禹州市第三高級中學(xué)潤澤校區(qū)2024—2025下學(xué)期高二（3月）階段性考試數(shù)學(xué)試卷命題人：劉倩倩審題人：陳水彩一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.已知直線與垂直，則實數(shù)（）A.3 B.-3 C.2 D.12.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.53.如圖，四面體中，，，，，，且（）A. B.C. D.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.15 C. D.305.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.18種6.“City不City”是一個今年在網(wǎng)絡(luò)上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達(dá)對中國城市深刻印象的一種新穎方式.現(xiàn)將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種7.提供四種不同顏色顏料給圖中六個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（）A.288種 B.296種 C.362種 D.384種8.設(shè)分別是雙曲線左右焦點，過雙曲線上一點作切線交軸于點，若，，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．）9.已知展開式的二項式系數(shù)和為512，，下列選項正確的是（）A. B.C.被8整除的余數(shù)為1 D.10.現(xiàn)有個編號為的盒子和個編號為的小球，要求把個小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有種B.有空盒子的方法共有種C.恰有個盒子不放球的方法共有種D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有種11.如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，則下列關(guān)于“楊輝三角”的性質(zhì)中正確的是（）A.B.第8行所有數(shù)字之和為256C.D.記第20，21行數(shù)字的最大值分別為，則三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線的傾斜角為__________.13.已知，那么________．14.數(shù)學(xué)的浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數(shù)的平方且可以表示為連續(xù)正整數(shù)的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學(xué)想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標(biāo)題可起為______年之約.四、解答題（共5小題，共77分．解題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種數(shù)．（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩端位置；（2）全體排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全體排成一行，其中男生必須排在一起；（4）全體排成一行，男、女各不相鄰；（5）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；（6）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差為d且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.18已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)取值范圍.19.已知橢圓的離心率為是的左、右焦點，且，直線過點與交于兩點.（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）若直線過點與交于兩點，且的斜率乘積為分別是線段的中點，求面積的最大值.

禹州市第三高級中學(xué)潤澤校區(qū)2024—2025下學(xué)期高二（3月）階段性考試數(shù)學(xué)試卷命題人：劉倩倩審題人：陳水彩一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.已知直線與垂直，則實數(shù)（）A.3 B.-3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用兩條直線垂直的充要條件計算即可得解。【詳解】因，所以，所以。故答案為：B2.已知向量，，且，那么（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由向量，，且，得，則，則.故選：C3.如圖，在四面體中，，，，，，且（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可求解．【詳解】，，，即.故選：D.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.15 C. D.30【答案】B【解析】【分析】結(jié)合二項展開式的通項公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數(shù)為，故選：B.5.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種 B.12種 C.15種 D.18種【答案】A【解析】【分析】在四盞熄滅的燈中，使用插空法即可求解；【詳解】四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個空中放入3盛亮燈，即不同的開燈方案有（種）故選：A6.“City不City”是一個今年在網(wǎng)絡(luò)上迅速走紅的流行語，這句流行語也成為了外國游客表達(dá)對中國城市深刻印象的一種新穎方式.現(xiàn)將一對C，一對i，一對t，一對y重新組合排成一行，若至多有2對相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A.2124種 B.2148種 C.2352種 D.2420種【答案】C【解析】【分析】由間接法，求得恰有3對和4對的情況，即可求解；【詳解】恰有3對相同的字母相鄰的排法有：,有4對相同的字母相鄰的排法有：,8個字母的全排列為：,所以至多有2對相同的字母相鄰的不同的排法有：，故選：C7.提供四種不同顏色的顏料給圖中六個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（）A.288種 B.296種 C.362種 D.384種【答案】D【解析】【分析】分2號區(qū)域和6號區(qū)域同色，2號區(qū)域與4號區(qū)域同色，2號區(qū)域與4號區(qū)域，6號區(qū)域均不同色三種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【詳解】首先三個區(qū)域有種涂法，當(dāng)2號區(qū)域和6號區(qū)域同色時，有種涂法；當(dāng)2號區(qū)域與4號區(qū)域同色時，有種涂法；當(dāng)2號區(qū)域與4號區(qū)域，6號區(qū)域均不同色時，有種涂法，綜上，共有384種涂法.故選：D.8.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點，過雙曲線上一點作切線交軸于點，若，，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知切線為的角平分線，求得各個內(nèi)角，再結(jié)合正弦定理即可求解；【詳解】連接，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知切線為的角平分線；則，又，所以，所以在中，由正弦定理可得：，所以，也即，所以，故選：D二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分．）