5.放射性核廢料處理問題

以前美國原子能委員會將放射性核廢料裝在封閉圓桶里，扔到水深為91米海底。生態學家和科學家擔心這種做法不安全，而原子能委員會向他們確保，圓桶絕不會破漏。經過周密試驗，證實了圓桶封閉性確實很好，但工程師們提出疑問，圓桶是否會因與海底相撞而發生破裂，原子能委員會卻說決不會。數學與信息科學學院

于是，工程師們經過大量試驗發覺：當圓桶在海水中速度超出12.2米時，圓桶就會因碰撞破裂。現在問題是，圓桶抵達91米海底時速度是不是超出了12.2米問題。第1頁

首先來建立直角坐標系。設海平面為x

軸，y

軸方向向下為正。數學與信息科學學院

依據牛頓第二定律：F=ma，其中圓桶質量為W=239.456kg，a為圓桶下沉加速度，假設

t

時刻圓桶下沉到y

處，則。第2頁

圓桶在向海底沉過程中，受到三個力作用：一是重力，W=239.456kg；

二是圓桶受海水浮力B，已知海水浮力為1025.94kg/m3，圓桶體積為V=0.208m3，那么，B=1025.94×V=213.396kg

；數學與信息科學學院

三是圓桶下沉過程所受阻力D，工程師們做了大量試驗得出結論：阻力與圓桶方位無關，而與下沉速度成正比，百分比系數k=0.12，于是，

第3頁數學與信息科學學院依據牛頓第二定律得微分方程：其中

為重力加速度。方程（1）是t為自變量（但不顯含t），y

為未知函數二階微分方程，我們要求是當圓桶下沉到91米海底時圓桶下降速度，所以，把速度v

看成y函數v=v(y)。因為

，所以

，于是方程（1）化為一階微分方程第4頁數學與信息科學學院或求解微分方程（3）得其通解將初始條件v=v(0)代入（4）式得從而，方程（3）特解為第5頁數學與信息科學學院

算到這里，我們似乎感到失望，因為不能從（5）式中解出顯函數v=v(y)。不過，這個困難是能夠克服。借助于計算機很輕易計算出v(91)，我們只需要為計算機提供一個v(91)很好近似表示式，近似表示式可按下述方法取得。第6頁

在微分方程（3）中，暫時設k=0（無阻力），從而得新微分方程為了區分于方程（3）未知函數，方程（6）用u表示未知函數。直接對（6）式積分得數學與信息科學學院整理上式得尤其有第7頁現在來說明u(91)就是v(91)很好近似。

第一，當不存在阻力時，圓桶下沉速度總要比有阻力時下沉速度快，即v(91)

<u(91)

；

第二，v=v(y)是關于y增函數，所以，當y≤91時，v(y)≤v(91)

。水作用在圓桶上阻力D總是小于0.12×u(91)=0.16kg，圓桶向下協力（W-B）近似于26.06kg，該值比D

大得多。所以，u(91)

就是v(91)很好近似。

數學與信息科學學院

經過上述分析、論證知：將裝滿放射性核廢料圓桶扔到海里，當圓桶抵達深海底91m

時速度可抵達13.93m/s，超出了12.2m/s，所以，將放射性核廢料裝在封閉圓桶里扔到水深為91m海底是不安全。第8頁上述分析是無道理。看下面分析：設u=u(y)是方程數學與信息科學學院特解，則再設ω=ω(y)是方程第9頁特解，則設v=u+aω為方程數學與信息科學學院特解，其中a是待定參數，則從而第10頁其中數學與信息科學學院（16）

因為

所以

第11頁數學與信息科學學院所以，由式（3）、（18）~（20）得二次方程二次方程式（20）解為（22）第12頁因為數學與信息科學學院所以

當不存在阻力時，圓桶下沉速度總要比有阻力時下沉速度快，所以v(91)<u(91)，又因為v(y)≥0，所以取a=0.66188，從而第13頁計算機仿真由式（5）得數學與信息科學學院則所以當v(y)≥0時，

