第19講空間圖形的表面積和體積目標導航目標導航課程標準課標解讀知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。1.了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式；理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積。2.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式；理解并掌握側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積。知識精講知識精講知識點01空間圖形的表面積1.直棱柱及其側面積和表面積(1)直棱柱、正棱柱的概念側棱和底面垂直的棱柱叫作。特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作。直棱柱的側棱長就是直棱柱的(兩底面所在平面之間的距離)。(2)直棱柱的側面積和表面積將直棱柱的側面沿一條側棱剪開后展在一個平面上，展開圖的面積就是直棱柱的。如圖，直棱柱的側面展開圖是，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h.因此，直棱柱的側面積是，表面積是。2.正棱錐及其側面積和表面積(1)正棱錐的概念：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為。正棱錐的側棱長都，側面均為全等的。(2)正棱錐的側面積和表面積：正n棱錐的側面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成的，如圖所示。如果正n棱錐的底面邊長為a，周長為c，斜高(即側面等腰三角形底邊上的高)為h'，則它的側面積為，表面積為。3.正棱臺及其側面積和表面積(1)正棱臺的概念：正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作。正棱臺的側棱長都，側面均為全等的。(2)正棱臺的側面積和表面積正n棱臺的側面展開圖是由n個全等的等腰梯形組成的，如圖：設正n棱臺的上、下底面邊長分別是a'，a，斜高為h'，則正n棱臺的側面積，表面積，其中c'，c分別是上、下底面的周長。4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及表(側)面積公式（1）圓柱；；。其中,r是底面半徑,l是母線長。（2）圓錐；；。其中,r是底面半徑,l是母線長。（3）圓臺；，；。其中,r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長。【微點撥】求空間幾何體的表面積(側面積)(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何表面積問題的主要出發點。(2)求不規則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處理。【即學即練1】氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內部木架結構，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業和游牧生活.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合，圓錐的高為3米，圓柱的高為2.5米，底面直徑為8米，則建造該氈帳需要毛氈（

）平方米.A． B． C． D．知識點02空間圖形的體積1.柱體的體積(S是底面面積，h是柱體高)，(r是底面半徑,h是高).2.錐體的體積(S是底面面積，h是錐體高)，（r是底面半徑，h是高).3.臺體的體積（S'、S分別是上、下底面面積，h是臺體高)，（r',r分別是上、下底面半徑，h是高).【微點撥】求空間幾何體的體積(1)若所給的幾何體是可直接用公式求體積的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解。(2)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法或補形法等方法進行求解?！炯磳W即練2】已知正三棱柱的底面邊長為2，側棱長為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．1 D．知識點03球的表面積和體積1.球的表面積設球的半徑為R，那么它的表面積。2.球的體積設球的半徑為R，那么它的體積。3.解決與球有關的切、接問題的策略(1)“接”的處理①構造正(長)方體，轉化為正(長)方體的外接球問題；②空間問題平面化，把平面問題轉化到直角三角形中，作出適當(過球心或接點等)；③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面來確定所在直線。(2)“切”的處理①體積分割法求內切球半徑；②作出合適的截面(過球心或切點等)，在平面上求解；③多球相切問題，連接各球，轉化為處理多面體問題?！炯磳W即練3】已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01空間圖形的表面積【典例1】某工廠需要制作一個如圖所示的模型，該模型為長方體挖去一個四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，，，，分別為所在棱的中點，，，那么該模型的表面積為（

）．A． B．C． D．考法02空間圖形的體積【典例2】在數學探究活動課中，小華進行了如下探究：如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水；現將該正方體容器其中一個頂點固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與水平面所成角均相等，此時水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（