9.已知展開式的二項式系數(shù)和為512，，下列選項正確的是（）A. B.C.被8整除的余數(shù)為1 D.【答案】BCD【解析】【分析】先利用二項式系數(shù)和結(jié)論得到，然后取特殊值即可驗證A，取得，與聯(lián)立求解即可驗證B，換元并使用二項式定理即可驗證C，求出每一項系數(shù)的符號并取特殊值即可驗證D．【詳解】由已知有，故，．所以．對于A，取得，取得，所以，A錯誤；對于B，取得，又，所以，B正確；對于C，，則后一項即為余數(shù)1，C正確；對于D，由有．在中取得，所以，D正確.故選：BCD．10.現(xiàn)有個編號為的盒子和個編號為的小球，要求把個小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.沒有空盒子的方法共有種B.有空盒子的方法共有種C.恰有個盒子不放球的方法共有種D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有種【答案】AC【解析】【分析】對于A，沒有空盒即4個球4個盒子全排列即得；對于B，可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法，再減去沒有空盒的情況，即可求解；對于C，恰有一個空盒，即另外三個盒子都有球，而球共四個，必然有一個盒子中放了兩個球，求解即得；對于D，只需從四盒四球中選定標(biāo)號相同的球和盒，另外的球與盒不能對應(yīng)，求解即得．【詳解】對于選項A，把4個小球全部放進(jìn)盒子中，沒有空盒子，相當(dāng)于4個小球在4個盒子上進(jìn)行全排列，故共有種方法，所以選項A正確，對于選項B，有空盒子，因為有4個球，每個球各有4種放法，故共有種方法，所以選項B錯誤；對于選項C，恰有1個盒子不放球，說明另外三個盒子都有球，而球共4個，則必有一個盒子放了2個球，先將四盒中選一個作為空盒，再將4球中選出2球綁在一起，再對三個盒子全排共有種方法，故C正確；對于選項D，恰有一個小球放入自己編號的盒中，則從四盒四球中選定標(biāo)號相同的球和盒有種，另外三球三盒不能對應(yīng)共2種，則共有種方法，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，則下列關(guān)于“楊輝三角”的性質(zhì)中正確的是（）A.B.第8行所有數(shù)字之和256C.D.記第20，21行數(shù)字的最大值分別為，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“楊輝三角”，利用組合數(shù)的計算可判斷A和C；利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷B和D.【詳解】對于A，，所以，故A錯誤；對于B，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，第行各數(shù)的和為，所以第8行所有數(shù)字之和為，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，第20行數(shù)字的最大值為，第21行數(shù)字的最大值為，所以，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線的傾斜角為__________.【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)即可求得斜率，可得傾斜角.【詳解】由題意得，當(dāng)時，切線的斜率為1，故切線的傾斜角為.故答案為：13.已知，那么________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為所以所以，解得故答案為：14.數(shù)學(xué)浪漫難以言表，今年是2025年，，，我們將可以表示成某個整數(shù)的平方且可以表示為連續(xù)正整數(shù)的立方和的年份成為“完美平方年”，小張同學(xué)想給下一個完美平方年的人寫一封信，則標(biāo)題可起為______年之約.【答案】千或1000【解析】【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法證明，根據(jù)得到下一個完美平方年為，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，猜想，顯然時，若時，成立，當(dāng)時，，所以時，也成立，由，故下一個完美平方年為年，所以，故標(biāo)題可為千年之約.故答案為：千或1000四、解答題（共5小題，共77分．解題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法種數(shù)．（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩端位置；（2）全體排成一行，其中甲不在最左端，乙不在最右端；（3）全體排成一行，其中男生必須排在一起；（4）全體排成一行，男、女各不相鄰；（5）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；（6）全體排成前后兩排，前排3人，后排4人．【答案】（1）2160種（2）3720種（3）720種（4）144種（5）840種（6）5040種【解析】【分析】（1）先安排甲，剩下元素全排列即可求解；（2）直接法：甲是否在最右端分兩類求解；間接法：先排最左端位置（除去甲外），減去甲不在最左端且乙在最右端的情況即可；（3）由捆綁法即可求解；（4）先排好男生，再由插空法求解；（5）由定序法即可求解；（6）分排問題轉(zhuǎn)換成直排即可求解；【小問1詳解】甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共3個位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有種排法．【小問2詳解】直接法（位置分析）：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端有種排法；第二類：甲不在最右端時，甲有5個位置可選，而乙也有5個位置可選，而其余全排列，有種排法，由分步乘法計數(shù)原理得有種排法．故共有種排法．間接法：先排最左端位置，除去甲外，有種排法，余下的6個位置全排列有種，但應(yīng)剔除甲不在最左端且乙在最右端的排法種．則符合條件的排法共有（種）．【小問3詳解】將男生看成一個整體，進(jìn)行全排列有種排法，把這個整體看成一個元素再與其他4人進(jìn)行全排列有種排法，共有種排法．【小問4詳解】先排好男生，然后將女生插入排男生時產(chǎn)生的4個空位中，共有種排法．【小問5詳解】第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為，第二步，對甲、乙、丙進(jìn)行全排列，則為7個人的全排列，因此有，故（種）．【小問6詳解】由已知，7個人排在7個位置，與無任何限制的排列相同，有種排法．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，可得答案；（2）由（1）的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量與直線的方向向量，可得答案.【小問1詳解】，，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，.，，，設(shè)為平面的一個法向量，令，得，.設(shè)平面的一個法向量，則，取，又平面與平面不重合，平面平面.【小問2詳解】當(dāng)時，為平面的一個法向量，，則，設(shè)，，，設(shè)直線與平面所成角為，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差為d且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，即可求出，從而求出通項公式；（2）由（1）可得，再利用錯位相減法計算可得.【小問1詳解】因，，成等比數(shù)列，又，所以，即，解得或，當(dāng)時數(shù)列的通項公式；當(dāng)時數(shù)列的通項公式；所以或.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，則，所以，所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求最大值即得.【小問1詳解