廣東省肇慶市2025屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

A=\xeZ^^<Q[,B={xe^\x--i\<l]

1.已知集合[*+2J,則

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}

C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】D

'x-2

【解析】A=xeZ--<01U{xeZ|-2<x<2}={-l,0,l,2},

x+2

B={xeZ||x-l|<l)={xeZ|0<x<2}={0,l,2},則4口3={0,1,2}.

故選：D.

2-21

2.已知z=----，貝!Jz?z=()

1+i

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

2-2i2(1-i)2~_

【解析】因為z=-；~r=7:~^77：~了=-2i,所以z=2i，則z-z=-4i2=4.

l+i+

故選：C.

3.已知向量4=(一2,3),6=(7〃一1,37〃),萬//(商+25),則/"=()

【答案】A

【解析】因商=(—2,3),b=(m-l,3m),

故1+=(―2,3)+2(m-l,3m)=(2m-4,6m+3),又商//w+2：),

故—2x（6/w+3）=3x（2m—4）得〃i=g.

故選：A.

4.小王數(shù)學(xué)期末考試考了90分，受到爸爸表揚的概率為受到媽媽表揚的概率也為

假設(shè)小王受爸爸表揚和受媽媽表揚獨立，則小王被表揚的概率為（）

【答案】C

【解析】記小王受到爸爸表揚為事件A,小王受到媽媽表揚為事件3,小王受到表揚為事

件。，小王同學(xué)受爸爸表揚和受媽媽表揚相互獨立，

則P（D）=1—P（可伍）=lJxgW.

故選：C.

5.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,滿足S“〃2+3〃+2,則下列判斷正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列B.。5=11

C.數(shù)列｛s,J存在最大值D.數(shù)列<—>存在最大值

【答案】D

【解析】由=1+3〃+2可知，當(dāng)時，S“T=S—1）2+3（〃—1）+2,

S],〃=16,幾=1

因為=<所以為=<

Sn-Sn_vn>22n+2,n>2

故數(shù)列｛4｝是從第二項開始的等差數(shù)列，故A錯誤;

將〃=5代入｛4｝的通項公式可得。5=2x5+2=12,故B錯誤;

由y="2+3”+2知，數(shù)列電｝為遞增數(shù)列，S“不存在最大值，故C錯誤;

11

由《7=”2+3”+2知，數(shù)列為遞減數(shù)列，故存在最大值，故D正確.

故選：D.

6.己知a是銳角，J§sina+20cos&=而，貝Usin1=）

Qy[55

D.--------------D

11■"TFf

【答案】B

【解析】由J5sintz+2-\/2costz=y/11得costz=—~^=sina，

2V22。2

、2

由sin2（z+cos2tz=1得sin2a+—7=sma=1,

2V2J

化簡得（JTTsina—百『=0,得sina=^

故選：B.

7.已知直線/:>=氐是雙曲線C:斗—\=l（a〉O力〉0）的一條漸近線，。是坐標(biāo)原

點，片是C的焦點，過點片作片M垂直于直線/交/于點加,△耳。加的面積是則

2

C的方程為（）

22

A.--x2=1B.匕-V=1

23

22

C.V2--=1D.V2--=1

?2-3

【答案】B

【解析】由題意知q==且，解得〃=1,4=3,則雙曲線方程為匯—V=i.

6223

故選：B.

8.已知正三棱錐的底面是邊長為百的正三角形，高為2,則該三棱錐的外接球的體積為

（）

125兀25兀64兀64兀

A.------B.——C.-----D.——

484253

【答案】A

若球心0在三棱錐P-ABC內(nèi)，設(shè)。?為底面VA5C的外接圓的圓心.

球。的半徑為A,則A。1=#x百=1,0。］=2-7?.

