河南省部分重點中學2025屆高三1月檢測試題數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．2．設復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（）.A． B． C． D．4．已知函數，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．6．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數，則下列結論錯誤的是()A．函數的最小正周期為πB．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞增D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到8．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④9．小張家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小張家，小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件：“小張在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為，小張離開家的時間為，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（）A． B． C． D．10．已知雙曲線：（，）的右焦點與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．311．設不等式組表示的平面區域為，若從圓：的內部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最小值為__________.14．已知滿足且目標函數的最大值為7，最小值為1，則___________．15．已知函數恰好有3個不同的零點，則實數的取值范圍為____16．執行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數方程為（為參數，為常數，且）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.設點在圓外.（1）求的取值范圍.（2）設直線與圓相交于兩點，若，求的值.18．（12分）在中，內角的對邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長．19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面為正三角形，且面面，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.20．（12分）已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若函數的定義域為,求實數的取值范圍．21．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關系式.22．（10分）設函數，其中．（Ⅰ）當為偶函數時，求函數的極值；（Ⅱ）若函數在區間上有兩個零點，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據程序框圖寫出幾次循環的結果，直到輸出結果是8時.【詳解】第一次循環：第二次循環：第三次循環：第四次循環：第五次循環：第六次循環：第七次循環：第八次循環：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據循環條件依次寫出每次循環結果即可解決，屬于簡單題目.2．A【解析】

由復數的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數對應的點所在象限的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.3．C【解析】

易得，，又，平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，，，所以，即，故離心率為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立的方程或不等關系，是一道中檔題.4．A【解析】分析：作出函數的圖象，利用消元法轉化為關于的函數，構造函數求得函數的導數，利用導數研究函數的單調性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數的應用，構造新函數，求解新函數的導數，利用導數研究新函數的單調性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.5．D【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，，根據對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.6．A【解析】

設成立；反之，滿足，但，故選A.7．D【解析】

由可判斷選項A；當時，可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；可判斷選項D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當時，，所以B正確；當時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查余弦型函數的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.8．D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．9．D【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發生，需滿足，即事件應位于五邊形內，作圖如下：故選：D【點睛】考查幾何概型，是基礎題.10．A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.11．B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應的圓心角，根據幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎題.12．C【解析】

根據三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，，再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長棱長為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得目標函數的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知：可行域是由三點，，構成的三角形及其內部，當直線過點時，取得最小值.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用線性規劃求目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.14．-2【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可．【詳解】由題意得：目標函數在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，∴，，∴直線AB的方程是：，∴則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎題．15．【解析】

恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉化成求函數值域即可.【詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【點睛】已知函數的零點個數求參數的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數的方法，中檔題.16．8【解析】

根據偽代碼逆向運算求得結果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結果：【點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）首先將曲線化為直角坐標方程，由點在圓外，則解得即可；（2）將直線的參數方程代入圓的普通方程，設、對應的參數分別為，列出韋達定理，由及在圓的上方，得，即即可解得；【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為.由點在圓外，得點的坐標為，結合，解得.故的取值范圍是.（2）由直線的參數方程，得直線過點，傾斜角為，將直線的參數方程代入，并整理得，其中.設、對應的參數分別為，則，.由及在圓的上方，得，即，代入①，得，，消去，得，結合，解得.故的值是.【點睛】本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數方程的幾何意義的應用，屬于中檔題.18．（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再根據，利用兩角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【詳解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，則由知先求∴∴∴【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎題.19．（1）見解析（2）（文）（理）【解析】

（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，又EF不在平面PAD內，AG在平面PAD內，∴EF∥面PAD；（2）（文）解：取AD中點O，連結PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離，故；（理）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P-EC-D的正切值為．【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.本題（1）是就是利用方法①證明的.20．(1)(2)【解析】

（1）分類討論，去掉絕對值，化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集即可．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可,根據絕對值不等式的性質求得最小值即可得到答案．【詳解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集為．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可，又，當且僅當時取等，只需最小值，即．所以實數a的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查利用絕對值三角不等式求最值，屬基礎題．21．（1）；（2）m－n－1＝0【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點構成等腰直角三角形，可求得b的值，進而得到橢圓方程；（2）設出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯立，得到兩交點坐標關系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關系式，化簡后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關系式.試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝故橢圓C的方程為（2）①當直線l的斜率不存在時，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±不妨設A（1，），B（1，－）因為k1＋k3＝＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的關系式為＝1，即m－n－1＝0②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝k（x－1）將y＝k（x－1）代入，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0設A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k1＋k3＝＝＝＝＝＝2所以2k2＝2，所以k2＝＝1所以m，n的關系式為m－n－1＝0綜上所述，m，n的關系式為m－n－1＝0.考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系，22．（Ⅰ）