平面向量及其應用章末題型歸納總結

（基礎篇）

【題型歸納目錄】

題型一：向量的線性運算

題型二：向量的數量積運算、夾角、模長

題型三：向量范圍與最值問題

題型四：余弦定理、正弦定理

題型五：平面向量的實際應用

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型七：圖形類問題

題型八：三角形形狀判斷與多解問題

題型九：解三角形的實際應用

題型十：中線、角平分線、高問題

【思維導圖】

【知識點梳理】

知識點1:向量的有關概念

(1)定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的長度，記作|而

(3)特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規定：6與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識點2：向量的線性運算

(1)向量的線性運算

運算定義法則(或幾何意義)運算律

①交換律

求兩個向量和的a+b=b+a

加法廠丁

運算aa②結合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求@與B的相反

向量的和的

減法ci—b=6Z+(~b)

運算叫做I與Ba

的差三角形法則

(1)|Aa|=|21|51

4(4萬)=(2//)3

求實數X與向量(2)當幾>0時，23與萬的方向相同；當

數乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的積的運算2<0時，25與萬的方向相同；

4(萬+B)=Aa+Ab

當2=0時，23=0

知識點3：平面向量基本定理和性質

1、共線向量基本定理

如果方=痛（力€幻，貝Ui/區；反之，如果//區且BwO,則一定存在唯一的實數；I,使@=/.（口

訣：數乘即得平行，平行必有數乘）.

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量3,都存在唯一的一對

實數4,使得@=41+々尾，我們把不共線向量I，尾叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為

{—e?},+^62叫做向量3關于基底{烏勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1與最不共線，平面內的任一向量G都可以分解成形如

方=4q+402的形式，并且這樣的分解是唯一的.4華+402叫做q,e2的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎.

推論1：若N=4q+4e?=4弓+402,則4=4，%=4.

推論2：若1=41+4最=0，則4=4=0.

3、線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△N8C中，若點。是邊3c上的點，且麗=彳友（47-1）,則向量

方+2就

~AD=.在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”

1+2

之功效，建議熟練掌握.

4、三點共線定理

平面內三點N,B,C共線的充要條件是：存在實數使反=2a+〃礪，其中彳+〃=1,。為

平面內一點.此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握.

A.B、C三點共線

O存在唯一的實數;I,使得就=幾而；

o存在唯一的實數X,使得云=刀+4萬；

o存在唯一的實數；I,使得云=（1-㈤刀+2礪;

O存在2+〃=1,使得皮=疝+〃礪.

5、中線向量定理

如圖所示，在△NBC中，若點。患邊2c的中點，則中線向量方=；(荏+*)，反之亦正確.

知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與X軸，》軸正半軸方向相同的兩個單位向量7,7作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內的一個向量萬，有且只有一對實數%/使5=%:+百，我們把有序實數對(XJ)

叫做向量)的坐標，記作5=(%/).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(x,y)、對應)向量CM、=.布廢)點A(x,y).

(3)設值=(再,必)，b=(x2,y2),貝！J。+(=(占+%2，%+%)，a-b=(xx-x29yl-y2),即兩個向量的和

與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若不=(%/),2為實數，則=即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應

坐標.

(4)設4(再,必)，5(x2,y2),則45=。3-04=(芯-%2，%一%),即一個向量的坐標等于該向量的有向

線段的終點的坐標減去始點坐標.

(5)平面向量的直角坐標運算

22

①已知點4(不，必)，B(X2,y2),則45=(%2-再，歹2-必)，|AB|=^/(x2-xj+(j2-y^

②已知N=(%i，必)，b=(x2,y2),貝！J=(玉±々，乂士%)，4萬=(九%1，%必)，

a-b=xrx2+yxy2,|a|=Jx；+y；.

a//box1y2-x2y1=0,aLb<=>xxx2+yxy2=0

知識點5：平面向量的數量積

（1）平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量G與人我們把數量miiBicosd叫做）與彼的數量積（或內積），記作。石，即

a-b=\a^b\cos0,規定：零向量與任一向量的數量積為0.

（2）平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：|2|cosd叫做向量）在3方向上的投影數量，當。為銳角時，它是正數；當。為鈍角時,

它是負數；當。為直角時，它是0.

