重難點05解三角形的實際應用

明考情■知方向

2025年考向預測：正、余弦定理的實際應用

重難點題型解讀

迪正、余艇理判三角形形狀

?求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

解三角形的實際應用

避3幾何圖形中的計算

題型4正、余弦定理的實際應用

題型1正、余弦定理判定三角形形狀

1.已知在VABC中，三邊。，瓦c分別對應三個內角AB,C；且-----=-------

c+b-ab

(I)求角C的大小；

(2)當在VABC外接圓半徑尺=1時，求VABC面積的最大值，并判斷此時VABC的形狀.

2.在VA2C中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.已知2bsinA-W=0,且B為銳角.

⑴求角B的大小；

⑵若3c=3"+回，證明：VA2C是直角三角形.

3.（2023?上海虹口?一模）設VABC的內角A,B,C所對的邊分別為。，瓦c,已知

2cos（7t+A）+sin+2=0.

⑴求角A；

⑵若c-b=Ba,求證：VABC是直角三角形.

3

4.（2024?上海寶山?二模）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC.

⑴求角B的大小；

（2）若&ABC的面積為6,求a+c的最小值，并判斷此時ABC的形狀.

題型2求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

1.（2024?上海寶山?一模）在VABC中,已知層+/=/+慶.

（l）若sinC=2sinB且6=2,求VABC的面積；

⑵若b+c=l,求。的取值范圍.

2.（2023?上海徐匯?三模）如圖，VABC中，角A、5、C的對邊分別為〃、b、c.

（1）若3a-c=3〃cosC,求角B的大小；

TT

（2）已知》=3、B=-,若。為VABC外接圓劣弧AC上一點，求△ADC周長的最大值.

3.（2023?上海青浦?一模）在VA2C中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且滿足〃+/一從十的=。.

⑴求角B的大小；

（2）若匕=24，求VABC的周長的最大值.

4.（2023?上海?模擬預測）高鐵的建設為一個地區的經濟發展提供了強大的推進力，也給人們的生活帶來極

大便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個路段的示意圖，其中線段代表山坡，線段CD為

75

一段平地.設圖中AB、3C坡的傾角滿足tan。=或，tan。=丘,A3長250m,BC長182m,CD長132m.假設該路

段的高鐵軌道是水平的（與。平行），且端點E、/分別與A。在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個橋

墩（不考慮端點尸建造橋墩）

⑴求需要建造的橋墩的個數；

（2）已知高鐵軌道的高度為80m,設計過程中每30m放置一個橋墩，設橋墩高度為無（單位：m）,單個橋墩

的建造成本為W=0.65/z+5（單位：萬元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.

題型3幾何圖形中的計算

1.如圖，矩形A2CD區域內，。處有一棵古樹，為保護古樹，以。為圓心，D4為半徑劃定圓。作為保護

區域，已知AB=30m,AD=15m,點E為AB上的動點，點P為CD上的動點，滿足E尸與圓。相切.

(1)若NAOE=20°,求EP的長；

(2)當點E在A8的什么位置時，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？

(長度精確到0.1m,面積精確到O.OlnP)

2.如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABCD的區域進行綠化，在此綠化區域中，分別以/DCB和ZZMB

為圓心角的兩個扇形區域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與80相切.

(1)若AD=4歷，AB=3歷,BD=37(長度單位：米)，求種植花卉區域的面積；

(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則/8D4多大時，平行四邊形綠地ABC。占地面積最小？

3.某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,OA,OC為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的

7T

總長度為12米，S.ZBAO=ZBCO.設NBAO=a（0<a<一）.

2

TT

⑴當AB=4,a時，求AC的長；（結果精確到0.1米）

（2）當A3=6時，求。4BC面積S的最大值及此時a的值.

