模板07機械能守恒定律（五大題型）

本節導航：

題型01機車啟動問題題型02動能定理在多過程和往復運動問題的應用

題型03機械能守恒定律的四類應用題型04機械能守恒定律在曲線運動中的運用

題型05功能關系在兩種模型的應用

題型01機車啟動問題

口曼理解禳

此運動問題具有收尾速度，常以生活中的具體場景為命題角度，綜合考查受力分析、運動分析、功和

功率、牛頓運動定律、動能定理等知識，學生們需掌握推理能力、綜合分析能力和應用數學知識解決物理

問題的能力。

一、必備基礎知識

1、以恒定功率啟動

汽車從靜止開始以額定功率起動，開始時由于汽車的速度很小，由公式尸=小知：牽引力P較大，因而

由牛頓第二定律知，汽車的加速度較大。隨著時間的推移，汽車的速度將不斷增大，牽引力F將減

小，加速度減小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽車的速度仍在不斷增大，牽引力將繼續減小，

直至汽車的牽引力尸和阻力/相平衡為止。汽車的牽引力尸和阻力/平衡時，加速度。=0,汽車的

速度達到最大值vma汽車的運動形式是做加速度越來越小的變加速直線運動，最終做勻速直線運動，其速

度-時間圖像如圖所示。

2、以恒定牽引力啟動

由于牽引力F恒定，根據牛頓第二定律F手mo,可知：加速度a恒定，汽車作勻加速直線運動，隨著

時間的推移，實際功率將不斷增大.由于汽車的實際功率不能超過其額定功率，汽車的勻加速直線運動只

能維持到其實際功率等于其額定功率時，此時汽車的速度達到它勻加速直線運動階段的最大速度vlm,其后

汽車只能以額定功率起動的方式進行再加速，其運動方式和第一種起動形式完全相同，即汽車繼續做加速

度越來越小的變加速直線運動，直至汽車進入勻速直線運動狀態，速度達到最終的最大速度Vm。汽車的起

動過程經歷了兩階段：一是勻加速直線運動階段，二是變加速直線運動階段，最終做勻速直線運動，其速

度-時間圖像如圖所示。

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

機車啟動的方式不同，運動的規律就不同，即其功率、速度、加速度、牽引力等物理量的變化規律不

同，分析圖像時應注意坐標軸的意義及圖像變化所描述的規律。

在機車功率尸=人中，尸是機車的牽引力而不是機車所受合力，正是基于此，牽引力與阻力平衡時達

到最大運行速度，即尸=后.。

恒定功率下的啟動過程一定不是勻加速過程，勻變速直線運動的公式不適用了，這種加速過程發動機

做的功可用計算，不能用W=F/計算（因為尸為變力）。

以恒定牽引力加速時的功率一定不恒定，這種加速過程發動機做的功常用卬=短計算，不能用

計算（因為功率尸是變化的）。

無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度。

機車以恒定加速度啟動的過程中，汽車的瞬時功率P尸額，勻加速過程結束時，功率最大（額定

功率），瞬時功率”等于額定功率P額，且滿足p尸產額=網1,“，但速度不是最大。

解決這一類問題關鍵是要理解額定功率、實際功率的關系，汽車在勻加速運動過程中，實際功率是變

化的，并不恒定。

汽車在勻加.速直線運動階段，汽車的瞬時速度丫產物+加（卬=0）；汽車做勻加速直線運動所能維持的時

間tl=Vlm/aO

19

從能的角度看：對于勻加速直線運動階一段，根據動能定理有w牽一萬1=萬加勺J（W牽、S1分別表示

勻加速運動階段牽引力所做的功、位移），變加速直線運動階段牽引力所做的功W'k尸額玄表示變加

速直線運動階段所經歷的時間），W牽'一?2=；機%2-；機勺/（$2為變加速直線運動階段的位移）。

3、解題方法

機車啟動問題中幾個物理量的求法：

在用公式P=FV計算機車的功率時，尸是指機車的牽引力而不是機車所受到的合力，也不是阻力。

恒定功率下的加速一定不是勻加速，這種加速過程發動機做的功可用計算，不能用卬=應計算

（因為產是變力）。

以恒定牽引力加速時的功率一定不恒定，這種加速過程發動機做的功常用卬=短計算，不能用W=Pr

計算（因為功率P是變化的）。

勻加速過程結束時機車的速度并不是最后的最大速度。因為此時Q尸阻，所以之后還要在功率不變的情

況下變加速一段時間才達到最后的最大速度Vm?