②24的幾何意義：數量積2%等于,的長度|2|與Z在日方向上射影|Z|cos。的乘積.

③設3,3是兩個非零向量，它們的夾角是。力與3是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過萬

的起點4和終點8,分別作畫所在直線的垂線，垂足分別為4,耳，得到麗，我們稱上述變換為向量3

向向量行投影，病叫做向量萬在向量B上的投影向量.記為舊|cos在.

知識點6：數量積的運算律

已知向量石、Z、2和實數X,貝I」：

@a-b=b-a；

(2)(Aa)-b=2(5-b)=a'(Ab)；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知識點7：數量積的性質

設方、1都是非零向量，"是與Z方向相同的單位向量，e是日與"的夾角，則

(T)^-a=a-?=|a|cos6.@a1b<^>a-b=Q.

③當方與Z同向時，a-b^a\\b\；當方與Z反向時，a-b^-\a\\b\.

特別地，鼠或值|=后房.

④cos6="'(\a\\b|^0).⑤[Z]W]&|向.

\a\\b\

知識點8：數量積的坐標運算

已知非零向量2=（西，乂），b={x2,y2）,6為向量方、6的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模a\=yja-a1a\=y]x2+y2

數量積

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

COS”,中2+22

cos0=

夾角Wg西+才?收+式

\a\\b\

的充要

a-b=0西工2+其力=0

條件

a//b的充要

a=AbCbw0)x,y2~x2yt=0

條件

a-^<|a5（當

I與

1項，+yty2氏

且僅當3〃3時等號成；+＞；,也；+

|初,|的關系Jxy2

立）

知識點9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在八42。中，角B,C所對的邊分別是a,b,c,R為A43C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

，上=上=2a

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

ahcnc2+a2-b2

常見變形(2)sin/=——,sinB=——,sinC=——；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

-a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面積公式:

S.ABC=—absinC=—Z>csin^=—acsinfi

222

&/8。=筆=；（°+6+°）"。?是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,八）

知識點10:正余弦定理的相關應用

（1）正弦定理的應用

①邊化角，角化邊=〃:b:c=sin4:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊

a>bo4>5osin/>sinBocosA<cosB

a+b+c_a+bb+c_a+c_〃_b

③合分比:=2R

sin4+sin8+sinCsinZ+sinBsin5+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

(2)△ZSC內角和定理：A+B+C=TI

①sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-]-acosC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(/+S)=t&n'+t&n'=tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

Jl-tan^-tanS

,--x..A-\-BCA-\-B.C

出sin(---)=cos—；cos(---)=sin—

jr

⑤在AABC中，內角4B,C成等差數列OJ?=§,N+C=3-.

知識點11:解三角形的實際應用

1、仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

視線

鉛金所

垂刎角霾

線'視線片

圖①圖②圖③圖④

2、方位角

從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如2點的方位角為a（如圖②）.

3、方向角：相對于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

4、坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角。為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，z,為坡度）.坡度又稱為坡比.

【典型例題】

題型一：向量的線性運算

【例1】如圖所示，△N8C中，點。是線段3C的中點，E是線段的靠近A的三等分點，則第=()

5—?1—??―?1—?1—?1—??—?1—?

A.-BA——BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

33363333

【答案】B

.—>'—>-.1—?.1/—?—?\—?1R「—?2.1—?

【解析】根據題意有：BE=BA+AE=BA+-AD=BA+-(BD-BA\=BA+-----------BA=-BA+-BC.

a'a?as

故選：B.

【變式1-1］如圖，在△48C中，BD=^DC,則詼=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2244

2一1―?

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【解析】因為麗="1■皮，所以詬=標+麗=下+1瑟=運+!(就_而)=2次+1^.

233、,33

故選：D.

【變式1-2］如圖，已知平行四邊形45cZ),AB=a,AD=b，E為CD中點，則荔=()

_1一

C.aH—bD.—Q+b

22

【答案】D

【解析】~AE=AD+~DE=AD+-AB^-a+b.

22

故選：D.

【變式1-3］在△45。中，。為5C邊上的中點,E是力。上靠近A的四等分點，則而=（）

A.--AB+-JCB.

8888

C.-1AB--AC

D.AABIAC

888+8

【答案】A

【解析】因為萬而，

4

由已知可得，Ab=^AB+AC\所以荏=g（方+/）,

所以麗=荏一方=，（萬+元）一方=-2萬+，就.

