湖南省長沙市重點學校2024-2025學年

八年級上學期開學考試數學試卷

注意事項：

1.本卷為試題卷，考生應在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.

2.答題前，考生須將自己的姓名、準考證分別在試題卷和答題卡上填寫清楚.

3.答題完成后，請將試題卷、答題卡、草稿紙放在桌子上，由監考老師統一收回.

4.本試卷共三道答題，25道小題，滿分120分，時量共120分鐘.

一、選擇題（本大題10個小題，每小題3分，共30分，請將每個小題所給四個選項中唯一

正確選項的代號填涂在答題卡相應的位置上）

4271

1.實數3,一血，0,6,3,3.121121112…（相鄰每個2之間依次多一個1）,°-6,其中無理數的

個數為（）

A3B.4C.5D.6

2.下列方程中，是二元一次方程的是（）

2

A.3x-2y=4zB.x+4y=6C.6x2+9x-1=0D.x=—+1

y

3.如圖，直線AB〃CD,AF交CD于點E,ZCEF=135°,則/A等于（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

4.下列問題最適合全面調查的是（）

A.了解一批冷飲的質量是否合格

B.神舟十七號飛船發射前對飛船儀器設備的檢查

C.了解某省初中生每周上網時長情況

D.了解全國七年級學生的視力情況

5.在平面直角坐標系中，點4（—2024,2025）落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如圖，已知N1=N2,從下列條件中選一個，不能得到△A8D且△ACD的是（）

H

A.ZADB=ZADCB.AB=ACC.BD=CDD.ZB=NC

7.如果關于龍的不等式2x-5<2a+l只有4個正整數解，那么。的取值范圍是（）

Al<a<2B.l<a<2C.l<tz<2D.l<a<2

8.《九章算術》中有這樣一道題，大意是：假設有5頭牛、2只羊，值10兩金；2頭牛、5只羊，值8兩

金.問I頭牛、1只羊各值多少金？設I頭牛、I只羊分別值x,y金，則列方程組正確的是（）

5x+y=10,f5x+2y=10,f5x+y=8,f5x+2y=8,

A<B.4C.4D.<

x+5y=8.[2x+5y=8.[尤+5y=10.[2x+5y=10.

9.若使用如圖所示的①②兩根直鐵絲做成一個三角形框架，則需要將其中一根鐵絲折成兩段，則可以把鐵

絲分為兩段的是（）

A.①②都可以B.①②都不可以

C.只有①可以D.只有②可以

平分NA5C，ZZMC=60°,Zl=95°,則/C46的度數為（

B.60°C.70°D.80°

二、填空題（本答題共6個小題，每小題3分，共18分，請將正確答案寫在答題卡相應的橫

線上）

11.若忖—2|+（y+3）2=0,則了=

12.如圖所示，，，P與y軸交于點A（0,5）,8（0,T）,與x軸的正半軸交于點C.若NACfi=45°,則點C

的坐標為.

2x+y=3

13.方程組｛1的解為______.

Ix-y=l

14.一個多邊形的內角和比它的外角和多540。，則這個多邊形的邊數是.

15.某校為了了解初二年級600名學生每天完成作業所用時間的情況，從中對30名學生每天完成作業所用

時間進行了抽查，這個問題中的樣本容量是.

16.如圖，已知VA3C中，是5c邊上的中線，E為AD的中點，若_CDE的面積為8cm?,則△A3。

的面積為cm2?

三、解答題(本大題共9小題，每小題8分，共72分。每個題目都要求在答題卡的相應位置

寫出計算、解答或證明的主要步驟)

17-(I)計算：+W-8+|A/3—2|

x-3(x-l)>l

(2)解不等式組:

I+3x>x—I

18.已知代數式雙2+區+0,當x=l和x=—3時，它值都為5,當x二—I時，它的值為I.

(I)求a,b,c的值;

(2)當％=-2時，求代數式依2+區+c的值.

19.如圖，VA8C中，AZ)是5C邊上的中線，E,方為直線AD上的點，連接BE,CF,且

BE//CF.

B7?

(1)求證：ABDE等ACDF；

(2)若AE=13,AF=7,試求的長.

20.如圖，VAfiC的頂點4(—1,4),6(-4,—1),C(l,l).若VA3C向右平移4個單位長度，再向下平

移3個單位長度得到AB'C,且點A、B、C的對應點分別是點A'、B'、C.

(1)畫出cAB'C,并直接寫出點C坐標;

(2)求VABC的面積.