瞬時加速度的求法：據尸=9求出牽引力，則加速度。=與盧。

三個重要的關系式：

無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即,"（式中Enin為

'min'阻

最小牽引力，其值等于阻力尸阻）。

勻加速啟動持續時間的求法：牽引力尸=根4+6,勻加速的最后速度Mm=^月，時間/=野。勻力口，速

PP

過程結束時，功率最大（額定功率）,速度不是最大，即V=E<Vm=諄。

機車以恒定功率運行時，牽引力做的功W=P/。由動能定理：Pt-F^X=\E^.此式經常用于求解機車

以恒定功率啟動過程的位移大小。

@耀極運用

I（2024高三上?廣東中山?期中）一質量為%=O.5kg的電動玩具車，從傾角為6=30。的長直軌道底

端，由靜止開始沿軌道向上運動，4s末功率達到最大值，之后保持該功率不變繼續運動，運動的v-f圖象如

圖所示，其中段為曲線，其他部分為直線。已知玩具車運動過程中所受摩擦阻力恒為自身重力的0.3倍，

空氣阻力不計，取重力加速度g=10m/s2。

（1）求玩具車運動過程中的最大功率P；

（2）求玩具車在4s末時（圖中A點）的速度大小四。

（2024?遼寧朝陽?二模）如圖甲所示，一輛汽車空載時的質量為M,車廂中平放有質量為0.5M

的貨物。若路面對車的阻力大小總等于車對路面壓力大小的0.2倍，重力加速度為g,

sinll°?0.19,cosll0=0.98o

（1）當汽車以功率P在平直路面上勻速行駛時，求汽車速度是多大?

