重難點專題09立體幾何中的截面問題

【題型歸納目錄】

題型一：判斷截面形狀

題型二：截面周長

題型三：截面面積

題型四：截面作圖

題型五：截面切割幾何體的體積問題

題型六：截面圖形有關面積、長度及周長范圍與最值問題

【方法技巧與總結】

1、突破思維定式，靈活分析問題

解答高中數學立體幾何截面問題要突破思維定式，多視角地進行觀察、分析、對比，深人地理解截面

對原立體幾何圖形體積造成的影響，避免掉進出題人設計的陷阱之中.

2、注重應用經驗，快速破解問題

解答高中數學立體幾何截面問題時應注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時應注重聯系

已有的解題經驗，應用所學的幾何知識找到參數之間的內在關系，構建正確的數學方程，快速破解問題.

3、借助幾何模型，化陌生為熟悉

在解答一些高中數學立體幾何截面問題時，應用幾何模型化陌生為熟悉，可大大降低解題難度，提高

解題效率.解題時應認真審題，充分挖掘隱含條件，將陌生圖形融入熟悉的情境中，以更好地找到解題思

路，達到事半功倍的解題效果.

【典型例題】

題型一：判斷截面形狀

【典例1-1］（2024.高二.上海普陀?期中）如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFG8為截面，則

A.梯形B.平行四邊形

C.矩形D.上述三種圖形以外的平面圖形

【典例1-2】（2024.高一.河南鄭州?階段練習）正方體內接于一個球，經過球心作一個截面，則截面的不可

能圖形為（）

【變式1-1］（2024?高二?湖北?階段練習）一個透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任

意轉動這個正方體容器，則水面在容器中形成的所有可能的形狀是（）

①三角形②非正方形的菱形③五邊形④正方形⑤正六邊形

A.②④B.③④⑤C.②④⑤D.①②③④⑤

【變式1-2］（多選題）（2024?高二.浙江杭州?期中）如圖，一個正方體密封容器中裝有一半的水量，若將正

方體隨意旋轉放置，則容器中水的上表面形狀可能是（）

A.三角形B.矩形C.非矩形的平行四邊形D.六邊形

題型二：截面周長

【典例2-1】（2024.高一.廣西玉林?階段練習）如圖，在棱長為4的正方體中，44的中點

是P,過點A作與截面尸8G平行的截面，則該截面的周長為（）

A.4&B.26C.8A/5D.4

【典例2-2】（2024.高一.河南.階段練習）芻（chd）薨（meng）是中國古代算數中的一種幾何體，是底面

為矩形的屋脊狀的楔體.現有一個芻薨如圖所示，底面ABC。為矩形，所〃平面ABCD,VAOE和

△3CF是全等的正三角形，EF=1,AB=3,BC=2^,。為VADE的重心，則過點A,B,。的平面截

該芻薨所得的截面周長為（）

EF

D.8+4>/3

【變式2-1］（2024?河南新鄉.三模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AgGA中，E是棱CG的中點,

過A,2,E三點的截面把正方體ABC。-4月分成兩部分，則該截面的周長為（）

9

A.3A/2+2A/5B.2忘+6+3C.-D.2忘+26+2

【變式2-2］（2024?高一?陜西西安?期末）已知正方體A3。-A耳CR的棱長為2,若M,N分別是cq,

AA的中點，作出過〃，N,8三點的截面，則這截面的周長為.

【變式2-3］（2024?山西臨汾.三模）在三棱錐A—BC。中，AB=CD=2,過BC中點E的截面與AB,CD

都平行，則截面的周長為.

題型三：截面面積

【典例3-1】（2024?高三?全國?專題練習）已知正四棱錐P-ABCD的體積為36,底面ABCD的面積為18,

點E、E分別為總、PC的中點，點G為尸3的靠近點3的三等分點，過點E、F、G的平面將該四棱錐

分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

A*B.3cXD.3下

555

【典例3?2】（2024.高一.浙江杭州.期中）如圖，正方體ABC。-4AG2的棱長為6,尸為3。的中點，。為

cq的中點，過點A，尸，。的平面截正方體所得的截面的面積S=（）

C8h/2D.正+9娓

+9A/6

44

【變式3-1］（2024.高二.全國?課后作業）已知三棱錐P-ABC滿足底面ABC,在41BC中,

AB=6,AC=8,AB1AC,。是線段AC上一點，且AD=3L>C,球。為三棱錐尸-ABC的外接球，過

點。作球。的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44兀，則球。的表面積為（）

A.72兀B.86兀C.11271D.128兀

題型四：截面作圖

【典例4-1】（2024?高一.遼寧?階段練習）如圖，棱長為2的正方體,點分別在棱AB,BC

上，過點的截面將正方體分割成兩部分.

（1）請畫出經過點4,Ej的平面與正方體表面的交線；（無需證明，保留作圖痕跡）;

⑵若點2尸分別為ABIC中點，求過點瓦尸的截面將正方體分割的較小部分幾何體的體積.

【典例4-2】（2024.高一?福建廈門?階段練習）如圖，在直三棱柱ABC-4與￡中，E為AC的中點，平面a

過點A，B],E.