）A． B． C． D．考法03球的表面積和體積【典例3】在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”中，底面，，是棱的中點，點是棱上的動點，則當的周長最小時，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．長方體的體積是，若為的中點，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．2．如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．3．等腰直角三角形的直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或4．用與球心距離為的平面去截球，截面面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．5．已知一圓錐的側面展開圖是一個中心角為直角的扇形，若該圓錐的側面積為，則該圓錐的母線長為（）A．4 B．8 C．6 D．26．已知圓柱上下底面圓周均在球面上，且圓柱底面直徑和高相等，則該球與圓柱的體積之比為________．7．已知正三棱錐的側面積為，高為，則它的體積為___________.8．已知正方體的棱長為2，則其外接球的表面積為______.9．如圖，正四棱錐的高，，，為側棱的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．10．已知圓柱的體積為，側面積為．(1)求圓柱底面圓的半徑和圓柱母線的長；(2)以上底面圓的圓心和下底面圓構成圓錐，求此圓錐的表面積．題組B能力提升練1．已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．2．若圓柱軸截面周長C為定值，則表面積最大值為（

）A． B． C． D．3．如圖在RtABC中，AB＝BC＝6，動點D，E，F分別在邊BC，AC，AB上，四邊形BDEF為矩形，剪去矩形BDEF后，將剩余部分繞AF所在直線旋轉一周，得到一個幾何體，則當該幾何體的表面積最大時，BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．34．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美.如圖是一個棱數為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則下列關于該多面體的說法中不正確的是（

）A．多面體有12個頂點，14個面B．多面體的表面積為3C．多面體的體積為D．多面體有外接球（即經過多面體所有頂點的球）5．已知某圓錐的內切球的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為__________．6．已知A，B是球O的球面上兩點，，C為該球面上的動點，當三棱錐體積最大時的高為6，則球O的表面積為__________．7．足球起源于中國古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動.已知某鞠（球）的表面上有四個點，滿足，平面，，若三棱錐的體積為，則該“鞠”的體積的最小值為______.8．已知圓柱的全面積為，圓柱內有一平行于圓柱軸的截面，截面面積為，且截面上的兩條母線將圓柱側面分成兩部分的表面積之比為，則圓柱的體積是______.9．如圖，直三棱柱中，，，，P為線段上的動點．(1)當P為線段上的中點時，求三棱錐的體積；(2)當P在線段上移動時，求的最小值．10．如圖所示，底面半徑為1，高為1的圓柱中有一內接長方體，設矩形的面積為S，長方體的體積為V，，(1)將S表示為x的函數；(2)求V的最大值．題組C培優拔尖練1．已知正四棱臺中，，若該四棱臺的體積為，求這個四棱臺的表面積為（

）A．24 B．44 C． D．2．母線長為1的圓錐體積最大時，其側面展開圖圓心角等于（

）A． B． C． D．3．如圖，在長方體中，，點E為棱BC上靠近點C的三等分點，點F是長方形內一動點（含邊界），且直線，EF與平面所成角的大小相等，則下列說法錯誤的是（

）A．平面 B．三棱錐的體積為4C．存在點F，使得 D．線段的長度的取值范圍為4．（多選題）已知正方體的棱長為1，則下列選項正確的有（

）A．若為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為B．若為棱的中點，則過點有且僅有一條直線與直線都相交C．若為以為直徑的球面上的一個動點，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為D．若平面，則截此正方體所得截面圖形的面積越大，其周長越大5．（多選題）如圖，正方體中E，F，G分別為的中點，則下列結論正確的是（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．點與點到平面的距離相等D．平面截正方體所得大小兩部分的體積比為6．中，，過點A的直線在平面上，且在直線的同一側，將繞直線旋轉一周所得的幾何體的體積的最大值為______．7．正多面體與正多邊形一樣，具有很多優美的性質，也是立體幾何學習中的常見模型.在棱長為1的正方體中，分別將6個正方形的中心點依次記為給出下列結論:①正方體的所有截面中，正多邊形只有正三角形和正方形;②以為頂點連成一個幾何體，這個幾何體是正八面體;③三棱錐是正四面體，它的外接球半徑是；④將②中多面體MNPQRS的各個面的中心標出，用線段將這些中心點連成幾何體，可以得到一個新的正方體，它的棱長是.則其中正確的有________.8．如圖所示，四邊形為菱形，，平面