（2）保持功率不變，汽車開上一個傾角為11。的斜坡，若剛駛上斜坡時的速度大小同第（1）問，求此時車

的加速度和車廂對貨物的摩擦力？

（3）汽車在斜坡上經過時間加又達到速度匕勻速行駛，在乙圖中試畫出汽車上坡加過程中的運動圖像。

題型02動能定理在多過程和往復運動問題的應用

④我幽族

1、有些物體運動過程可以分為幾個不同階段，如直線與曲線運動組合、含有彈簧的物體多過程運動等，

這類問題一般不涉及求時間，這樣的情景的題目選用動能定理可以快捷有效的求解。

2、有些物體的運動過程具有重復性、往返性，求解這類問題時若運用牛頓運動定律及運動學公式將非

常繁瑣，甚至無法解出。而動能定理只關心物體的初、末狀態而不計運動過程的細節，所以用動能定理分

析這類問題可迎刃而解。

一、必備基礎知識

1、動能定理

內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。

2

表達式：W=^inv2-2>nvio

適用條件：動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動；既適用于恒力做功，也適用于變力做功；

力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以不同時作用。

優先應用動能定理的問題：①不涉及加速度、時間的問題；②有多個物理過程且不需要研究整個過程

中的中間狀態的問題；③變力做功的問題；④含有只/、加、。、W、瓦等物理量的力學問題。

2、多過程問題

很多動力學問題中涉及研究對象有兩個或多個連續的運動過程，在物體不同的運動階段，物體的運動

情況和受力情況都發生了變化，我們把這類問題稱為多過程問題。多運動組合問題主要是指直線運動、平

拋運動和豎直面內圓周運動的組合問題。

由于多過程問題的受力情況、運動情況比較復雜，從動力學的角度分析多過程問題往往比較復雜，但

是，用動能定理分析問題，是從總體上把握其運動狀態的變化，并不需要從細節上了解。因此，動能定理

的優越性就明顯地表現出來了，分析力的作用是看力做的功，也只需把所有的力做的功累加起來即可。

3、多過程問題解題測量和技巧

策略：①應用牛頓運動定律和動能定理解決多過程問題。若問題涉及時間、加速度、力等，一般要用

牛頓運動定律與運動學公式結合求解；若問題只涉及位移、速度、力等一般可用動能定理求解，用動能定

理求解一般比用牛頓運動定律求解簡單。

②用動力學和能量觀點解決多過程問題。若運動過程無摩擦等機-械能向其它形式能轉化的現象，可考

慮用機械能守恒；若運動過程涉及摩擦生熱等現象可用功能關系列能量守恒關系式。

4、往復運動問題

有些問題中物體的運動過程具有重復性、往返性，而描述運動的物理量多數是變化的，且重復次數又

往往是無限的或者很難確定。求解這類問題時若運用牛頓運動定律及運動學公式將非常繁瑣，甚至無法解

出。而動能定理只關心物體的初、末狀態而不計運動過程的細節，所以用動能定理分析這類問題可迎刃而

解。

二、解題模板

1、解題思路

解題的關鍵：①抓住物理情景中出現的運動狀態和運動過程,觀察每一個過程的特征和尋找過程之間

的聯系是求解多過程問題的兩個關鍵，將物理過程分解成幾個簡單子過程。②兩個相鄰過程連接點的速度

是聯系兩過程的紐帶，也是解題的關鍵.很多情況下平拋運動的末速度的方向是解題的重要突破口。

2、注意問題

對于多個物理過程要仔細分析，將復雜的過程分割成一個個子過程，分別對每個過程進行分析，得出

每個過程遵循的規律，當每個過程都可以運用動能定理時，可以選擇分段或全程應用動能定理。物體所受

的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功還是負功，然后再正確寫出總功。

全程應用動能定理解題求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據不同的情況分別對待，弄清楚

物體所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功還是負功，然后再正確寫出總功。

不適用動能定理求解全過程的情況：若題目需要求某一中間物理量，應分階段應用動能定理；物體在

多個運動過程中，受到的彈力、摩擦力等力若發生了變化，力在各個過程中做功情況也不同，不宜全過程

應用動能定理，可以研究其中一個或幾個分過程，結合動能定理，各個擊破。

對于物體運動過程中有往復運動的情況，物體所受的滑動摩擦力、空氣阻力等大小不變，方向發生變

化，但在每一段上這類力均做負功，而且這類力所做的功等于力和路程的乘積，與位移無關。若題目中涉

及求解物體運動的路程或位置的變化，可利用動能定理求出摩擦力做的功，然后進一步確定物體運動的路

程或位置的變化。

3、解題方法

利用動能定理求解多過程問題的方法：①弄清物體的運動由哪些過程組成；②分析每個過程中物體的

受力情況；③各個力做功有何特點，對動能的變化有無影響；④從總體上把握全過程，表達出總功，找出

初、末狀態的動能；⑤對所研究的全過程運用動能定理列方程。

應用動能定理求解往復運動問題的方法：要確定物體的初狀態和最終狀態，如重力做功與物體運動路

徑無關，可用=直接求解；滑動摩擦力做功與物體運動路徑有關，其功的大小可用Wf=—4s求解，

其中S為物體滑行的路程。

第掇板運用

|（2024?廣東江門?模擬預測）滑繩索是兒童公園一款游樂設施，可簡化成如圖所示的模型：傾角

9=37。的斜滑索A3和光滑圓弧滑道在8點相切連接，圓弧末端C點切線水平，BC高度和長度忽略不

計。兒童手握滑環，從A沿傾斜向下的繩索48呼嘯而下，直到到達繩索C端，滑環被卡住，兒童松手做平

拋運動（能量不損失），落入地面上長度L=6m的沙坑JK。繩索A端離地面高度為11m,繩索全長為4=10m,

忽略兒童的高度，sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2

⑴繩索C端與沙坑J處有一段水平距離，若兒童以速度V=2mzs平拋出去剛好落入J處，求該水平距離S;