4.（2023?上海徐匯?一模）近年來，為“加大城市公園綠地建設力度，形成布局合理的公園體系”，許多城市陸續

建起眾多“口袋公園”、現計劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,

以砂中點A為圓心，尸G為半徑的扇形草坪區A3C,點尸在弧上（不與端點重合）,48、弧BC、CA,PQ、

PR、R。為步行道，其中PQ與A8垂直,PR與AC垂直.設

⑴如果點尸位于弧8C的中點，求三條步行道尸。、PR、R。的總長度；

（2）“地攤經濟”對于“拉動靈活就業、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道

PQ、PR、R。開辟臨時攤點，積極推進“地攤經濟”發展，預計每年能產生的經濟效益分別為每米5萬元、5萬

元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產生的經濟總效益最高為多少？（精確到1萬元）

5.（2023?上海浦東新?一模）在臨港滴水湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖ABC。所示.為考慮露營客

人娛樂休閑的需求，在四邊形A2CD區域中，將三角形48。區域設立成花卉觀賞區，三角形區域設立

成燒烤區，邊AB、BC、CD,D4修建觀賞步道，邊BO修建隔離防護欄，其中CD=100米，3c=200米,

（D如果燒烤區是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防護欄（精確到0.1

米）？

（2）考慮到燒烤區的安全性，在規劃四邊形A3。區域時，首先保證燒烤區的占地面積最大時，再使得花卉

觀賞區的面積盡可能大，則應如何設計觀賞步道？

題型4正、余弦定理的實際應用

TT

1.某水產養殖戶承包一片靠岸水域.如圖，A0,為直線岸線，04=1000米，08=1500米，ZAOB=-,

該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧AB，過弧AB上一點尸按線段申和必修建養殖網箱，已知

2兀

ZAPB=—.

3

（1）求岸線上點A與點B之間的直線距離；

（2）如果線段以上的網箱每米可獲得40元的經濟收益，線段網上的網箱每米可獲得30元的經濟收益.記

ZPAB=0,則這兩段網箱獲得的經濟總收益最高為多少？（精確到元）

2.如圖，某公園有一三角形的花壇A3C,已知圍欄長5米，AC長7米，3=60,擬在該花壇中修建

一條直圍欄尸。（即線段尸。，點AQ分別在三角形的兩邊上），以種植兩種不同顏色的菊花供游客觀賞，花

壇設計者希望通過圍欄實現兩種菊花的種植面積相等且同一時刻花壇邊游客近距離賞花的人數的最大值相

等.試問：在VABC的邊上是否存在RQ兩點，使得線段PQ既平分VASC的面積又平分其周長？若存在，求

出所有滿足要求的點尸、。的位置（結果精確到01米）；若不存在，請說明理由.

C

AB

3.如圖，A、B、C三地在以。為圓心的圓形區域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，ZBAC=60°,。是

圓形區域外一景點，ZDBC=90°,ZDCB=60°.

D

（1）0,A相距多少公里？（精確到小數點后兩位）

⑵若一汽車從A處出發,以每小時50公里的速度沿公路AD行駛到D處.需要多少小時?（精確到小數點

后兩位）

4.如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿A3,公園內的小

山下是一個水平廣場（虛線部分）.某高三班級數學老師留給同學們的周末作業是：進入該公園，提出與測

量有關的問題，在廣場上實施測量，并運用數學知識解決問題.老師提供給同學們的條件是：已知AB=10

米，規定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如下圖，該測距儀能準確測量它到它發出的激

光投射在物體表面上的光點之間的距離）.

（1）甲同學來到通往山腳下的筆直小路/上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點C處,

獨立的實施了測量，并運用數學知識解決了問題.請寫出甲同學的解決問題方案，并用假設的測量數據（字

母表示）表示出小山的高度//；

（2）乙同學是在一陣大風過后進入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部A處松動產生了

傾斜.她提出的問題是：如何檢驗旗桿4?是否還垂直于地面？并且設計了一個不用計算就能解決問題的獨

立測量方案.請你寫出她的方案，并說明理由；

（3）已知（1）中的小路/是東西方向，且與點A所確定的平面垂直于地平面.又已知在（2）中的乙同學已經

斷定旗桿A8大致向廣場方向傾斜.如果你是該班級的同學，你會提出怎樣的有實際意義的問題？請寫出實

施測量與解決問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設的測量數據或運算結果列式說明，不必計

算）.