因為402=49：+oq2,所以片=i+Q—?2,解得R

V=—4兀尺3=125兀

348

若球心。三棱錐P—ABC外，則。。1=尺一2,

同理由R2=1+(2—R)2解得R=：,此時OO]=R—2<0,不符合題意.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是

符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且是周期函數(shù)的是()

A.y=sinx+sin2xB.y=sin?+cos《

C.j=sinx+cosxD.y=sinx-cosx

【答案】AD

【解析】若/(x)=sinx+sin2x,定義域為R,

貝ijf(-%)=sin(-x)+sin(-2x)=—(sinx+sin2x),/(%)+/(-%)=0"(x)是奇函數(shù)，

/(x+2兀)=sin(x+2兀)+sin(2x+4兀)=sinx+sin2x

/(x)=/(x+2兀),/(x)是周期函數(shù)，故A正確；

若/(*)=5由五+以光?,則xe[O,+”)，故/(無)不是奇函數(shù)，故B錯誤；

若/(x)=sinx+cosx,定義域為R,

則f(-x)=sin(-%)+cos(-x)=-sinx+cosx,f(x)+f(-%)=2cosx豐0,

故〃龍)不是奇函數(shù)，故C錯誤；

若/(力=511?<。5%=上山2%，定義域為R,

則/(一力=一；sin2x,/(x)+/(—X)=0,7(x)是奇函數(shù)，

/(x+7i)=gsin(2x+27i)=gsin2x,/(x)=/(x+是周期函數(shù)，故D正確.

故選：AD.

10.如圖，在棱長為a的正方體ABC。-AgG。中，點P滿足

BP=XBBx+piBC,2e[0,1],//e[0,1],則下列說法正確的是()

D.C,

AR

A.若X=〃，則。P//平面

B.若％=2〃，則點P的軌跡長度為逝4

2

C.若〃=1,則存在2,使。

D.若〃=；，則存在彳，使4。，平面OPB

【答案】ABD

對于A,若2=〃，則麗=文明'+2反!=4函；[0,1],則點P在線段8G上，如上

圖.

因平面AB[C[DJ/平面A5CD,且平面ABC。n平面BRDB=BD，平面4片￡。門平

面BQQB=BiDl,

故5Qj/ABD因3Q]<z平面Bq。，5Du平面3。。,故與，//平面BQ。，同理可

證AQ//平面BC.D,

因AD】u平面ADXBX,ABXu平面AD4,且ARc\ABx-A,故有平面ABlDl//平面

BCR,

又因為DPu平面Bq。，所以DP〃平面AAQ,故A正確;

對于B,若2=2〃，則BP=2〃BB[+〃BC=+BC)=2〃BN(N為其6的中

點）如上圖.

又因為Xe[0,l],X=2〃，所以2〃e[0,1].故點p的軌跡長度為BN=半，故B正確;

對于C,若〃=1,則訴=%函+反,所以而—就=麗=幾函,Xe[0,l]

CP=2B^,2e[0,l],所以點尸在線段CG上(如上圖).

22

假設(shè)DP1A}P,則DP+其產(chǎn)=A.D,

即a2+(Aa)2+a2+a'+(1-A)2G2=(立af，化簡得分-4+1=0,

該方程無解，所以4不存在，故C錯誤；

對于D,如上圖，設(shè)M為的中點,

當(dāng)〃=—時，則BP=ABB,H—BC=ABB,+BM,即MP=ABB,,

22

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則D(0,0,0),B(a,a,0),(a,0,a),C(0,a,0),

M(a,a,a),尸[I2al.

所以AC=(-a,a,-a),DB=(a,a,0),DP=,a,Aa

AC1DB,

假設(shè)AC,平面OP3,貝I廠一

\CLDP,

A^C-DB=—a2+a2=0,

即《解得.故D正確.

