蘇教版數學五年級下冊第七單元解決問題的策略知識點01：用轉化法解決求復雜圖形周長和面積的問題把復雜的圖形通過切割、拼接、平移、旋轉等方法轉化成簡單規則的圖形。知識點02：用轉化法解決特殊的計算問題借助數形結合從不同的角度靈活地分析問題，使復雜的計算簡單化。知識點03：轉化的策略把數學問題轉化為一類已經解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得以解決的一種策略。應用轉化的策略能夠使問題化繁為簡，化未知為已知。考點01：“式”的規律【典例分析01】下面是亮亮寫的一則日記。2022年8月13日星期六晴今天，我和爸爸聊到了回文數。我告訴爸爸，像1056501這樣的數就是回文數。爸爸說：“不止有回文數，還有回文算式呢!”他寫出四個兩位數和三位數相乘的回文算式讓我觀察。13×341﹣143×3134×473＝374×4362×286＝682×2636×693＝396×63爸爸還出了三道題，讓我按照上面回文算式的規律填一填。（1）12×231＝□□□×□□（2）23×□□□＝253×□□（3）□□×275＝572×□□我很快做出了第一題和第二題。做第三題時，我以為填任意一個兩位數都可以，就隨意寫了一個，但后來算了一下發現不行，這是怎么回事呢？我要好好研究研究。認真閱讀亮亮的日記，觀察前四個回文算式，然后按規律把后三個回文算式寫完整（每個□里只填一個數字），并把思考過程寫在下面。【分析】觀察可得，回文算式等號左邊的第一個乘數的個位上的數字與十位上的數字相加的和是第二個乘數的十位上的數字，第二個乘數的個位上的數字與百位上的數字是第一個乘數十位上和個位上的數字。等號右邊的三位數的百位、十位、個位上的數字分別是左邊三位數從右往左的數字，兩位數的數字是左邊兩位數字的個位與十位的交換。【解答】解：（1）12×231＝□□□×□□等號左邊第一個乘數是12，1+2＝3，第二個乘數就是231；右邊第一個乘數是231的倒寫132，兩位數是12的倒寫21。12×231＝132×21（2）23×□□□＝253×□□2+3＝5，等號左邊的三位數就是352；等號右邊的三位數是253，兩位數是32。23×352＝253×32（3）□□×275＝572×□□等號左邊三位數是275，兩位數就是52；等號右邊的三位數是275的倒寫572，兩位數是52的倒寫25。52×275＝572×25【點評】仔細觀察，比較總結規律是解決本題的關鍵。【變式訓練01】根據規律寫出答案。1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝1234543211111111×1111111＝1234567654321【分析】1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝1234321因數各個位上的數字都是1，當因數是n位數時，積各個位上數字是由1排到n，再由n排到1，即：123……n……321。此題要注意小數點的位置。【解答】解：1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝123432111111×11111＝1234543211111111×1111111＝1234567654321故答案為：123454321，1234567654321。【點評】主要考查了“式”的規律，同時考查了學生的分析、總結、歸納能力，規律型的習題一般是從所給的數據和運算方法進行分析，從特殊值的規律上總結出一般性的規律。【變式訓練02】已知1÷A＝0.0909…；2÷A＝0.1818…；3÷A＝0.2727…；4÷A＝0.3636…；那么9÷A的商是0.8181…．【分析】算式的規律是：都和第一個算式比較，除數不變，被除數分別擴大2、3、4、5倍，那么循環節09也分別擴大2、3、4、5倍，據此直接寫出的數即可．【解答】解：1÷A＝0.0909…；2÷A＝0.1818…；3÷A＝0.2727…；4÷A＝0.3636…；那么：9÷A＝0.8181…故答案為：0.8181…．【點評】“式”的規律：關鍵是根據已知的式子或數得出前后算式或前后數之間的變化關系和規律，然后再利用這個變化規律再回到問題中去解決問題．【變式訓練03】找規律填一填。（1）（2）1×3+1＝2×4+1＝3×5+1＝4×6+1＝2×2＝3×3＝4×4＝5×5＝【分析】（1）根據圖示，按照一個比一個少7的規律解答即可；（2）第一行的第一個因數依次多1，第二個因數也是依次多1，據此解答即可；第二行，兩個因數相同，并且因數依次加1，據此解答即可。【解答】解：（1）解答如下：（2）1×3+1＝42×4+1＝93×5+1＝164×6+1＝252×2＝43×3＝94×4＝165×5＝25故答案為：6；4；5；5。【點評】本題考查了找規律解決問題知識，結合題意分析解答即可。考點02：組合圖形的面積【典例分析02】王大爺家有一塊梯形菜地，菜地中有一條小河通道（如下圖）。如果菜地每平方米每年能收入2.5元，那么，這塊菜地每年可給王大爺帶來多少元的收入？【分析】由圖可知，菜地的面積等于上底28米、下底32米、高12米的梯形面積減去底3米、高12米的平行四邊形的面積，根據梯形面積公式S＝（a+b）h÷2和平行四邊形面積公式S＝ah計算出菜地的面積后再乘2.5即可。【解答】解：（32+28）×12÷2﹣3×12＝360﹣36＝324（平方米）324×2.5＝810（元）答：這塊菜地每年可給王大爺帶來810元的收入。【點評】解答本題需準確分析組合圖形的組成，熟練掌握梯形和平行四邊形面積公式。【變式訓練01】求下圖的面積。