，所以y=y(v)有唯一反函數v=v(y)。

另首先，因為

第14頁所以數學與信息科學學院將式（27）~（29）代入到式（14）得方程式（30）解為第15頁由式（10），（12）得數學與信息科學學院所以設

，則第16頁數學與信息科學學院所以

在區間[0,91]單調下降，于是所以從而第17頁又因為

v(y)，故取因為方程式（25）可化為數學與信息科學學院

利用MATLAB

軟件編程繪制出函數式(34)，(35)圖像如圖10-1所表示。仿真結果表明：用速度函數式(34)代替由隱函數方程式(35)確定圓桶運動真實速度，其擬合精度已經非常高。第18頁數學與信息科學學院第19頁6．水電站調壓塔功效

當前我們使用電能，是發電廠發出電經過輸電、變電和配電后供給。發電系統發電方式主要包含：水力發電，火力發電，核能發電等。

水力發電是當位于高處水（含有勢能）往低處流動時勢能轉換為動能。此時裝設在水道低處水輪機，因水流動能推進葉片而轉動（機械能），假如將水輪機連接發電機，就能帶動發電機轉動將機械能轉換為電能。水力發電普通可分為川流式、水壩（庫）式發電。

對于水庫式發電，水電站要把貯存在水庫水經過長達數百米管道引到水輪發電機。在輸送水流過程中會碰到嚴重水擊作用致使管道破裂。數學與信息科學學院第20頁

水利發電含有用電負荷突然發生改變時調整作用。當用電負荷突然上升時，要馬上增加輸送水量以增加發電量；當用電負荷下降時，又要使水流很快慢下來以降低發電量。因為水是不可壓縮液體，管道本身彈性又非常小，致使水高壓波沿管道傳輸，工程上稱為“水擊作用”，它是可能破壞管道。緩解這種作用方法是在輸送管中水進入水輪機前先注入一個稱為調壓塔貯水箱中。數學與信息科學學院

當負荷需求較低時，水輪機需要水量較少，調壓塔貯存下大量水，水位較高。當負荷需求突然變大時，能夠用塔中水滿足水輪機對水量需求增加，防止輸送管道中水流速度發生突然大改變。

現在討論當調壓塔出口水流速度改變時，調壓塔水位怎樣改變，并分析水位改變過程與各參數之間關系。輸水管—調壓塔部分如圖11-1所表示。第21頁數學與信息科學學院

設輸水管管長為L，截面積為s1，與地面成夾角α，水流速度u(t)，兩端壓強分別p1

和p2(t)。調壓塔水液面高h(t)，截面積s0，頂部大氣壓p0，出口水流速度v(t)，出口截面積s2，水密度為ρ。假設水庫水位不變，所以輸水管始端壓強為是p1

常數。水與水管均無彈性。

第22頁

由流體運動學知，單位長度管壁對水流阻力與水流速度平方成正比，百分比系數c

為粘滯系數。數學與信息科學學院

依據以上說明及假設，作用在水運動方向力有：輸水管兩端壓強差形成壓力s1(p1-p2)；水柱本身重力Ls1sinαρg

；管壁對水流阻力cLu2(t)。依據牛頓第二定律得方程

因為調壓塔進水口在塔底部，塔內水柱重力ρs0gh形成底部與頂部壓力差s1p2-s0p0。于是得靜力學方程第23頁

依據守恒定律，調壓塔進出水量之差等于塔內水位改變，所以對上三式加以整理，消去p2

和u(t)得微分方程數學與信息科學學院注：1.消去p2，由（2）式得

2.消去u(t)，由（3）式得

。進而

將上兩式代入到（1）式第24頁從而數學與信息科學學院第25頁

這是一個非線性二階微分方程，它求解相當困難。所以只能就尤其情形來討論。數學與信息科學學院

設調壓塔出口水流速度v(t)穩定，即v(t)=v0為常數，當v(