專(zhuān)題01集合和常用邏輯用語(yǔ)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理?方法技巧...........................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................5

05核心精講題型突破...........................................................12

題型一：集合的基本概念12

題型二：集合間的基本關(guān)系15

題型三：集合的運(yùn)算18

題型四：充分條件與必要條件21

題型五：全稱(chēng)量詞與存在量詞25

重難點(diǎn)突破：以集合為載體的創(chuàng)新題28

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以一道選擇題為主，分

值5分.近年來(lái)試題加強(qiáng)了對(duì)集合計(jì)算和化簡(jiǎn)能力的考查，并向無(wú)限集方向發(fā)展，考查學(xué)生的抽象思維能

力，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練.

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13題，4分

本要素

預(yù)測(cè)2025年高考，多

以小題形式出現(xiàn)，也有可

2024年北京卷第1題，5分

能會(huì)將其滲透在解答題的

年甲卷（文）第題，分

202425表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立.具

熟練掌握集合的

2024年天津卷第1題，5分體估計(jì)為：

集合的運(yùn)算并'交、補(bǔ)集運(yùn)算

2023年I卷第1題，5分（1）以選擇題或填空

方法

2022年I卷第1題，5分題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的

綜合推理能力.

2021年I卷第1題，5分

（）熱點(diǎn)是集合間的

2024年北京卷第5題，5分2

基本運(yùn)算、數(shù)軸法的應(yīng)用

2024年甲卷（理）第9題，5分

理解充分必要，掌和體現(xiàn)集合的語(yǔ)言工具作

2024年天津卷第2題，5分

充分條件與必要條件握邏輯判斷，熟練

用.

2023年天津卷第2題，5分

應(yīng)用題解

2022年天津卷第2題，5分

2021年甲卷第7題，5分

㈤3

1、集合中的邏輯關(guān)系(備注：全集為/)

(1)交集的運(yùn)算性質(zhì).

ACtB=BC\A,XnBAC\BQB,AC\I=A,AdA=A,XCl0=0.

(2)并集的運(yùn)算性質(zhì).

4UB=BU4XexUS,BU4UB,AU1=1,AV)A=A,XU0=X.

(3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì).

C/(CM)=X,C/0=/,C//=0,(CM)nX=0,Au(CM)Z.

補(bǔ)充性質(zhì)：AClB=A^AUB=BoAUBoQBUC/4oAClC/B=0.

(4)結(jié)合律與分配律.

結(jié)合律：4U(BUC)=Q4UB)UC,4n(BClC)=G4ClB)ClC.

分配律：xn(BuC)=(Xn5)u(,4nC),xu(BnC)=(XuB)n(4uC).

(5)反演律(德摩根定律).

GQ4ns)=(CM)U(GB),C/(4uB)=(CM)n(JB).

即“交的補(bǔ)=補(bǔ)的并”，“并的補(bǔ)=補(bǔ)的交

2、由n(nGN*)個(gè)元素組成的集合4的子集個(gè)數(shù)

4的子集有2n個(gè)，非空子集有加―1個(gè)，真子集有小―1個(gè)，非空真子集有2n—2個(gè).

3、容斥原理

Card^AUB)=Card(力)+Card(B)—Card(A05).

4、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)4={x|p(x)},B={x|q(x)].

(1)若4UB,則p是q的充分條件(p=q),q是p的必要條件；若4家B,貝！Ip是q的充分不必要條件，q

是p的必要不充分條件，即p今q且q分p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若BU4貝Up是q的必要條件，q是p的充分條件;

(3)若H=B,貝3與q互為充要條件.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

1.(2024年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)已知命題0：Vxe/?,|x+l|>l；命題q：Bx>0,x3=x,貝U

()

A.〃和q都是真命題B.-ip和g都是真命題

C.p和->q都是真命題D.-ip和->q都是真命題

【答案】B

【解析】對(duì)于P而言，取久=一1,則有|尤+1|=0<1,故p是假命題，->p是真命題，

對(duì)于q而言，取％=1,則有/=13=1=居故q是真命題，rq是假命題，

綜上，->p和q都是真命題.

故選：B.

