平面向量痛點問題之三角形“四心”問題

【題型歸納目錄】

題型一：重心定理

題型二：內心定理

題型三：外心定理

題型四：垂心定理

【知識點梳理】

一、四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1.

(2)內心：角平分線的交點(內切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點的距離相等.

(4)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直.

二、三角形四心與推論：

(1)。是△48C的重心：SABOC:SACOA:S^0B=\:\:\^>OA+OB+OC=Q.

(2)。是△48C的內心：SAB0C:SACOA:S^OB=a:b:caOA+bOB+cOC=6.

(3)。是△/BC的外心：

=sin2A:sin2B:sin2C=sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

OB

(4)。是△45。的垂心:

S&BOC:SACOA-La=tan/:tan?:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【方法技巧與總結】

ABAC

(1)內心：三角形的內心在向量所在的直線上.

M+R

|1S|-PC+|BC|-PC+|G4|-P3=0=P為△NBC的內心.

(2)外心：|萬卜|詬卜尸為△/8C的外心.

(3)垂心：莎?麗=麗?無=無?百o尸為△48C的垂心.

(4)重心：方+麗+定=0oP為△4BC的重心.

【典型例題】

題型一：重心定理

第1頁

【例1】在平行四邊形/BCD中，G為△45。的重心，滿足=ER),貝”+歹=()

45

A.-B.-C.1D.-1

33

【答案】C

可得。為的中點，BG=2GO,

所以就=而+而=而+1無=而+!麗

36

=；(方+詬)+看①一詬)=|下+；詬,

又AG=xAB+yAD^x,yGR),

2121

所以％=貝iJx+〉=§+1=l.

故選：C.

【變式1-1】已知a/BC的重心為o,若向量而=工商+歹就，貝！Jx+y=()

2

A.-

3

【答案】D

【解析】

B

如圖，設￡是4c的中點，由于。是三角形的重心，

所以所=：礪=：義證-函=|x[就一可=_|刀+＜就.

211

貝+y=-----1—=—.

’333

故選:D.

【變式1-2]如圖，在△48C的邊上作勻速運動的三個點尸，S,R,當好0時，分別從43,C出發，當f=ls

時，恰好同時到達民C,N.那么這個運動過程中的定點是△N5C的()

第2頁

C

R

乙——士-、B

A.內心B.外心C.垂心D.重心

【答案】D

【解析】D選項，依題意知與=等=警=2,

ADJDCCA

設G為出歡的重心，則/+說+不=6,

^AR-AG+AS-AG+AP-AG^O,故割=1方+萬+網，

=1[2A8+Z8+25C+(l-/l)l4C]

=][(4+1)方+幾就一彳方+(1—2)就]=g(方+就卜

故就=g(方+%),所以G為△/3C的重心，故重心為定點，D正確；

ABC選項，假設△/2C為等腰直角三角形，/秒后運動到凡P,S,恰好為三邊的中點，

作出C的角平分線C。，則△/BC的內心一定在C。上，作出產的角平分線尸T,

由于四邊形C7WS為平行四邊形，不為菱形，故C0與尸T不重合，所以內心不會重合，不是定點，A錯誤;

則△MC的外心為S,△網S的外心為M,故外心不是定點，B錯誤；

△48C的垂心為A,的垂心為S,故垂心不是定點，C錯誤；

【變式1-3]已知O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足

————14B就

OP=OA+A(-^-+-=^),/le(0,+oo),則點尸的軌跡一定通過ZUBC的一(填“內心”“外心”“重心”或唾

\AB\\AC\一

心”)

【答案】內心

第3頁

__ARACARAC

【解析】由己知，k當），而今表示與在同向的單位向量，O表示與就同向的單位

\AB\\AC\\AB\\AC\

向量，

???N在NA4c的角平分線上，

點P的軌跡一定通過△4BC的內心.

題型二：內心定理

【例2】已知點。是△48C的內心，AB=4,AC=3,CB=ACA+pCO,則義+〃=.