【分析】由圖可知，組合圖形由一個底15、高12的三角形和一個上底13、下底21、高15的梯形組成，根據三角形面積公式S＝ah÷2和梯形面積公式S＝（a+b）h÷2計算即可。【解答】解：15×12÷2+（13+21）×15÷2＝90+255＝345答：組合圖形的面積是345。【點評】解答本題需明確組合圖形的組成，熟練掌握三角形和梯形的面積公式。【變式訓練02】中國建筑中經常能見到“外方內圓”和“外圓內方”的設計。下圖中外面正方形的面積是36dm2，你能求出正方形和圓之間部分的面積嗎？【分析】先用36平方分米除以4，求出右圖中每個小正方形的面積，也就求出了圓半徑的平方；再用正方形的面積減去圓面積即可。【解答】解：36÷4＝9（平方分米）36﹣3.14×9＝36﹣28.26＝7.74（平方分米）答：正方形和圓之間部分的面積是7.74平方分米。【點評】解答本題的關鍵是分析出每個小正方形的面積等于圓半徑的平方。【變式訓練03】（1）求陰影部分的面積。（單位：分米）（2）如圖，A點是中點，B點是三等分點，已知大三角形的面積是60平方厘米，求陰影三角形的面積。【分析】（1）陰影部分的面積等于梯形面積減去空白的三角形面積，據此解答即可；（2）根據題意，如圖：A點是中點，已知大三角形的面積是60平方厘米，所以三角形ACD的面積是大三角形面積的一半，是60÷2＝30（平方厘米），又因為B點是三等分點，結合圖示可知，陰影三角形的面積是三角形ACD面積的。據此解答即可。【解答】解：（1）（8+16）×6÷2﹣8×6÷2＝72﹣24＝48（平方分米）答：陰影部分的面積48平方分米。（2）如圖：因為A點是中點，大三角形的面積是60平方厘米，所以三角形ACD的面積是大三角形面積的一半，是60÷2＝30（平方厘米）；又因為B點是三等分點，結合圖示可知，陰影三角形的面積是三角形ACD面積的。30×＝10（平方厘米）答：陰影部分的面積是10平方厘米。【點評】本題考查了組合圖形面積計算知識，結合題意分析解答即可。一．選擇題（共5小題）1．已知：123456789×9＝1111111101，123456789×18＝2222222202，123456789×27＝3333333303，下列的選項哪個是錯誤的？（）A．123456789×36＝4444444404 B．123456789×45＝6666666606 C．123456789×63＝7777777707【分析】前三個算式第一個因數不變，第二個因數擴大多少倍，積就擴大多少倍。按照這樣的規律直接判斷得數即可。【解答】解：123456789×45＝5555555505所以B選項是錯誤的。故選：B。【點評】“式”的規律：關鍵是根據已知的式子或數得出前后算式或前后數之間的變化關系和規律，然后再利用這個變化規律再回到問題中去解決問題。2．觀察以下算式：1×8+1＝9，12×8+2＝98，123×8+3＝987，推測123456×8+6＝（）A．9876 B．98765 C．987654 D．9876543【分析】通過算式得出規律，從1開始的幾個連續自然數組成的幾位數乘8加幾，加的這個數從1開始依次遞增1，結果是從9遞減1的幾個連續自然數組成的幾位數，得數的位數和第一個因數的位數相同；依照此規律解答即可。【解答】解：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝987123456×8+6＝987654故選：C。【點評】認真觀察，找到規律是解決此題的關鍵。3．1×9+2＝1112×9+3＝111……123456×9+7＝（）A．1111111 B．111111 C．11111 D．1111【分析】1×9+2＝11，12×9+3＝111，……，不難發現規律，故可猜測：（12……n）×9+（n+1）＝111……1（n+1個）。據此解答即可。【解答】解：1×9+2＝1112×9+3＝111……不難發現規律，故可猜測：（12……n）×9+（n+1）＝111……1（n+1個）所以：123456×9+7＝1111111故選：A。【點評】解答此類問題，首先應仔細觀察給出的特例，從中尋找規律，根據規律解答。4．將等腰三角形ABC沿虛線對折，折下來的部分恰好拼成了一個長方形（如圖）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，圖中涂色部分的面積是（）cm2。A．24 B．12 C．6 D．3【分析】將等腰三角形ABC沿虛線對折，折下來的部分恰好拼成了一個長方形，這個長方形的長等于三角形ABC底的一半，寬等于三角形ABC高的一半，所以，長方形的面積等于三角形ABC面積的一半；圖中涂色部分的面積等于長方形內兩個小三角形的面積和；長方形內兩個小三角形的面積和等于長方形的一半，所以，圖中涂色部分的面積是長方形面積的一半，也就是三角形ABC的面積的，據此解答。【解答】解：6×4÷2×＝12×＝3（cm2）答：圖中涂色部分的面積是3cm2。故選：D。【點評】本題主要考查了三角形的面積是與等底等高的長方形的面積的一半。5．如圖是少先隊中隊旗。下面四個選項是計算中隊旗面積的不同方法。圖（）的方法與算式“80×60﹣60×20÷2”相對應。A． B． C． D．【分析】由圖可知，算式“80×60﹣60×20÷2”表示的是長80厘米、寬60厘米的長方形的面積減去底60厘米、高20厘米的三角形的面積，據此解答即可。【解答】解：算式“80×60﹣60×20÷2”表示的是長80厘米、寬60厘米的長方形的面積減去底60厘米、高20厘米的三角形的面積。選項B符合題意。故選：B。【點評】本題主要考查了組合圖形面積的靈活應用。二．填空題（共5小題）6．如圖，有一塊正方形的草坪，周邊用邊長為6分米的方磚鋪了一條寬15分米的小路（如圖陰影部分），共用方磚300塊．則小路所圍草坪的面積是27225平方分米．