AiC-DP=~ax]+a?—Atz2=0,2

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/'（x）=e*—ef-存有兩個極值點石,%（%<%），則（）

A.。<一2或。>2

B.x,x2<0

C.存在實數(shù)“，使得/'（々）>0

D小）-“芯）〉2”

馬一石

【答案】BD

【解析】易知/''（%）=e'+e-x—a,

令f=e"，貝U>O,/'（x）=y'=t+；—a.

令tH---a=0,貝=—.設(shè)=—,

由對勾函數(shù)的圖象可知：

當(dāng)a>2時，8（。=。+：與丁="的圖象有兩個交點，

因為f>0,故a<—2不成立，故A錯誤；

設(shè)/+1—a=0,則/—af+l=0（fwl）①，

設(shè)九馬為①式的兩根，則％+/2="，％%=1，即e*,+e&=a②，

e"e花=1③.

由③式可知％+%=0,所以玉=一兀2，則=-只<0，

故B正確；

解法1：由②式可知/（%2）=爐一片亞一（e苞+片苞）?/，

令/?（尤）=e*―b_（e、+eT）?尤（尤>0）,

則h\x）=3+b）—［（er-e-r）-x+（er+尸）］=-x（er-尸）=-xe-1（e2r-1）<0,

則h（x）在（0,+。）上單調(diào)遞減，所以h（x）</i（0）=0,

故\/%2>0，/（々）<0,所以不存在實數(shù)。使得/（9）>。，故C錯誤；

x-A

解法2：/'（x）=e+e—a=0,a>2,xr<x2,

可得％為（0，+a）區(qū)間的極小值點，則必有/（9）</（。）=0,故C錯誤；

由③式可知占+%=0,所以石=一%,

要證/(々)-/(%)_/(々)-/(-々)_(e*-ef-%)-(e--e*+ax2)

HE----------——--------------——-------------------------------

僅需證明e*—e』—2%>0成立.

令=e*—e-*—2x（x>0）,則m,（x）=ex+e~x—2>0.

則可龍）在（0,+oo）上單調(diào)遞增,所以>m（0）=0,

故e*一片巧一2々〉0，故D正確.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在［x-2］的展開式中，所有項的系數(shù)和為.

【答案】—1

【解析】令%=1,可得所有項的系數(shù)和為（-Ip=-1.

故答案為：-1.

2f+1x<l

13.已知函數(shù)〃x）=2'，則/（光）的最小值是_________.

x-6x+4,x>l

【答案】-5

【解析】當(dāng)］<1時，/（力=？-、：1,〃％）單調(diào)遞減，所以/'（x）>+1=3

當(dāng)時，〃幻=/—6x+4"（x）在區(qū)間［1,3）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［3,+<6）上單調(diào)

增,所以/■（力2〃3）=-5.

綜上所述，/（左）的最小值是-5.

故答案為：-5.

1r2

14.直線y=—x+/與橢圓上+/=1交于43兩點（4,8不是橢圓的頂點），設(shè)

24

C（-2,0）,D（2,0）,當(dāng)直線AC的斜率是直線3。斜率的2倍時,m=.

【答案】

3

1

y=—x+m,

2

【解析】設(shè)4（%,%）,3（工2，%），由＜可知/+2mx+2m2-2=0.

X22,

—+V=1

[4'

由A＞0知，（2根）2-4（2加一2）＞0,解得-0＜；〃＜虛.

2

X[+x2=-2m,Xj-x2=2m-2,①

1122

力.%=-V+-m（xj+%）+m=-m

22

%%二寸

.?.、kAC-人kAD

玉+2Xj—2%；—4

又???kAC=2kBD,

一；,化簡得x%=][中2—2（菁+々）+4],

將①②代入上式可得3m2+2加一1=0,解得機(jī)=g或機(jī)=一1,滿足-應(yīng)＜根＜0.

當(dāng)機(jī)=-1時，直線/經(jīng)過橢圓右頂點，不合題意，舍去.綜上所述根=g.

