求線段最值典型考點專項練

2025年中考數學一輪復習備考

一、填空題

1.如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm,3c=6cm,點E在直線AD上，從點A出發向右運動，速度

為每秒0.5cm,點尸在直線3C上，從點8出發向右運動，速度為每秒2cm,BE、AF相交于點G,則

BG+CG的最小值為_cm.

2.探究式子47七+小入-4)2+1(了》0)的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取AB=4,

作AC_LAB于A.BD工AB于B,且AC=1,BD=l,點E在A8上，設AE=x,則BE=4—x,于

是，&+l=CE，&-4)、l=DE,因此，可求得CE+OE的最小值為，已知

y=J(X+5)2+5。—JX。+32(x20),則》的最大值是.

3.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(3,6),2(-2⑵，在無軸上取兩點C,。(點C在點。左側)，

且始終保持CD=1,線段CO在無軸上平移，當相>+BC的值最小時，點C的坐標為.

4.如圖，已知點43,0),2(1,0),兩點C(-3,9),￡>(2,4)在拋物線〉=/上，向左或向右平移拋物線

后，C,。的對應點分別為C',Di,當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為

D'

oBli

5.如圖，在直角坐標系中，矩形0ABe的頂點O在坐標原點，頂點A,C分別在x軸，y軸上，B,

D兩點坐標分別為B(-4,6),。(0,4),線段所在邊。4上移動，保持EF=3,當四邊形瓦汨/

6.如圖，在平面直角坐標系中有A(0,3),。(5,0)兩點.將直線3y=x向上平移2個單位長度得到

直線L點8在直線乙上，過點8作直線4的垂線，垂足為點C,連接AB,BC,CD,則折線ABC。

的長AB+3C+CD的最小值為.

7.如圖，NMON=45。，O尸平分4/ON,點A為射線QW上一點，Q4=4,點￡,廠別為射線。P,OM

上的動點，連接AE,EF,則AE+EF的最小值為

N

P

E

OAM

8.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，AC=6,BC=8,AB=10,AD平分NOR交8c于點O,

點E、尸分別是AD、AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為.

9.如圖，在咫ABC中，/歷^=90。,48=3,3。=5,點P為BC邊上任意一點，連接上4,以上4,

PC為鄰邊作平行四邊形尸4QC,連接P。，則尸。長度的最小值為.

10.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為A。的中點，將△（7￡出沿CE翻折得ACME,點/

落在四邊形ABCE內.點N為線段CE上的動點，過點、N作NPHEM交MC于點、P,則MV+NP的最

小值為______

11.如圖，在矩形ABCD中，CE_L3D于點E,AB=2^3,BE=3ED,P、。分別是5。、8C上的

二、單選題

12.如圖，在平面直角坐標系中，RaOAB的頂點A在無軸的正半軸上.頂點8的坐標為（3,6），

點C的坐標為（1,0）,且/4。8=30。點P為斜邊上的一個動點，貝IB4+PC的最小值為（）

y

p

A.V2B.出c.SD.VTT

13.如圖，點A,8在直線肋V的同側，A到跖V的距離AC=8,8至U政V的距離3D=5,已知CD=4,

22

P是直線MV上的一個動點，記PA+PB的最小值為。,\PA-PB\的最大值為b,則a-b的值為（）

A.160B.150C.140D.130

三、解答題

14.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內壁離

容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則

螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是多少？

螞蟻月

參考答案

1.10

解：：點E在直線AD上，從點A出發向右運動，速度為每秒0.5cm,點P在直線2C上，從點B出

發向右運動，速度為每秒2cm,

.AE_0.5_1

??茄一5一"

:四邊形ABC。是矩形，

AE/7BF,

點G到AD的距離與點G到的距離之比為1：4,

AB=5cm,

...點G到3c的距離為4cm,

過點G作直線MN平行8C,分別交AB,CD于點M,N,

即點G的運動路線為直線MMBM=4cm,

作點8關于肱V的對稱點"，連接G8,CB',

則3'G=3G,BB'=2BM=8cm,

：.BG+CG=B'G+CG>CB',

3G+CG的最小值為CB'的長；

在中

BC=6cm,

/.CB，=VSC2+BB'2=762+82=10（cm）,

BG+CG的最小值為10cm,

故答案為：10.