21.4月23日是“世界讀書日”，向陽中學對在校學生課外閱讀情況進行了隨機問卷調查，共發放100份調

查問卷，并全部收回.根據調查問卷，將課外閱讀情況整理后，制成表格如下：

月閱讀冊數(本)12345

被調查的學生數(人)205015105

請你根據以上信息，解答下列問題：

(1)被調查的學生月平均閱讀冊數為本；

(2)被調查的學生月閱讀冊數的中位數是；

(3)在平均數、中位數這兩個統計量中，更能反映被調查學生月閱讀的一般水平；

(4)若向陽中學共有學生2000人，用樣本平均數估計四月份該校學生共閱讀課外書籍多少本？

22.2022年5月18日，成都市政府正式發布了《成都建設踐行新發展理念的公園城市示范區行動計劃

(2021—2025年)》.某學校同學為此積極設計了兩款文創產品共100件，其中1件A產品與1件B產

品，需成本25元；3件A產品與2件5產品，需成本60元.

（1）這兩款文創產品的成本分別是多少元？

（2）同學們決定將這兩款文創產品拿到社區公園銷售，銷售計劃如下：投入資金不超過1300元，利潤不

低于4500元，A產品定價50元/件，B產品定價65元/件，同學們怎么分配設計兩種文創產品的數量，以

及最大利潤是多少？

23.如圖，AC平分/B4。，CE且AB于E,于尸，且8。=。。.

(1)證明：BE=DF；

(2)若AB=20,DF=6,求A。的長度;

24.對于實數X,y,定義新運算：當時，x?y^ax+by；當xNy時，左十丁二分一所，其中

a,6是常數，且"W0,等式右邊是通常的加法和乘法運算.

(1)若a=l,b=2,求3十4的值;

（2）已知1十1=2,且2十3=9,求。，6的值;

3（p-1）+z?<5

（3）在（2）問的條件下，若關于"的不等式組《⑺22小恰好有2個整數解，求加的取值

范圍.

25.如圖，VABC的兩條高A。與座交于點。，AD=BD,AC=6.

（2）/是射線5C上一點，且5=40,動點P從點。出發，沿線段08以每秒1個單位長度的速度向

終點8運動，同時動點。從點A出發，沿射線AC以每秒4個單位長度的速度運動，當點P到達點B時,

P,。兩點同時停止運動，設運動時間為f秒，當&AOP與-FCQ全等時，求f的值.

湖南省長沙市重點學校2024-2025學年

八年級上學期開學考試數學試卷

注意事項：

1.本卷為試題卷，考生應在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.

2.答題前，考生須將自己的姓名、準考證分別在試題卷和答題卡上填寫清楚.

3.答題完成后，請將試題卷、答題卡、草稿紙放在桌子上，由監考老師統一收回.

4.本試卷共三道答題，25道小題，滿分120分，時量共120分鐘.

一、選擇題（本大題10個小題，每小題3分，共30分，請將每個小題所給四個選項中唯一

正確選項的代號填涂在答題卡相應的位置上）

42n

1.實數3,一券，0,4,3,3.121121112-（相鄰每個2之間依次多一個1）,°6,其中無理數的

個數為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了無理數的概念，無理數即無限不循環小數，解題關鍵是掌握初中范圍內涉及到的無理

數有三種：開方開不盡的數，如血；特定意義的數，如乃；特定結構的數，如Q3030030003….據此

解答即可.

2

【詳解】解：4—是分數，屬于有理數；

3

強是無理數；

。是整數，屬于有理數；

a=2是整數，屬于有理數；

TT

一是無理數；

3

3.121121112…（相鄰兩個2之間依次多一個I是無理數；

0.6是分數，屬于有理數；

即無理數的個數是3,

故選：A.

2.下列方程中，是二元一次方程的是（）

2

A.3x-2y=4zB.x+4y=6C.6x2+9x-1=0D.x=—+1

y

【答案】B

【解析】

【分析】根據二元一次方程的定義即可求出答案.

【詳解】解：A、含有三個未知數，故A不是二元一次方程；

B、符合二元一次方程的概念，故B是二元一次方程；

C、最高次數項為2次，沒有兩個未知數，故C不是二元一次方程；

D、不是整式方程，故D不是二元一次方程.

故選：B

【點睛】本題考查了二元一次方程的概念，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個

未知數；（2）含未知數項的次數都為1；（3）方程是整式方程.