故答案為：—.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

sin5+sinCb-acosCc、、?八一、人人上—―“

15.在①---；-=-----；②------=-----這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的

sinAb-ccosB2a-b

橫線上，并解答.記VA5c的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是。，"c，已知.

（1）求C.

（2）設(shè)。為VA5C的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點），且滿足

AB=5,AO2+BO2=11,求△ABO的面積.

sinB+sinCb-a

解：（1）選擇條件①:

sinAb-c

L-、jEabc/=人+cb-a

由正弦定理二一=--=-——得——二——,

sinAsinBsinCab-c

所以〃+〃2一。2=〃4

〃24扇_2

由余弦定理，得cosC=巴二^―-ab_1

lab~2ab~2

因為Ce(O,7i),所以C=^.

cosCc

選擇條件②：因-----=-----二，所以2加05。一反05。=久(比8,即

cosB2a-b

2acosC=ccosB+bcosC.

由正弦定理得2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosC=sin(C+B).

因為A+3+C=7L,所以3+C=7i—A,所以sin(5+C)=sin(兀一A)=sinA.

1jr

因為Ae(O,7i),所以sinAwO,所以cosC=].因為Ce(0,7i),所以C=^.

(2)連接AO,80,

因為點。是內(nèi)心，所以ZOAB=-^BAC,/OBA=-ZCBA.

22

因為ZACB+々AC+/CBA=兀，所以NR4C+/CR4=?,

3

所以N0AB+N084=P,所以NA03=0.

33

由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2A0-BOcosZAOB.即25=17+AO-50,解得

AOBO=S,

所以SMB='A0?BOsin^AOB=.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD平行四邊形，R4,平面ABCD,平

(1)證明：CD,平面P4C.

3

(2)若AB=PA=sBC=3,E為PD的中點，求PB到平面AEC的距離.

（1）證明：如圖,在平面PAC內(nèi)作AHLPC,交PC于點H.

因為平面APC±平面PCD,平面APO。平面PCD=PC,AHc平面PAC,AH±PC,

所以AH，平面尸CD,則AH，CD.

因為R4，平面ABCD,所以，CD,

因為PA。AH=A叢,AHu平面B4C,所以CD，平面PAC.

（2）解：如圖，連接5。交4c于點。,連接OE.

易知OE為△尸8D的中位線，所以PB〃OE.

因為PBU平面AEC,OEu平面AEC,所以尸3〃平面AEC,

所以尸3到平面AEC的距離，即為點3到平面AEC的距離.

由（1）知C。，平面P4C,所以CDJ_AC.

因為A5〃CD,所以A31AC.又因為上4，平面A5CD,所以PA,A5AC兩兩垂直.

3

因為AB=《BC=3,所以AC=4.

法一（建系）：如圖，以點A為坐標(biāo)原點,AB,AC,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系.

則A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,3）,

所以需=（0,4,0）,?=（0,0,3）,/=（—3,4,0）,

布=；（而+西=；加+何=]-|,2,|]

設(shè)平面AEC的法向量為。=（x,y,z）,

33

AE-n=Q,--x+2y+^z=0,

則一即

ACn=0,

4y=0,

取z=1,則x=1,y=0,所以平面AEC的一個法向量為n=（1,0,1）.

\BC-n\3J23J2

則點B到平面AEC的距離d=,即PB到平面AEC的距離為*.

同22

法二（幾何）：因為平面A5CD,所以八因為CD，平面PAC,所以

PC，CD,所以APA。,APCD是直角三角形.

所以。0=同力=取,因為E是斜邊的的中點，所以AE=CEqPD=Y|t

/I--、2

2

則S-ACE=萬義4*'-^--2=3A/2,S?ABC=-X3X4=6.

設(shè)點B到平面AEC的距離為d，則咚棱錐B.AEC=§^ACE°.，解得

d=—,即PB到平面AEC的距離為—.

22

22

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:—+g=l（a〉b〉0）的左、右、

上、下頂點分別為A5,C,￡>.設(shè)尸，。為C上并且位于第一象限的兩點，滿足。。〃".