8''88

故選：A

題型二：向量的數量積運算、夾角、模長

【例2】己知平面向量￡、否滿足同=4,|可=8,々與B的夾角為號.

⑴求卜-可;

（2）當實數人為何值時，（"+濡），（左”肛

【解析】⑴因為同=4,忖=8,￡與*的夾角為號.

所以

所以**“1盯=yla2-2a-b+b2=^42-2x(-16)+82=477.

(2)因為(Q+屆)_L(ka-b^,

所以(a+痛)?(左a—3)=左a+(k2-X^a-b-kb=\6k-\6(k2-6Ak—0,

化為《2+3左一1=0,解得上=二21姮.

2

【變式2-1］已知|磯=1,伍卜2,S.(a+b)-(a-2b)=-6.

⑴求向量2與B的夾角大小;

⑵求團+2司.

【解析】(1)由(〃+1),(〃—2b)=—6可得〃-a,b-2b=-6,

即卜|-|tz|-|fe|-cos<a^b>_2|S|=-6,

一.---1

所以l-lx2cos<a,b〉一2x22=—6,解得cos<〃,b>=—,

2

T2

且<a,Z?>G[O,K],所以<>=]兀.

|2

(2)\a+Q|+4|^|-|S|-COSy7l+4|S|

l+4xlx2x+4x22=舊.

【變式2-2】已知向量同=2,,=3,\3a-2b\=6.

(D求向量或B的夾角e；

⑵求但+2孫儂-的值.

【解析】⑴因為同=2,網=3,歷-2,=6,

所以(32-2bf=97一1275+4片=36，

BP9X22-12X2X3COS6>+4X32=36,

解得cos6=51，由6e[0,兀],得。=]71.

(2)由(1)得展3=|司Wcosd=2x3xg=3,

(a+2b)-(2a-b)=la+3a-b-2b=2x22+3x3—2x32=—1.

【變式2-3】已知向量或B的夾角為寸洞=3,「=2亞

⑴求收一2司;

⑵若標+2不與2的夾角為鈍角，求實數k的取值范圍.

【解析】(1)因為向量4與B的夾角為。=彳，且0=3,⑸=20,

所以晨很=同詞cos+=3X2A/2x(-^-)=-6，

所以歸一2.=#一2盯=^|a|2+41&|2-4(A■=79+4x8+24=765;

(2)因為向量4與B的夾角為。=彳，且@=3,⑸=20，

所以(%+2司?m一2司=%同2-4歸1+(—2左+2)展役=9左一32-6(—2左+2)=2慶一44,

44

若(肪+2分(萬-2同<0,即21左-44<0,解得無〈受,

當質+25與。-2在共線時，此時滿足：==，解得a=-1,

1—2

此時而+26與1-2瓦共線，且方向相反，

44

故而+23與1—23夾角為鈍角時，左〈天且左w—1,

所以上的取值范圍是(-

題型三：向量范圍與最值問題

【例3】已知q,02是夾角為60。的兩個單位向量，a=2ex+e2,b-Xex-2e2(2eR).

(1)若2］可以作為一組基底，求實數彳的取值范圍；

(2)若垂直，求實數幾的值；

(3)求⑻的最小值.

【解析】(1)因為可以作為一組基底，所以*3不平行，

2Q

又錄，口不共線，所以即XW-4,

所以，實數2的取值范圍為(-8,-4)3-4,+8).

(2)因為垂直，所以75=(2耳+耳〉(4，-2耳)=0，

—*2—*—?—?2

即22q+(彳—4)gj,e,—2%—0，

又12=丁=1，ex-e2=lxlxcos60°=1.,

1o

所以22+萬(2-4)-2=0,解得彳=).

,----1

(3)由(2)知，e/4=3，

因為囚2=(狷_2心)2=%丁_4狷￡+4丁=力_2彳+4=(彳_1)2+3,

所以，當4=1時，⑻2取得最小值3,

所以㈤的最小值為百.

【變式3-1】已知在平面直角坐標系中，ft4=(2,0),OB=(l,V3),OC=(l-2)a4+2OB(22^2),其中。為

坐標原點.

