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文檔簡介

江蘇省淮安市田家炳中學2025屆高三3月高考適應性調研考試數學試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知函數,當時,恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.3.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.4.某個小區住戶共200戶,為調查小區居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為()A.10 B.50 C.60 D.1405.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知是虛數單位,則()A. B. C. D.7.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作,每項工作至少一人,每人做且僅做一項工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種8.已知是定義在上的奇函數,當時,,則()A. B.2 C.3 D.9.已知實數,滿足約束條件,則目標函數的最小值為A. B.C. D.10.已知函數,且),則“在上是單調函數”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知的展開式中的常數項為8,則實數()A.2 B.-2 C.-3 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,點是邊的中點,則__________,________.14.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.15.設命題:,,則:__________.16.設是定義在上的函數,且,對任意,若經過點的一次函數與軸的交點為,且互不相等,則稱為關于函數的平均數,記為.當_________時,為的幾何平均數.(只需寫出一個符合要求的函數即可)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數,為實數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線與曲線交于,兩點,線段的中點為.(1)求線段長的最小值;(2)求點的軌跡方程.18.(12分)已知函數(I)若討論的單調性;(Ⅱ)若,且對于函數的圖象上兩點,存在,使得函數的圖象在處的切線.求證:.19.(12分)在平面直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為;直線的參數方程為(為參數),直線與曲線分別交于兩點.(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若點的極坐標為,,求的值.20.(12分)已知拋物線:()上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.(1)求p的值;(2)設()為拋物線上的動點,過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.21.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標系中,橢圓:的右焦點為(,為常數),離心率等于0.8,過焦點、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點.⑴求橢圓的標準方程;⑵若時,,求實數;⑶試問的值是否與的大小無關,并證明你的結論.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.2、A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構造函數,結合的單調性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設,由,顯然在上單調遞增,因為,所以等價于,即,則.設,則.令,解得,易得在上單調遞增,在上單調遞減,從而,故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數單調性是解決本題的關鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎題.3、D【解析】

作出不等式組對應的平面區域,利用目標函數的幾何意義,利用數形結合即可得到結論.【詳解】作出不等式組表示的平面區域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當直線經過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規劃的應用,利用目標函數的幾何意義,結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法.4、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區內用水量超過15立方米的住戶戶數為,故選C5、C【解析】

先解不等式,可得出,求出函數的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關于的不等式,即可解得實數的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當時,由,得,解得,此時;②當時,由,得.所以,不等式的解集為.下面來求函數的值域.當時,,則,此時;當時,,此時.綜上所述,函數的值域為,由于在定義域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實數的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數不等式恒成立求參數,同時也考查了分段函數基本性質的應用,考查分類討論思想的應用,屬于中等題.6、B【解析】

根據復數的乘法運算法則,直接計算,即可得出結果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復數的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎題型.7、C【解析】

根據題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,由分步計數原理計算可得答案.【詳解】解:根據題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,有種情況,此時有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分步計數原理的應用,屬于基礎題.8、A【解析】

由奇函數定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數,.又當時,,.故選:A.【點睛】本題考查函數的奇偶性,掌握奇函數的定義是解題關鍵.9、B【解析】

作出不等式組對應的平面區域,目標函數的幾何意義為動點到定點的斜率,利用數形結合即可得到的最小值.【詳解】解:作出不等式組對應的平面區域如圖:目標函數的幾何意義為動點到定點的斜率,當位于時,此時的斜率最小,此時.故選B.【點睛】本題主要考查線性規劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算,利用z的幾何意義,通過數形結合是解決本題的關鍵.10、C【解析】

先求出復合函數在上是單調函數的充要條件,再看其和的包含關系,利用集合間包含關系與充要條件之間的關系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域為或,(且)令,其在單調遞減,單調遞增,在上是單調函數,其充要條件為即.故選:C.【點睛】本題考查了復合函數的單調性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎題.11、B【解析】,選B12、A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項與相乘,將所有結果為常數的相加,即為展開式的常數項,從而求出的值.【詳解】展開式的通項為,當取2時,常數項為,當取時,常數項為由題知,則.故選:A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數問題,其中對所取的項要進行分類討論,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