5.某居民小區為緩解業主停車難的問題，擬對小區內一塊扇形空地AQ5進行改建.如圖所示，平行四邊形

OMPN區域為停車場，其余部分建成綠地，點P在圍墻A3弧上，點”和點N分別在道路。4和道路OB上，

且。4=60米，4403=60°,設ZPOB=。.

（1）求停車場面積S關于。的函數關系式，并指出。的取值范圍；

（2）當。為何值時，停車場面積S最大，并求出最大值（精確到0.1平方米）.

6.如圖所示，某人為“花博會”設計一個平行四邊形園地，其頂點分別為4（/=1,2,3,4）,44=30米，

ZA4A=i20,。為對角線44和AA的交點.他以4、4為圓心分別畫圓弧，一段弧與44相交于4、

另一段弧與44相交于A3,這兩段弧恰與44均相交于。.設乙414r>=e.

（1）若兩段圓弧組成“甬路”L（寬度忽略不計），求L的長（結果精確到1米）；

（2）記此園地兩個扇形面積之和為跖，其余區域的面積為S?.對于條件（1）中的L,當心一些<0.12

時，則稱其設計“用心”，問此人的設計是否“用心”？并說明理由.

7.為打贏打好脫貧攻堅戰,某村加大旅游業投入,準備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區，

2

分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為§萬，點P在扇形的弧上，點。在

上，且尸

(1)當。是OB的中點時，求尸。的長；

(2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香

種植區△OPQ的面積盡可能的大，求△。尸。面積的最大值，并求此時扇形區域A08種植花卉的總成本.

8.（2023?上海楊浦?一模）某數學建模小組研究擋雨棚（圖1）,將它抽象為柱體（圖2）,底面A3C與

全等且所在平面平行，VABC與各邊表示擋雨棚支架，支架AA、BB］、CQ垂直于平面ABC.雨滴

IT7T

下落方向與外墻（所在平面）所成角為:（即4402=7），擋雨棚有效遮擋的區域為矩形相。。（0、。|

66

分別在C4、C鴻延長線上）.

（1）擋雨板（曲面的面積可以視為曲線段BC與線段8月長的乘積.已知。4=1.5米，AC=0.3米,

AA=2米，小組成員對曲線段BC有兩種假設，分別為：①其為直線段且44。?=三；②其為以。為圓心的

圓弧.請分別計算這兩種假設下擋雨板的面積（精確到01平方米）；

（2）小組擬自制VABC部分的支架用于測試（圖3）,其中AC=Q6米，ZABC=-,NC4B=6,其中:＜。＜彳，

求有效遮擋區域高。4的最大值.

9.如圖所示，在河對岸有兩座垂直于地面的高塔C。和EF.張明在只有量角器（可以測量從測量人出發的兩

條射線的夾角）和直尺（可測量步行可抵達的兩點之間的直線距離）的條件下，為了計算塔CD的高度，他在點

A測得點D的仰角為30°,/CAB=75。，又選擇了相距100米的B點，測得ZABC=60.

（1）請你根據張明的測量數據求出塔CD高度；

（2）在完成（1）的任務后，張明測得/BAE=90,并且又選擇性地測量了兩個角的大小（設為。、夕）.據此,

他計算出了兩塔頂之間的距離.

請問：①張明又測量了哪兩個角？（寫出一種測量方案即可）

②他是如何用d6表示出D尸的？（寫出過程和結論）

10.落戶上海的某休閑度假區預計于2022年開工建設.如圖，擬在該度假園區入口處修建平面圖呈直角三角

形的迎賓區，=迎賓區的入口設置在點A處，出口在點2處，游客可從入口沿著觀景通道4C-8

到達出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到達出口（P為AABC內一點）.