⑴求律在礪方向上的投影向量；

(2)證明：4B、C三點共線，并求口白的最小值.

【解析】(1)刀在歷方向上的投影向量為:

OAOB2x0+lx百

0B=?（1,73）

12+（V3）2

(2)因為1=(1-標+2礪，貝欣-次=2(9-兩,

即就=彳方，又/C與43有公共點，所以/、B、C三點共線;;

|oc|2^OC2^(i-AyOA+A2OB2+2(i-A)WA-0B

=4(1-/I)2+422+4(1-2)2=4(22-2+1)=4^1-1j+3,

當時，pq的最小值為g.

【變式3-2］如圖，已知正方形48CD的邊長為1,點￡是邊上的動點，求:

⑴亞的值；

(2)瓦.萬心的最大值.

【解析】(1)依題意建立如圖所示平面直角坐標系,

則。（0,0）,C（0,l）,5（1,1）,

設E（l,x）,（0<x<l）,

所以反=(l,x),CS=(1,O),

所以瓦.瓦=lxl+xxO=l.

(2)因為歷=(l,x),衣=(O,l),

所以詼?麗=lx0+xxl=x,

因為0WxWl,

所以瓦?友的最大值是1.

【變式3?3】已知向量Q=(1,加)，b-(2,n).

(1)若加=3,〃二一1,且〃_L(Q+4),求實數丸的值；

(2)若忖+0=5,求屋刃的最大值.

【解析】⑴當"?=3,〃=-1時，￡=(1,3),又5=(2,-1),

所以￡+彳5=(1,3)+彳(2,—1)=(1+2彳,3-A),

若Q_L(Q+蘇)，則〃?(〃+刀)=0,即(1+2幾)+3(3—X)=0,解得1=10.

(2)因為a=(1,⑼,b-(2,ri),所以a+B=(3,加+〃)，

因為卜+q=5,所以3?+(加+4=52,則(加+4=16,

--101

所以Q?6=1X2+mn＜2+—(m+n)2=2+—xl6=6,

44

故當機=〃=2或加=〃=一2時，a-b的最大值為6.

題型四：余弦定理、正弦定理

【例4】在△45。中，角A,B,C的對邊分別是b,。，ccosB=(2〃-b)cosC,則角。=()

,nc兀c[nc5萬

A.—B.-C.—D.—-

6336

【答案】B

[解析】由ccosB=(2a-A)cosC得sinCcos5=(2sin74-sin5)cosC=2sin4cosC-sin5cosC,

則sinCcos5+sinBcosC=2sinZcosC,所以sin(5+C)=2sinZcosC,即sinZ=2sinAcosC,

171

因為4。為三角形內角，所以sinZ〉0,0＜。＜兀，貝iJcosC=5,所以C=1；

故選：B

【變式4-1】在△/5C中，若BCsin方一二4CsiiL4,則角呂=()

7Cc兀71

A.—B.1C.-D.

462~3

【答案】D

A.L.QA+C

【解析】由正弦定理可知，BCsm-------=ZCsiM可化為“sin--------=bsinA,

22

又/+6+。=兀，則qsin^—―=bsinA,BOacQS—=bs\nA,

22

再根據正弦定理可知，sin^cosy=sin5siiL4,

即cos0=2sin0cos0,貝!]sinO=」，

又sin/w0,

22222

TT

又0<3〈兀，所以2=§.

故選：D.

【變式4-2】已知△48C的內角N,B,C的對邊分別為a,b,c,a+ccosA-b+acosC.

(1)求角C的大小;

(2)若c=2,△48C的面積為百，求UBC的周長.

122_22,r2_2

【解析】(1)由題設a+cx力'—=b+a/+0-c,整理可得。方=/十〃一°2

26c2ab

匕「I、1b2+a2—c21,,71

所以COSC=---------------=—,0<C<7L,故C=；.

2ab23

(2)由題意一absinC=百==4,又c?=/+〃一[/?=(〃+/?>—3仍，

2

所以(a+b)2=16n〃+6=4,故△NBC的周長為a+b+c=6.

4

【變式4-3】在△NBC中，角4民。所對的邊分別為Q也。，已知。=2,cosB=-.

(1)若6=4,求sinZ的值；

(2)若的面積S=3,求6和。的值.