【分析】根據題意，可將陰影部分分為兩部分，如下圖，A、B、C、D部分都是以邊長15分米的正方形，面積E＝面積F＝面積G＝面積H，那么陰影部分的面積等于所有方磚的面積，根據陰影部分的面積等于所有方磚的面積，可計算出E部分的面積，再根據圖形E的寬是15分米，可計算出圖形E的長，也就是正方形草坪的長，然后再根據正方形的面積即可得到答案．【解答】解：圖形A、B、C、D的面積相等，圖形E、F、G、H的面積相等，設圖形E的面積為x，陰影部分的面積就為：15×15×4+4x＝6×6×300900+4x＝10800，4x＝10800﹣900，4x＝9900，x＝2475，圖形ED的長為：2475÷15＝165（分米），正方形草坪的面積為：165×165＝27225（平方分米），故答案為：27225．【點評】解答此題的關鍵是根據陰影部分的面積等于所有方磚的面積，然后再將圖形進行分割，計算出圖形E部分的邊長，利用正方形的面積公式進行計算即可．7．給兒童活動場地涂色分區，如圖。場地是邊長8米的等邊三角形，以頂點為圓心，以邊長的一半為半徑畫弧，扇形區域涂藍色（陰影部分），中間涂白色（空白部分），則中間白色部分的周長是12.56米。【分析】已知等邊三角形邊長為8米，圓的半徑是8÷2＝4（米），三角形的內角和是180度，所以三個扇形的周長相當于半圓的周長，中間白色部分的周長等于半圓的周長，根據圓的周長計算公式解答即可。【解答】解：8÷2＝4（米）3.14×4×2÷2＝12.56×2÷2＝12.56（米）答：中間白色部分的周長是12.56米。故答案為：12.56。【點評】本題主要考查了圓的周長的靈活應用。8．如圖的小花瓶中，1個小正方形的面積是1平方厘米，那么整個花瓶的面積是5平方厘米．【分析】根據利用數方格計算圖形面積的方法，不滿格的按半格計算，整格有3個，半格有4個，據此解答．【解答】解：3+0.5×4＝3+2＝5（平方厘米）答：整個花瓶的面積是5平方厘米．故答案為：5．【點評】此題考查的目的是理解掌握利用數方格計算圖形面積的方法及應用．不滿格的按半格計算．9．計算，并根據算式的特點繼續往下寫一道在橫線上，并寫出得數。11×9+2＝10112×9+3＝11113×9+4＝121【分析】觀察算式可得規律：算式每次增加9+1＝10；據此解答即可。【解答】解：11×9+2＝10112×9+3＝11113×9+4＝121故答案為：111，121。【點評】解答此題的關鍵是觀察所給出的算式，找出算式之間數與數的關系，得出規律，再根據規律解決問題。10．根據規律填空。1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9+11+13＝49＝72【分析】分析這些等式可知：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，這些等式的最左邊是連續的奇數相加，最右邊是左邊奇數個數的平方，即：1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，由此求解即可。【解答】解：1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9+11+13＝49＝72故答案為：16，42；49，72。【點評】對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，找到變化的規律進而求解。三．判斷題（共5小題）11．根據幾個乘法算式找出的得數的規律，適用于所有具有同一特征算式的結果．√．【分析】根據幾個乘法算式找出的得數的規律，適用于所有具有同一特征算式的結果．如1×9＝9、12×9＝108、123×9＝1107…如果第一個因數是1、12、123、1234…第二個因數都是9，其積所有數位的數字之和等于9，個位分別是9、8、7、6…十位都是0，其余數位上都是1．【解答】解：如1×9＝912×9＝108123×9＝1107…根據幾個乘法算式找出的得數的規律，適用于所有具有同一特征算式的結果，這種說法正確．故答案為：√．【點評】只要幾個乘法算式變化有一定的規律，其積也有一定規律．根據找出的規律可以寫出符合這一規律所有算式的積．12．同底同高的兩個三角形，形狀不一定相同，但它們的面積一定相等．√．【分析】根據三角形的面積公式：面積＝底×高÷2可知：面積相等，形狀不一定相同，據此解答即可．【解答】解：因為三角形的面積＝底×高÷2，所以只要是等底等高的三角形，不管形狀如何，面積一定相等．故答案為：√．【點評】本題主要是靈活利用三角形的面積公式：三角形面積＝底×高÷2解決問題．13．根據3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，3333×3334＝11112222，可以推算出33333×33334＝1111122222。√【分析】當因數是3和4時，它們的積是12，當因數是33、34時，積是1122，當因數是333，334時積是111222，它們的規律是當在每個因數的前面添上一個3時，它的積的前面就添一個1，后面就要添一個2。也就是因數有3的個數與積中1的個數和2的個數相同；據此解答。【解答】解：根據3×4＝12，33×34＝1122，333×334＝111222，3333×3334＝11112222，可以推算出33333×33334＝1111122222。說法正確。故答案為：√。【點評】本題的關鍵是找出題目中的規律再進行解答。14．如圖，長方形ABCD，圖中甲與乙兩部分的面積相等。√（判斷對錯【分析】BD是長方形的對角線，把長方形ABCD平均分成了兩份，再根據兩個空白長方形的對角線也在BD上進一步解答即可。