2025年大學統計學期末考試：基礎概念與環境統計試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統計量要求：計算以下數據的均值、中位數、眾數、方差、標準差和四分位數。1.數據：2,4,5,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,102.數據：12,15,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,293.數據：3,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10,10,104.數據：5,5,5,6,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,105.數據：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,166.數據：16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,27.數據：7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,78.數據：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,159.數據：15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,110.數據：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45二、概率分布要求：計算以下隨機變量的概率分布。1.拋擲一枚公平的六面骰子，求得到偶數的概率。2.拋擲一枚公平的硬幣，求得到正面的概率。3.從一副52張的撲克牌中隨機抽取一張牌，求得到紅桃的概率。4.從1到100中隨機抽取一個整數，求得到偶數的概率。5.從1到10中隨機抽取一個整數，求得到奇數的概率。6.拋擲一枚公平的四面骰子，求得到大于3的概率。7.拋擲一枚公平的四面骰子，求得到小于2的概率。8.從1到100中隨機抽取一個整數，求得到介于50和80之間的概率。9.從1到100中隨機抽取一個整數，求得到介于10和90之間的概率。10.從1到100中隨機抽取一個整數，求得到介于5和95之間的概率。三、樣本與總體要求：判斷以下陳述是否正確，并簡要說明理由。1.樣本是從總體中隨機抽取的一部分個體，而總體是樣本的集合。2.樣本量越大，樣本的代表性越好。3.總體參數可以通過樣本統計量來估計。4.樣本統計量是總體參數的無偏估計。5.樣本統計量是總體參數的精確估計。6.樣本統計量是總體參數的近似估計。7.總體參數可以通過樣本統計量來推斷。8.樣本統計量可以用來推斷總體參數。9.樣本統計量是總體參數的唯一估計。10.樣本統計量是總體參數的充分必要條件。四、假設檢驗要求：根據以下信息，完成相應的假設檢驗。1.已知某廠生產的零件長度服從正態分布，方差為0.16。從該廠生產的一批零件中隨機抽取20個，計算樣本均值為1.9厘米。假設零件長度的均值是2厘米，使用α=0.05進行假設檢驗。2.一項關于某地區居民平均年齡的研究顯示，從隨機抽取的100名居民中，計算得到樣本平均年齡為35歲，樣本標準差為5歲。假設該地區居民的平均年齡為40歲，使用α=0.01進行假設檢驗。3.某項研究表明，某品牌洗衣機的平均壽命為800小時，標準差為50小時。從該品牌隨機抽取了15臺洗衣機，計算樣本均值為820小時。假設該品牌洗衣機的平均壽命沒有變化，使用α=0.10進行假設檢驗。五、回歸分析要求：根據以下信息，完成相應的回歸分析。1.研究了某城市居民的年收入（Y）與年齡（X）之間的關系，得到了以下線性回歸方程：Y=2.5X+5000。假設該模型的R2為0.80，計算年齡為30歲的居民預期年收入。2.一項關于產品銷售的研究表明，銷售量（Y）與廣告支出（X）之間的關系可以用以下二次回歸方程表示：Y=0.5X2+30X+1000。假設廣告支出為1000元，計算該次廣告活動的預期銷售量。3.在某項研究中，研究人員發現，學生的學習成績（Y）與學習時間（X）之間的關系可以用以下線性回歸方程表示：Y=0.4X+60。假設學生的學習時間為10小時，計算該學生的學習成績預期值。六、時間序列分析要求：根據以下信息，完成相應的時間序列分析。1.某公司過去五年的年度銷售額如下：2000年，1000萬元；2001年，1100萬元；2002年，1200萬元；2003年，1300萬元；2004年，1400萬元。請分析該公司銷售額的趨勢和季節性，并預測2005年的銷售額。2.某地區近三年的降雨量如下：2000年，300毫米；2001年，400毫米；2002年，450毫米。請分析該地區降雨量的趨勢和季節性，并預測2003年的降雨量。3.某城市的年度人口增長率如下：1990年，2%；1991年，2.5%；1992年，3%；1993年，3.5%；1994年，4%。請分析該城市人口增長率的趨勢和季節性，并預測1995年的增長率。本次試卷答案如下：一、描述性統計量1.均值：(2+4+5+5+6+6+7+7+7+8+8+8+9+9+10)/15=6.8中位數：第8個數，即7眾數：7方差：[(2-6.8)2+(4-6.8)2+...+(10-6.8)2]/15=3.2標準差：√3.2≈1.79四分位數：Q1=(2+4)/2=3,Q3=(9+10)/2=9.52.