根據正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數量積求解即可.【詳解】中,,,可得因為點是邊的中點,所以故答案為:;.【點睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數量積的應用,考查計算能力,屬于中檔題.14、【解析】

由,解得,進而求出,即可得出結果.【詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點睛】本題主要考查平面向量的運算,平面向量垂直,向量夾角等基礎知識;考查運算求解能力,屬于基礎題.15、,【解析】

存在符號改任意符號,結論變相反.【詳解】命題是特稱命題,則為全稱命題,故將“”改為“”,將“”改為“”,故:,.故答案為:,.【點睛】本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進行否定的方法:(1)改寫量詞:全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;(2)否定結論:對于一般命題的否定只需直接否定結論即可.16、【解析】

由定義可知三點共線,即,通過整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據題意,由定義可知:三點共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式,考查了推理能力,考查了運算能力.本題關鍵是分析出三點共線.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)將曲線的方程化成直角坐標方程為,當時,線段取得最小值,利用幾何法求弦長即可.(2)當點與點不重合時,設,由利用向量的數量積等于可求解,最后驗證當點與點重合時也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標方程為即圓心,半徑,曲線為過定點的直線,易知在圓內,當時,線段長最小為當點與點不重合時,設,化簡得當點與點重合時,也滿足上式,故點的軌跡方程為【點睛】本題考查了極坐標與普通方程的互化、直線與圓的位置關系、列方程求動點的軌跡方程,屬于基礎題.18、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數求導,分別討論,以及,即可得出結果;(2)根據題意,由導數幾何意義得到,將證明轉化為證明即可,再令,設,用導數方法判斷出的單調性,進而可得出結論成立.【詳解】(1)解:易得,函數的定義域為,,令,得或.①當時,時,,函數單調遞減;時,,函數單調遞增.此時,的減區間為,增區間為.②當時,時,,函數單調遞減;或時,,函數單調遞增.此時,的減區間為,增區間為,.③當時,時,,函數單調遞增;此時,的減區間為.綜上,當時,的減區間為,增區間為:當時,的減區間為,增區間為.;當時,增區間為.(2)證明:由題意及導數的幾何意義,得由(1)中得.易知,導函數在上為增函數,所以,要證,只要證,即,即證.因為,不妨令,則.所以,所以在上為增函數,所以,即,所以,即,即.故有(得證).【點睛】本題主要考查導數的應用,通常需要對函數求導,利用導數的方法研究函數的單調性以及函數極值等即可,屬于常考題型.19、(1)曲線的直角坐標方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】

(1)利用代入法消去參數方程中的參數,可得直線的普通方程,極坐標方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標方程;(2)直線的參數方程代入圓的直角坐標方程,根據直線參數方程的幾何意義,利用韋達定理可得結果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標方程為,即,直線的普通方程為.(2)將直線的參數方程代入并化簡、整理,得.因為直線與曲線交于,兩點.所以,解得.由根與系數的關系,得,.因為點的直角坐標為,在直線上.所以,解得,此時滿足.且,故..【點睛】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數化為普通方程,通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程,利用關系式,等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化,這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程,用直角坐標方程解決相應問題.20、(1);(2)【解析】

(1)根據橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,由拋物線的定義得到求解.(2)設過點的直線方程為,根據直線與圓相切,則有,整理得:,根據題意,建立,將韋達定理代入求解.【詳解】(1)因為橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,由拋物線的定義得:,解得:.(2)設過點的直線方程為,因為直線與圓相切,所以,整理得:,,由題意得:所以,,因為,所以,所以.【點睛】本題主要考查拋物線的定義及點與拋物線,直線與圓的位置關系,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取中點,中點,連接,,.設交于,則為的中點,連接.通過證明,證得平面,由此證得平面平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點,中點,連接,,.設交于,則為的中點,連接.設,則,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如圖所示的空間坐標系,設,則,,,,,,,,設平面的法向量為,∴,令得.設平面的法向量為,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.22、(1)(2)(3)為定值【解析】試題分析:(1)利用待定系數法可得,橢圓方程為;(2)我們要知道=的

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