懷化市2024年下期期末考試試題

高一數學

考試時長：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是符合題目要求的.

1.已知」8=[2,4,5,61,則川8=（）

A.；,v|l<.r<8；B.[23455,6；C.D.11,2,3,4,5,6：

【答案】D

【解析】

【分析】根據并集的定義計算可得.

【詳解】因為』=；1,3,5|,8=[2,4,5,6,

所以/U8=；1,2,3,4.5,6；.

故選：D

2.如圖，角a的頂點在原點，始邊在'軸的非負半軸上，它的終邊與單位圓。相交于點P,且點P的橫坐

_3

標為一，貝Icosa的值為（）

3344

-B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根據三角函數的定義計算可得.

3

【詳解】因為角a的終邊與單位圓。相交于點P,且點P的橫坐標為一,

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所以一、〃-

故選：B

3.已知x€R,則“K<I”是“X<0”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由x<l推不出'<0,故充分性不成立；

由x<0推得出x<I,故必要性成立；

所以“K<I"是U<0”的必要不充分條件.

故選：B

4.已知函數〃出=、

C.I”D.I；

【答案】A

【解析】

【分析】根據分段函數解析式計算可得.

lgx,x>9

【詳解】因為/(x+l),x<9,

所以川)=/(2)=…=/(8)=/(9)=〃10)=lgl0=l.

故選：A

5.函數。+3U+I在區間「力,3：上是單調遞減的，則實數。的取值范圍是(

A.(3,+00)B.(-8,3]C.(-00,-9]D.(-9,+ao)

【答案】c

【解析】

【分析】利用二次函數的性質求解參數范圍即可.

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【詳解】由題意，/（*=/+S-3）x+l的圖象開口向上，對稱軸為直線、?=-3

因為/（X）在區間（-8,3]上單調遞減，所以-等23,

解得70,-9].

故選：C.

6.下列比較大小中正確的是（）

A.log53>log43

【答案】D

【解析】

【分析】根據換底公式及對數函數的性質判斷A,根據塞函數的性質判斷B、D,根據中間量判斷C.

.,logjI.,logj3i

【詳解】對于A：因為叱3=小=布,1嗚3=市=醞'

又log/AlogM〉。，所以一-<-~~所以logRvlogQ,故A錯誤;

log,5log,4

23

對于B：因為F=x"在（七。|上單調遞減，一；＜一5,所以,故B錯誤;

2(,、］7

對于C：因為In；<In1=0,111'°>Q,所以In*<|-|,故C錯誤;

35

1，=/在（0,+8）上單調遞增,

對于D：因為-

所以,即,故D正確;

7

故選：D

7.已知6＞。，log力=。，IgA=c,V=10,則下列一定成立的是（）

A.d-acB.r=adD.d=ac

【答案】C

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【解析】

【分析】根據指數與對數的關系及指數暴的運算性質計算可得.

【詳解】因log力=a,Igb=C，所以巧=b,b=IQ：

又V=10,所以/>=10,=(71'=7",

又丁=h,所以y=r,所以a=cd.

故選：c

8.已知a-P=；,tana-tan^=2,貝i|co$(atpl的值是()

>/3-lV3+16+1V3-1

A.----B.----C.----D.----

2244

【答案】A

【解析】

【分析】由tana-tan/J=2將切化弦，再通分，結合兩角差的正弦公式求出co、acosp,再由兩角差的

余弦公式求出、inasinp,即可得解.

【詳解】因為sna-tanp=2,a-/3=；,

.n

所以sinasinp_sinacos/?-sin^cosa_sin(a-p\J

cosacospcosacos。cosacosftcosacos0

所以cosacos[i

又cos(a-pi=cosacosp+sinasin0=-,所以sinasin。=)

224

,na行(1⑸61

所以cos(a+p)=cosacosp-smasinp=-=-----.

4124J22

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是由所給條件推導出3§夕、sinasin/)'的值.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

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9.下列命題是真命題的有（）

B.若°>分且?|,則亦<0

A.若。>方，c>d,則ac>bd

ab

C.若a>b>0,c>0,則/<D.若。>〃，貝I］；;「卜「

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特殊值判斷A、D,利用不等式性質判斷B、C.