3.如圖，直線AB〃CD,AF交于點E,NCEF=135°,則/A等于（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線的性質，先由鄰角互補得到“石尸=45°,再由兩直線平行，同位角線段

即可得到ZA=ZDEF=45°.

【詳解】解：：NCEF=135。，

NDEF=180°-/CEF=45°,

■：AB//CD,

：.ZA=ZDEF=45°,

故選：C.

4.下列問題最適合全面調查的是（）

A.了解一批冷飲的質量是否合格

B.神舟十七號飛船發射前對飛船儀器設備的檢查

C.了解某省初中生每周上網時長情況

D.了解全國七年級學生的視力情況

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時

間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似.適合普查的方式一般有以下幾種：①范圍較小；②容易掌控；

③不具有破壞性；④可操作性較強，據此逐一進行判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、了解一批冷飲的質量是否合格，適合抽樣調查，不符合題意；

B、神舟十七號飛船發射前對飛船儀器設備的檢查，適合全面調查，符合題意；

C、了解某省初中生每周上網時長情況，適合抽樣調查，不符合題意；

D、了解全國七年級學生的視力情況，適合抽樣調查，不符合題意；

故選：B.

5.在平面直角坐標系中，點4(—2024,2025)落在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了判斷點所在的象限，熟知每個象限內點的坐標特點是解題的關鍵：第一象限

(+,+)；第二象限(一,+)；第三象限(—,一)；第四象限(+,—).

【詳解】解：：—2024<0,2025>0,

在平面直角坐標系中，點4(—2024,2025)落在第二象限，

故選：B.

6.如圖，已知N1=N2，從下列條件中選一個，不能得到且△ACD的是()

A.ZADB=ZADCB.AB=ACC.BD=CDD.ZB=ZC

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，根據題意可得N1=N2,AD=AD，再根據全等三角形

的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】解：添加條件N/4DB=NADC,結合條件N1=N2,AD=AD,可以根據ASA證明

AABD^AACD,故A不符合題意；

添加條件AB=AC,結合條件N1=N2,AD=AD,可以根據SAS證明△ABD且△ACO,故B不

符合題意；

添加條件=8,結合條件N1=N2,AD=AD,不可以根據SSA證明△ABD且△ACD,故C

符合題意；

添加條件N3=NC,結合條件N1=N2,AD=AD,可以根據AAS證明△ABD2△ACO,故D不

符合題意；

故選：C.

7.如果關于x的不等式2x-5W2O+1只有4個正整數解，那么。的取值范圍是（）

A.l<a<2B,l<a<2C.l<a<2D.\<a<2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了求不等式的解集.根據正整數解的個數確定關于。的不等式是解題的關鍵.

求出不等式的解集，根據不等式只有4個正整數解即可求得。的取值范圍.

【詳解】解：解不等式2x—5V2a+1得：x<a+3,

又；不等式2x-5V2?+1只有4個正整數解，

二4個正整數解是1、2、3、4,

.'.4<a+3<5,

解不等式組得：

故選：C.

8.《九章算術》中有這樣一道題，大意是：假設有5頭牛、2只羊，值10兩金；2頭牛、5只羊，值8兩

金.問1頭牛、1只羊各值多少金？設1頭牛、1只羊分別值x,y金，則列方程組正確的是（）

5x+y=10,5x+2y=10,5x+y=8,5x+2y=8,

B.<C.<D.《"

x+5y=8.2x+5y=8.x+5y=10.2x+5y=10.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，找準等量關系列出相

應的方程組.每頭牛、每只羊分別值金x兩、y兩，根據“5頭牛，2只羊，值金10兩；2頭牛，5只羊，

值金8兩”列出方程組即可得答案.

詳解】解：設每頭牛、每只羊分別值金尤兩、y兩,

5x+2y=10

由題意可得,

2x+5y=8

故選：B.

9.若使用如圖所示的①②兩根直鐵絲做成一個三角形框架，則需要將其中一根鐵絲折成兩段，則可以把鐵

絲分為兩段的是（）

5cm

A.①②都可以B.①②都不可以

C,只有①可以D.只有②可以

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查三角形的三邊關系，根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可.

【詳解】解：???5>4,

根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊，需要將5cm的直鐵絲分為兩段，

即只有①可以，②不可以，

故選：C.

10.如圖，AD//BC,3。平分，ABC,ZZMC=60°,Zl=95°,則/C46的度數為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握相關知

識.由平行線的性質可得NC=NZMC=60。，再根據三角形的外角性質可得NCBD=N1—NC=35°,

然后由角平分線的定義可得NABC=70°,最后根據三角形的內角和定理，即可求解.