【答案】|7

【解析】連接工。并延長交3c于點D,連接CO,因為。是△48C的內心，所以4D為/A4c的平分線,

BDAB4—7—■

所以根據角平分線定理可得示=力;=鼻，所以CB=&CD,

因為4。,。三點共線，所以設麗=/5+（1一）力,

—、7—?7/—?7(1-/)—?—、—、—、

貝|JC5=—CZ)=—C/+-^__Leo,因為CB=4G4+〃C。，

333

It17(1-Z)7

所以4+〃=

333

、7

故答案為：—

【變式2-1］（多選題）的內心為尸，外心為O,重心為G,若|力用=|/。|=5,忸。|=6,下列結論正

確的是（）

一.3

A./\ABC的內切圓半徑為r=5B.6R4+5PB+5PC=0

D.1。34

C.6OA+5OB+5OC=Q

【答案】ABD

【解析】取邊的中點E,連接力￡,

因為|48|=|/C|=5,所以內心P、外心O、重心G都在中線/E上,

且ZE15C,\AE\=yj\ABf-\BEf=4,內切圓半徑廠,

第4頁

對于A,由S.ABC=^AE\X\BC\=Ir[^AB\+\AC\+忸C|）得

ii3

—x4x6=-r（5+5+6）,解得r=,,故A正確;

對于B,因為囪=|,|/P|=4-|=g,所以麗=-牌，

6PA+5PB+5PC=6PA+5（PB+PC^=6PA+10PE

=6P2-10X|XP2=0,故B正確；

2

“工c日，\AB?+\AC25+25-36:

對于C,由余弦JE理得cosA=J―1—1一T一L=————=-

2\AB\-AC\2X252

I------------24

0<A<TI,所以sin/=J1—cos?/=一,

25

l，ni\BC\_6_25

所以ZUBC的外接圓半徑而7一廣為一W，

25

|O￡|=4-|/O|=4-至=2,所以礪=_2-方，

8825

所以6次+5礪+5定=6厲+5（礪+就）=6刀+10醞，

=6O4-10x—O4=--a4^d,故C錯誤；

255

75

對于D,△Z8C的外接圓半徑|4。|=言，

O

OOOCO11

\AG\=S\AE\=-,所以|0G|=M0|T/G|=M-W=T，故D正確.

33o324

故選：ABD.

題型三：外心定理

【例3】在△N3C中，已知N3=4,點。是△4BC的外心，則與AB=（）

A.16B.8C.4D.-8

【答案】B

第5頁

【解析】如圖，過點。作。￡＞，48于。，可知/。=引48=2,

貝ij粉.萬=（石+西?萬=25?萬+加.方=2x4+0=8.

故選:B.

【變式3-1】已知點。是△4BC的外心，AC=3,48=4,A=—,若亞=加方+〃工，則12加-9〃=

()

A.-4B.-1C.1D.7

【答案】C

【解析】因為工。=3,AB=4,A=y,所以方?就=3x4x（-g）=-6,

如圖，作。“1/8,連接。4。8。。，由題意得。是△48C外接圓的圓心,

所以04=08,故△0/3是等腰三角形，

在△（?///中，cosZOAB=——，在△CUB中，由三線合一性質得女是48的中點,

AO

AH

所以方.與=|亞H樂|?cosNO48=|石,布上茄,研=8,

----?__.1I---,\29__?__?__

同理可得/o-/c=]?q=-,又新=機在+〃就，

所以15?亞=加在：!+“就?萬=16加-6〃=8,

------???2—?—?9

AO-AC=nAC+mAC-AB=9n-6m=—,

2

解得冽=n=~~故12機-9〃=1,故C正確.