2.(2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題)定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取Pi，P2,3e。，

存在不全為0的實(shí)數(shù)人也以3,使得％加1+%2謳+%3鬲=3.已知(1,0,0)e。，則(0,0,1)的充分條件

是()

A.(0,0,0)enB.(-1,0,0)en

c.(o,i,o)enD.(o,o,-1)en

【答案】c

【解析】由題意知這三個(gè)向量加i，尾，鬲共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對(duì)A,由空間直角坐標(biāo)系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)(一1,0,0),(1,0,0)CQ無(wú)法推出

(0,0,1)4d故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由空間直角坐標(biāo)系易知(一1。0),(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)(0,0,0),(1,0,0)6。無(wú)法推出

(0,0,1)iQ.故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則由(1,0,0),(0,1,0)ec能推出(o,o,i)tc,

對(duì)D,由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,—1)三個(gè)向量共面，

則當(dāng)(0,0,—1)(1,0,0)e。無(wú)法推出(0,0,1)c。，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)a,石是向量,則“Q+1)(4—刃)=0"是咆=—石或2=例的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因?yàn)镼+B)?(豆一書(shū))=32=0,可得五2=1,即畫(huà)=同,

可知(1+b)-(a—b)=0等價(jià)于同=|b|,

若匯=辦或a=—可得向=|磯HP(a+d)?(a—&)=0,可知必要性成立；

^(a+h)-(a—b)=0,即|磯=|同,無(wú)法得出五=1或3=—1,

例如五=(1,0)3=(0,1),滿足同=|山，但2力刃且2力一反可知充分性不成立；

綜上所述，“G+b)-(a-b)=0”是唱中君且34—薩的必要不充分條件.

故選：B.

4.(2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)向量五=(x+1,尤)方=Q,2),貝U()

A.“x=—3”是傳1針的必要條件B.“久=一3”是傳〃針的必要條件

C.“x=0”是唱1砂的充分條件D."x=—1+8”是*//"的充分條件

【答案】C

【解析】對(duì)A,當(dāng)五_L*時(shí),則為不=0,

所以x?(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)％=0時(shí)，a=(1,0),^=(0,2),故五?3=0,

所以五，丸即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)0萬(wàn)時(shí)，貝i]2(x+l)=/,解得x=l±g,即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=—1+遍時(shí)，不滿足2(x+l)=%2,所以勿加不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.(2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知集合4={1,2,3,4,5,9},8={刈石64},則以(4cB)=

()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】因?yàn)?={1,2,3,4,5,9},3={利近64},所以8={1,4,9,16,25,81},

則4nB={l,4,9},CA(AnB)={2,3,5)

故選：D

6.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知a,b€R,則七3=43”是“3。=3匕”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，。3=不和3。=3b都當(dāng)且僅當(dāng)。=從所以二者互為充要條件.

故選：C.

7.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知等差數(shù)列{總的公差為等，集合S={cosan|neN*},若

S—{a,b},則ab=()

A.-1B.C.0D.1

【答案】B

【解析】依題意,等差數(shù)列5}中，an=ai+(n-l)-y=yn+(ai-y),

顯然函數(shù)丫=85[爭(zhēng)1+(。1一御的周期為3,而716N*,即cosan最多3個(gè)不同取值，又{cose1nlneN*

}={a力},

貝U在cosai,cosa2,cosa3中，cosa^=cosa2豐cosa?或cosa】Wcosa2=cosa?或COSQLCOS%Hcosa2

于是有COS0=COS(0+爭(zhēng)或COS。=COS(0+y),

即有9+(9+g)=2kji,keZ,解得。=左兀一款GZ；

或者e+(0+y)=2kn,kEZ,解得8=kn-pfcGZ；

所以keZ,ab=cos(/c兀一今cos[(/c兀-今+y]=—cos(fc7r—^)cosfc;i=—COS2/CKCOS^=-5或ab=cos(々兀一

y)COSfc7l=—

故選：B

x

8.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)若孫力0,貝『％+y=0"是v?+7=—2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】解法一：

因?yàn)?ywo,且]+?=—2,

所以％2+y2=—2%y,即％2+y2+2%y=0,即(％+y)2=0,所以％+y=0.

所以“X+y=0"是十+9=—2”的充要條件.