(2)若兒童從靜止加速下滑，在(1)間的安全距離基礎上，求能使兒童安全掉入沙坑的繩索動摩擦系數的范

圍。

](2024?甘肅平涼?三模)如圖所示，固定在豎直面內的光滑圓弧軌道PQ在。點與水平面相切，

其圓心為。、半徑為R,圓弧對應的圓心角6=53。。一可視為質點的質量為:”的小物塊從S點以水平初速

度%)拋出，恰好在P點沿切線方向進入圓弧軌道，最后滑上水平面在C點停下來。已知小物塊與水平面

間的動摩擦因數為〃，重力加速度為g,不計空氣阻力，sin53°=0.8,求：

(1)5、P兩點間的豎直高度；

(2)Q、C兩點間的距離。

P7

7//

Q

題型03機械能守恒定律的四類應用

的敢型解篌

這類型的題目是機械能守恒定律的應用，主要包括單物體機械能守恒問題、多物體機械能守恒問題、

含彈簧類機械能守恒問題、用機械能守恒定律解決非質點問題，解題時要正確選用守恒的觀點。

◎梗他的毫

一、必備基礎知識

1、機械能守恒定律

內容：在只有重力或彈力這類力做功的情況下，物體系統的動能與勢能相互轉化，但機械能的總量保

持不變。

表達式：￡k2+Ep2=Eki+Epio應用機械能守恒定律解決問題只需考慮運動的初狀態和末狀態，不必考

慮兩個狀態之間過程的細節，即可以簡化計算。

守恒條件：受力（物體系統只受重力或彈力作用）；做功（物體系統存在其他力作用，但其他力不做

功，只有重力或彈力做功）；轉化（相互作用的物體組成的系統只有動能和勢能的相互轉化，無其他形式

能量的轉化）。“只有重力或彈力做功”并非“只受重力或彈力作用”，也不是合力的功等于零，更不是

某個物體所受的合力等于零。

只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械能守恒；除重力外，物體還受其他

力，但其他力不做功或做功代數和為零；除重力外，只有系統內的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢

能減少量，那么系統的機械能守恒。單獨一個物體機械能不守恒，例如與彈簧相連的小球下擺的過程機械

能減少。

機械能守恒定律的三種觀點:

觀點表達式物理意義注意事項

反1+41=耳2系統初狀態的機械能等于要選取零勢能面，在整.個分析過

守恒

+穌2末狀態的機械能。程中必須選取同一個零勢能面。

系統減少（或增加）的重

不需要選取零勢能面，要明確勢

轉化AEk=-AEP力勢能等于系統增加（或

能的增加量或減少量。

減少）的動能。

若系統由/、B兩部分組不需要選取零勢能面，/部分機械

成，當系統的機械能守恒能的增加量等于A部分末狀態的

時，則月部分機械能的增機械能減去初狀態的機械能，而B

轉移AEA減=增

加量等于8部分機械能的部分機械能的減少量等于B部分

減少量。初狀態的機械能減去末狀態的機

械能。

2、機械能守恒定律的判斷方法

利用定義進行判斷分析動能和勢能的和是否發生變化。

利用做功進行判斷系統內只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功，或有其

他力做功，但其他力做功的代數和為零，則機械能守恒。

利用能量轉化進行若系統內物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉

判斷化，沒有其他形式的能（如沒有內能增加）的轉化，則系統

的機械能守恒。

3、多物體機械能守恒問題

桿連物體系統；繩連物體系統等。

解題技巧：

首先分析多個物體組成的系統所受的外力是否只有重力或彈力做功，內力.是否造成了機械能與其他形

式能的轉化，從而判斷系統機械能是否守恒。

若系統機械能守恒，則機械能從一個物體轉移到另一個物體，AEI=—AE2,一個物體機械能增加，則

一定有另一個物體機械能減少。

4、含彈簧類機械能守恒問題

問題描述：對兩個（或兩個以上）物體與彈簧組成的系統在相互作用的過程中，在能量方面，由于彈

簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，

系統機械能守恒。若還有其他外力和內力做功，這些力做功之和等于系統機械能改變量。做功之和為正，

系統總機械能增加，反之減少。在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最

短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。如系統每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈

簧為自然長度時，系統內彈簧某一端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）。

如果系統內每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自然長度時，系統內彈簧某一端的物體具

有最大速度（如繃緊的彈簧在光一滑桌面上由靜止釋放）。

由于彈簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的

內力不做功，系統機械能守恒。

彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。

5、非質點問題

定義：指的是“鏈條”、“纜繩”、“液柱”等質量不可忽略、柔軟的物體或液體。

在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將

發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。

不計摩擦和其他損耗，物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一

般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規則物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重