9

故選：C

【變式3-2]。為人LSC所在平面內一點，且滿足（況+礪）.加=（赤+1）.而=（1+刀）.前，則。是

△42C的()

第6頁

A.內心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】依題意，（次+礪）?強=（厲+礪）?（次一礪）=|而『一|礪『，

（dB+OC）C5=（O5+OC）.（OS-OC）-IOB|2-1OC|2,

（OC+04）-AC^（OC+04）-（OC-a4）-|0C|2-104|2,

貝力力『礪『■礪『I反『言反『t方「，于是?方H礪目反i，

所以。是△ABC的外心.

故選：B

【變式3-3］已知在△4BC中，H為△ZBC的垂心，。是△4BC所在平面內一點，且次+礪=函，則以

下正確的是（）

A.點。為△4BC的內心B.點。為△4BC的外心

C.ZACB=90°D.ZUBC為等邊三角形

【答案】B

【解析】在△ZBC中，由"為△4BC的垂心，得CHL4B,

由方+無=/，得訪+函.畫-函=麗.訪-函=麗京=0,

貝4涼=礪2,即|西=|函，5LAH=AO+OC+CH=AO+OC+（OA+OB）=OC+OB,

顯然赤，數，同理得|反|=|礪因此點。為△ZBC的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.

故選：B

題型四：垂心定理

【例4】設。是△/BC所在平面內一定點，”是平面內一動點，若

^-MC^^dM-AM^=（MB-MAy^OM-CM）=0,則點0是△NBC的（）

A.垂心B.內心C.重心D.外心

【答案】A

【解析】由題意可得而?麗=方?反=0，則。/_LC8,OC_L48,故點。是ZUBC的垂心.

故選：A.

―--?布7c

【變式4-1］。是△N8C所在平面上的一定點，動點尸滿足8=0/+〃=~,）,A［0,

\AB\cosAB\AC\cosZC6

”），則點尸形成的圖形一定通過aNBC的—.（填外心或內心或重心或垂心）

【答案】垂心

__.JRAr

【解析】???BC?（而~~+；,）=-|^C||7?C|=0,

|AB|cosB|A77C|cosC+

第7頁

RT與〃-----+-=-----)垂直，

\AB\cosBMC|cosC

VOP=OA+2(一——+―4C——)，

|AB|cosZ5|AC|cosZC

.,.點尸在BC的高線上，即尸的軌跡過△ASC的垂心.

故答案為：垂心.

【變式4-2]已知平面內4瓦C三點不共線，且點。滿足).礪=無.反=).反，則。是△ZBC的

心.(填“重”或“垂”或“內”或“外”)

【答案】垂

【解析】由力.礪=礪.反=力.反，知礪?55=麗?(次-沆=次?礪-礪?雙=0,

GABC=04^0C-dB)>=a40C-a40B=0,故。2_LC4,OA1BC,從而。為△/BC的垂心.

故答案為：垂.

【變式4-3】我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離

分家萬事休”.數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下,

數和形之間可以相互轉化，相互滲透.而向量正是數與形“溝通的橋梁”.在△NBC中，試解決以下問題：

(1)G是三角形的重心(三條中線的交點)，過點G作一條直線分別交于點

(i)^AB=a,AC=b,請用扇B表示刀；

(ii)AM=mAB,AN=nAC,求加+〃的最小值.

一—?1—?1—?

(2)已知點。是△Z5C的垂心(三條高的交點)，^AO=—AB+—AC,求cos/A4c.

【解析】(1)(i)記3C的中點為D,連接DG,則亞=；(次+就)=；,+可，

__2—?21/一\11一…

由重心性質可知，AG=-AD,所以=①.

(ii)因為而=加方,赤=”就，所以方=工就，就不，

mn

—?11--?11—?

代入①得4G=—x—4Vf+—x—4N,

3m3n

因為M,N,G三點共線，所以，-+[=：!,

3m3n

由題意可知，,

第8頁

-L±2n加、2c4

所以加+〃=（加+〃）+=—+——+——>—+2

3m3n33加3〃33

當且僅當機=〃=2:時，等號成立,

4

所以m+〃的最小值為-.