解法二：

充分性：因?yàn)?yHO,且無(wú)+y=0,所以％=—y,

所以充分性成立;

必要性：因?yàn)閤y#O,且1+?=—2,

所以%2+y2=—2盯，即久2+y2+2盯=0,即(x+y)2=o,所以x+y=0.

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是5+?=—2”的充要條件.

解法三:

充分性：因?yàn)?ywO,且久+y=0,

gr-IZ_/+y2_%2+丫2+2久丫—2久丫___(%+丫)2_2町___2盯__

加'yx~xyxyxy~xy~，

所以充分性成立;

必要性：因?yàn)閤y力0,且]+?=—2,

,yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy(x+y)2

所以亍+1=[T=-----石-----=—石—=fT—2n=-2n,

所以(x：；)2=。所以(x+y)2=0,所以x+y=0,

所以必要性成立.

Xv

所以“x+y=0"是1+?=—2”的充要條件.

故選：C

9.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則MUCu

N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由題意可得G/N={2,4,8},則MUQN={024,6,8}.

故選：A.

10.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)甲：sin2(z+sin2/?=1,乙：sincr+cos/?=0,貝！|()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)si/a+sin2￡=1時(shí)，例如a==0但sina+cos0K0,

即sin2a+sin2s=1推不出sina+cos/?=0；

當(dāng)sina+cos0=0時(shí)，sin2a+sin2/?=(—cos^)2+sin2s=1,

即sina+cos8=0能推出sin2a+sin?。=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

11.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)全集U=Z，集合

M={x\x=3/c+l,kEZ},N={x\x=3fc+2,keZ},Q(MUN)=()

A.{x\x=3k,kGZ)B.{x\x=3/c—l,kGZ]

C.{x\x=3/c—2,kEZ}D.0

【答案】A

【解析】因?yàn)檎麛?shù)集Z={%|%=￡Z}U{%.=3々+1,/cEZ}U{汽=3/c+2加EZ},U=Z,所以，Cu

(MUAZ)={x|x=3fc,fcGZ}.

故選：A.

12.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)集合U=R,集合M={%|%V1},N={%|—1<%<2},貝!！

{x\x>2}=()

A.Q(MUN)B.NuCuM

C.Q(MnN)D.MUCuN

【答案】A

【解析】由題意可得MUN={%[%v2},貝!JCu(MUN)={%|%之2},選項(xiàng)A正確；

CuM={x\x>1],則NUQM={%[%>—1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

Mn^={x|-l<x<l],貝1」0/(“口可)={%|%4_1或%21},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

C°N={%|%<一1或%22},則MUC〃N={%|汽<1或汽之2},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

13.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知集合時(shí)={-2,—N=[x\x2—%—6>0則M八N=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】方法一：因?yàn)镹={%|%2—%—62o}二(―8,—2]U[3,+8),而時(shí)={—2,—

所以MCN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)镸={—2,—將一2,—1,0,1,2代入不等式%2一%一620,只有一2使不等式成立，所以

MCN={-2}.

故選：C.

14.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)集合4={0,—研，B=(l,a—2,2a—2},若A旦B,則。=().

2

A.2B.1C.-D.-1

【答案】B

【解析】因?yàn)?UB,則有：

若a—2=0,解得a=2,此時(shí)力=｛0,—2｝,B=[1,0,2),不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時(shí)4=｛0,—1｝,B=｛l,-l,0｝,符合題意；

綜上所述：a=L

故選：B.

15.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)記又為數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和，設(shè)甲：｛an｝為等差數(shù)列；乙：｛曰｝為等差

數(shù)列，貝U()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法1，甲：｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為由,公差為d,

FHilc?_?Sfi—X-ddS+iSd

則S九=71al+--—d,—n=Qi+—a=/+Qinn

因此｛書(shū)為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：曲為等差數(shù)列，即鬻一手=學(xué)牖些=制方為常數(shù)，設(shè)為t,

即=t，則Sn=nan+1-t-n(n+1),有S”1=(n—l)an-t-n(n-l),n>2,

兩式相減得：an=nan+1—(n—l)an—2tn,即an+i—廝=2a對(duì)n=l也成立，

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)的，公差為d,即Sn=nai+*^d,

則手=的+^d=*i+ai—*因此由為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：由為等差數(shù)列，即然一知=D^=Si+(n—l)D,