4

【解析】(1)vcosB=-,且0<8<九，

/.sinB=Vl-cos2B=j,

由正弦定理得，==芻，

smAsmB

又b=4,

2X

1_3;

asin5

sinA

b410

(2)'：S.ARr=—acsinB=-x2cx-=3,

△ABC225

..c=5?

3

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=22+52-2x2x5x-=ll,

:.b=417.

題型五：平面向量的實際應用

【例5】已知一個物體在三個力冗=(0,1),瓦=(-1,-3),用的作用下，處于靜止狀態，則冗=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

【答案】B

【解析】因為該物體靜止，所以瓦+瓦+用=6,所以居=-(冗+居)，

又因為月+月=(0,1)+(-1,-3)=(-1,-2),所以瓦=一(耳+瓦)=(1,2),

故選：B.

【變式5-1】一物體在力戶的作用下，由點4(2,15)移動到點8(7,8),已知芹=(-4,3),則戶對該物體所做的

功為()

A.-41B.-1C.1D.41

【答案】A

【解析】由題意可知，^5=(5,-7),F=(-4,3),F.^=(-4)X5+3X(-7)=-41,

所以戶對該物體所做的功為-41.

故選：A.

【變式5-2］在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以10j§km/h的速度從河的南岸垂直到達北

岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為()

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60。，loV2km/h

C.北偏東30。，1oV2km/h

D.北偏東60°,20km/h

【答案】A

如圖，船從點O出發，沿反方向行駛才能使船垂直到達對岸,

依題意，OAYOB，\OA\=10,\OB\=10y5,

則||=7l|2+|OB|2=20，則cosZBOC==平,

因為N3OC為銳角，故N8OC=30。，

故船以20km/h的速度，以北偏西30。的方向行駛，才能垂直到達對岸.

故選:A.

【變式5-3】已知飛機從/地按北偏東30。的方向飛行2000km到達8地，再從8地按南偏東30。的方向飛

行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行10000km到達。地.則。地距/地（）

A.2000kmB.2000收kmC.1000kmD.1000五km

【答案】D

【解析】以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為了軸正方向建立直角坐標系.

由題意知8點在第一象限，C點在x軸正半軸上，。點在第四象限，

北

南

由已知可得，△N5C為正三角形，48=2000km,所以/C=2000km.

又41CD=45。,CD=1000圓n，則N/CD=45。，

所以ASC為等腰直角三角形，所以1000應km.

故選：D.

題型六：解三角形范圍與最值問題

【例6】在△4BC中，角4民。的對邊分別為a/，。，S為△48C的面積，若2s-回ccos/=0.

(1)求cosA；

（2）若q=VL求△4BC周長的范圍.

【解析】⑴S

?二besin^4-6c-V3COSA=0

sin力=VJcosA

：.tanA=VJ,A=—,所以cos4=，

32

b_c_a_近

(2)根據正弦定理可得sin5sinCsin/g"

~2

設周長為C.

C=a+b+c=y/3+b+c

=y/3+2sinB+sin

旦osB+tinB

=y/3+2

(22

二6+2瓜inB+-71

6

①。中715%

?■-5+r~6,~6

sin18+￡卜

:.CeQ瓜3同

【變式6-1】已知△4BC的內角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,且26sin/=atanB.

⑴求角3；

⑵若a+c=4,求△4BC周長的最小值，并求出此時△4BC的面積.

【解析】（1）因為26sinT=atan2=ns,11',即2bsin/cos5=asinB,

COS5

由正弦定理可得2sinBsinZcos_8=sinZsin5,

因為sinZ>0,sin5>0,所以2cosB=l,所以cosB='，

2

因為8e(O,7i),所以8

(2)由余弦定理〃=a2+c2-2QCCOS5=(Q+C)2-3ac=16-3。。,

即3ac=16-b2，

所以34c=16-/=12,所以解得622或(舍去)，

當且僅當Q=C=2時取等號，所以%.=2,

即4ABC的周長的最小值為6,此時SAABC=^acsinB=>/3

【變式6-2］已知中,角4氏。的對邊分別為。也。，且2QbcosC=〃2sin25+/sin24.

⑴求。；

(2)若。=2,求△48。面積的最大值.