（2）

—11————31-

因為+所以==+,

由垂心定義可知，AOBC=0,BO-AC=0,

3-1-c2

--a-b+-b=0（3）f

43

聯立②③可得W=乎同力?B=|片,

-r-a2

所以cosABAC=言同=-8r-_V6

W同X竽同一6'

【變式4-4】設次=（3,2）,OC=（2,4）（O為坐標原點），點〃（機+2,加-1）為△A8C的垂心，求修.

【解析】因為厲=（2,4）,所以C（2,4）,

又〃（〃z+2,"z-l）,所以CH=（"z,5-5）,

因為點”（加+2,m-1）為A/BC的垂心,

所以C〃_L/2,即函J_萬，

所以國?次=3加+2（加一5）=0,

解得〃z=2.

【強化訓練】

且滿足麗7=」函+4前，貝lJcosN4BC的值為

1.在等腰△4BC中，BA=BC,若點“為△/2C的垂心,

8

）

第9頁

【答案】c

如圖，在等腰△4BC中，找底邊NC的中點D,

作ADLNC,BCVAE,8。,/E交點M即為垂心，

以D為原點建立平面直角坐標系，

設/C=2Q,BD=b,故Z(—a,0),C(a,O),B(O,b),

故3c=(。,一6),BA-(-a,-b),AC=(2tz,0),

——?1—?—?1111

t^BM=-BA+ABC=(――a,——b)+^a-Ab)=((4————)b),

888988

設Af(加,幾)，故BM=(m,n-b),

17

故"((2--)a,(-A+—)b),

oo

5LBM-AC=0，故2(4—7)/=0,而QWO,貝|」4一7=0,解得4二三，

OOO

——?1133

故員0=(0廠:6),故〃—b=_：b,解得〃二:6,可得M(0,：b),

4444

易得痂=3滴，AM-BC=Q，可得/-出=0,可得解得6=冬3,

4433

tanZ.CBD=—=---=—

由三線合一性質得3。平分N/8C,i^ZABC=2ZCBD,而一廠一2,

-----a

3

2x—

由二倍角公式得tan乙43C=tan2/C8D=——>=4百，故cos//3C=L,故C正確.

f7

故選：C

2.已知0,A,B,C是平面上的4個定點，A,B,C不共線，若點尸滿足方=a+4(益+就)，其

中/leR,則點P的軌跡一定經過4/2。的()

第10頁

A.重心B.外心C.內心D.垂心

【答案】A

【解析】取線段BC的中點E,則方+%=2萬.

動點尸滿足：OP=OA+A(AB+AC),AeR,

貝U而一刀=24衣，即萬=2九石，所以Q//在，

又/尸口/￡=4，所以4乙尸三點共線，即點P的軌跡是直線4E,

一定通過△ABC的重心.

3.。是平面上一定點，A,B,C平面上不共線的三個點，動點P滿足

/____、

——1AB1c

OP=OA+An-------------+L(---------,2eR,則尸的軌跡一定通過△/BC的(

\AB\cosAABC\AC\cosABCA

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】如圖所示,過點A作4D人8C,垂足為。點.

阿I珂cos(兀叫

AB

貝

網cosZABC畫cos/ABC

同理BC',----q

\AC\cosAACD

、

AB?AC

???動點尸滿足OP=ON+4,2GR.

|國/cos/BCcosZBCA

7

AB.就

2GR.

、網cos/45cAC\cosZACD

____\

BCAB

APBC=2=A(-|5C|+|5C|)=O,

、網cos/4。阿cos//CD

APA.BC，

因此尸的軌跡一定通過△/BC的垂心.

故選：D.

第11頁

A

4.點P是銳角△48C內一點，且存在Xe火，使羽=〃方+就），則下列條件中，不能判斷出△4BC為等

腰三角形的是（）

A.點尸是△4BC的垂心B.點P是△48C的重心

C.點尸是△4BC的外心D.點P是△4BC的內心

【答案】B

【解析】記8c的中點為。，則方=2（萬+就）=227萬，

所以，點尸在直線㈤上.