2.2逐V29

解：如圖，作C關于A3的對稱點/，連接ED交A3于EL連接C。,

F

貝1］釬=4。=1,CE'=FE',

此時CE+DE的值最小為：CE'+DE'=FE'+DE'=DF,

ACLAB,BDJ.AB,

AC//BD,

AC=BD=1,

四邊形ABOC是平行四邊形，

ZCAB=90°,

四邊形ABDC是矩形，

:.ZFCD=90°,CD=AB=4,

CF=CA+AF=2,

DF=7CF2+CD2=A/22+42=2A/5

如圖，ZA=90°,AC=5,AB=5,BD=3,BE=x,

CE-DE<CD,

:.CE-DE的最大值為CD的長度,

過點。作。M1AC交AC于M,

則四邊形ABDM為矩形，

:.DM^AB=5,AM=BD^3,

CM=2,

CD=\/CM2+DM2=A/22+52=V29,

y的最大值為底,

故答案為：2小，犧.

3.(-1,0)

解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B，，將B，向右平移1個單位得到B",連接AB",與x軸交于

點D,過點B，作AB"的平行線，與x軸交于點C,

可知四邊形B，B"DC為平行四邊形，

貝UBC=B"D,

由對稱性質可得：BC=B,C,

AD+BC=AD+B'C=AD+B"D=AB",

則此時AB"最小，即AD+BC最小，

VA(3,6),B(-2,2),

.?.B'(-2,-2)，

(-1,-2),

設直線AB"的表達式為：y=kx+b,

6=3k+bk=2

則解得:

-2=-k+bb=0

直線AB"的表達式為：y=2x,

令y=0，解得：x=0,即點D坐標為(0,0),

.?.點C坐標為(-1,0),

故答案為：(-1,0).

解：?.?A(3,0),8(1,0),C(-3,9),0(2,4),

AAB=3-1=2,CD=,J(-3-2)2+(9-4)2=572,

由平移的性質可知：C'D'=CD=5yf2,

，四邊形ABC'。'的周長為AB+2C4OZr+ZyA=2+2C450+Z)'A;

要使其周長最小，則應使3。+。'A的值最小；

設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當。<0時，拋物線向左平移;

AC'(-3+a,9),￡>'(2+a,4),

將。向左平移2個單位得到?！?a,4),則由平移的性質可知：BD"=AD',

將?！?a,4)關于x軸的對稱點記為點E,則現a,-4),由軸對稱性質可知，BD"=BE,

：.BC'+D'A^BC'+BE,

當8、E、。三點共線時，3C+3E的值最小，

設直線8。的解析式為：y=kx+b(k^G),

a)k+b=9

K=0

當4W4時，

小旦

.I〃一4

..人工

、4一。

.9,9

,,y=-----x------,

Q—44-a

將￡點坐標代入解析式可得：-4=-^9-a+--9,

。一44-a

解得：。=|25|，

止匕時BC4BE=。E=^(-3+a-a)2+(9+4)2=y/178,

此時四邊形ABC'。'的周長為A5+JBC'+C'D'+O'A=2+5jI+Ji而;

當a=4時，C'(l,9),D,(6,4),A(3,0),B(l,0),

此時四邊形ABC'D的周長為:

,7T

AB+BC'+Cr>'+r)'A=2+(9-0)+5A/2+A/(6^3)+(4^0)=16+5^；

V2+572+7178<16+572,

25

.??當時，其周長最小,

所以拋物線向右平移了I25I個單位,

2

25

所以其解析式為：y=x-----

13

2

25

故答案為：y=x-----

13

5.(-0.4,0)

解：如圖所示，(0,4),

???。點關于1軸的對稱點坐標為〃(0,-4),

：?ED=EH,

將點〃向左平移3個單位，得到點G(-3,-4),

：.EF=HG,EF//HG,

，四邊形是平行四邊形，

：.EH=FG,

：?FG=ED,

VB(-4,6),

BD=^(-4-0)2+(6-4)2=2^,

又,：EF=3,

：.四邊形BDEF的周長=3。+。矽由尸+5尸=275+FG+3+BF,

要使四邊形口的周長最小，則應使FG+3尸的值最小,

而當b、G、8三點共線時/G+3尸的值最小，

設直線BG的解析式為：y=kx+b(k^

VB(-4,6),G(-3,-4),

.[-4k+b=6

*[-3k+b=-4"

???一，

Z?=-34

y——10x—34,

當y=0時，x=-3.4,

F（-3.4,0）,

/.E（-0.4,0）

故答案為：（-040）.

【點睛】

6.2V5+V2

解：如圖，將點A沿y軸向下平移2個單位得到E（O，1）,以AE為斜邊，作等腰直角三角形收,

則點網1,2）,連接CP,

一但是等腰直角三角形,

AF=EF=yf2,^AEF=45°,

將直線心y=x向上平移2個單位長度得到直線3

，/AOC=45。，BC=日

:.BC=AFf，^AEF=^AOC=45°,

:.EF//OC,

AF1EF,BCLOC,

:.AF//BC,

四邊形ABb是平行四邊形，

:.AB=CF,

AB+BC+CD=CF+>/2+CD,

，當點C,點。，點尸三點共線時，CF+CD有最小值為DF的長，即Afi+BC+CD有最小值,

點0(5,0),點—1,2),

DF=7(5-1)2+(2-0)2=275，

二折線ABCD的長AS+BC+CD的最小值為2出+0,

故答案為：2逐+后.