（1）若/QO3=30°,AP交，軸于6,且。片=|。。，求橢圓C的離心率.

（2）設(shè)〃為AP的中點，直線交C于點R（其中R在％軸上方）.證明：

\OQ\^+\OR\1=\OB\1+\OC|2.

解：（1）因為。。//AP,所以NPAO=/QO5=30。.

所以［0用=當(dāng)。，則當(dāng)“=

則C?=/—/=—I?,解得C=—CI,

42

則Ee=一C=l二■.

a2

（2）由（1）知，a=2,c=l.

設(shè)點P（%,%），因為。。//"，所以存在/IwO,使詼=4/，貝U

。（/1（天+2）,4%）.

因為M是"的中點，所以麗=g（函+麗）.

又因為O,M,R三點共線，所以存在〃wO,使礪=〃W.

令k=；〃，貝iJR（左（/一2）,@0），

則由點Q,R在橢圓上得蟲曳包+4置=1、（%。-2）=1，

43'43

11

整理得見9=——%，k9=~——,

%+22-x0

IOQ|2+|OH|2=%（4+2）2+/Py：+左25—2）2+k2yl

=4

=（x0+2）+（2-x0）+-y—+—^―Jo+y^7J-

1z+玉）/一/J

因為點P在橢圓上，所以1+。=1,整理得4尤=3（4一片）.

所以|OQ『+|0尺|2=7=/+/=|OB|2+|OC|2.

18.購買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一、其最吸引人的地方是因為盒子上沒有標(biāo)注物品具

體信息，買家只有打開才會知道自己買到了什么.某商店推出20種款式不同的盲盒，購買

規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡

20種款式中的一種.

（1）若20種款式的盲盒各有一個.

（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.

（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望石（X）.

（2）若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買后老板都會補(bǔ)充被買走的款式.商店為

了滿足客戶的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在抽取前指定一個款式，若前9次未抽出指定款

式，則第10次必定抽出指定款式.設(shè)y為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求丫的數(shù)學(xué)期

望E（F）（參考數(shù)據(jù)：0.95屋0.63,結(jié)果保留整數(shù)）.

解：（1）＜i）設(shè)小劉第，?次抽到特別喜歡的款式為事件a.

則小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率為

P（AA）=P（A）P（AIA）=^X±=±.

__01011

（也可以用？（44）=m=百）

（ii）X的可能取值為1,2,3,…,20,

則/（乂=左）=人，；A；=金水=1,2,3廣.,20,

20

所以X的分布列為

X12L1920

1111

PL

20202020

則

(1+20)x201_21

E(X)=lx—+2x—+...+20X—=(l+2+---+20)x—=

v720202017202202

(2)記p=工=0.05,Y的可能取值為1,2,3,…,10.

20

因為前9次(包含第9次)沒有保底，

則尸(V=>)=(1—p)"ip=0.951x0.05,其中左=1,2,…,9,

P(Y=10)=(l-p)9p+(l-p)9(l-p)=(l-p)9=0.959,

所以y的分布列為

Y12L910

P0.95°x0.050.951x0.05L0.958x0.050.959

則E(y)=1x0.95°x0.05+2x0.951x0.05+…+9x0.958x0.05+10x0.959.

記S=1x0.95°+2xO.951+…+9xO.958,

則0.95S=1x0.951+2x0.952+.--+9x0.959，

9

兩式相減，得0.05S=1*0.95°+O.951+…+OS'-9x0959=20-29x0.95-

所以E（y）=0.05S+10x0.959=20—19x0.959“8.0378.

19.把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為｛力（x）｝.例如：函數(shù)列

[x,2x,3x,…雙…｝可以記為于"（x）=nx,riGN*.記f'\x）為fn（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）若力（x）=〃lnx.證明：｛力'（2024）｝