A選項：若點尸是△4BC的垂心，則4D/8C,

所以工8=/C,所以a/BC為等腰三角形，A正確；

B選項：若點尸是△/BC的重心，則點尸在2。邊的中線上，無法推出4D23C,B錯誤；

C選項：若點尸是△ABC的外心，則點尸在3C邊的中垂線上，

所以4O12C,所以△/BC為等腰三角形，C正確；

D選項：若點尸是△4BC的內心，則40為NA4C的角平分線，

所以N84D=NC4D,

又SJBD=S.ACD,即ABADsinABAD=ACADsinACAD,

故4B=/C,D正確.

故選：B

5.（多選題）在△43C中，角43,C所對的邊分別為。,6,c,。為平面內一點，下列說法正確的有（）

A.若。為△48C的外心，S.OA+y/3OB+2OC^0,則。2_1方

一—一—一一2

B.若。為的內心，AB=AC-2,BC=3,AO=mAB+nBC（加，〃ER）,則加一〃=,

C.若。為△/5C的重心，aOA+bOB+JcOC=G,則4=60。

3

D.若。為△4SC的外心，且。到mb,c三邊距離分別為左，加，n,則左：加：〃=cos/:cosB:cos。

【答案】ABD

第12頁

【解析】對于A中，因為。為△N8C的外心，可得網=|國=|因，

因為宓+百赤+2反=6,可得02+省礪=—21，

所以(刀+收同2=卜2面『，所以罰+3礪2+26次商=4反)

所以03?無=0，所以方所以A正確；

對于B中，如圖所示，。為△/3C的內心，連接NO,80,CO,延長/。交BC于。,

因為“B=4C,則點D為BC的中點，且NO13C,

因為48=/C=2,BC-3,可得|/必=-忸。)=>

由三角形內心的性質，可得gx(|/4+\AC\+\BC\)-\OD\=^\BC^AD\,

即;x(2+2+3)?|OD|=gx3x],解得|00|=理，|/0|=孝，

—?4—?2—?2—?

所以4。=一/。=一/5+—/。，

777

因為AO=mAB+nBC=mAB+n(AC-AB)—(m-n)AB+nAC,

2

所以加一〃二,,所以B正確；

對于C中，因為。為△/5C的重心，可得a+無+玩=6，所以科+礪=-0心,

._/?_,__,_k_/?_,

因為404+603+號cOC=0,可得4(04+03)+3—+

所以-a加+3-°)無+gc雙=6,可得(1c-a)0S=(a-6)歷，

又因為向量礪與反不共線的非零向量，所以"6=0且1-0,

3

所以a=b,c=VJQ,此時△45C不是等邊三角形，所以/。60。，所以C不正確；

對于D中，設的外接圓的半徑為K,

因為。到。也。三邊距離為左,加,〃,可得SAOBC=；。左=；&2sin24=7?2sinZcosZ,

11

且S0”=—bm=—R92sin2B=R92sinBcosB,

△UAv22

第13頁

saksinAcosAacosAkcosA

所以《lm~sin5cosS-bcosB'可得￡=cos3

YYlCOSB

同理可得：一=-------,所以左：/：〃=cosN:cos5:cosC,所以D正確.

ncosC

故選：ABD.

6.(多選題)已知△/BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法中正確的是()

A.若向量方=(1,0),就=(0,1),則A48c的外心為8c中點

B.若點G為△A8C的重心，則療+而+品=6

C.若點。為△48C所在平面內一點，且方.方=次.加，則礪=反

D.若點/為△48C的內心，貝!]./+而5+c記=6

【答案】ABD

【解析】對于A,次=(1,0),就=(0,1),而元=0，|葩=|可，判斷出是等腰直角三角形，所以

A正確；

對于B,點G為A/BC的重心，如圖，延長/G交3C于￡,則E是8c中點，貝U

AG=2GE=2x^(GB+GC)=GB+GC,因止匕，GA+GB+GC=O,B正確;