即Sn—nSi+n(n—1)。，Sa—i—(n—1)S1+(n—l)(n—2)D,

當(dāng)nN2時(shí)，上兩式相減得：Sn—Sn_t=St+2(n—1)￡),當(dāng)n=l時(shí)，上式成立，

于是an=%+2(n—1)D,又an+i—an=由+2nD—[ar+2(n—1)D]-2。為常數(shù)，

因此｛aj為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

16.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)己知集合力=｛—l,l,2,4｝,B=｛x||x—1|W1｝,則4CB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】［方法一］:直接法

因?yàn)?={用0＜久＜2},故anB={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

x=-1代入集合8={劃比—1降1}，可得2W1,不滿足，排除A、D；

%=4代入集合8={加化—1］＜1},可得3W1,不滿足，排除C.

故選：B.

17.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)全集U=口,2,3,4,5},集合〃滿足Q/M={1,3},貝|()

A.2eMB.3EMC.4電MD.5gM

【答案】A

【解析】由題知M={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

㈤5

孩心精說(shuō)，題型突破

題型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）若me{1,3,4,62},則〃?可能取值的集合為（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【解析】由{1,3,4,爪2},得7712K1,則7n中1,

由m6口,3,4,62},得6=3,此時(shí)巾2=9,符合題意；

或6=4,此時(shí)血2=16,符合題意；或爪=爪2,則7n=0,此時(shí)m2=0,符合題意，

所以加可能取值的集合為{034}.

故選：B

【典例1-2][新考法]（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）下列集合中有無(wú)數(shù)個(gè)元素的是（）

A.[XEN\^EN]B.{久ezgeN}c.[%eyv||ez]D.Q\^EN]

【答案】D

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?6N,xeN,貝詠=1,2,4,{xeN《eN}={1,2,4},故A錯(cuò)誤;

4

對(duì)于B,因?yàn)橐訡N,XEZ,貝！]x=l,2,4,

所以|%ezqeN}={l,2,4},故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,xeN,gez,所以{%eNEez}={l,2,4},故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,卜€(wěn)（2E€7}有無(wú)數(shù)個(gè)元素.故口正確.

故選：D.

巧

集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對(duì)象。集合具有確定性、互異性和

無(wú)序性。常用列舉法、描述法、語(yǔ)言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數(shù)軸、檢驗(yàn)元素互異

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對(duì)于解決集合問(wèn)題具有重要意義。

【變式1-1]（2024?高三?江西贛州?期中）已知a、bER,若={次"+Ao},貝必2020+人2021的值為

A.-1B.0C.1D.-1或0

【答案】C

【解析】由Oe［a,￡l］且aKO,貝在=0,

<aJa

.,.b=O,于是a2=l,解得a=l或a=—1,

根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去，

因此a=-1,b-0,

故a2020+b2021=（-1）2020+Q2021=

故選：C.

【變式1-2］（2024?四川樂(lè)山?三模）已知集合4={—1,0,1}川={1,2},C={x|x=a+b,a€eB},則集合C

的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由題意知，a￡{-1,0,1）,be{1,2},

當(dāng)ae{—l,O,l},b=l時(shí)，a+be{0,1,2},

當(dāng)ae{—l,O,l},b=2時(shí)，a+be{1,2,3},

所以C={0,1,2,3},

所以集合C中的元素個(gè)數(shù)為4.

故選：C.

【變式1-3］（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=伍€^|"22"},則集合力的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.無(wú)窮多個(gè)

【答案】C

【解析】由2n2n2（neN*）,可得n=1,2,4,

所以集合4的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C

［命題預(yù)測(cè)J

1.［新考法］集合M={〃>)/?)/'(久),…}，則以下可以是/⑶的表達(dá)式的是()

A.sinxB.exC.In%D.x2+2x+3

【答案】C

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閒(%)=sin］,所以r(%)=cos%,/(%)=—sinx,/"(%)=—cos%,(/〃'(%))'=sin

%=/(%),不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤,

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?(%)=/,所以/(%)=e%=/(%),不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C因?yàn)?(%)=ln%,所以r(%)=：,/〃(%)=_*,用,(%)=*所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?(%)=壯+2%+3,所以1(%)=2/+2,,'(%)=4%,廣〃(%)=4,(尸〃(%))，=0,后面再

求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)均為0,不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：C.