［詳解］對于A：如4=2,/>=0,c=1,d=-2,滿足a>b,<>J,

但是ac<hd,故A錯誤；

,1111h-a

對于B：因為。>萬，所以b-a<A0,又>,,所以--=——>0n,

ababab

所以a8<0,故B正確；

對于C：因為。>b>0,所以「>h：>0,則:■<*,又c>0,所以*■〈本，故C正確;

對于D：若c=0,則“..人=u,故D錯誤.

故選：BC.

10.下列關于函數〃x}=2sin（3x+；J的說法正確的是（）

A.要得到函數/（的圖象，只需將函數r=2sin的圖象向左平移三個單位

B.函數/（皿的圖象關于點（一［，0）中心對稱

C.若〃X)=Q,

則rm

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據三角函數的平移變換判斷A,根據正弦函數的性質判斷B、D,利用誘導公式判斷C.

【詳解】對于A：將函數J=2sin3x的圖象向左平移3個單位得到J=2sin3］x+［「-2sin3K,故A

錯誤;

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對于B：因為/(一；J=2sin(_：+：J=0,所以函數/(皿的圖象關于點(一］,0

中心對稱,故B正確;

/JC1I「it

對于C：因為/(."=2sin|3K+￡；=彳，所以Sin3"g

\3/23

因為>?=$inx在卜器)上單調遞增，所以函數.v=2sin(3x+j)在區間(一，2)內單調遞增，故D

正確；

故選：BCD

11.若,/l-V|是定義在R上的函數，當X>0時，./(.v|>0，且對任意x,「ER,

［向"(小小+『)/(*-.11恒成立，則下列說法正確的是()

A../(0)=0

B.是偶函數

C.〃2x-l)的圖象關于悖0)對稱

D.若川>“,則〃恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x='?=°可求出八0)判斷A,X=0可得函數的奇偶性判斷B,函數的奇偶性，得到函數的對

稱性，即可判斷C,利用單調性的定義判斷D.

【詳解】已知〃X+y)/(X-y)=[/(X)]2-[/(V)]2,

令Jt=J=Q,可得/I0I/I0I=6,解得/(0)=0,故A正確;

再令?=(),得〃./(-?=[/(0)了-[/3了，

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即/r|/l-y)=[/IF)]2.因為/I.“=0不恒成立，所以=,

所以/(“為奇函數，故B錯誤；

因為/(?“為奇函數，所以〃x|關于原點對稱，則/(2X-II的圖象關于Ig,o)對稱，故c正確;

因為當.1>。時，〃x)>0,所以當\<0時，-x>0,則

設任意的王，sHa+g)，且><4,

/(司+七)/(占一與)

所以

/(XI)+/(XJ)

因為不，X,e|0,+oo),且L<r,

所以可一三<0,/(x)+.rj>0,/(x,)>0,/|.v;)>0,

所以〃xJ-/(xj<0,即

所以(0.y[上單調遞增，則在(凡Oj上單調遞增，

又〃0)=0,且當1>()時，〃x|>0,當x<()時，/(“<0,

所以/(X)是R上的增函數，貝U當何>〃時，./(〃”>/l"j恒成立，故D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：對于抽象函數求函數值一般采用賦值法，抽象函數的單調性的證明通常是利用定義

法.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/"|=皿'+"的定義域是.

A—3

【答案】(-1.3)53,+8)

【解析】

【詳解】,即定義域為(-L3)53,+8)

,r-3*0

點睛：常見基本初等函數定義域的基本要求

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(1)分式函數中分母不等于零.

(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.

(4)y=x°的定義域是{x|xWO}.

(5)y=a”(a>0且aWl),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.

(6)y=logax(a>0且aWl)的定義域為(0,+°°).

13.當x>I時，丫=:’的最小值是.

.r+l

【答案】4

【解析】

【分析】利用換元法，令/=x+1將所給的代數式進行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.

【詳解】由K>1,可得一|>0.

可令/=K+W>0］,即x="l，則1+2-5=(1)2+2(.1)+5=/+&22口-，

x+1ttVt

當且僅當/=2，x=l時，等號成立.

故答案為：4-

14.對于函數=若在其定義域內存在r“，使得=1成立，則稱函數/(K)具有性質P.下

列四個函數中具有性質p的有.(填序號)

①/(x)=-4②g(x)=xlnx③川x)=x-siru=lil.

e"

【答案】②③④

【解析】

【分析】假設函數具有性質p,即判斷=1是否有解，構造函數，結合零點存在性定理判斷即可.

