專題09函數的圖像函數的零點（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01畫函數的變換圖像

?題型02識別函數的圖像

?題型03函數圖像變換的應用

?題型04求函數的零點及個數

?題型05二分法求函數的零點

?題型06根據函數的零點求參數

?題型07函數零點的其他應用

?題型08補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用

?題型01畫函數的變換圖像

1.（2024高三?全國?專題練習）作出下列函數的圖象：

x3

（i）y=n；

（3）y=|log2x-l|；

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【分析】⑴去絕對值化簡成分段函數，畫出圖象即可.

⑵原式變形為y=i+—,先作出y=巳的圖象，再結合圖象變換，即可得出結論.

X-1尤

⑶先作出y=bg*的圖象，結合圖象變換，即可得出結論.

x2,x>0

【解析】(1)首先要化簡解析式，y=

-x2,x>0

利用二次函數的圖象作出其圖象，如圖①所示.

(2)原式變形為y=1+—3,先作出y=±3的圖象，再將其圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位,

x-1'x

即得如圖②所示.

⑶先作出y=IOg2X的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留無軸上方的部分，將X軸下方的圖象翻折到

X軸上方來，即得y=|log2X-1|的圖象，如圖③所示.

【點睛】本題主要考查了絕對值函數圖象的畫法，關鍵是化為分段函數或利用圖象變換來畫圖，屬于中檔

題.

?題型02識別函數的圖像

2

2.（2023?湖南岳陽?模擬預測）函數＞=；—的圖象為（）

【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.

22

【解析】因為＞—，所以當x=0時，）^=--=2,故排除ABC,

1-x1-x

222

又y—=——7的圖象可由函數丁=—-的圖象向右平移一個單位得到，則D正確.

1-xx-1x

故選：D.

1

3.（2024?湖北?模擬預測）函數〃同=^_^_11?2的圖象大致為（）

【分析】根據尤＜。時/（X）的單調性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

1_

￡ex-ex-21n(-x),x<0

［解析］/(x)=e'-e;-lnx2=.

i

ex-ex-21rix,x>0

因為當％v0時,y=ex,y=-e^,y=-21n(-x)都為增函數，

所以，ke'-l_21n（r）在（一8,0）上單調遞增，故B,C錯誤;

1

又因為=已_》-e*-Indw,

所以不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故D錯誤.

故選：A

4.（2024.寧夏固原.一模）已知函數“X）的部分圖像如圖所示，則〃尤）的解析式可能為（）

A."小事B.小）=莖

U/4）號

【答案】A

【分析】利用“X）在（1,+8）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（x）在（L+8）上的單調性排除D,

從而得解.

【解析】對于B,當x＞l時，/（x）=-———,易知/-小＞0,3-4x＜0,

3-4.x

則/（x）＜0,不滿足圖象，故B錯誤；

對于C，/■）=箝，定義域為~，-{|山一曲唱+8）,

e-xxx+e-x

又+ee=則“X）的圖象關于〉軸對稱，故c錯誤;

XX|

對于D,當m時，“＞所=口=1+口，

由反比例函數的性質可知，/（無）在（1,+8）上單調遞減，故D錯誤；

檢驗選項A,/（》）=3?.滿足圖中性質,故A正確.

4|x|-3

故選：A.

?題型03函數圖像變換的應用

5.（2024?四川南充二模）已知函數〃x）=；,則函數丁=/（工一1）+1的圖象（）

A.關于點（U）對稱B.關于點（-U）對稱

C.關于點（-1,0）對稱D.關于點。,0）對稱

【答案】A

【分析】

首先判斷函數〃力=；為奇函數，再根據函數平移規則判斷即可.

【解析】函數/（X）=?的定義域為{X|XH0},又=V=

所以〃x）=9為奇函數，則函數〃尤）的圖象關于原點（0,。）對稱，

又y=/（x-1）+1的圖象是由〃x）=：的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，

所以函數y=/（x-l）+l的圖象關于點（U）對稱.