2.已知集合{%|(%—。2)(%一i)=o}的元素之和為1,則實(shí)數(shù)〃所有取值的集合為()

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

【答案】D

【解析】因?yàn)榧蟵%|。一@2)(%-1)=0}的元素之和為1,

所以一元二次方程(久一層)。—1)=0有等根時(shí)，可得久=4=1,即Q=±1,

當(dāng)方程有兩不相等實(shí)根時(shí)，%=a2=0,即Q=0,

綜上，實(shí)數(shù)。所有取值的集合為{0,1,—1}.

故選：D

3.已知集合4={1,2,3},8={3,5},則C={%|%=2a+eE8}中的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意，x=2a+b,

當(dāng)a=l,b=5=>x=7,

當(dāng)a=l,b=3=>x=5,

當(dāng)a=2,b=5=>x=9,

當(dāng)a=2,b=3=%=7,

當(dāng)a=3,b=5=>x=11,

當(dāng)Q=3力=3=>x=9,

由集合中元素滿足互異性，所以C={5,7,9,11}.

故選：B

4.已知集合/={0,1,Q2},B={1,0,2a+3},若/=則。=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【解析】???/=B,

a2=2a+3,解得。=—1或3,

當(dāng)a=—1時(shí)，Q2=2O+3=1,

不滿足集合中元素的互異性，舍去.

當(dāng)Q=3時(shí)，a2=2a+3=9,

此時(shí)4=8={0」9},滿足題意.

綜上，a=3.

故選：C.

題型二：集合間的基本關(guān)系

【典例2-1】(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={x|l<x<2},B={x|l<x<a},若B=4則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(2,+8)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+8)

【答案】C

【解析】集合人={x|l<x<2},B={x|1<x<a],若BU力，

則若aWL則B=0=4滿足題意；

若a>l,且BU4則l<aW2,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(―%2].

故選：C

【典例2-2](2024,寧夏?模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合M={x\x=4n+l,nGZ],N={x\x=3n+l,nGZ},

P={x\x=12n+l,nGZ},貝！J()

A.M^PB.N屋P

C.MCNXPD.MCN=0

【答案】C

【解析】由題意5CM,5CP,A錯(cuò);4CN,4￡P(guān),B錯(cuò);

Mr\N={x\x=12n+l,nGZ}羊0,D錯(cuò)，C正確.

故選：C.

巧

（1）判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再?gòu)谋磉_(dá)式中尋找兩集合的

關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法.

（2）已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿

足的關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析.

【變式2-1]（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={%|刀2一6%+8W0},B={y\y>a],若41貝}|a

的取值范圍是（

A.(—8,2)B.(—oo,4)C.(—8,2]D.(—oo,4]

【答案】A

【解析】A={x|%2—6x+8<O}={x|2<%<4],B={y\y>a],

A^B,故a<2.

故選：A.

【變式2-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))若集合4={xeN|lW*W5},則集合/的真子集有()個(gè).

A.7B.15C.31D.63

【答案】C

【解析】由題意可知：集合4={KCN|1WXW5}={1,2,3,4,5},共5個(gè)元素，

所以集合/的真子集有25—1=31個(gè).

故選：C.

【變式2-3](2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={0,1,2},B={1,2,3},

=(ZGN*|Z=xy,xeAJ!LyeB],貝！jC的子集的個(gè)數(shù)為()

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】由條件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合c={123,4,6},集合c的子集的個(gè)數(shù)為25=32個(gè).

故選：C

【變式2-4][新考法](2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))已知集合從B、C為全集U的子集，XnB=CuC*0,則

(AUB)nC=().

A.AU(BCtC)B.(CuA)C(CuB)

C.[C(/(XnB)]n(71uB)D.[C(/(XuB)]u(xnB)

【答案】C

【解析】???anB=CuC,

(An8)UC=u,

.,.Cu(AnB)=c,

(AU8)cc=ccQ4U8)=[Cu(4ClB)]C(2uB).

故選：C.