（1）若APBC是以尸為直角頂點的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行

至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結果精確到1分鐘）

（2）園區計劃將APBC區域修建成室外游樂場，若NBPC造24,該如何設計使室外游樂場的面積最大，請說

明理由.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、填空題

1.（22-23高三上?上海寶山?期中）在△ABC中，角B為銳角，所對的邊長b=6,AABC的面積為15,外接

圓半徑R=5,則△ABC的周長為.

2.（24-25高三上?上海?期中）銳角三角形的三個內角的度數成等差數列，則其最大邊長與最小邊長比值的

取值范圍是

3.（23-24高三上.上海徐匯?期中）如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120。的扇形A02,小區的兩個出

入口設置在點A及點C處，且小區里有一條平行于3。的小路C￡＞；已知某人從C沿8走到。用了10分

鐘，從。沿￡%走到A用了6分鐘；若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長為

（精確到1米）

O

4.（23-24高三上?江蘇無錫?開學考試）如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度在鸛雀樓的正東方向找到

一座建筑物高約為37m,在地面上點C處三點共線）測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部河的

仰角分別為30°和45，在A處測得樓頂部M的仰角為15，則鸛雀樓的高度約為m.

5.（24-25高三上?上海?階段練習）某數學建模小組模擬“月距法”測量經度的一個步驟.如圖所示，點

均在同一個豎直平面內，點分別代表“月球“與“軒轅十四”（恒星名）.組員在地面C處測得

軒較十四的仰角/BCD=40,隨后向著兩“天體”方向前進4米至。處，測得兩“天體”的仰角分別為

ZADH=3Q、NBDH=75.若"月球"距離地衣的高度AH為3米,貝『‘軒轅十四"到"月球"的距離約為.

6.（24-25高三上?上海?開學考試）如圖，已知點C在點0的正北方向，點A、點8分別在點。的正西、正

49

東方向，且sin/ACB=,,sin（A-B）=y,AB=4,若/AC2為銳角，則OC=.

二、單選題

7.（22-23高三下?上海楊浦?開學考試）在VABC中，"sinA+cosA<l”是“VABC為鈍角三角形”的（）條

件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

JT

8.（22-23高三下?上海普陀?階段練習）已知銳角VABC,AB=2幣,C=-,則A3邊上的高的取值范圍為

（）

A.（0.3]B.（0,3）C.（2,3]D.（2,3）

9.（2020?上海松江?模擬預測）如圖，某景區欲在兩山頂A,C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知

山高A5=1（M,CD=3（M,在水平面上E處測得山頂A的仰角為30。，山頂C的仰角為60。，ABED=120°,

則兩山頂A、C之間的距離為

A.20（%利）B.VlO（fon）C.屈（km）D.3?（km）

10.（2023?上海普陀?模擬預測）己知點。為VABC的外心，且AB+BO-BCvCO.C4,則丫4屈為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

三、解答題

11.（22-23高三上?上海浦東新?期中）某公園有一塊等腰直角三角形的空地4BC,其中斜邊的長度為400

米，現欲在邊界BC上選擇一點尸，修建觀賞小徑PM,PN,其中Af,N分別在邊界AB,AC上，小徑

PN與邊界BC的夾角都是60。，區域尸M8和區域PNC內部種郁金香，區域AMPN內種植月季花.

A

B

PC

(1)探究：觀賞小徑PM,PN的長度之和是否為定值？請說明理由；

(2)為深度體驗觀賞，準備在月季花區域內修建小徑MN,當點尸在何處時，三條小徑(PM,PN,MN)的

長度之和最少？

12.(22-23高三下?上海?階段練習)雨天外出雖然有雨傘，時常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明

想通過數學建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小.為了簡化問題小明做出下列假設：

假設1：在網上查閱了人均身高和肩寬的數據后，小明把人假設為身高、肩寬分別為170cm、40cm的矩形“紙

片人”：

假設2：受風的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為60。的直線；

假設3：傘柄OT長為60cm,可繞矩形“紙片人”上點O旋轉；

假設4：傘面為被傘柄。7垂直平分的線段AB,AB=120cm.

以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕“頭和肩膀”.

(1)如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時，求其“褲腳”被淋濕(陰影)部分的面積(結果精確到(M