力勢能的變化列式求解。

二、解題模板

1、解題思路

非質點機械

能守恒問題

2、注意問題

多物體機械能守恒問題的注意事項：①注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系；②

列機械能守恒方程時，可選用AEk=~AEP的形式。

含彈簧類機械能守恒問題的注意事項：①對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的

機械能是否守恒；②注意尋找用繩或桿或彈簧相連接的物體間的速度關系和位移關系；③列機械能守恒方

程時，一般選用△&=—&穌或△&=一△&的形式。

分析非質點系統重力勢能變化時的注意事項：①注意等效部分的質量關系：根據物體的相對位置關系

將物體分成若干段，在應用相關規律求解時要注意對應各部分的質量關系；②注意物體的位置變化：解決

涉及重力勢能變化的問題時，物體的位置變化要以重心位置變化為準。

3、解題方法

應用類型解題方法

單個物體明確研究對象；分析研究對象的受力情況和運動情況，分析清楚

的機械能各力做功的情況；選取合適的機械能守恒定律的觀點列表達式；

守恒問題對結果進行討論和說明。

多個物體分析多個物體組成的系統所受的外力是否只有重力或彈力做功，

的機械能內力?是否造成了機械能與其他形式能的轉化，從而判斷系統機械

守恒問題能是否守恒。對多個物體組成的系統，一般用“轉化法”和“轉

移法”來判斷其機械能是否守恒。注意尋找用繩或桿相連接的物

體間的速度關系和位移關系。

含彈簧的彈簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變化，若系統

機械能守所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒。

恒問題彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物

體具有相同的速度，彈性勢能最大。

非質點的像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其

機械能守重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來

恒問題處理，雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體

機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均

勻的規則并確定物體各部分的重心位置，然后根據初末狀態物體

重力勢能的變化列式進行求解。

第掇極運用

］（2024?遼寧沈陽?二模）如圖，豎直平面內固定兩根足夠長的細桿。、L2,兩桿不接觸，且兩桿

間的距離忽略不計.兩個小球。、b（視為質點）質量均為加，。球套在豎直桿人上，b球套在水平桿右上,

a、6通過較鏈用長度為/的剛性輕桿L連接，將a球從圖示位置（輕桿與4桿夾角為45。）由靜止釋放，不

計一切摩擦，已知重力加速度為g.在此后的運動過程中，求:

（l）b球的速度為零時，a球的加速度大小;

⑵b球的最大速度%max為多大；

（3區桿與豎直方向夾角。的余弦值為多大時，。球的速度最大，最大速度%^為多大。

（2024?江蘇鹽城?模擬預測）如圖所示，豎直平面內固定一半徑為R的光滑圓環，質量分別為

4""3機的A、B兩小球套在圓環上，用長度為揚?的輕桿連接。開始時，對小球A施加豎直向上的外力,

使A、B均處于靜止狀態，且球A恰好與圓心。等高；然后撤去外力，A、B沿圓環運動。已知重力加速度

為g,取光滑圓環最低處為零勢面。求:

（1）外力的大小a

（2）B球重力勢能的最大值石。.；

（3）A球速度最大時，其加速度的大小0。

題型04機械能守恒定律在曲線運動中的運用

口敦理解禳

高考常考的類型之一，常于拋體運動、圓周運動等結合在一起，過程較復雜，尋找正確的突破口是解

題的關鍵，進行正確的受力分析和運動分析題目就會迎刃而解。

一、必備基礎知識

1、問題類型

①機械能守恒與平拋運動；②機械能守恒與斜拋運動；③機械能守恒與圓周運動；④機械能守恒與曲

線運動的綜合問題。

2、常見守恒類型

單個物體在豎直光滑圓軌道上做圓周運動時，因只有重力做功，機械能守恒。

單個物體做平拋運動、斜拋運動時，因只有重力做功，也常用機械能守恒定律列式求解。

3、機械能守恒定律與動能定理的對比

相同點：①兩者研究問題的角度相同，均是從做功和能量轉化的角度來研究物體在力的作用下運動狀

態的改變；②兩者的方程均為標量方程，求解方便，折射它們的優點，同時也只能求出相應的標量，不能

求解矢量的方向和時間，說明其具有局限性；③兩者均需要選擇適當的初、末狀態。

不同點：①研究對象不同，動能定理研究單個物體或可視為單個物體的系統，機械能守恒定律研究相

互作用的物體系統（所講的單個物體其實是簡單說法，地球一般不說出來）；②適用條件不同，動能定理

的成立是沒有條件限制的，它允許任何力做功，機械能守恒定律是由條件的，就是只有重力和系統內的彈

力做功。能用機械能守恒定律求解的問題也可用動能定理求解，反之則不一定；③著眼點不同，動能定理

著眼于合力的功及初、末狀態動能的變化，機械能守恒定律著眼于系統初、末狀態機械能的變化。

4、繩子模型和桿模型

模型繩子模型桿模型

:/繩

圖例

、、

'、一

尸彈

卜、

尸彈

尸彈

mgmg

mg

受力分析mgmg

00

0lo

尸彈痘[下或等于一零0

尸彈向下、等于零或向上

V2V2

力學方程mg+F彈=而反mg±F彈=而反

小球恰好通過軌道最高點、恰好能做完由小球恰能運動到最高點得/臨=0。

過最高點整的圓周運動，隱含著小球運動到最高

的臨界條點時繩或軌道對小球的作用力恰好為

件2

零。由儂=紜得卜小=正？

若通過最高點時v>y[gr,則繩、軌道2

當即而"，尺=0此時桿或

對球產生一個向下的彈力F,由F+mg

2

討論分析V管道對小球恰好沒有作用力；

=紜可得尸隨P的增大而增大；

當0〈區]1時，球受到向上的支持力，

不能過最高點時v<y[gr,在到達最高

點前小球已經脫離了圓軌道。V2

由儂一人=”可得A隨r的增大而減

小；

當力為寸，球受到向下的拉力，

2

由A+儂=/可得A隨y的增大而增

r

大；

當p=0時，R=mg,A為支持力，沿半

徑背離圓心。

二、解題模板

1、解題思路

根據題意分析物

體的運動過程

2、注意問題

圓周運動中小球的不會脫離軌道包含兩中情景：①小球沒有通過最高點，但沒有脫離圓軌道，這種情

況下小球最高上升到與圓心等高位置處然后原路返回；②小球通過最高點并完成圓周運動，這種情況下最

高點的速度要滿足v＞后。

3、解題方法

①明確研究物體，明確是題目中涉及哪些曲線運動模型；

②對物體進行受力分析和運動分析，明確各力的做功情況，判斷機械能是否守恒；

③根據機械能守恒定律，選用合適的守恒觀點列方程；

④根據題意綜合求解；

⑤對結果進行分析和討論。

◎篌極運用

］（2024?全國?模擬預測）如圖甲所示，高為3L的光滑水平桌面上有一輕質彈簧，其一端固定在

墻上，用質量為機的小球壓縮彈簧的另一端，使彈簧具有彈性勢能。小球被釋放后，在彈簧作用下從靜止

開始在桌面上運動，與彈簧分離后，從桌面右端水平飛出。距離桌面右端水平距離為2L處，有豎直放置的、

下端固定在水平地面上的、高為2L的探測屏A3。現把彈簧壓縮到不同長度，使小球飛出。不計空氣阻力，

小球可視為質點，小球落地后立即停止運動，重力加速度為g。

甲乙

⑴為使小球能打在探測屏上，求開始釋放小球時彈簧的彈性勢能Ep需滿足的條件；

（2）現將探測屏由圖甲所示位置水平向右移動距離d（未知），如圖乙所示，當小球打在A點的動能等于小

球打在圖甲中B點的動能時，求d的值。

］（2024?安徽?模擬預測）如圖所示，一個質量為〃?，可以看作為質點的小球，從半徑為R的四分

之一光滑固定圓弧軌道與圓心等高的地方由靜止釋放，四分之一圓弧軌道最低點M的切線沿水平方向，M