【解答】解：BD是長方形的對角線，所以三角形ABD與三角形BCD面積相等，又因為兩個空白長方形的對角線也在BD上，兩邊的空白三角形的面積相等，所以圖中甲與乙兩部分的面積相等，因此原題說法正確。故答案為：√。【點評】解答本題關鍵是明確圖形的特征。15．如圖中正方形的面積是6.25cm2，則這個圓的面積是19.625cm2。√【分析】設圓的半徑為rcm，則正方形的邊長為rcm，根據正方形的面積S＝a×a，所以r×r＝6.25，即r2＝6.25，再根據圓的面積公式S＝πr2即可求出圓的面積，然后再進一步解答。【解答】解：設圓的半徑為rcm，則正方形的邊長為rcm；正方形的面積是6.25cm2，所以，r2＝6.25所以圓的面積是：3.14×6.25＝19.625（cm2）因此，原題說法正確。故答案為：√。【點評】解答此題的關鍵是根據題意與正方形的面積公式，求出半徑的平方，再整體代入圓的面積公式即可。四．應用題（共5小題）16．幸福小區有一塊平行四邊形空地，小區居民計劃把它建成一塊公共綠地。為方便居民，業主委員會在這塊空地上設計了一條長10米、寬2米的長方形小路（如圖所示）。綠地的面積有多大？【分析】根據題意，觀察圖可知，綠地的面積＝底為（30﹣2）米、高為10米的平行四邊形的面積，然后再根據平行四邊形的面積公式S＝ah進行解答。【解答】解：（30﹣2）×10＝28×10＝280（平方米）答：綠地的面積是320平方米。【點評】考查了平行四邊形的面積公式的運用。17．某小區要在空地上（如圖中的陰影部分）鋪滿草坪。如果鋪1m2草坪的價格是13元，那么鋪草坪需要多少元？【分析】陰影部分的面積等于梯形的面積減去平行四邊形的面積，再用陰影部分的面積乘13即可解題。【解答】解：（6+9+7+9+8）×16÷2＝39×16÷2＝312（平方米）16×9＝144（平方米）312﹣144＝168（平方米）168×13＝2184（元）答：鋪草坪需要2184元。【點評】本題的關鍵是求出草坪的面積，草坪面積＝梯形面積﹣平行四邊形的面積。18．自學下面這段材料，然后回答問題。我們知道，在整數中“兩個數的和等于這兩個數的積”的情形并不多，例如：2+2＝2×2。但是在分數中，這種現象卻很普遍。請觀察下面的幾個例子：因為：+＝4，×＝4，所以+＝×。因為：+＝5，×＝5，所以+＝×。根據以上結果，我們發現了這樣的一個規律：兩個分數，如果它們的分子相同，并且兩個分母的和等于分子，那么這兩個分數的和等于它們的積。例如：+＝×。【分析】（1）根據所給例子，我們發現了這樣一個規律，兩個分數，分子相同，并且兩個分數的分母的和等于分子，兩個分數的和等于它們的積。（2）根據找出的規律，寫出符合規律的算式即可。【解答】解：（1）根據以上結果，我們發現了這樣一個規律，兩個分數，如果分子相同，并且兩個分母的和等于分子，那么這兩個分數的和等于它們的積。（2）根據規律寫出算式為：。故答案為：分子；兩個分母的和等于分子；；；；。【點評】解決本題的關鍵是根據所給例子，我們發現了這樣一個規律，兩個分數，分子相同，并且兩個分數的分母的和等于分子，兩個數的和等于它們的積，再利用規律寫算式即可。19．在計算一個數與15相乘時，有一種簡便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，計算24×15，先用24的一半（即12）與24相加，得36；再在36的末尾添一個0，得360．你能用這種方法計算下面各題嗎？26×1528×1532×1548×15【分析】根據巧算的方法：“加半添0”法解答即可．【解答】解：26÷2+26＝39所以26×15＝39028÷2+28＝42所以28×15＝42032÷2+32＝48所以32×15＝48048÷2+48＝72所以48×15＝720【點評】解答此題的關鍵是找出算式之間數與數的關系，得出規律，再根據規律解決問題．20．如圖，已知直角梯形ABCD面積是40cm2，ACFE是長方形，已知BC＝10cm，CD＝5cm，求陰影部分的面積。【分析】根據梯形的面積公式S＝（a+b）h÷2，用梯形的面積×2÷高﹣下底，可以求出梯形的上底，也就是AD的長度；在長方形ACEF中，三角形ACD與長方形ACEF是等底等高的，所以，三角形ACD的面積是長方形ACEF面積是一半，所以，陰影部分的面積與三角形ACD的面積相等，求出三角形ACD的面積，也就是陰影部分的面積。【解答】解：40×2÷5﹣10＝16﹣10＝6（cm）6×5÷2＝15（cm2）答：陰影部分的面積是15cm2。【點評】本題關鍵是明確三角形的面積是與它等底等高的長方形的面積的一半。一．選擇題（共5小題）1．如圖，陰影部分的面積（）空白部分的面積。A．大于 B．等于 C．小于 D．無法確定【分析】圖中空白三角形的底是長方形的長，高等于長方形的寬，所以空白三角形的面積等于長方形面積的一半；可知陰影部分的面積也等于長方形面積的一半，與空白三角形的面積相等。【解答】解：空白三角形的底是長方形的長，高等于長方形的寬，所以空白三角形的面積等于陰影部分的面積，都等于長方形面積的一半。故選：B。【點評】解答本題的關鍵分析出空白三角形的面積等于長方形面積的一半。2．仔細觀察下面幾個算式的規律，12345.679×54的得數應是（）（1）12345.679×9＝111111.111（2）12345.679×18＝222222.222（3）12345.679×27＝333333.333A．444444.444 B．555555.555 C．666666.666 D．