【詳解】對于①：假設/(、?)=_<?具有性質P，則在［0,+“］上存在r“，使得與/(%)=1，

即=因為.％w［O,+8)，所以故方程JR=1無解，

即/卜］=-△不具有性質P，故①錯誤；

,

對于②：假設g(x)=xlnx具有性質P,則在(0,+8)上存在I,使得xo5(Xo)=l

即.1InI=I在I>0時有解，

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設廠(工)=廠|!1.丫-1,x6(0,4-oo))顯然F(x)為定義域上的連續函數，

又F(ll=KO,F(e)=e-1>0,即F(x)在(Le)上有零點，

所以g(x)=-vlnv具有性質P,故②正確；

對于③：假設川=xsim?具有性質p,則存在1.，使得x/(x<J=l,

即1-xsini=I有解，

令〃(W=./-xsinx1,顯然為連續函數，

又〃(0|=」，H[n]=K21>0,所以在(o,n)上存在零點，

所以力(X|=x-sinv具有性質p,故③正確；

X+1

對于④：假設(piw=——具有性質P,則存在入，使得.％<pk)=l,

e

即x(x+l)=1有解,

e*

2J

令m(x)=±±±_],顯然間燈=三土工-1為連續函數，又川-2)=21-1>0,

e'e*

m\0)=1,

所以(20)上存在零點，所以訊回二二1具有性質P,故④正確.

e

故答案為：②③④.

【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是將問題轉化為方程與.八%)=1是否有解，結合零點存在性定理判

斷即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知集合力=卜.-95x-6W0；,fl=[.vV-/H<0.

(1)當加=4時，求

(2)若/c|*心0,求實數機的取值范圍.

【答案】(l){x|x<6}

(2)(?工6]

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【解析】

【分析】(1)首先解一元二次不等式，即可求出集合A,再根據并集的定義計算可得；

(2)首先求出,8,再根據.4c|即可求出，〃的取值范圍.

【小問1詳解】

由1-5.-640,即(x+l|(「6|4O,解得「4x46,

所以」=|K|x：-5x-6S()：=；.v|-1<x<6；,

當加=4時8=|x卜-4<0]=?x\x<4；,

所以』U8=；xXS6；；

【小問2詳解】

因為B=[x]v-m<0；=J.rj.v<,所以RB=；.v|.r>ni\,

又/c|口8)H0,/=；x-1<_r<6[,

所以，〃W6,所以實數機的取值范圍為(z,6].

16.已知函數,/'(.Vi=>/3sin.v-cos.v.

(1)求/(x|的最大值；

(2)若g[x)=./(Heos,且直線J二陽與KlKl的圖象在上有交點，求機的取值范圍.

【答案】(1)2

F3.1

(2)-.2

【解析】

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；

(2)首先利用二倍角公式化簡得到g(x)=sin(2x-：)+l,再求出函數在上的值域，即可求出參

數，〃的取值范圍.

【小問1詳解】

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VJ.i

因為/(x)=V^sin.v-cosx=——sm.r—cosxx—

6

因為sin卜一2卜卜1,1],所以/(Ra=2,

當x-gg+2K.keZ,即.Y=J+2k&keZ時./(x)取得最大值且/(=2；

因為g(W=/Ix|coslx--+1=2sinx-

xx…nn2n~、n]1.,.<3一

當.tw7工，貝！，所以$in2x-；w—A,則g（t|w；,一,

42J3[_63J\s）\_lJ|_2

,>「％x1r3.

又直線F=M與月|x|的圖象在y-y上有交點，所以mw-.2；

17.為了美化城市，某部門計劃在一處綠化帶做一個“福地懷化”字樣的園圃，如圖所示，該園圃的形狀是

扇形0」。挖去半徑為其一半的扇形08c后得到的扇環.48。。，園圃的外圍周長為50m,其中圓心角。小

于"，48的長不超過10m.設J8=1（單位：m）,園圃的面積為「（單位：m2）.

（1）寫出『關于x的函數表達式，并求出該函數的定義域；

（2）當x為多少時，園圃的面積「最大，求出y的最大值及此時與旅的長.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）利用扇形的弧長公式和面積公式求解解析式即可.

（2）利用二次函數性質求解最值即可.

【小問1詳解】

在扇形0.4。中，由題意得.』8=.t,0.4=2.\,

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由扇形面積公式得扇形I一.的面積為1?1?,?〃-1〃，

II?