對于C,由次.礪=方?灰;得：OA-(OB-OC)=0,即厲.而=0，

點。在a/BC邊8c的高所在直線上，顯然礪力反，C不正確；

對于D,/為△/2C的內心，如圖，延長"交8C于。，顯然/8,/C分別平分則有

IA_c_b_b+cIA_b+cCD=上，Cb=±-CB

IDBDCDa'ADa+b+c~CBb+cb+c

1A=b+CDA=b+C(CA-CD)=b+CCA——--CB

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

0+—2一(聲-而)=^一聲+」一的，

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

同理方=―-—AB+—-—CB,1C=--—AC+—-—BC,

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

r-r-Ki~TA7Tn積ac77^ababbeac-be兀

ciIA+bIB+cIC-----------CAH------------BA-------------AB------------CB------------AC~\------------BC—0,

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

D正確.

第14頁

故選：ABD.

7.（多選題）設點。是A/BC所在平面內一點，O是平面上一個定點，則下列說法正確的有（）

—2—1—

A.^AD=-AB+-AC,則。是8c邊上靠近8的三等分點

（______\

B.若翔=27=^--+—,（AeRMA^O）,則直線經過△NBC的垂心

|^4B|cos5|y4C|cosC

C.^AD=xAB+yAC,且x,J^eR,%+>=方，則△BC。是面積的一半

/,,\

-?—?~AB14C

D.若平面內一動點尸滿足0P=。4+幾產可+尸『，（4ER且幾。0）,則動點尸的軌跡一定通過△4SC

的外心

【答案】ABC

—?2.1—■__—?—?1—?1—?1—?—?