777777.777【分析】已知12345.679×9＝111111.111，12345.679×18＝222222.222，12345.679×27＝333333.333，可得規律：①這幾個算式的積都是整數部分是六位，小數部分是三位，且各個數位上的數字完全相同；②因數12345.679不變，除了第一個算式中另一個因數的數字是9，積是111111.111之外，剩下的算式中，另一個因數的兩個數字之和都是9，它們的積中的數字都是第二個因數的最高數位上的數字加1，據此即可解答問題。【解答】解：根據題干分析可得：12345.679×9＝111111.11112345.679×18＝222222.22212345.679×27＝333333.333則12345.679×54＝666666.666故選：C。【點評】此題考查乘法中的計算規律，利用數字特點，發現計算的規律，利用規律解決問題。3．根據規律填出得數：3×4＝123.3×3.4＝11.223.33×33.4＝111.2223.333×333.4＝（）。A．1112.1222 B．1111.1222 C．1111.2222 D．1112.2222【分析】觀察3個算式得出在3×4＝12時，在因數3的小數部分每多加一位，并且此位上的數是3，那么得數的整數部分就多加一位，并且此位數上的是1；在因數4的左邊加上小數點后，在整數部分每增加一位，此位上的數字是3，那么得數的小數部分就增加一位，此位數上的數字是2，由此規律，即可寫出要求的式子的值。【解答】解：3×4＝123.3×3.4＝11.223.33×33.4＝111.2223.333×333.4＝1111.2222故選：C。【點評】解答此題的關鍵是根據所給出式子的特點，找出規律，再根據規律解決問題。4．根據規律算一算：2+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝（）A．7×8 B．8×9 C．9×10 D．10×11【分析】首先觀察并發現規律，然后結合規律寫出最終結果，選出答案即可。結合2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5發現規律：有幾個數相加，則結果的第一個乘數就為幾，第二個乘數為幾加一；2+4+6+……+20一共有10個數相加，則結果為10×（10+1）＝10×11。【解答】解：2+4＝2×3，2+4+6＝3×4，2+4+6+8＝4×5……2+4+6+……+20＝10×（10+1）＝10×11故選：D。【點評】本題考查式中的規律。找到共同特征解決問題即可。5．如圖，甲、乙、丙三位同學用相同的正方形卡紙剪圖形，甲剪了一個最大的扇形，乙剪了一個最大的圓，丙剪了四個最大的圓，三個人剩下的卡紙（）A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一樣多【分析】要比較三位同學剩下的手工紙面積，可先比較三個人用去的手工紙面積，據此判斷剩下面積的大小。【解答】解：設正方形邊長為4。甲用去的面積：π×42×＝4π乙用去的面積：π×（4÷2）2＝4π丙用去的面積：π（4÷2÷2）2×4＝4π甲用去的面積＝乙用去的面積＝丙用去的面積，所以三個人剩下的手工紙一樣多。故選：D。【點評】熟練掌握圓和扇形的面積公式是解答本題的關鍵。二．填空題（共5小題）6．如圖，甲、乙兩個圖形都是正方形（單位：cm），甲圖形的面積是x2cm2，甲乙組合圖形的周長是（4x+2y）cm。【分析】甲圖是一個邊長為x厘米的正方形，根據正方形面積公式S＝a2計算出面積即可；甲乙組合圖形的周長可以看作甲正方形的周長加上乙正方形的兩條邊長，據此計算出組合圖形的周長即可。【解答】解：x×x＝x2（平方厘米）x×4+y×2＝（4x+2y）（厘米）答：甲圖形的面積是x2平方厘米，甲乙組合圖形的周長是（4x+2y）厘米。故答案為：x2，（4x+2y）。【點評】本題主要考查用字母表示數以及正方形的面積和組合圖形周長的計算，需熟練掌握正方形面積和周長公式并靈活運用。7．圖中陰影部分的周長是16.56厘米，面積是4平方厘米（π取3.14）。【分析】由題意可知，陰影部分的周長是以2厘米為半徑的圓周長的一半，再加上4厘米；根據平移的知識可知，陰影部分的面積等于正方形的面積。【解答】解：3.14×22+4＝12.56+4＝16.56（厘米）2×2＝4（平方厘米）答：陰影部分的周長是16.56厘米，面積是4平方厘米。故答案為：16.56；4。【點評】此題主要依據旋轉、平移的方法，然后利用規則圖形的面積和或差進行求解。8．如圖的正方形的周長是64厘米，中間有一個長方形，長方形的四個頂點恰好把正方形每邊分作兩段，其中長的那段長度是短的那段長度的三倍．長方形的面積是96平方厘米．【分析】根據題意，可知正方形的邊長為16厘米，其中長的那段長度是短的那段長度的三倍，即把正方形的邊長平均分為4部分，每一部分的長為4，那么正方形的邊長短的長度為4厘米，長的長度為12厘米，那么正方形就分成了以4厘米為腰的等腰三角形、以12厘米為腰的等腰三角形和長方形，長方形的面積就等于正方形的面積減去2個以4厘米為腰的等腰三角形再減去2個以12厘米為腰的等腰三角形即可，列式解答即可得到答案．【解答】解：正方形的邊長為64÷4＝16（厘米），長方形的四個頂點恰好把正方形每邊分作兩段，長的那段長度是短的那段長度的三倍，則：1+3＝4，每段長為：16÷4＝4（厘米），短的那段長度為：4厘米，長的那段為：4×3＝12（厘米），以4厘米為腰的等腰三角形的面積為：4×4÷2＝8（平方厘米），以12厘米為腰的等腰三角形的面積為：12×12÷2＝72（平方厘米），長方形的面積為：16×16﹣2×8﹣2×72＝256﹣16﹣144，＝240﹣144，＝96（平方厘米），答：長方形的面積是96平方厘米．故答案為：96．【點評】解答此題的關鍵是先求4個三角形的面積，然后再用正方形的面積減去4個三角形的面積即是長方形的面積．