命題預(yù)測(cè)T

1.已知集合4=sgez},B=|ngez},c={n|^ezj,則（）

A.力nB呈CB.B\JC=AC.C^AnBD.BnC^AnB

【答案】A

【解析】依題意，A=[n\n=3k,kEZ},B={n|n=4k,kEZ},C={n|n=6k,k6Z},

則2Ci8=min=12k,keZ},易知12的倍數(shù)一定是6的倍數(shù)，故A正確，C錯(cuò)誤；

因BcC={nm=12k,keZ},即BnC=4nB,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，任取3C4因3《B,3eC,貝U3CBUC,故B錯(cuò)誤.

故選：A.

2.（多選題）已知{見(jiàn)切={1,2,3},（。力）€{（%4）|4=兀+1},則2。"的值可以為（）

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【解析】當(dāng)a=l時(shí)，由（a,b）6{（x,y）|y=x+1}得b=2,滿足b6{1,2,3},所以2。"=21=2；

當(dāng)a=2時(shí),由(a,b)€{(x,y)|y=x+1}得b=3,滿足be{1,2,3},所以2#=28=256；

當(dāng)a=3時(shí)，由(a,b)C{(x,y)|y=%+1}得b=4,不滿足6C{1,2,3};

綜上,則2d=2或256.

故選：AC.

3.(多選題)已知集合2={1,2},3={0,1,2,3,4},集合C滿足則()

A.1GC,2GCB.集合C可以為{1,2}

C.集合C的個(gè)數(shù)為7D.集合C的個(gè)數(shù)為8

【答案】AC

【解析】由題意得4={1,2},8={0,1,2,3,4},又4星CUB.

所以16C,2EC,故A正確；

當(dāng)。={1,2}時(shí)，不滿足4星C,B錯(cuò)誤，

集合C的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合{0,3,4}的非空子集的個(gè)數(shù)，

所以集合C的個(gè)數(shù)為23—1=7,故C正確，D錯(cuò)誤，

故選：AC.

4.(多選題)若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x\x2<1},N={x\x>—1}

C.M—{x\y—\gx],N—{y\y=e，+5}

D.M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x]

【答案】ACD

【解析】根據(jù)Venn圖可知N&M,

對(duì)于A,顯然N曙M,故A正確；

對(duì)于B,M={x|-1<x<1],N={x\x>-1},則MIN,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,M={x\x>0],N={y\y>5},則N&M,故C正確；

對(duì)于D,M={(x,y)1y=x,或丫=—%},N==久},

則故D正確.

故選：ACD

題型三：集合的運(yùn)算

【典例3?1】已知集合/={%|—1W%<0卜8={%|log2(%2—%)<1},則An8=()

A.{%|—1<x<0}B.{x|—1<x<0}

C.{x|—1<%<0}D.{x|—1<%<0]

【答案】C

【解析】因?yàn)閘og2(%2-%)41=k)g22,所以0</一％42,解得1V%W2或一14%<0,

故B={%|-1<%<0或1<%<2},又/={%|-1<%<0},所以/AB={x|—1<%<0}.

故選：C

【典例3-2】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知全集U=CUB={%EN|0W%W10}/C(CUB)={L357},則

8=()

A.{1,3,5,7}B.{2,4,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

【答案】D

【解析】已知全集u=XuB={xeN|0<x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

An(CuB)=口,3,5,7},B集合中沒(méi)有1,3,5,7,

若OCB,貝則0ean(Cu8),與條件矛盾，故OeB,

同理可得2￡8,4GB,6GB,8E5,9eB,10eB,

則B=[0,2,4,6,8,9,10).

故選：D.

巧

凡是遇到集合的運(yùn)算(并、交、補(bǔ))問(wèn)題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、

并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合運(yùn)算問(wèn)題的常用思想.

【變式3-1](2024?高三?黑龍江佳木斯?期中)已知集合2={加1<久<3},B={x|白>0},則AUB=

()

A.{x|2<x<3]B.{x|2<%<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【答案】C

【解析】由書(shū)>。，解得x>2,則8={%|%>2},

■■■AUB—{x\x>1].

故選：C

【變式3-2](2024?高三?福建三明?期中)某班有45名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組.已知僅參加一個(gè)

興趣小組的同學(xué)有20人，同時(shí)參加語(yǔ)文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有9人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)

有15人，同時(shí)參加語(yǔ)文和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有11人，則同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有人.