點的右側區域存在一寬度為d（d未知）的條形區域，小球在此區域受到一水平向左，大小恒為廠=；咫的

外力，重力加速度為g,M點距離地面足夠高。試求：

（1）小球運動到最低點M時，小球對軌道的壓力；

⑵寬度為［等于多大時，小球離開此條形區域右側時，速度最小，并求出最小速度大小。

題型05功能關系在兩種模型的應用

◎散型解裱

傳送帶模型和板塊模型是高中物理極其重要的兩個模型，該類題型考查的方向固定，一是受力分析和

運動分析，一是功能分析。求解時要注意對物體動態分析和終態推斷，用運動、力和能量的觀點來進行求

解，得到正確的結論。

一、必備基礎知識

1、功能關系

功是能量轉化的量度，即做了多少功就有多少能量發生了轉化。做功的過程一定伴隨著能量的轉化，

而且能量的轉化必須通過做功來實現。

2、能量守恒定律

內容：能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉化為另一種形式，或者從一個物

體轉移到另?一個物體，在轉化和轉移的過程中，能量的總量保持不變。

表達式：①￡初=￡木，初狀態各種能量的總和等于末狀態各種能量的總和。②減,增加的那些

能量的增加量等于減少的那些能量的減少量。

適用范圍：能量守恒定律是貫穿物理學的基本規律，是各種自然現象中普遍適應的一條規律。

3、傳送帶模型

模型條件：①傳送帶勻速或加速運動；②物體以初速度w滑上傳送帶或輕輕放于傳送帶上，物體與傳

送帶間有摩擦力；③物體與傳送帶之間有相對滑動。

模型特點：①若物體輕輕放在勻速運動的傳送帶上，物體一定和傳送帶之間產生相對滑動，物體一定

受到沿傳送帶前進方向的摩擦力；②若物體靜止在傳送帶上，與傳送帶一起由靜止開始加速，如果動摩擦

因數較大，則物體隨傳送帶一起加速；如果動摩擦因數較小，則物體將跟不上傳送帶的運動，相對傳送帶

向后滑動；③若物體與水平傳送帶一起勻速運動，則物體與傳送帶之間沒有摩擦力；若傳送帶是傾斜的，

則物體受到沿傳送帶向上的靜摩擦力作用。

對功死和。的理解：①傳送帶做的功為死=母傳；②產生的內能Q=Kx相對，其中x相對為相互摩擦

的物體與傳送帶間的相對位移。

功能關系分析：Wf=A￡k+A￡p+2o

4、板塊模型

模型特點：滑塊放置于長木板上，滑塊和木板均相對地面或者斜面運動，且滑塊和木板在摩擦力的作

用下發生相對滑動。

5、摩擦力做功與能量的關系

靜摩擦力做功的特點：①靜摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功；②相互作用的一對靜

摩擦力做功的代數和總等于零；③靜摩擦力做功時，只有機械能的相互轉移，不會轉化為內能。

滑動摩擦力做功的特點：①滑動摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功；②相互間存在滑動摩

擦力的系統內，一對滑動摩擦力做功將產生兩種可能效果（機械能全部轉化為內能；有一部分機械能在相

互摩擦的物體間轉移，另外一部分轉化為內能）。

摩擦生熱的計算：。=居尤相對，其中X相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移。

靜摩擦力動摩擦力

只有能量的轉移，而沒

能量的轉化既有能量的轉移，又有能量的轉化

不有能量的轉化

同一對滑動摩擦力所做功的代數和

一對摩擦一對靜摩擦力所做功

點不為零，總功w=—6/相對，即摩

力的總功的代數總和等于零

擦時產生的熱量

相

同做功的正、負兩種摩擦力對物體可以做正功、負功，還可以不做功

點

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

傳送帶模型：判斷摩擦力的有無和方向時，以傳送帶為參考系；臨界狀態一般發生在物體速度和傳送

帶速度相同的時刻；應用運動學公式計算相關物理量時，應以地面為參考系。

板塊模型：求解對地位移可優先考慮應用動能定理；求解相對位移可優先考慮應用能量守恒定律；地

面光滑時，求速度可優先考慮應用動量守恒定律。

3、解題方法

傳送帶模型：

動力學分析：首先要正確分析物體的運動過程，做好受力分析，然后利用運動學公式結合牛頓第二定

律求物體及傳送帶在相應時間內的位移，找出物體和傳送帶之間的位移關系。

能量分析：求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動而產生的熱量、因放上物體而使電