【解析】(1)由正弦定理及倍角公式得2cosc=?sin28+2sin2/=吧且?sin2B+10-sin2N

basin5sinA

=2siih4cosS+2sia8cosZ=2sin(4+5)=2sinC,得cosC=sinC,

即tanC=l,Ce(0,兀)，故C=:.

(2)由余弦定理可得=4=/+b2-\［2ab(2-V2jab,

解得仍W4+2&，

當且僅當a=b="+20時取等號，

△ABC的面積S=的W拒+1.

2

故△48C面積的最大值為V2+1.

【變式6-3］在八48。中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,若bcos/=——asinB.

3

(1)求角4的大小；

(2)若6+。=6,求面積的最大值.

n

【解析】(1)vbcosA=——asinB,

3

n

由正弦定理得sin5cos/=——sinAsinB，

3

八sin/rr

,：sin5w0,/.-------=73,

cosA

即tan/=JL?.?力是A45C的內角，

A=60°.

(2)由b+c=6,得y/bc<~~~-3,

則be<9,當且僅當b=c=3時等號成立,

_1,?//9公

-Scc=-6csin^<—^―,

二A42C面積的最大值為WL

4

題型七：圖形類問題

［例7］如圖，在△/8C中/。8的平分線交BC邊于點￡,點。在45邊上,4石=7,/。=3后,

⑴求—NOE的大小；

2兀

⑵若ZACB=—，求&CDE的面積.

【解析】(1)因為是—C4B的角平分線，所以cosNC4E=cos4UE=等，

在LADE中，根據余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AE-ADcosZDAE=49+63-2x7x377xX=7,

14

所以。E=V7,

AD2+DE2—AE263+7—49

則cosNADE=

2ADDE2X3V7XV72

因為//。￡?0,兀）,

jr

所以=

(2)因為cos/CAE;上，所以sin/CAE=Jl—cos?/CAE=

14

CEAECE1門口后

--------------=--------------=>-=-=-=>CE=-v7

在△NCE中,由正弦定理得sinNC4EsinZACE舊73

27r冗

在四邊形ADEC中,NCED+/CAD=2冗一NACB—/ADE=2兀一三一個=冗,

所以sinZ.CED=sinZ.CAD=2sinZ.CAEcos/CAE=2x-----x------=------,

141414

則SBE=>CE-DEsinZCED='5乂近X史=史.

“CDE22144

【變式7-1］如圖，在四邊形4BCD中，48_12仁/40。=120。,48=8=240,4/。。的面積為也.

2

⑴求sin/C/B；

(2)證明：/CAB=/CAD,

【解析】（1）設。。=2/。=2氏。＞0,

因為△4CD的面積為火,=120°,

2

1a

所以一X2QXQXsinl20°=——，解得Q=1,

22

所以/5=。。=2,4。=1.

在△/C。中，由余弦定理得=4Q2+cQ2_2mCDcosl20。=l+4-2x2xlx1_；）=7,

所以NC="

在RtZX/BC中，ABIBC,AB=2,所以BC=Lc?-='7-4=退，

所以sin/C4B=.石國

AC7

（2）由（1）可得CD=2,AC=近,

CDAC

在ANCD中，由正弦定理得

smZCADsmZADC

所以.CDsinZADC2x~向,且0。<NC4D<60°.

sin/。力〃=-----------=—-=----

ACV77

歷

由(1)可得sin/C48=土，又0°</C48<90°,

7

所以/C45=/C4D.

【變式7-2］如圖，AADC是等邊三角形，△4BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,BD交幺C于E,

AB=2.

⑴求—ABE的度數；

(2)求△4AD的面積.

【解析】⑴由已知得

ADAC=NADC=ZACD=60°,Z.ABC=Z54C=45°,

所以△BC。是等腰三角形，/BCD=60。+90。=150。，

所以乙92。=；(180°-150°)=15°,

所以N48E=45°-15°=30°.

(2)由(1)知中，ZABD=30°,ZDAB=60°+45°=105°,

又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos600+sin60°cos45°=x—+x=亞+",

''22224

所以S/砧=,*/3></Dxsinl05°=^^.

△ADU22

【變式7-3]如圖，在平面四邊形48co中，/ADB=45°,ZBAD^105°,AD=—,BC=2,4C=3.

2

(1)求邊45的長；

(2)求△48C