【答案】5

【解析】以集合4B、C表示分別參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：

設(shè)同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有x人，由圖可得20+(9—%)+(11—x)+(15—x)+x=55—2x=45,

解得x=5.

故答案為：5.

【變式3-3](2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))設(shè)用={5,6,7,8,9},若AnB={8},(C/1)C8={6},(CyX)n(Cy

B)=[5,9},則集合4=.

【答案】{7,8}

【解析】因?yàn)?nB={8},8eA8eB,

因?yàn)?CM)nB={6},；.6eB,6cA,

因?yàn)?CM)n(CuB)={5,9},5,9莊45,9莊B,

如果7eB,則(Q/4)CB={6,7},與已知矛盾，所以7e4

所以4={7,8}.

故答案為：{7,8}

命題預(yù)測(cè)

1.(多選題)設(shè)u為全集,集合48,。滿足條件auB=auc,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CQA

c.An(C?S)=An(CyC)D.(CMnB=(CM)nc

【答案】ABC

【解析】當(dāng)。={1,2,3},4=口}，8={2,3},C={1,2,3}時(shí)，滿足Au8=auC,

此時(shí)，B,C不是4的子集，所以A、B不一定成立；

Cu8={l},C(/C=0，4n(CuB)={l}/C(CuC)=0，所以C不一定成立；

對(duì)于D,若v%e(Cu4)cB,貝！Uca,但xeB,因?yàn)锳UB=4UC,

所以xeC,于是xe(C")nC,所以(CM)cBu《必)nC,

同理若v比e(CuA)nc,則％e(CMnB,(CyA)nC￡(c^)nB,

因此，《必)。8=((：/)。。成立，所以D成立.

故選：ABC.

2.(多選題)已知集合4B均為R的子集，若ACB=0,貝U()

A.AcQRBB.CRAQB

C.AUB=RD.(CR4)U(CRB)=R

【答案】AD

【解析】因?yàn)榧?8均為R的子集，且2CB=0,

畫(huà)出韋恩圖，如圖所示：

結(jié)合圖像：由4=CRB,所以A正確；由BUCRA,所以B錯(cuò)誤；

由4U8UR,所以C錯(cuò)誤；由(CR2)U(CRB)=CR(MnB)=R,所以D正確.

故選：AD.

3.已知集合Z={%|4%2—%—5>0},8={%|%>租},若zn=O,貝|(CRA)八8=；若AUB=R,則zn

的取值范圍為.

【答案】{x|0<%<1}(―8,—1)

【解析】4x2—X—5>0即(％+1)(4%—5)>0,

則/=\x\x>|或％<—1},

所以CRA={X|-1<X<

若m=0,則B={x\x>0］,

(CR24)nS={x|0<x<1},

若ZUB=R,B=(x\x>m},

則1,故TH的取值范圍為(一8,—1).

故答案為：{x|0<xW》；(-8,—1).

4.(2024?高三?重慶沙坪壩?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)集合M={x|—1@久<2},集合N={x|x—kW0},若MCCR

N=0,貝收的取值范圍為.

【答案】［2,+oo)

【解析】由題意得N={%［%<上},故CRN=(乂+8),

因?yàn)镸CCRN=0,所以kN2,故人的取值范圍是［2,+8).

故答案為：［2,+8)

題型四：充分條件與必要條件

【典例4-1］（2024?高三?福建寧德?期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)X€（2,+8）,“￡1<%+勺是“￡144”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】對(duì)于函數(shù)y=x+,根據(jù)均值不等式a+b22而（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），

則y=%+322xx-=4.

X7X

當(dāng)%=g即久=2時(shí)取等號(hào)，但是％E(2,+8),所以y=%+g>4

判斷充分性：

若aV%+g,因?yàn)榫脌(2,+8)時(shí)久+(>4,那么。工4,所以充分性成立.

判斷必要性：

44

若aW4,當(dāng)xe(2,+8)時(shí)x+1>4,顯然aCx+亍所以必要性成立.

所以“a<x+勺是“a<4”的充要條件.

故選：C.

【典例4-2]若“久>a”是“尤2一2光—3<0”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—1)B.(-8,—1]C.(—1,+8)D.[—1,+8)

【答案】B

【解析】由/—2x—3<0得一1<x<3,