考點精煉-解三角形中的最值問題

高考數學二輪復習備考

一、單選題

1.在VA6C中，角A瓦。所對的邊分別是。，仇。，已知人=2,且cos25+cos5=l-cos（A-C）,當a+2c

取得最小值時，VABC的最大內角的余弦值是（）

A.一變B.-1C.一變D.一走

2248

2.若VA3C的內角滿足sin3+sinC=2sinA,貝!j（）

A.A的最大值為:B.A的最大值為g

C.A的最小值為gD.A的最小值為g

36

3.已知HAABC的周長為2,面積為S,則（）

A.S的最小值為2-0B.S的最小值為3-20

C.S的最大值為2-桓D.S的最大值為3-20

4.在7ABe中，記角A,B,C的對邊分別為。,6,c,若c?=〃+〃+"，點。在邊AB上，CD平分NACB,

且依必=；,則4々+%的最小值為（）

A.—B.25C.—D.24

24

v

5.在VA5C中，角A民。的對邊分別為aecoAbC的面積為S,則-----的最大值為（）

a+Abe

AaR夜「9A/159A/15

1681632

6.VABC中以^=6,48=247,點0在邊8（?上且8=23。，貝!Jtan/A￡>C的最大值為（）

A.-B.-C.拽D.立

3455

7.在VA3C中，角A,B為銳角，VABC的面積為4,>cos2A+cos2B=2-sinC,則VABC周長的最

小值為（）

A.4夜+4B.4A/2-4C.272+2D.272-2

3

8.在△ABC中，已知△回€?的面積為大且AB=3AC,則5c的最小值為（）

2

A.2B.2月C.20D.3

二、填空題

9.在VA3c中，角A3,C的對邊分別為“,6,c,若asinA+bsinB—csinC<0,則VABC的最長邊

是.(用題中字母a/,c表示)

10.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且6=2,cos2B+cosB=l-cos(A-C),當

2a+c取得最小值時，則VABC最大內角的余弦值是.

11.在VABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,則最大角的正弦值為.

12.在VABC中，tanA=',tanB=|.

(1)ZC=；

(2)若VABC的最長邊的長為耳，則最短邊的長為.

三、解答題

13.在VABC中，a,b,c分別是內角A,B,C的對邊，且片+廿二%。?，6csinA=sinC.

⑴求C；

(2)求c的最小值.

14.在VABC中，"c分別是內角A3,C的對邊，且/+/=R>+c2,6csinA=sinC.

⑴求C；

(2)求VABC外接圓的面積的最小值.

15.在VABC中，CD為A8邊上的高，已知AC+3C=AB+CD.

C

(1)若AB=2CD,求tanJ的值；

(2)若=k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值時上的值.

C—hein4

16.VABC的內角A氏C的對邊分別為a,b,c,—；=.「..

a-bsmC+siaB

⑴求C；

⑵若a+b=6,求VABC的周長最小值.

17.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,2tanB+tanC=0.

⑴證明：3/+〃=/；

(2)求cosA的最小值.

參考答案

1.C

利用三角恒等變換結合正弦定理可得ac=4,再利用基本不等式求a+2c的最小值以及成立的條件,

再根據余弦定理即可得結果.

因為cos2B+cosB=l-cos（A-C）,BP1-COS2B=COSB+COS（A-C）,

可得2sin2B=—cos（A+C）+cos（A—C）=2sinAsinC,即sin2B=sinAsinC,

由正弦定理可得〃=ac=4,

又因為a+2c22c=4夜,當且僅當a=2c=20時，等號成立，

若a+2c取得最小值，則a=2應,6=2,c=》,

此時最大角為角A,COSA=/+C-2=4+2也,

2bc2x2xV24

所以VABC的最大內角的余弦值是-也.

4

故選：C.

2.A

利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

由題意結合正弦定理有：2a=b+c,結合余弦定理可得:

Z72+。2_

/b2+c2-a2

cosA=--------------=------------

2bc2bc

所以，cosA的最小值是;,

又余弦函數y=cosx在（0,無）上單調遞減得，A的最大值為;.

故選：A.

3.D

利用基本不等式，結合直角三角形的面積公式，即可求解.

設。力為的直角邊，。為斜邊，

a+b+c=2

則可得（2—a—=a?+Z?2,即4—4a—4〃+2ab=0,

c2=a2+b2

因為a+當且僅當a=Z?時，等號成立,

所以"+224V法，解得而<2-0或疝22+8,

因為<?=儲+)2<4,且2ah</+。2,當且僅當〃=人時，等號成立,

所以2ab<4,即ab<2,所以y/ab<2-42,

貝-4夜，5=y<3-2V2,當且僅當。=匕時，等號成立，

即S的最大值為3-2忘.