9．觀察下面的算式：5×9＝4555×99＝5445555×999＝5544455555×9999＝55544445…則555555×999999＝555554444445．【分析】通過仔細觀察，得出規律：n個5×n個9＝（n﹣1）個5，n個4，最后是一個5．因此，當n＝6時，據此規律，很快就可寫出．【解答】解：555555×999999＝555554444445；故答案為：555554444445．【點評】此題屬于找規律的題目，解答這類問題，應仔細觀察給出的例子，找出規律，據規律解答．10．已知3×4＝12，3.3×3.4＝11.22，3.33×33.4＝111.222，3.333×333.4＝1111.2222，則3.3333×3333.4＝11111.22222。【分析】積的規律是：積的各位數字是由1和2組成，小數點前面是1小數點后面是2；因數的位數都相同，積中1和2的個數等于其中一個因數的位數；然后據此規律解答即可。【解答】解：根據分析可得：3.3333×3333.4＝11111.22222。故答案為：11111.22222。【點評】本題關鍵是找到積的規律和積與因數的位數的關系，然后再利用這個規律去解答問題。三．判斷題（共5小題）11．在1+3+5+7+9+…中，從“1”到數“13”的和是49．√．【分析】在1+3+5+7+9+…中首先求出“13”是第幾項（由于項數比較少，可能用數的方法），由于相鄰兩數的差是1，所以項數等于（末項﹣首項）÷2+1，據即可求13是第幾項；前n項和的計算公式是（末項+首項）×，根據公式可求出前13項的和，根據計算結果進行判斷．【解答】解：在1+3+5+7+9+…中，從“1”到數“13”的項數為：（13﹣1）÷2+1＝12÷2+1＝6+1＝7前6項的和為：（13+1）×＝14×3.5＝49因此，在1+3+5+7+9+…中，從“1”到數“13”的和是49，原題的說法是正確的．故答案為：√．【點評】此題項數較少，寫出所有項，通過計算即可得到正確的結果．如果項數較多，只能先總結出求項數、前n項和公式解答．12．一串珠子按三顆白珠一顆紅珠的規律串成，第25顆是紅色的．×．【分析】珠子周期性的排列規律是：把“3顆白珠1顆紅珠”4個珠子看成一組，求出25里面有多少個這樣的一組，還余幾，再根據余數推算．【解答】解：1+3＝4（個）；25÷4＝6（組）…1（個）；余數是1，第25個就和第1個的顏色相同，是白色．答：第25顆是白色的．故答案為：×．【點評】解決這類問題往往是把重復出現的部分看成一組，先找出排列的周期性規律，再根據規律求解．13．如圖，梯形中兩個涂色三角形甲、乙面積是相等的。√【分析】由圖可知，甲乙兩個三角形分別加上頂部的空白三角形后組成兩個新的三角形，由于這兩個新三角形是等底等高的，面積相等，所以甲乙兩個三角形的面積是相等的；據此即可判斷。【解答】解：甲乙兩個三角形分別加上頂部的空白三角形后組成兩個新的三角形，這兩個新三角形是等底等高，面積相等，空白部分是公共部分，所以甲、乙兩個三角形的面積相等；故原題說法正確。故答案為：√。【點評】此類題目可借助“等底等高的三角形面積相等”來解答。14．周長相等的圓和正方形，它們的面積也相等。×判斷對錯）【分析】設圓和正方形的周長是C，則正方形的邊長是C÷4，圓的半徑是C÷2π；根據它們的面積公式求出它們的面積，進行比較即可判斷。【解答】解：設圓和正方形周長是C，則正方形的邊長是，圓的半徑是，則圓的面積為：（）2×π＝正方形的面積為：（）2＝所以圓的面積大。故答案為：×。【點評】此題主要考查周長相等的正方形和圓，圓的面積比正方形的面積大。15．移動三角形后陰影部分面積大小不變。√【分析】通過平移的方法，把陰影部分左邊的三角形移動到右邊，雖然形狀變了，但是面積不變。據此判斷。【解答】解：把陰影部分左邊的三角形移動到右邊，雖然形狀變了，但是面積不變。因此通過中的結論是正確的。故答案為：√。【點評】此題考查的目的是理解掌握長方形面積的意義及應用，平移方法及應用。四．應用題（共5小題）16．如圖，一枚古錢幣的直徑為20mm，中間正方形孔的邊長為6mm，這枚古錢幣的面積是多少？【分析】用圓的面積減去正方形面積即可。利用圓的面積公式：S＝πr2，正方形面積公式：S＝a2，計算即可。【解答】解：3.14×（20÷2）2﹣6×6＝314﹣36＝278（平方毫米）答：這枚古錢幣的面積是278平方毫米。【點評】本題屬于求組合圖形面積的問題，這種類型的題目主要明確組合圖形是由哪些基本的圖形構成的，然后看是求幾種圖形的面積和還是求面積差，然后根據面積公式解答即可。17．小明在學習分數除注時做了下面的3道計算題，小明發現：“一個數（0除外）除以一個分數，所得的商一定大于它本身”．①如果讓你繼續研究分數除法，你還想研究什么問題，請在下面寫出來．②請對你提出的問題進行研究，看看能得出什么結論？【分析】①觀察給出的算式中除數都是真分數，都小于1，所以得到的商都是大于被除數；所以可以找一些除數是大于1的分數，再進行計算；②根據①的計算結果，得出結論．【解答】解：①問題：除數大于1時，被除數與商的大小關系是怎么樣的？6÷＝6×＝44＜6；3.6÷＝3.6×＝2.72.7＜3.6；÷＝×＝＜．②根據①可得：一個數（0除外）除以一個大于1的數，商小于這個數．【點評】兩個不為0的數相除，當除數大于1時，商小于被除數；當除數等于1時，商等于被除數；當除數小于1時，商大于被除數．18．先觀察前三題計算結果，再直接寫出最后兩題的得數。