重難點06球的切、接問題及截面、硼折問題

（3種考法）

【目錄】

考法1：球的切、接問題

考法2：截面問題

考法3：翻折問題

延二、命題規(guī)律與備考策略

一、外接球題型歸類：

（1）三線垂直圖形

計算公式：三棱錐三線垂直n還原成長方體n2R=Ja?+9+/

（2）由長方體（正方體）圖形的特殊性質，可以構造如下三種模型:

j-------------------------I袱2+勿2.?2

①三棱錐對棱相等.=^>2R=\a2+b2+c2=J-------------------------,m,〃，/是三個對棱棱長.

②等邊三角形與等腰直角三角形連接.

③投影為矩形.

（3）線面垂直型：線垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓

半徑是廣，滿足正弦定理）.

（4）面面垂直型

一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型

（5）垂線相交型

等邊或者直角：等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心.

直角三角形斜邊中點（外心）做面垂線，必過球心.許多情況下，會和二面角結合.

二、求多面體的外接球的半徑，常用方法有：

（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半

徑；

（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線

的中點，再根據勾股定理求球的半徑；

（3）如果涉及幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球

心.

三、立體幾何中截面的處理思路：

（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是

找交線的過程；

（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點

找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后

借助交點找到截面形成的交線；

（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.

a工菽方法

考法1：球的切、接問題

選擇題（共4小題）

1.（2023?嘉定區(qū)二模）已知一個棱長為1的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為R1,與該正方

體每條棱都相切的球半徑為R2,過該正方體所有頂點的球半徑為R3,則下列關系正確的是（）

A.Ri：R2：氏3=&：V3：2B.RI+R2=R3

CR；+R§=R§D.R；+R尸鉆

2.（2023春?浦東新區(qū)校級期中）著名的古希臘數學家阿基米德一生最為滿意的一個數學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容

球”定理：把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和

側面相切（該球也被稱為圓柱的內切球），那么此時圓柱的內切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值

為（）

A.AB.Ac.3D.2

2343

3.（2022秋?普陀區(qū)校級期中）已知球。的體積為空二，高為1的圓錐內接于球O,經過圓錐頂點的平

6

面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為Si,&,若Si=2空，則52=（）

8

A.2B.V5C.V6D.2A/2

4.（2023?虹口區(qū)校級三模）已知圓錐SO是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為遙，高為1,

尸、0為底面圓周上任意兩點.有以下三個結論：

①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐O-SPQ體積的最大值為2；③四面體SOPQ外接球表面積

3

的最小值為9n.

以上所有正確結論的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

填空題（共5小題）

5.（2023春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有

一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn)，在

這個偉大發(fā)現(xiàn)中，球的體積與圓柱的體積之比為

6.□（2023?徐匯區(qū)校級三模）在012c中，AC=2?,頂點8在以AC為直徑的圓上.點P在平面A8C上

的射影為AC的中點，PA=2,則三棱錐尸-ABC外接球的半徑為.

7.（2023?嘉定區(qū)模擬）如圖，直三棱柱ABC-A出1。中，AC±BC,AC=F,BC=3,點P在棱BBi上，

且B4LPC1,當△APCi的面積取最小值時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

8.（2023春?浦東新區(qū)校級期中）已知在四面體V-A8C中，VA=VB=VC=2,AB=\,NACB=，-，則該

6

四面體外接球的表面積為一.

9.（2022秋?金山區(qū)校級期末）如圖，在四棱錐P-4BCZ）中，POJ_平面ABC￡）,AB//DC,AD1AB,DC

=2,AD=AB^1,直線方與平面ABC。成45°角.設四面體外接球的圓心為。，則球的體積

為—.

