosy+cosycosa,

則①式得證，故cosacos/7+cos6cosy+cosycostz41,

取等當且僅當［3=|OB|=|OC|=1,命題得證.（17分）

19.（17分）

如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜

截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，是底面圓。的直徑，AB=2BC=2,橢圓所在平面垂

直于平面ABCD,且與底面所成的二面角的大小為45°.在圖一中，P是橢圓上的動點，點P在底面上的

投影為點4.在圖二中，橢圓上的點耳［=1,2,3,…，外在底面上的投影分別為點耳，且點F,均在直徑的

圖一圖二

27r

⑴當ZAO4=石時，求出的長度.

（2）（i）在圖二中，當〃=6時，若點小工，L,穌將半圓均分成7等份，求（4片-2）

.（互鳥一2＞（區名-2）；

(ii)證明：AFlElF[+I\F2E2F2+--+Fn_1EnFn+FnBBC<27v.

【解析】（1）如圖1,取CQ的中點過點M作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交D4于點G,

交BC的延長線于點H,與尸片交于點/.

因為MW=MG=1,ZCMH=ZDMG=45°,所以DG="C=1,AG=2.

過點M作G”的垂線，交圓M于J,K兩