動機多消耗的電能等，常依據功能關系或能量守恒定律求解。

板塊模型：

動力學分析：分別對滑塊和木板進行受力分析，根據牛頓第二定律求出各自的加速度；從放上滑塊到

二者速度相等，所用時間相等，由/=乎=竽，可求出共同速度v和所用時間3然后由位移公式可分別求

出二者的位移。

功和能分析：對滑塊和木板分別運用動能定理，或者對系統運用能量守恒定律。如圖所示，要注意區

分三個位移：①求摩擦力對滑塊做功時用滑塊對地的位移X渭；②求摩擦力對木板做功時用木板對地的位移

尤板；③求摩擦生熱時用相對位移Ar。

?模板運用

］（2024?河北?模擬預測）如圖所示，質量為1kg的長木板B放在水平地面上，與地面間的動摩擦

因數為0.1,質量為1kg的小滑塊A放在長木板B的最左端。某時刻給小滑塊A施加一個水平向右的恒定拉

力F,A、B向右運動的加速度分別為4m/s2和2m/s2,已知木板B長度為4m,g取lOm/sz,求：

優;龍___

（1）水平拉力廠的大小；

（2）A到達B右端的時間以及此過程拉力廠所做的功；

（3）A到達B右端的過程中，系統因摩擦產生的熱量。

|（2024?安徽?模擬預測）如圖所示，一條水平傳送帶的左、右兩端均與水平地面平滑連接，左側

地面粗糙，右側地面光滑，傳送帶左、右兩軸距離L=2m,傳送帶以v=3m/s的速度順時針方向運動。質

量均為7%=1kg的A、B兩物塊中間有一根壓縮的輕彈簧（彈簧與兩物塊沒有連接）,且彈簧的壓縮量Ar=10cm,

兩物塊與左側地面、傳送帶間的動摩擦因數均為〃=02,右側地面排放著3個質量均為"=2kg的彈性小

球。現由靜止同時釋放A、B兩物塊，當彈簧恢復原長時B物塊恰好滑到傳送帶的左端，緊接著物塊B經過

7=0.75s第一次運動到傳送帶右端，g取lOm/s?。試求：

?iwwi?OOO

，L.

⑴物塊B剛離開輕彈簧的速度大小匕；

⑵輕彈簧儲存的彈性勢能綜有多大；

⑶整個過程摩擦產生的內能。多大（計算結果保留3位有效數字）。

◎一極演秣

1.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖甲所示，在f=0時刻，一質量為1kg、可視為質點的物塊沖上一足夠長、

傾角為37。的傳送帶底端，同時傳送帶順時針勻減速轉動直至停止。取平行于傳送帶向上為正方向，物塊前

1.5s內的速度-時間圖像如圖乙所示，不計空氣阻力，重力加速度g取lOm/s?,sin37°=0.6。則物體在傳送

帶上向上運動到最高點的過程中。求：

⑴傳送帶與物塊間的動摩擦因數〃;

⑵物體與傳送帶共速前物塊的位移玉的大小;

⑶因摩擦產生的熱量大小。。

2.(2024?全國?模擬預測)如圖所示，質量為機的小物塊A鎖定在傾角6=30。傾斜軌道上，A距傾斜軌道

底端的距離為s。質量2根的滑板B靜止在水平面上，其左上端緊靠傾斜軌道的末端。現解除A的鎖定

使其由靜止開始下滑，最后A恰好停在滑板B的右端。A與傾斜軌道和B的動摩擦因數均為〃，B與水平面

的動摩擦因數為〃2,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g,假設A從軌道末端滑上B,速度大小

不變，僅方向改變。求：

(1)A在傾斜軌道上運動的時間和剛滑上B時的速度大小；

⑵滑板B的長度；

⑶最終，整個系統因摩擦產生的熱量.

3.(2024?江蘇蘇州?三模)如圖所示，一半徑為R的光滑硬質;圓環固定在豎直平面內與光滑足夠長的水

平桿相連，在圓環最高點的豎直切線和最低點的水平切線的交點處固定一光滑輕質小滑輪C,質量為機的

小球A穿在環上，且可以自由滑動，小球A通過足夠長的不可伸長細線連接另一質量也為機的小球B,細

線搭在滑輪上，現將小球A從環上最高點由靜止釋放，重力加速度為g,不計空氣阻力，求：

(1)小球A到達。點時細線中的張力；

(2)小球A到達。點時小球B的速度；

(3)小球A運動一個周期小球B的路程。

E

4.（2024?黑龍江?模擬預測）如圖所示，傾角。=30。的光滑斜面固定在水平面上，輕彈簧一端固定在斜面

底端的擋板尸上，另一端與物塊B相連，不可伸長的細線一端固定在斜面上的。點，另一端繞過輕滑輪。和

定滑輪R連接物塊A,物塊B與輕滑輪。相連。已知物塊A、B的質量分別為〃?A=lkg、mB=2kg,彈簧的

勁度系數々=100N/m,彈簧的彈性勢能耳=；依2（x為彈簧的形變量），重力加速度g=10m/s2。開始時

用手托著物塊A使其