0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.43210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝0.76543210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝0.987654321【分析】通過觀察：0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321得出規律：得數看最后一個加數，如果最后一個加數的小數點后的有n（n≤9）個1，得數的小數點后的數就從n依次從大到小排列到1，據此解答即可。【解答】解：0.1+0.11＝0.210.1+0.11+0.111＝0.3210.1+0.11+0.111+0.1111＝0.43210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝0.76543210.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝0.987654321故答案為：0.7654321；0.987654321。【點評】解決本題的關鍵是找出規律：得數看最后一個加數，如果最后一個加數的小數點后的有n（n≤9）個1，得數的小數點后的數就從n依次從大到小排列到1。19．在一張直徑是10厘米的圓中剪下一個最大的正方形（如圖所示），剩下陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析】在圓形上剪的最大正方形的對角線，就是圓的直徑，并且正方形的對角線互相垂直，所以就把正方形分成了四個小的直角三角形；小的直角三角形的直角邊相等都是圓的半徑，所以可求出正方形的面積；用圓的面積減去正方形的面積，就是剩下的面積。【解答】解：10÷2＝5（厘米）3.14×52＝78.5（平方厘米）5×5÷2×4＝25÷2×4＝12.5×4＝50（平方厘米）78.5﹣50＝28.5（平方厘米）答：剩下陰影部分的面積是28.5平方厘米。【點評】此題考查圓的面積與正方形的面積公式的實際應用，理解圓中剪出一個最大的正方形，圓的直徑是正方形的對角線是關鍵。20．如圖是公園的樹池座椅，座椅寬0.8米，這個座椅的面積是多少平方米（π取3）？【分析】根據圓環的面積＝大圓的面積﹣小圓的面積，據此求解即可。【解答】解：3×（2÷2+0.8）2﹣3×（2÷2）2＝3×3.24﹣3＝9.72﹣3＝6.72（平方米）答：這個座椅的面積是6.72平方米。【點評】熟練掌握圓的面積公式是解答此題的關鍵。一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?朝陽區期末）仔細觀察下面這組算式：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝9871234×8+4＝9876根據上面算式中的規律，四位同學又分別寫出了一個算式。他們寫出的這些算式中，符合上面規律的是（）A．明明和麗麗 B．明明和小軍 C．紅紅和麗麗 D．紅紅和小軍【分析】規律：這些算式都是兩個數相乘加上一個數。第一個乘數是由從1開始的連續自然數組成的，第二個乘數都是8，加上的數和第一個乘數的個位數相同，得數是從9開始的連續自然數的倒序，位數與第一個乘數的位數相同。【解答】解：1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝9871234×8+4＝9876根據以上的規律可得：12345×8+5＝98765123456×8+6＝987654所以，他們寫出的這些算式中，符合上面規律的是明明和小軍。故答案為：B。【點評】找出已給算式的規律，是解答此題的關鍵。2．（2022秋?永川區期末）根據前4道題的規律，第5題的括號中應該填（）（1）1÷11＝0.0909……（2）2÷11＝0.1818……（3）3÷11＝0.2727……（4）4÷11＝0.3636……（5）（）÷11＝0.7272……A．5 B．6 C．7 D．8【分析】用心觀察商的規律，商都是循環小數，循環節的兩位數字的和為9，且循環節的第一個數字依次加1。據此解答。【解答】解：（1）1÷11＝0.0909……（2）2÷11＝0.1818……（3）3÷11＝0.2727……（4）4÷11＝0.3636……（5）8÷11＝0.7272……故選：D。【點評】本題考查“式”的規律，找到循環節的規律是解本題的關鍵。3．（2022秋?通山縣期末）如圖，在這個梯形中，兩塊陰影部分面積的關系是（）A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．無法比較【分析】根據等底等高的三角形的面積相等，甲、乙都加上上面空白三角形的面積后等底等高，所以甲乙的面積相等。【解答】解：兩塊陰影部分面積的關系是相等。故選：C。【點評】本題主要考查組合圖形的面積，關鍵是根據圖形的組成解答。4．（2022秋?西塞山區期末）圖中每個小方格表示1平方厘米，比較陰影部分的面積，（）圖與其他三個圖形不相等。A． B． C． D．【分析】根據圖分別得出A、B、C、D四個圖形的面積，然后進行比較即可。【解答】解：A圖形的面積是3平方厘米；B圖形的面積是3平方厘米；C圖形的面積是2.5平方厘米；D圖形的面積是3平方厘米；所以C圖形的面積與其它三個不相等。故選：C。【點評】本題考查了面積計算比較知識，求出四個圖形的面積，是解答此題的關鍵。5．（2022春?孟津縣期末）由算式142857×1＝142857、142857×2＝285714、142857×3＝428571，可以得出142857×6＝（）A．571428 B．714285 C．857142 D．