扇形”，:的面積為1"\J"=■、I”,

:由弧長公式得的長度為M,

■ID的長度為LW，而園圃的外圍周長為50m,

50-2%

故x0+2x8n=”二解得。=———,

3x

50-2x

因為圓心角6小于K,所以0<?二.

3x

解得7——r<*<25,而xe(0,10],故xw-~-,10,

3ic+21.3“+2

3,50-2x1.,.,..,'50

故r=-j-x--------=-xx5On-2x=25x-x該函數的定義域為KW

23x2、3x+2

【小問2詳解】

50

由二次函數性質得「在一10內單調遞增,

當x=10時，J的最大值為y=25xl0-(10「=150,

a、50-2x2(50-2x10)”

■ID的長度為2xx------------------------20,

3x3

-5O-2.r50-2x10

八的長度為印1°A

3

18.已知函數=log[4'+1)+八是偶函數.

(1)求實數上的值；

(2)求/(#的最小值;

(3)若不等式：?？：M2>■!對任意xeR恒成立，求實數，〃的取值范圍.

【答案】(1)一1

(2)

(3)(--3]

【解析】

【分析】(1)根據偶函數的性質求出參數的值，再代入檢驗即可;

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(2)利用基本不等式求出2+2的最小值，即可求出xl的最小值;

(3)依題意可得不等式2丁+2：'-m」2'+2-12-4對任意了€11恒成立，令/=?.2，即可得到不

等式八-2-機/2-4對任意，G[2,+8)恒成立，參變分離可得mVf+；對任意re[2,+oo)恒成立，結合

對勾函數的性質求出J即可得解.

【小問1詳解】

函數〃x|=log：(4'+l)+h的定義域為R,

因為/（月為偶函數，所以

即logJ4'+1]-&-log、|J'+11+人，解得K=-1,

此時函數〃x）=log,（4*+l）-x=log,（4'+l]-log,2'=log,（2'+2一1的定義域為R,

且〃T=log/2」+2'|=/|K）,

所以=log：|2+2'）為偶函數，符合題意，

所以K=1；

【小問2詳解】

由⑴可得/（W=log:|21+2'j,

因為2'>0,2>",所以2、+2、2j2'.2'=2,當且僅當2<2，即*=0時等號成立;

所以/1.rl=log,|2'+2'|>log：2=I,

即.〃W的最小值為，當x=0時取得最小值;

【小問3詳解】

由⑴可得「3=log,(2'+2"|,

則2，-2-加2"=2"+2一"-M"=2;1-2'1-mJ2'+2-1)，

由不等式：：：’?？：m2,>4對任意xeR恒成立，

即不等式2：+2'-+2'|2-4對任意.1€R恒成立，

令1=2'+2-'，則合2,2:,+2-：,=|2'+2'V-2x2'-2'=|2'+2"|'-2=/:-2

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所以不等式!：-2-2-4對任意，e[2,+刈恒成立，

所以mW占2=/+2對任意/e[2,+-oc)恒成立，

/t

因為函數T=/+：在[2,+oo)上單調遞增，

所以當/=2時r=/+二取得最小值，

I

所以“43,即實數，〃的取值范圍為(-&3].

19.若定義域為在R上的函數〃R滿足：存在非零實數7,對丁一R,都有卜為=/(川+/1為，

則稱函數/(R是T-可分解函數.

(1)判斷函數/(川=1-cost是否為7-可分解函數，如果是，求出一個7的值；如果不是，請說明理由;

⑵若/⑶是7-可分解函數，且存在J/>0,使得對YxeR,都有求/⑼，/⑺；

(3)對于函數/(x)=4sin?x+*(0<a<4M<：,是否存在”中,使得/(x)是2—可分解函

數？若存在，求出齒，<P；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴存秘=2x,使函數<3=1co&r可分解函數(答案不唯一)

(2)/|0：i=0,/iri=(l

(3)存在，P二0,。。=兀

【解析】

【分析】(1)根據/Ix+2兀I=fix]+〃2兀]即可得解；

⑵依題意可得〃x+r)=/(H+/⑺，令.1=0求出〃0),再推導出/(小)=的為,我、*且

k22,即可求出/(乃；

(3)依題意可得〃x+2)=/(x|?/(2),由〃0)=0求出中，再由/(2|=0求出3,再代入檢驗即

可.

【小問1詳解】

函數./(->?(=1co&v是T-可分解函數，

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