【詳解】解：AD//BC,ZDAC=6Q°,

ZC=ZDAC=60°,

Zl=95°,Z1=ZC+ZCBD,

ZCBD=Z1-ZC=95°-60°=35°,

平分，ABC,

ZABC=2NCBD=7D。,

ZCAB=1800-ZC-ZABC=180°-60°-70°=50°,

故選：A.

二、填空題(本答題共6個小題，每小題3分，共18分，請將正確答案寫在答題卡相應的橫

線上)

11.若卜_2|+(丁+3)2=0,則.

【答案】9

【解析】

【分析】本題主要考查非負數的性質和有理數的乘方，根據非負數的性質求出羽y的值，再代入計算即可.

【詳解】解：；.卜一2|+(y+3)2=0,且W一2|N0,(y+3)2?0,

x—2=0,y+3=0,

x=2,y=-3,

=(-3)2=9,

故答案為：9.

12.如圖所示，P與》軸交于點A(0,5),5(0,-4),與x軸的正半軸交于點c.若NACfi=45°,則點C

的坐標為.

【答案】(炳,0)

【解析】

【分析】本題主要考查了寫出直角坐標系中點的坐標，勾股定理，圓周角定理等知識點，熟練掌握勾股定理

及圓周角定理是解題的關鍵.

根據點A、B坐標求出AB，再根據勾股定理求出AP，進而可求出AC，然后在RtAOC中根據勾股定

理求出CO,即可得解.

【詳解】解：：點4(0,5),8(0,-4),

AO=5,BO—4,

AB=9，

???ZACB=45°,

?.ZAPB=90°,

；AP=BP,根據勾股定理，得：

AP2+BP2=AB2，

解得：AP=嫗,

2

:?AC=9日,

在Rt.AOC中，AO=5,AC=9叵,

根據勾股定理可得：CO2=AC2-AO2，

解得：CO=V137,

.??點C的坐標為(JH7,0),

故答案為：(疝7,0).

2x+y=3

13.方程組《的解為_____.

x-y=1

.4

x=一

【答案】；3

r3

【解析】

【分析】根據加減消元法解二元一次方程組即可.

由①+②可得：3x=4,

4

4

x=—

3

故答案為：

7=3

【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解決本題的關鍵是掌握二元一次方程組的解法.

14.一個多邊形的內角和比它的外角和多540。，則這個多邊形的邊數是.

【答案】7

【解析】

【分析】本題主要考查多邊形內角和與外角和，掌握多邊形內角和公式和外角和為360°是解題的關

鍵.根據多邊形的內角和公式以及外角和為360。建立一個關于邊數的方程，解方程即可.

【詳解】解：設多邊形邊數為〃，根據題意得：

(〃-2)x180°-360。=540°,

解得〃=7,

故答案為：7.

15.某校為了了解初二年級600名學生每天完成作業所用時間的情況，從中對30名學生每天完成作業所用

時間進行了抽查，這個問題中的樣本容量是.

【答案】30

【解析】

【分析】樣本容量是指樣本中包含個體的數目，沒有單位，根據定義即可確定此題的樣本容量.

【詳解】???某校為了了解初一年級300名學生每天完成作業所用時間的情況，從中對30名學生每天完成作

業所用時間進行了抽查，

這個問題中的樣本容量是30.

故答案為：30.

【點睛】本題主要考查了總體，樣本及樣本容量，解題的關鍵是熟記樣本容量的定義.

16.如圖，已知VA3C中，是5c邊上的中線，E為AD的中點，若一CDE的面積為8cm?,則△A3。

的面積為cm2?

A

【答案】16

【解析】

【分析】本題主要考查了三角形中線的性質，根據三角形中線平分三角形面積進行求解即可.

【詳解】解：E為A。的中點，的面積為8cm工

ACE的面積為8cm匕

.'.2.ACD的面積為16cm2,

AD是5c邊上的中線，

二則的面積等于ACD的面積，即為16cm

故答案為：16.

三、解答題（本大題共9小題，每小題8分，共72分。每個題目都要求在答題卡的相應位置

寫出計算、解答或證明的主要步驟）

17.（1）計算：（8『+存+|百一2|

（2）解不等式組:

1+3x>x—1

【答案】（1）3-百;（2）-1<X<1

【解析】

【分析】（1）先分別計算乘方、立方根、絕對值，然后進行加減運算即可;

（2）先分別求兩個不等式的解集，進而可得不等式組的解集.

