泉州市重點中學2025屆高三第二次聯考數學試題文試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為虛數單位，實數滿足，則()A．1 B． C． D．2．已知函數，給出下列四個結論：①函數的值域是；②函數為奇函數；③函數在區間單調遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結論的個數是（）A． B． C． D．3．設，則（）A． B． C． D．4．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．5．向量，，且，則（）A． B． C． D．6．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．7．已知集合，則=A． B． C． D．8．己知，，，則（）A． B． C． D．9．設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．若復數為虛數單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數a為（）A． B．2 C． D．11．拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．12．若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等比數列的前n項和，已知，，則_______.14．如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，若，，則雙曲線的離心率是______.15．已知數列的前項和為，且成等差數列，，數列的前項和為，則滿足的最小正整數的值為______________.16．滿足線性的約束條件的目標函數的最大值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，直線與函數圖象相鄰兩交點的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點是函數圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.18．（12分）已知函數.（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數，.（1）證明：函數的極小值點為1；（2）若函數在有兩個零點，證明：.20．（12分）設函數，其中．（Ⅰ）當為偶函數時，求函數的極值；（Ⅱ）若函數在區間上有兩個零點，求的取值范圍．21．（12分）已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點（不與左、右頂點重合），且的周長為6，點關于原點的對稱點為，直線交于點.（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點，且，求點的坐標.22．（10分）如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】，則故選D.2、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結合正弦函數得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數，故②錯誤；當時，，單調遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數的綜合運用，涉及到函數的值域、函數單調性、函數奇偶性及函數最值等內容，是一道較為綜合的問題.3、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．4、C【解析】

根據三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數據可求得幾何體的體積.【詳解】根據三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.5、D【解析】

根據向量平行的坐標運算以及誘導公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數以及誘導公式的應用，屬于中檔題.6、C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.7、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數學運算素養．采取數軸法，利用數形結合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．8、B【解析】

先將三個數通過指數，對數運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數、對數的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.9、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.10、D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．11、A【解析】

先由題和拋物線的性質求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點F1,0，準線與x軸交點F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質以及雙曲線的定義是解題的關鍵，屬于中檔題.12、B【解析】

復數，在復平面內對應的點在第二象限，可得關于a的不等式組，解得a的范圍.【詳解】，由其在復平面對應的點在第二象限，得，則.故選：B.【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設等比數列的公比為，將已知條件等式轉化為關系式，求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，，.故答案為:.【點睛】本題考查等比數列通項的基本量運算，屬于基礎題.14、【解析】

根據三角形中位線證得，結合判斷出垂直平分，由此求得的值，結合求得的值.【詳解】∵，∴為中點，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.15、1【解析】

本題先根據公式初步找到數列的通項公式，然后根據等差中項的性質可解得的值，即可確定數列的通項公式，代入數列的表達式計算出數列的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前項和，再代入不等式進行計算可得最小正整數的值．【詳解】由題意，當時，．當時，．則，．，，成等差數列，，即，解得．．，．．．，．即，，即，，，，即．滿足的最小正整數的值為1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查數列求通項公式、裂項相消法求前項和，考查了轉化思想、方程思想，考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數學運算能力．16、1【解析】

作出不等式組表示的平面區域，將直線進行平移，利用的幾何意義，可求出目標函數的最大值。【詳解】由，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當直線經過點時，截距最小，此時取得最大值。由，解得，代入直線，得。【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃問題的解法——平移法。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函數，利用和差公式和倍角公式，化簡即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數，根據點是函數圖象的一個對稱中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性質即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大值為最小正周期為(Ⅱ)由題意及（Ⅰ）知，,故故的面積的最大值為.【點睛】本題考查三角函數的和差公式、倍角公式、三角函數的圖象與性質、余弦定理、基本不等式的性質，考查理解辨析能力與運算求解能力，屬于中檔基礎題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由此可知，的解集為（2）當時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當時，，且，不恒成立，不符合題意.當時，，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據絕對值不等式恒成立求參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數的正負確定函數的增減.(2)函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令通過二次求導確定函數單調性證明參數范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區間遞減；當時，，所以，所以在區間遞增；且，所以函數的極小值點為1（2）函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令，則令，則，所以在單調遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調遞減，在區間單調遞增，且，又因為，所以，方程關于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性,確定函數的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數范圍,屬于難題.20、（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）根據偶函數定義列方程，解得.再求導數，根據導函數零點列表分析導函數符號變化規律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉化研究函數，，利用導數研究單調性與圖象，最后根據圖象確定滿足條件的的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由函數是偶函數，得，即對于任意實數都成立，所以.此時，則.由，解得.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調遞減，在上單調遞增.所以有極小值，有極大值.（Ⅱ）由，得.所以“在區間上有兩個零點”等價于“直線與曲線，有且只有兩個公共點”.對函數求導，得.由，解得，.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調遞減，在上單調遞增.又因為，，，，所以當或時，直線與曲線，有且只有兩個公共點.即當或時，函數在區間上有兩個零點.【點睛】利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.21、（1）；（2）或【解析】

（1）根據的周長為，結合離心率，求出，即可求出方程；（2）設，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標，直接驗證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯立，求出點坐標，根據和三點共線，將點坐標用表示，坐標代入橢圓方程，即可求解.【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，的周長為6，設橢圓的焦距為，則解得，，，所以橢圓方程為.（2）設，則，且，所以的方程為①.若，則的方程為②，由對稱性不妨令點在軸上方，則，，聯立①，②解得即.的方程為，代入橢圓方程得，整理得，或，.，不符合條件.若，則的方程為，即③.聯立①，③可解得所以.因為，設所以，即.又因為位于軸異側，所以.因為三點共線，即應與共線，所以，即，所以，又，所以，解得，所以，所以點的坐標為或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程以及應用、直線與橢圓的位置關系，考查分類討論思想和計算求解能力，屬于較難題.22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據條件證明，即；（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接.∵，∴為的中點.又為的中點