7.20

解：如圖,在QV上截取OG=O尸，連接EG,過點A作4"，加于點”.

OG=OF,NEOG=NEOF,OE=OE,

:..OEG^OEF(SAS),

:.EG=EF,

:.AE+EF^AE+EG>AH.

ZMON=45°,OA=4,

AH=—OA=2y/2.

2

故答案為：2虎.

,24

O.-------

5

解：在AB上取一點/，使得AF=A/，連接E尸,

?/A￡>平分/C4B,

ZDAC=ZDAB,

：AE是公共邊，

.AEF^AEF'(SAS),

：.EF=EF',

：.CE+EF=CE+EF',

當點C,E,F在同一條直線上且CELAB時，CE+EF有最小值，即CE+EF最小，其值為CH,

S=-XACXBC=-XCHXAB,

ABRCC22

.ACxBC6x824

??Crz=-----------=-------=—,

AB105

24

；.CE+EF最小值為行.

,24

故答案為：—.

解：ZBAC=90°,AB=3,BC=5,

?■-ACNBC-ABZ=4,

1/四邊形APCQ是平行四邊形，

：.PO=QO,CO=AO,

■:PQ最短也就是尸。最短，

，過。作的垂線OP,

?/ZACB=ZP'COZCP'O=ZCAB=90°,

ACABSACPO,

.COOP'

,?就一商’

.2OP'

??一=,

53

0P=|,

12

???則尸。的最小值為23=3，

12

故答案為：—.

10.-

5

解：作點P關于CE的對稱點P',

由折疊的性質知CE是/。CM的平分線，

.?.點P在CD上，

過點M作于尸，交CE于點、G,

:MN+NP=MN+NP'<MF,

C.MN+NP的最小值為MF的長，

連接。G,DM,

由折疊的性質知CE為線段。朋的垂直平分線,

'：AD=CD=2,DE=1,

.,.CE=712+22=>/5,

,：-CExDO=-CDxDE,

22

:由0=空,

5

：.EO=^-,

5

\'MF±CD,ZEDC=90°,

：.DE//MF,

：.ZEDO=ZGMO,

■:CE為線段DM的垂直平分線,

：.DO=OM,ZDOE=ZMOG=9Q°,

：.ADOE義dMOG,

：.DE=GM,

???四邊形DEMG為平行四邊形,

ZMOG=90°,

，四邊形。EMG為菱形，

：.EG=20E=^-,GM=DE=1,

5

.rr_3y[5

5

9：DE//MF,BPDE//GF,

:.叢CFGs^CDE,

3小

.FGCG

即FG

^~DE~~CE3z，

1w

3

.\FG=-,

38

**?MF=1H—=,

55

Q

.?.MN+N尸的最小值為

Q

故答案為：—.

11.373

解：：在矩形ABC￡>中，CELBD,AB=2百，BE=3CD,

CD=AB=2y/3,ZBCD=ZCED=ZCEB=90°,BE=3ED,

VZDBC+ZBDC=90°,ZDCE+NBDC=90°,BD=4ED,

：.NDBC=NDCE,

：.—=sinZDCE=sinZDBC=—,

CDBD

DEBD=CD2,

：.Z）￡.4D￡=（273）2,

解得：DE=6或DE=Y（負值不符合題意，舍去），

CE=yJCD2-DE2=J（2肉一網2=3,

3_乖>

cosZ.DCE=----

CD26一2

如圖，延長CE至點C,使C'E=CE,過點C作C'Q」BC于點。'，CQ交BD于點、P',連接PC'，

CE1BD,

.?.點C和點C'關于3D對稱，

APC=PC,P'C=P'C',

...PC+PQ=PC+PQ>C'Q',

：.PC+PQ>C'Q',當點C,p',。'共線時，PC+P。的最小值為C'Q',

?.*C'Q'±BC,DCLBC,

：.C'Q'//DC,

：.ZCC'Q'=ZDCE,

在RLACC0中，CC'=2CE=6,

：.CQ=CCcosZDCE=6x無=36，

-2

故答案為：36'.

12.C

解：如圖，過點c作C關于OB的對稱點C，，連接AC與OB相交,

則AC與OB的交點即所求的點P,PA+PC的最小值=