【詳解】（1）解：（73）2+0+|73-2|

=3-2+2-73

（2）解:

1+3x>x—1

x—3（%—1）N1,

去括號得，x-3x+3>l,

移項合并得，-2x2-2,

系數化為1得，xWl,

l+3x>x—1,

移項合并得，2%>-2,

系數化為1得，x>—1,

...不等式組的解集為—1<XWL

【點睛】本題考查了乘方、立方根、絕對值，解一元一次不等式組.解題的關鍵在于正確的運算.

18.已知代數式公2+法+5當x=l和1=—3時，它的值都為5,當x=—1時，它的值為1.

⑴求a,b,c的值；

(2)當％=-2時，求代數式依2+Z?x+c的值.

【答案】(1)a=1,b=2,c=2

(2)2

【解析】

a+b+c=5?

【分析】(1)由題意知，9a—3b+c=5②，計算求解即可；

a-b+c=1(3)

(2)由(1)可知，ax2+bx+c=x2+2x+2f把x=—2,代入求解即可.

【小問1詳解】

〃+b+c=5①

解：由題意知，9〃-3"。=5②，

a-b+c=1(3)

①+③得，2a+2c=6,即。=3—a,

②—①得，8。-46=0,即〃=2。，

將。=3—a,b=2a,代入③式得，a—2a+3—a=1,解得a=l,

:?b=2,c=2,

=b=2,c=2；

小問2詳解】

解：由(1)可知，ax2+bx+c=x1+2x+2,

把x=—2,代入/+2%+2=(—2)?+2x(—2)+2=2,

ax2+bx+c的值為2.

【點睛】本題考查了解三元一次方程組，代數式求值.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確運算.

19.如圖，VABC中，AD是5C邊上的中線，E,產為直線AD上的點，連接BE,CF,且

BE//CF.

(1)求證：△BDE^^CDF；

(2)若AE=13,AF=7,試求。E的長.

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質；

(1)利用中點性質可得5D=CD,由平行線性質可得=,再由對頂角相等可得

ZBDE=ZCDF,即可證得結論；

(2)由題意可得上‘F=AE-A尸=6,再由全等三角形性質可得DE=小，即可求得答案.

【小問1詳解】

證明：4。是6。邊上的中線，

二.BD=CD，

BE//CF,

;.ZDBE=ZDCF,

在V3DE和中，

ZDBE=ZDCF

<BD=CD,

ZBDE=ZCDF

：.BDE^CDF(ASA)；

【小問2詳解】

解：AE=13,AF=7,

:.EF=AE-AF=13-7=6,

BDEgCDF,

:.DE=DF，

DE+DF=EF=6,

DE=3.

20.如圖，VAfiC的頂點4（—1,4）,8（-4,—1）,C（l,l）.若VA3C向右平移4個單位長度，再向下平

B、C的對應點分別是點A、B'、C.

（1）畫出,ABC,并直接寫出點C'的坐標;

（2）求VABC的面積.

【答案】⑴見解析，（5,-2）

⑵9.5

【解析】

【分析】本題考查了平移作圖，割補法求面積，掌握平移的性質是解題關鍵.

（1）先把平移后的對應點求出，A平移后得對應點4（3,1）,B平移后對應點5,（0,-4）,C平移后的對應

點C'（5,-2）,在描點畫圖即可；

（2）把三角形面積看成矩形面積減去三個直角三角形面積即可.

【小問1詳解】

解：解：如圖，一A8C'為所求，C的坐標為（5,—2）；

21.4月23日是“世界讀書日”，向陽中學對在校學生課外閱讀情況進行了隨機問卷調查，共發放100份調

查問卷，并全部收回.根據調查問卷，將課外閱讀情況整理后，制成表格如下:

月閱讀冊數（本）12345

被調查的學生數（人）205015105

請你根據以上信息，解答下列問題:

（1）被調查的學生月平均閱讀冊數為本；

（2）被調查的學生月閱讀冊數的中位數是；

（3）在平均數、中位數這兩個統計量中，更能反映被調查學生月閱讀一般水平；

（4）若向陽中學共有學生2000人，用樣本平均數估計四月份該校學生共閱讀課外書籍多少本?