故選：D.

4.A

由余弦定理可得角C的大小，由與4.=5/8+508可得工+；=2,結合基本不等式“1”的巧用，即可

ab

得4〃+%的最小值.

12兀

由C2=Q2+A2+ab=^>cosC=1—CG（0,兀）二.C—,

又。ABC=S"CD+SABCD，

—ab?sin—=—Z7-|CD|sin—+—Z?-|cZ）|sin—=>2ab=a+b,—=2,

232323'b

a>0,b>0,

4〃+9b=g（4〃+9b）-,9944、25

>—13+2Nab,

~22

當且僅當"=半=匕=二。取等號；又工+：=2,即當且僅當取到最小值g.

ab3ab4o2

故選：A.

5.A

因為S=；bcsinA,

/=b2+c2—2bccosA，

—Z?csinA—besinA

則設s2《2

a1+4bcb1+C1-2bccosA+4bc2bc-2bccosA+4bc

—besinA-sinA

2:工

6bc-2bccosA6-2cosA

當且僅當b=c時，等號成立,

所以LsinA=6f—2fcosA,即』sinA+2，cosA=6，wjL+4,2,

22V4

16

故選：A.

6.C

3n>6z

設AZ>=機，AB=2AC=2n,由〃<6得2<"<6,

因為5C=6,CD=2BD,所以3D=2,DC=4,

且3、NADC為銳角，可得8sZAZ)5=-cosZADC,

AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC2

在VAB2VADC中由余弦定理可得

2AD?BD2AD?DC

m2+4-4n2m2+16-n2

即pn----------=------------m2=3n2—8,

4m8m

m2+16-n2m2+16-n2n2+4

所以cosZADC=

8m8m4A/3癡-8

、

("2+42/一/+40”2144

sinZADC=1-

4,3”2一8,4j3/-8

J-/+40?一14413

所以tan/AOC=-320j+9竽,

九2+4“2+440

13“=邁等號成立.

當且僅當2==即

n2+4403

故選：C.

7.A

利用三角恒等變換、正弦定理等知識判斷出三角形A5C是直角三角形，利用基本不等式求得VABC周

長的最小值.

依題意，—ctbsinC=4,absinC=8,

2

由COS2A+COS2B=2—sinC1—sin2A+1—sin2B=2—sinC,

即sin2A+sin2JS=sinC=sin(A+=sinAcosB+cosAsinB,

sinA(sinA—cosB)+sinB(sin^—cosA)=0,

由于A3是銳角，所以sinA>0,sinB>。，

sinA—cosB與sinB-cosA一正一負，或sinA-cosB=sinB-cosA=0,

sinA>cosB=sin

sinA-cosB>0

若即<

sinB-cosA<0

sinB<cosA=sin

由于0<A<巴,0<8<巴，一二工<一2<0,

2222

A>--B

所以0<g_A<g,O<g_5<g,所以2,

22222.A

2

A+B>-

sinA-cosB>0

,此不等式組無解，所以不成立.

sinB-cosA<0

A+B<-

2

sinA-cosB<0

同理可得不成立.

sinB-cosA>0

所以sinA—cos5=sin5—cosA=0,

sinA=cosB=sin

所以，所以4+2弓Cg

sinB=cosA=sin

所以absinC=ab=8,

所以二角形A5c的周長=22y[ab+^l2ab=4^/2+4，

當且僅當Q=b=2后時等號成立，所以三角形ABC的周長的最小值為472+4.

故選：A

8.C

利用面積建立等量關系，結合余弦定理和輔助角公式等價變形可得關于5c的不等式，解不等式即可

得到結果.

3

“IBC的面積為萬且AB=3AC,

1331

sinA=-AC2?sinAAC2=------.

222sinA

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABMCCOSA=10AC2-6AC2?cosA

_10-6cosA

=(10-6cosA)AC2

sinA

6

2即dBC，+36?sin(A4)=10,tang

BC?sinA6cosA=10BC7

《BC&+36=--------

sin(A+q)

*.*0<sin(A+^)?1,

.1.JBC*+36?10，解得BC>2V2，即BC的最小值為2后.

故選：C.

9.c

由正弦定理、余弦定理以及大邊對大角即可得解.

根據正弦定理，得/+廿一/<0.

由余弦定理，得cosC="—<0,所以角C是鈍角.

2ab

所以VABC的最長邊是J

故答案為：c.