故選：A

6.（22-23高二上?河南?階段練習）直線2依+勿-2=0（°>0力>0）過函數〃尤）=了+」：+1圖象的對稱中心,

X-1

則？4+;1的最小值為（）

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函數圖象平移與奇函數的性質求得/'（x）的對稱中心，從而得到a+b=l,再利用基本不等

式"1"的妙用即可得解.

【解析】函數/（x）=尤+<+l=x-l+工+2的圖象，

x-1x-1

可由y=x+工的圖象向右平移1個單位，再向上2個單位得到，

X

又丫=*+，的定義域為（-8,0）u（0,+co）,-彳+=-=一。：+1],

所以y=x+：是奇函數，則其對稱中心為（0,0）,

故/（X）的對稱中心為（1,2）,所以2a+2Z?—2=。，即〃+b=l,

41/_4ba、口,l4ba

所以—i—=（a+b）\—i—=5H---1—>5+2./-----=9n,

ab\abJab\ab

當且僅當4竺b=af,即a=26=2］時，等號成立，

ab3

41

所以？+；的最小值為9.

ab

故選：A.

7.(2022高三?全國?專題練習)已知二次函數/■(*)的圖象的頂點坐標是(2,2),且截x軸所得線段的長度是

4,將函數/(X)的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線丁=g(x),則拋物線丁=g(x)與y軸的交點是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函數的性質，結合待定系數法求得f(x),再利用平移的特征求得g(x),從而得解.

【解析】因為二次函數f(x)的圖象的頂點為(2,2),

故〃力的對稱軸為直線x=2,

又的圖象截X軸所得線段的長度是4,

所以f(x)的圖象與x軸的交點坐標為(0,0)和(4,0),

設〃x)=a(x-2)2+2(分0),將點(0,0)代入得a(-2『+2=0,解得。=一；，

19

所以=龍一2)-+2,

因為g(x)的圖象為的圖象右移2個單位得到的，

1919

所以g(無)=/(x_2)=_/(x_2_2)+2=_/(無一4)一+2,

1?

令x=0,貝伊=g(o)=_/(o_4)-+2=_6,

所以g(x)與y軸交點生標為(0,-6).

故選：B.

8.(23-24高一上?河南南陽,期末)已知函數的定義域為。,+8),且滿足/(3'+l)=x,xeR,將

的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數g(x)的圖象.

⑴分別求“X)與g(x)的解析式；

(2)設函數/7(尤)=上3了+叫位)，若無)在區間［1,君］上有零點，求實數機的取值范圍.

【答案】(1"(龍)=log3(xT)(x>l),g(x)=log3x+l(%>0)

9,

(2)--,-1

o

【分析】(1)利用換元法求得〃尤)的解析式，根據圖象變換的知識求得g(x)的解析式.

(2)先求得〃(力的解析式，然后利用換元法，根據根據函數的零點與方程的解、分離參數法、對鉤函數的

性質求得加的取值范圍.

【解析】(1)令3，+l=f,xeR,則te(l,+co),x=log3(/-l),

所以/⑺=log3(?-1),則=log3(x-l)(x>l).

由題意可得，g(x)=/(x+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

2

(2)/?(A:)=(log3x+iy+/n(log3x+1)=(log3尤+1)~+m(21og3A:+1).

令w=log3X,當括］時，ne0,1)

函數M無)有零點等價于關于〃的方程(〃+1)2+〃Z(2〃+1)=。在o］上有解.

JJ—I

令2〃+1=〃，貝n=

+

所以5+1)2“2+2u+1

m=-----------=---------------=——u-\----F2

2n+lu4u4(u

由雙勾函數的單調性可知，

函數加=-^［"+7+2)在［1,2］上單調遞減，

當〃=2時，該函數取得最小值，即機mi“=-!、12+：+2］=-：

當"=1時，該函數取得最大值，即mmax=-：x(l+：+2］=-l,

I-9'

因此，實數機的取值范圍為-g，T.