【答案】（1）2.3（2）2

（3）中位數（4）4600

【解析】

【分析】（1）根據平均數的概念求解;

（2）根據中位數的概念求解；

（3）在平均數、中位數這兩個統計量中，中位數更能反映被調查學生月閱讀的一般水平;

（4）用人數x平均數即可求解

【小問1詳解】

1x20+2x50+3x15+4x10+5x5

解：平均閱讀冊數為:=2.3（本）；

20+50+15+10+5

【小問2詳解】

解：??,共有100名學生,

...第50和51為同學的閱讀量的平均數為中位數，即——=2；

2

【小問3詳解】

解：在平均數、中位數這兩個統計量中，中位數更能反映被調查學生月閱讀的一般水平；

【小問4詳解】

解：2.3x2000=4600（本）.

答：用樣本平均數估計四月份該校學生共閱讀課外書籍4600本.

【點睛】本題考查了平均數、中位數等知識，掌握平均數、中位數的概念是解答本題的關鍵.

22.2022年5月18日，成都市政府正式發布了《成都建設踐行新發展理念的公園城市示范區行動計劃

（2021—2025年）》.某學校同學為此積極設計了兩款文創產品共100件，其中1件A產品與1件8產

品，需成本25元；3件A產品與2件B產品，需成本60元.

（1）這兩款文創產品的成本分別是多少元？

（2）同學們決定將這兩款文創產品拿到社區公園銷售，銷售計劃如下：投入資金不超過1300元，利潤不

低于4500元，A產品定價50元/件，B產品定價65元/件，同學們怎么分配設計兩種文創產品的數量，以

及最大利潤是多少？

【答案】（1）A產品的成本是10元，8產品的成本是15元

（2）A產品的數量為40件，則8產品的數量為60件時，最大利潤為4600元

【解析】

【分析】本題主要考查一元一次不等式組的應用，二元一次方程組的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，找

到相應的等量關系.

（1）可設A產品的成本是x元，3產品的成本是y元，從而可列出二元一次方程組進行求解；

（2）可設A產品的數量為加件，則B產品的數量為（100-加）件，利用“投入資金不超過1300元，利潤不

低于4500元”，得到一元一次不等式組，解不等式組即可.

【小問1詳解】

解：設A產品的成本是元元，3產品的成本是y元

x+y=25

3x+2y=60,

fx=10

解得：

[y=15

答：A產品的成本是10元，B產品的成本是15元；

【小問2詳解】

設A產品的數量為機件，則8產品的數量為（100-件

10m+15(100-m)<1300

(50-10)m+(65-15)(100-m)>4500

m>40

解得：<

m<50

故不等式組的解集為：40<7K<50,

利潤為：（50—10）加+（65—15）義。00—加）=一10"/+5000,

當m=40時，其禾I潤最大，一10x40+500。=4600元

則8產品的數量為：100—40=60（件），

答：A產品的數量為40件，則B產品的數量為60件時.

23.如圖，AC平分/R4D,CEJ.AB于E,。5，4。于尸，且6。=。。.

（1）證明：BE=DF;

（2）若A5=20,DF=6,求AD的長度;

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據AC平分/84。，CE1AB,得到CE=CF,NF=NCEB=90。，結合

BC=DC即可得到一5CE名-DCF（HL）,即可得到證明;

（2）根據△BCEgAQCF得到D尸=5石，根據CE=CF,AC=AC即可得到一ACF且_ACE（HL）,

即可得至|JAE=AF,結合AB=20,DE=6即可得到答案；

【小問1詳解】

證明：：AC是角平分線，CE1AB,CF±AD,

：.CE=CF,ZF=ZCEB=90°,

在Rt3CE和Rt_DC尸中，

BC=DC

CE=CF

aBCE空DCF(HL),

???BE=DF；

【小問2詳解】

解：ABCE^ADCF,

/.DF=BE,

在△ACE和"CE中，

FC=EC

<AC=AC

/.ACF^ACE(HL),

/.AE^AF,

VAB=20,DF=6,

：.AF=AE=AB-BE=20-6=14-,AZ）=AF-DF=14-6=8,；

【點睛】本題考查三角形全等的性質與判定，角平分線的性質，解題的關鍵是根據角平分線得到三角形全

等的條件.

24.對于實數X,定義新運算：當時，x?y^ax+by-當xNy時，了十丁二分一所，其中

a,6是常數，且"wO,等式右邊是通常的加法和乘法運算.

(1)若a=l,b=2,求3十4的值;

（2）已知1十1=2,且2十3=9,求。，。的值;

3(77-1)+p<5

（3）在（2）間的條件下，若關于P的不等式組<恰好有2個整數解，求機的取值

(°+1)十(p)22m-1

范圍.

【答案】（1）11

<7=