10._巫

4

利用三角恒等變換結合正弦定理可得ac=4,再利用基本不等式求a+2c的最小值以及成立的條件,

再根據余弦定理即可得結果.

因為cos2B+cosB=l-cos(A—C),gp1-cos2B=cosB+cos(A-C),

可得2sir?B=-cos(A+C)+cos(A-C)=2sinAsinC,即sin2B=sinAsinC，

由正弦定理可得從=ac=4,

又因為2a+c22。2axe=4應,當且僅當c=2a=2施時，等號成立,

若2a+c取得最小值，則C=2A/I,6=2M=女,

b2+O2-c24+2-8_42

此時最大角為角C,cosC二

2ba2x2x^24

所以△ABC的最大內角的余弦值是-也.

4

故答案為：-克.

4

H.晅?岳

44

由條件結合正弦定理可得a:b:c=2:3:4,再利用余弦定理求角cosC,利用同角關系求結論.

sinA:sinB:sinC=2:3:4,

由正弦定理化簡得a:b:c=2:3:4,

分別設。=2左力=3憶。=4左,則最大角為C,

a2+b2-c24/+9%2-16%2_1

cosC=

lab2x2%x3%4

所以0￡仁,兀｝

所以sinC=—,

4

故答案為:

3兀

12.T

(1)利用三角形三內角和為兀計算即可;

(2)先確定最長邊和最短邊，然后利用正弦定理計算即可.

「/A八、tanA+tanB,

(1)由題可知tanC=-tan(A+B)=-------------=-1

1-tanAtanB

所以

(2)由題可知，最長邊為邊c=J萬，最短邊為邊。；

易知sinA=,sinC=

172

由正弦定理可知，a=--sinA=V2

sinC

Air

故答案為：—；V2

4

兀

13.(1)C=-

(2)1

(1)根據余弦定理直接可得角C；

(2)結合正弦定理邊角互化可知必=1,則根據基本不等式可得最值.

〃2_21

(1)因為/+/=,所以COSC=---------=一,

lab2

因為Ce(O,7t),所以C=：；

(2)因為bcsinA=sinC,

由正弦定理可知次?c=c,

所以必=1,

由I?+/=Clb+C2，

^c1=a1+b1—ab>2ab-ab=ab=l^

則cNl,

當且僅當，=人=1時，等號成立.

所以C的最小值為1.

71

14.d)C=3

嗎

a2+b2-c21

(1)因為/+/=QO+C?,所以COSC=——,

2ab2

因為Ce(O,兀)，所以C=；.

(2)因為)csinA=sinC,所以Hc=c,

所以奶=1.

由a?+/=〃人+。2,c2=a2+b2—ab>2ab—ab=ab=\則。之1,

當且僅當，=人=1時，等號成立.

_J__Ai

DR二—>

設VASC外接圓的半徑為R,貝UsinCsin|5則A'國，

所以VA3C外接圓的面積的最小值為兀甯=g.

C4

15.(1)tan-=-

(2)tanC的最小值為2皇4，此時左的值為53

(1)設a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，CD=h,則a+b=c+〃.

a2+b2-c2(?+Z?)2-c2-2ab(c+/z)2-c2,h2+2ch,

在VABC中，由余弦定理得cosC=—1=--------------1?

2ab2ablablab

由，QZ?sinC=Lc/z,得ab二1+cosCh2+2ch=iA.

，所以+

22sinCsinC2ch2c

1+COSCrh_5

因為AB=2CD,所以c=2/z,于是------------=1+

sinC五一“

CC

2sin—cos—?》

C22_sinC_4A

而tan,二

2cos2c1+cosC5

2

Ih1

(2)法一:由(1)知,

tan—

2

如圖，在VABC中，過5作AB的垂線￡B,且使￡B=2/z,

貝lJCE=CB=a，則AC+CE=a+b2AE=Jc2+4/？，

h9

即(C+/79)NC2+4〃2,所以

于是即：4tang<l

tany42

_2

令函數片占，xe(O,l),則'=1一在(0,1)上單調遞增,

1—XX

X

2tan—2x。

所以tanC=--------此時上

…21-出

故所求tanC的最小值為y74,此時k的值為3|.

法二：由S=—absinC=-ch=—c(a+b-c),

222'7

得sinA+sinB-sinC=sinA?sinB,即sinA+sinB-sin(A+B)=sinA?sinB,

l-cosAl-cosBAR

化簡得----------+-------=--1--,即tan——btan一=1,

sinAsinB22

A

tan——I-tan—

A3八匕-AB1

因為tan—>0,所以0<tan——tan—W22=一,

22224