999999【分析】觀察所給出的式子，知道142857與自然數相乘的積是由1、4、2、8、5、7這幾個數輪回組成的，當142857×6時，末位上的數是2，2后面的數8、5、7就分別輪到最高位、最高位的下一位，再下一位，由此得出答案。【解答】解：因為142857×6時，末位上的數是2，所以，142857×6＝857142故選：C。【點評】解答本題的關鍵是，根據所給出的式子，找出規律，即142857與自然數相乘的積是由1、4、2、8、5、7這幾個數輪回組成的。二．填空題（共5小題）6．（2022秋?房山區期末）學校有一個長9米、寬4米的長方形花圃（如圖）。為了讓同學們行走方便，在花圃中間鋪了一條小路，把原來的長方形花圃變成了兩個正方形花圃。這條小路的寬是1米。【分析】兩個正方形花圃的邊長是4米，則小路長等于9米減去兩個4米。據此解答。【解答】解：9﹣4﹣4＝5﹣4＝1（米）答：這條小路的寬是1米。故答案為：1。【點評】熟練掌握長方形和正方形的特點是解答此題的關鍵。7．（2022秋?大興區期末）如圖中兩個圓的直徑分別是8厘米和6厘米，陰影部分的面積是21.98厘米2。【分析】陰影部分的面積等于直徑為8厘米的大圓面積減去直徑為6厘米的小圓的面積，根據圓的面積＝π×半徑的平方計算即可解答。【解答】解：3.14×（8÷2）2﹣3.14×（6÷2）2＝3.14×16﹣3.14×9＝50.24﹣28.26＝21.98（平方厘米）答：陰影部分的面積是21.98平方厘米。故答案為：21.98。【點評】解答此題的關鍵是根據圖，判斷出陰影部分的面積是由哪些圖形的面積相減所得，由此再根據相應的面積公式解答即可。8．（2022秋?合川區期末）27÷9＝3，207÷9＝23，2007÷9＝223，20007÷9＝2223??，按這樣的規律，第6個算式是2000007÷9＝222223。【分析】觀察可得，后一個算式被除數的中間每增加1個0，商的最高位就增加1個2，被除數的中間有幾個0，商里面就有幾個2。【解答】解：27÷9＝3，207÷9＝23，2007÷9＝223，20007÷9＝2223??，按這樣的規律，第6個算式2000007÷9＝222223。故答案為：2000007÷9＝222223。【點評】仔細觀察，總結規律是解決本題的關鍵。9．（2022秋?武漢期末）在一個長方形中有兩個大小相同的圓（如圖），涂色部分的面積是8m2，則一個圓的面積是25.12m2。【分析】設圓的半徑為r，根據三角形的面積公式：S＝ah÷2，求出r2；再根據圓的面積公式：S＝πr2，即可求解。【解答】解：設圓的半徑為r。2r×r÷2＝8r2＝83.14×8＝25.12（平方米）答：一個圓的面積是25.12平方米。故答案為：25.12。【點評】本題主要考查了組合圖形的面積，解題的關鍵是把不規則圖形轉化為規則圖形的面積。10．（2022秋?昌黎縣期末）仔細觀察左面的算式，找出規律，再完成右面的算式。12345679×9＝11111111112345679×36＝44444444412345679×18＝22222222212345679×63＝77777777712345679×27＝33333333312345679×81＝999999999【分析】如果一個因數不變，另一個因數擴大幾倍（0除外），積也會隨之擴大相同的倍數，第一個因數都是12345679，第二個因數分別是9，9的2倍、9的3倍……其積分別是111111111、222222222、333333333；據此解答即可得到答案。【解答】解：12345679×9＝11111111112345679×36＝44444444412345679×18＝22222222212345679×63＝77777777712345679×27＝33333333312345679×81＝999999999故答案為：444444444；777777777；81。【點評】關鍵是根據給出的式子與所求式子的關系，找出規律，進而解決問題。三．判斷題（共5小題）11．（2019秋?沈陽期末）根據33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332．√【分析】根據觀察知：第2個因數都是4，其結果最高位都是1、最低位都是2、中間都是3，3的個數比第一個因數中3的個數少1，據此解答．【解答】解：33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知：33333×4＝133332．原題說法正確。故答案為：√．【點評】找出算式中各個因數的變化規律是解題的關鍵．12．（2022?海東市）如圖，陰影部分的面積等于空白部分的面積。√【分析】圖中陰影三角形的底是長方形的長，高等于長方形的寬，所以陰影三角形的面積等于長方形面積的一半；可知空白部分的面積也等于長方形面積的一半，與陰影三角形的面積相等。據此解答。【解答】解：陰影三角形的底是長方形的長，高等于長方形的寬，所以陰影三角形的面積等于長方形面積的一半；所以陰影部分的面積等于空白部分的面積，都等于長方形面積的一半。原題說法正確。故答案為：√。【點評】解答本題的關鍵分析出陰影三角形的面積等于長方形面積的一半。13．根據99×96＝9504，999×996＝995004這個規律，可以得出9999×9996＝99950004。√【分析】根據三個算式：99×96＝9504999×996＝9950049999×9996＝99950004，則發現規律：兩個因數每增加一個9，則結果相應的前面增加一個9，中間增加一個0；照此規律，依次寫出，即可得解。【解答】解：99×96＝9504999×996＝9950049999×9996＝99950004所以題干的說法是正確的。故答案為：√。【點評】認真觀察，找出規律是解決此題的關鍵14．（2022秋?鎮巴縣期末）圖中，每個正方形的面積都相等，陰