【解析】對于A,由=+可得，AD-AB=--AB+-AC=-（AC-AB）,

即得麗=；數，故點。是2c邊上靠近8的三等分點，故A正確；

~~~.ABAC、

對于B,因="序―-+則

L45cos5L4CcosC

----、---,,AbAC-JC

CBC

ADBC=A(T=,-------.JYBC=^'+

45cos54CcosC45cos5|^c|cosC

cos5|l4C||5c|cosC

■)=A(-|5C|+|SC|)=0,即4D18C,故直線4D經過△4BC的垂心,

4冏cos3UCcosC

即B正確;

圖1

對于C,^AD=xAB+yAC,x+y=^,貝l|2詬=2x15+2了工,

設立=2石，貝U翔=2x萬+2yX,因2x+2y=l,故M,8,C三點共線,

如圖1所示，DM=^AM,故△O8C的2c邊上的高是△48C的8c邊上的高的一半,

故△3CO是△ABC面積的一半，即C正確;

第15頁

A

%

圖2

對于D,由=+"網+網）可得’在="網+網），

——.---元___..

如圖2,取/為===,/￡,===,貝。有|/穌|=|/4|=1,以/穌,/孰為兩鄰邊作周為。￡）,

\AB\\AC\

易知口/為DC。是菱形，故3平分NA4C,且通=礫+苑;故得，AP^AAD，

故動點尸的軌跡為—A4c的平分線，即動點尸的軌跡一定通過△/BC的內心，故D錯誤.

故選：ABC.

/__\

__,jpAr

8.（多選題）在三角形N8C所在平面內，點尸滿足/P=X+,其中％e（O,+8）,，",〃eR,

加*0,“x0,則下列說法正確的是（）

A.當詞48|=力|/。|時，直線N尸一定經過三角形4BC的重心

B.當?《="=1時，直線在）一定經過三角形48c的外心

C.當加=cos3,〃=cosC時，直線4P一定經過三角形N3C的垂心

D.當:w=sinS,〃=sinC時，直線4尸一定經過三角形/2C的內心

【答案】AC

【解析】對于A,因為NP=Xm\AB\=n\AC\,設點D為3c的中點,

-"4/—?—24—?

所以"0=F^（"'+'C）=F司/"，所以直線4P一定經過三角形/8C的重心，故A正確;

TYI\AD\TYI\AD\

第16頁

對于B,當機="=1時,

ABAC

因為后H為與方方向相同的單位向量，,為與NC方向相同的單位向量，

\AB\AC

ABAC

所以可+由平分/8/C，即直線加一定經過三角形/8C的內心，故B錯誤;

\AB\\AC\

__,ABAC

對于C,當加=cos5,〃=cosC時，AP=A廣=j-------+廠=1--------

Jzqcos5\AC\cosC

AC-BC}S-網cosB網|^c|cosC-|^Cp

所以萬?四二4上|西+園）=0,

45|cosBllrlcosC[AB\COSB[AC\COSC

所以方_L就，所以直線井一定經過三角形45。的垂心，故C正確;

\

ABAC

對于D,當加=sinB,n=sinC時,AP=Af

|^|sin5|^4c|sinC

AB翳，

而由正弦定理有=^m\AB\=n\AC\,

AC

結合A選項分析可知直線AP一定經過三角形/8C的重心，故D錯誤.

故選：AC.

9.已知。是平面上一定點，/、B、C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足

___________\

-OA+OBCACB,%eR,則P的軌跡一定經過△/8C的

=+A+.（從“重心”，”外

2|Jcdcos/p@cos巴

心”，“內心”，“垂心”中選擇一個填寫）

【答案】外心

【解析】如圖所示：。為48中點，連接8,

CB-BA=網一網=0,

|cs|cosB

第17頁

OP-OA+OB=OP-OD=~DP,故安?茄”+|-產-BA=O,

2Uc"os）|C@cosB,

即發JL茄，故P的軌跡一定經過△/BC的外心.

故答案為：外心

10.數學家歐拉發現任意三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直線上，而且重心到外心的距離是重

心到垂心距離的一半，后人稱這條線為歐拉線，已知外心0（1,2）,垂心打（4,5）,則重心G的坐標為

【答案】（2,3）

/\—?——?/\、[x-1=1[x=2

【解析】設G（xj）,由題。〃=30G=（3,3）=3（x-l/-2）n尸

y-z=I=3

故答案為：（2,3）.

11.如圖，在△4BC的邊上做勻速運動的點尸，當/=0時分別從點A,B,C出發，各以定速度向點

8,C,Z前進,當"1時分別到達點

⑴記方=N,就=B,點G為三角形48c的重心，試用向量落后線性表示數（注：三角形的重心為三角形

三邊中線的公共點）

（2）若△ABC的面積為S,求“歷戶的面積的最小值.

（3）試探求在運動過程中，ADEF的重心如何變化？并說明理由.

【解析】（1）由于點G為ZUBC的重心，所以就=*方+%）=；卜+可，

—?—?—?11f1-2

i^BG=AG-AB=-a+-b-a=-b一一a.

3333

ADAF，

(z2)x*.*---=t,-----=l—t

ABACf

S^DFA：S^ABC=(AD-AF\.(ABS^DFA=t(\-t}S,

同理，￡尸0=SAOEB=[1—。S,

2

???SMF=S^ABC-(5+SMB+5￡FC)=(3？-3/+1)S=3上一+；Sje[0,l],

當/=[時，AZ）EF的面積的最小值

24

（3）的重心保持不變，證明如下:

第18頁

設/(乙,”),3(/,%)?(%,%),ADEF的重心。(事,打),

由題意，在同一時刻"〃,￡,尸分在，前，石所成的比相同，設為2,

則AD=—DB,BE=—EC,CF=—FA可得，

l-t1-tl-t

D(txB+(l-t)xA,tyB+(1-瓦),

E(txc+(l-t)xB,tyc+(\-t)yB),

F(txA+(1-t)xc,tyA+(l-f)j/c),

由三角形重心坐標公式有/=；(X?+XE+%),%=；(%,+為+力)，

把D,反廠的坐標代入x。,為中，求得GEF的重心坐標為〔貓+.+%,”+號+凡),

它與t無關，即在運動過程中，