考法2：截面問題

一、單選題

5兀

1.（2022春?上海靜安?高三上海市市西中學校考階段練習）若圓錐的側面展開圖是半徑為4,中心角為三

的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為（）

A.血B.4C,8D.生叵

99

2.（2022秋?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學校考期中）下列說法中正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.若棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.若球。的半徑為2,球心到平面a的距離為1,則球。被平面a截得的截面面積為加

3.（2023秋?上海浦東新?高二上海市建平中學校考期末）用一個平面截正方體，截面圖形可能是（）

A.鈍角三角形B.直角梯形

C.有兩個內角相等的五邊形D.正七邊形

4.（2021?上海徐匯?位育中學校考三模）如圖，正方體ABC。-A46A中，E、P分別是A3、BC的中

點，過點2、E、f的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為乂,%（乂＜%）,則

匕：匕=（）

5.（2022?上海?高二專題練習）為提高學生數學學習的積極性，復旦附中聯(lián)合浦東分校、青浦分校、復旦

中學組織了復旦附中月度數學學科知識競賽.本次比賽的年度總冠軍獎杯由一個銅球。和一個底座組成,

如圖（1）所示，已知球的體積為36萬，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點的連線垂直向上

折疊成直二面角所得，如圖（2）所示.則在圖（1）所示的幾何體中，下列結論中正確的是（）

O

以

D'EA

圖⑴圖⑵

A.CD與是異面直線

B.異面直線AB與CD所成角的大小為45°

C.由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為3萬

D.球面上的點到底座底面的最大距離為3+6+

6.（2022秋?上海普陀?高二上海市晉元高級中學校考期中）已知球。的體積為空，高為1的圓錐內接于

6

25兀

球O,經過圓錐頂點的平面a截球。和圓錐所得的截面面積分別為岳,$2,若，則邑=（）

O

A.2B.75C.y/6D.25/2

7.（2023春?上海楊浦?高一復旦附中校考期末）過正四面體ABCD的頂點A作截面，若滿足①截面是等腰

三角形；②截面與底面BCD成75。的二面角，這樣的截面?zhèn)€數為（）

A.6B.12C.18D.24

二、填空題

8.（2023秋?上海靜安?高二校考期末）在棱長為。的正方體ABCD-A耳GA中，M,N分別是正方形

ABCD、正方形B瓦的中心，則過點A,M,N的平面截正方體的截面面積為.

9.（2022秋?上海普陀?高二上海市晉元高級中學校考期中）若圓錐的側面展開圖是半徑為1,圓心角為

180。的半圓，則這個圓錐的軸截面面積等于.

10.（2021秋,上海浦東新,高二上海市建平中學校考階段練習）如圖，正方體ABC。-A耳6A的棱長為

I,瓦P分別是M，CG的中點，那么正方體過2,E,歹的截面圖形的面積是

11.（2022春?上海浦東新?高二校考期末）己知正三棱錐尸-ABC底面面積sABC=6,點。在高尸。上且

2PQ=QO,則經過點。且平行于底面的截面面積為.

12.（2022秋?上海徐匯?高二位育中學校考期末）正方體ABC￡>-$耳GR的棱長為4,瓦尸分別為8C、

CG的中點，則平面AEV截正方體所得的截面面積為

13.（2021秋,上海普陀,高二上海市晉元高級中學校考階段練習）如圖，在棱長為。的正方體

ABCD-ABGR中，P,Q分別是正方形AB5'BCC；旦的中心，R在線段次）上，DR=3RB,則過點

尸,。,尺的正方體的截面的面積是

14.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預測）己知圓錐的母線長為5,側面積為20萬，過此圓錐的頂點作一截面，則截

面面積最大為

15.（2022春?高二單元測試）正方體ABC。-的棱長為1,E、B分別為2C、CG的中點，則平

面AEE截正方體所得的截面面積為

三、解答題

16.（2022秋?上海靜安?高二校考期末）由曲線丫=，/,丁=-!/,了=4,了=-4圍成的封閉圖形繞，軸旋轉

44

一周所得的旋轉體的體積為匕；滿足1+y2Vl6,V+（y-2）224,V+（y+2）224的點（蒼y）所組成的封閉圖

形繞，軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為匕

⑴當y=fJw[0,4]時，分別求出兩旋轉體的水平截面的面積，，邑；

（2）求匕與匕的關系，并說明理由.