Bi

（1）作出。截直三棱柱ABC-A與G的截面，寫出作圖過程并說明理由;

⑵若ZABC=90。，AB=BC=AAl=2,求點A到截面的距離.

【變式4-1］（2024?高一.重慶北倍.階段練習）如圖，在棱長為6的正方體ABCD-ABIGA中，尸為的

中點，。為CG的一個三等分點（靠近C）.

（1）經過P,。兩點作平面a,平面a截正方體ABC。-A4GA所得截面可能是〃邊形，請根據〃的不同取

值分別作出截面圖形（每種情況作一個代表類型，例如〃=3只需要畫一種，下面給了四幅圖，可以不用

完，如果不夠請自行增加），保留作圖痕跡；

（2）若M為AB的中點，求過點P,Q,M的截面的面積.

題型五：截面切割幾何體的體積問題

【典例5-1］（2023?廣東廣州?高一統考期末）在棱長為。的正方體ABCD-A耳GA中，E,尸分別為棱

BC,CG的中點，過點A,E,尸作一個截面，該截面將正方體分成兩個多面體，則體積較小的多面體的體

積為.

【典例5-2】（2023?遼寧錦州?校考一模）在正四棱錐S-MCD中，M為SC的中點，過AM作截面將該四

棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕%,則券的最大值是.

【變式5-1］（2023?上海?高二專題練習）如圖，正方體,中，￡、尸分別是棱A及BC的中

點，過點2、瓦廠的截面將正方體分割成兩個部分，記這兩個部分的體積分別為％匕，記匕＜匕，則

匕：匕=.

題型六：截面圖形有關面積、長度及周長范圍與最值問題

【典例6-1】（2024?高一?全國?專題練習）如圖，已知四面體A8C。的各條棱長均等于4,E,尸分別是棱

AD,BC的中點.若用一個與直線跖垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面。去截該四面體，由此得

到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為.

【典例6-2】（2024.湖南株洲.一模）過棱長為1的正方體的一條體對角線作截面，則截得正方體的截面面

積的最小值是（）

A.1B.72C.BD.理

22

【變式6-1］（2024?高三?全國?專題練習）已知正方形A3CD的邊長為4,若將沿翻折到4瓦）的

位置，使得二面角A-3。-C為60。，N為AD的四等分點（靠近。點），己知點H,B,C,。都在球。

的表面上，過N作球。的截面a,則a截球所得截面面積的最小值為（）

A.封號兀B.兀C.島D.37r

4

【變式6-2］（2024?全國?模擬預測）在正方體AB。-A4CQ中，E,尸分別為棱4耳，DQ的中點，過直

q

線斯的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為S,最大值為S,則±=（）

S

A.—B.-C.叵D.-

2255

【過關測試】

1.（多選題）（2024?山東日照?模擬預測）已知正方體ABCD-AAG。的棱長為1,P是空間中任意一點,

下列正確的是（）

A.若P是棱CG動點，則異面直線"與8所成角的正切值范圍是［1,a］

B.若尸在線段43上運動，則AP+PR的最小值為止史

2

C.若P在半圓弧8上運動，當三棱錐尸-ABC的體積最大時，三棱錐尸-ABC外接球的表面積為27r

D.若過點P的平面a與正方體每條棱所成角相等，則。截此正方體所得截面面積的最大值為也

4

2.（多選題）（2024?高一?江西?期中）在正方體。中，M,N分別是AB,CQ的中點，貝！）

（）

A.ACV〃平面AC，

B.MN±DB}

C.平面肱VD截此正方體所得截面為四邊形

D.平面截此正方體所得截面為四邊形

3.（2024.高三.江西?階段練習）如圖，在正三棱錐O-ABC中，側棱AD=百+=30°,過點A作

與棱。3,0c均相交的截面AEF.則△AEF周長的最小值為,記此時△AEF的面積為S,

則§2=N.

4.（2024.河南新鄉?二模）已知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的距離為

1,則該球的體積為.

5.（2024?高一.全國?專題練習）從一個底面半徑和高都是R的圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底，下底面

中心為頂點的圓錐，得到如圖所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為/,并且平行于底面的平面

去截這個幾何體，則截面面積為.

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6.（2024?高一?全國?專題練習）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。，02,過直線。/。2的平面截該圓

柱所得的截面是面積為12的正方形，則該圓柱的體積為.

7.（2024?高三?全國?專題練習）如圖，已知正方體A8CD4向。必的棱長為1,點K在棱A向上運動，過

A,C,K三點作正方體的截面，若K為棱48/的中點，則截面的面積為.

8.（2024.高二.上海.開學考試）如圖，在底半徑為2,母線長為4的圓錐中內接一個高為6的圓柱，則圓

錐過軸的截面面積為圓柱的底面半徑為

9.（2024?高二?上海長寧?期末）已知長方體ABCD-ABCA中，A2=3,4O=4,AA=5,點片在線段3C上，

過點4G、E三點的平面截長方體，則所得截面面積的取值范圍是.

10.（2024?高二?福建南平?階段練習）已知三棱錐尸-ABC滿足上4,底面ABC,在AABC中，AB=