均值：(12+15+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29)/15=21中位數：第8個數，即21眾數：無方差：[(12-21)2+(15-21)2+...+(29-21)2]/15=70.4標準差：√70.4≈8.37四分位數：Q1=(12+15)/2=13.5,Q3=(27+28)/2=27.53.均值：(3+6+6+6+7+7+7+8+8+8+9+9+10)/15=7中位數：第8個數，即8眾數：8方差：[(3-7)2+(6-7)2+...+(10-7)2]/15=3.2標準差：√3.2≈1.79四分位數：Q1=(3+6)/2=4.5,Q3=(9+10)/2=9.54.均值：(5+5+5+6+6+6+7+7+7+8+8+8+9+9+10)/15=7中位數：第8個數，即8眾數：8方差：[(5-7)2+(5-7)2+...+(10-7)2]/15=3.2標準差：√3.2≈1.79四分位數：Q1=(5+5)/2=5,Q3=(9+10)/2=9.55.均值：(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)/15=9中位數：第8個數，即11眾數：無方差：[(2-9)2+(3-9)2+...+(16-9)2]/15=31.2標準差：√31.2≈5.59四分位數：Q1=(2+3)/2=2.5,Q3=(14+15)/2=14.56.均值：(16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2)/15=9中位數：第8個數，即10眾數：無方差：[(16-9)2+(15-9)2+...+(2-9)2]/15=31.2標準差：√31.2≈5.59四分位數：Q1=(16+15)/2=15.5,Q3=(4+3)/2=3.57.均值：(7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7)/15=7中位數：第8個數，即7眾數：7方差：[(7-7)2+(7-7)2+...+(7-7)2]/15=0標準差：√0=0四分位數：Q1=Q2=Q3=78.均值：(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)/15=7中位數：第8個數，即10眾數：無方差：[(1-7)2+(2-7)2+...+(15-7)2]/15=32.2標準差：√32.2≈5.69四分位數：Q1=(1+2)/2=1.5,Q3=(14+15)/2=14.59.均值：(15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)/15=7中位數：第8個數，即10眾數：無方差：[(15-7)2+(14-7)2+...+(1-7)2]/15=32.2標準差：√32.2≈5.69四分位數：Q1=(15+14)/2=14.5,Q3=(2+1)/2=1.510.均值：(3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33+36+39+42+45)/15=24中位數：第8個數，即30眾數：無方差：[(3-24)2+(6-24)2+...+(45-24)2]/15=238.4標準差：√238.4≈15.48四分位數：Q1=(3+6)/2=4.5,Q3=(39+42)/2=40.5二、概率分布1.概率=3/6=0.52.概率=1/2=0.53.概率=13/52=0.254.概率=50/100=0.55.概率=5/10=0.56.概率=1/4=0.257.概率=1/4=0.258.概率=(80-50)/(100-50)=0.39.概率=(90-10)/(100-10)=0.810.概率=(95-5)/(100-5)=0.9三、樣本與總體1.錯誤。樣本是從總體中隨機抽取的一部分個體，而總體是樣本的集合。2.正確。樣本量越大，樣本的代表性越好。3.正確。總體參數可以通過樣本統計量來估計。4.正確。樣本統計量是總體參數的無偏估計。5.錯誤。樣本統計量是總體參數的近似估計。6.正確。樣本統計量是總體參數的近似估計。7.正確。總體參數可以通過樣本統計量來推斷。8.正確。樣本統計量可以用來推斷總體參數。9.錯誤。樣本統計量不是總體參數的唯一估計。10.錯誤。樣本統計量不是總體參數的充分必要條件。四、假設檢驗1.使用t檢驗，計算t值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(1.9-2)/(0.4/√20)≈-1.96由于t值小于臨界值（α/2=0.025），拒絕原假設，接受備擇假設，即零件長度的均值不是2厘米。2.使用t檢驗，計算t值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(35-40)/(5/√100)≈-2.83由于t值小于臨界值（α/2=0.005），拒絕原假設，接受備擇假設，即該地區居民的平均年齡不是40歲。3.使用t檢驗，計算t值：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)t=(820-800)/(50/√15)≈1.22由于t值大于臨界值（α/2=0.10），不拒絕原假設，即該品牌洗衣機的平均壽命沒有變化。五、回歸分析1.預期年收入=2.5*30+5000=6700元2.預期銷售量=0.5*(1000)2+30*1000+1000