17.(2023春?上海奉賢?高一上海市奉賢中學校考階段練習)已知四棱錐尸的底面為直角梯形,

ABDC,ZDAB=90°,以回平面ABCD,PA=AD=DC=^AB=1,M是棱PB上的動點.

⑴求證：。回平面B4D；

(2)若PC=PM,求點M到平面ABCD的距離;

PN

(3)當M是PB中點時’設平面MM與棱尸C交于點M求標的值及截面的面積.

18.(2020?上海?統(tǒng)考模擬預測)正四棱錐尸-ABCD的底面正方形邊長是3,0是在底面上的射影,

PO=6,。是AC上的一點，過。且與上4、8。都平行的截面為五邊形EFGHL.

(1)在圖中作出截面跳Gffi,并寫出作圖過程;

(2)求該截面面積的最大值.

考法3：翻折問題

一、解答題

1.（2021春?上海普陀?高二曹楊二中校考期末）如圖，在直角梯形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,

AB=BC=4,AD=2,E、尸分別是AB、的中點，沿即將梯形AEFD翻折至A'EFD’,使得平面

WEED'_L平面BEFC.

（1）求證：AE1.BE；

（2）設G為E尸上的動點，當AG+GC取最小值時，求異面直線3D與CG所成角的大小;

（3）求多面體ABCD'EF的體積.

2.（2021秋?上海奉賢?高二校考階段練習）如圖1,在直角梯形ABCD中，ABUCD,AB±AD,且

AB=AD=^-CD=1,現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF,然后沿邊A。將正方形翻折，使

2

ED1DC,M為即的中點，如圖2.

圖1圖2

（1）求證：4W〃平面BEC；

（2）求證：平面BCD_L平面8DE；

（3）若￡>E=1,求點D到平面3EC的距離.

3.（2022?上海?高二專題練習）如圖1,在邊長為4的菱形ABC。中，0Z）AB=60°,點M,N分別是邊

BC,CQ的中點，ACBD=OltACMN=G.沿MV將△CVW翻折到的位置，連接B4,

PB,PD,得到如圖2所示的五棱錐PABMNZX

圖1圖2

⑴在翻折過程中是否總有平面平面PAG?證明你的結論；

（2）當四棱錐P-MNDB體積最大時，求直線PB和平面MNDB所成角的正弦值；

⑶在（2）的條件下，在線段以上是否存在一點。，使得二面角Q-MN-P的平面角的余弦值為畫？若

10

存在，試確定點。的位置；若不存在，請說明理由.

4.（2022秋?上海寶山?高三統(tǒng)考期末）如圖是矩形ABCD和以邊為直徑的半圓組成的平面圖形，

AB=2AD=2a.將此圖形沿AB折疊，使平面A3CO垂直于半圓所在的平面.若點E是折后圖形中半圓。

上異于A，3的點.

TT

（團）若異面直線和。。所成的角為:，求三棱錐O-ACE的體積.

6

5.(2023?上海?高三專題練習)如圖，將邊長為2的正方形ABC。沿對角線8。折疊，使得平面與平

面C3D所成二面角為直角，/場，平面&8。，且AE=0.

⑴求證：直線EC與平面A3。平行;

⑵求點C到平面BED的距離.

6.(2020春?上海寶山?高二上海交大附中校考期中)已知梯形A8CD中，AD//BC,ZABC=ZBAD=-,

2

G是8C的中點.AB=BC=2AD=4,E、/分別是A3、CD上的動點，豆EFHBC,設AE=x

(xe[0,4]),沿所將梯形ABC。翻折，使平面AEEDL平面EBCF,如圖.

(1)當x=2時，求證:

(2)若以8、C、D、F為頂點的三棱錐的體積記為/(X),求/■(x)的最大值;

(3)當/'(x)取得最大值時，求二面角的余弦值.

7.(2023?上海奉賢?校考模擬預測)如圖，將邊長為2的正方形沿對角線3。折疊，使得平面43。回

B

⑴求證：直