6

【點睛】利用換元法求函數的解析式，要注意函數的定義域在求解過程中的變化.求解函數的零點問題，可

轉化為方程的根來進行研究.如果零點問題含有參數，則可以考慮分離參數法、構造函數，轉化為值域問題

來進行求解.

?題型04求函數的零點及個數

9.（2023高三?全國?專題練習）已知指數函數為〃x）=4￡，則函數y=〃x）-21的零點為（）

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據給定條件，解指數方程即可作答.

【解析】函數〃x）=4',由〃x）—2^=0,即4'_2'=0,整理得2乂2<2）=0,解得x=l,

所以函數y=〃x）-2川的零點為1.

故選：C

10.（2023?陜西西安?模擬預測）函數〃%）=1-坨（3工+2）的零點為（）

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根據零點的定義即可求解.

鼬H令”尤）=l—lg（3*+2）=o,得3，+2=10,則X=log38.

故選：A

11.（2024高三?全國?專題練習）函數/（x）=2%+%—2的零點個數是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f（x）=2xln2+1>0,所以/（%）在R上單調遞增，f（0）=—1,f（1）=1,故函數的零點個數

為1.故選B.

丫2?丫_2v<

?一一’二零點個數為（）

｛-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據零點的定義計算即可.

【解析】由〃%）=0得：

：V0,或尤>0,

[%2+x-2=0[-l+lnx=0,

解得了=-2或%=6.

因此函數〃x）共有2個零點.

故選：B.

13.（2024?廣東湛江?二模）已知函數〃%）=|2'-1卜4,g（x）=x2-4|.x|+2-a,則（）

A.當g（x）有2個零點時,〃尤）只有1個零點

B.當g（x）有3個零點時，〃x）有2個零點

C.當〃尤）有2個零點時，g（x）有2個零點

D.當“X）有2個零點時，g（元）有4個零點

【答案】D

【分析】作出函數ynx2-川x|+2圖象，兩個函數的零點個數轉化為它們的圖象與y=。的圖象

的公共點的個數，結合圖象可得答案.

【解析】兩個函數的零點個數轉化為圖象與>的圖象的公共點的個數，

作出y=|2l[,丁=/-4兇+2的大致圖象，如圖所示.

由圖可知，當g（x）有2個零點時，無零點或只有1個零點；

當g（x）有3個零點時，/（X）只有1個零點；

當〃x）有2個零點時，g（元）有4個零點.

故選：D

14.（2024?全國?模擬預測）函數〃"=2而3+0“￡<0<3的圖像關于點信01中心對稱,將函數"%）

的圖像向右平移;個單位長度得到函數g（x）的圖像，則函數g（x）在區間卜兀,對內的零點個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函數的圖像與性質、三角函數圖像的平移變換

【解析】?.?函數"X）的圖像關于點匕,0）中心對稱，.?./D=2sin（年+\=0,回g+e=E?eZ,

又一］＜0,則/（x）=2sin（2x+g）.

將函數〃尤）的圖像向右平移：個單位長度得到函數g⑺=2sin卜-北的圖像，

令2x-］=E,AeZ,得無=￡+"，笈eZ,EI函數g（x）在區間［一兀,無］內的零點有尤=-?,》=-三,》==,無=§,

3626363

共4個.

故選：D.

?題型05二分法求函數的零點

15.（2023高三?全國?專題練習）用二分法求函數〃尤）=111（%+1）+尤-1在區間（0,1）上的零點，要求精確度

為0.01時，所需二分區間的次數最少為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長度等于1區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過”（weN*）次操作后,

區間長度變為g,若要求精確度為0。1時則g＜。。1,解不等式即可求出所需二分區間的最少次數.

【解析】因為開區間（。,1）的長度等于1,每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，

所以經過〃（〃eN*）次操作后，區間長度變為g,

令77＜0.01,解得"27,且weN*,

故所需二分區間的次數最少為7.

故選：C.

16.（2019高三?全國?專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是（）

【答案】C

【分析】根據零點的存在定理及二分法分析各選項的函數圖象，即可得到答案.

【解析】根據二分法的思想，函數”X）在區間句上的圖象連續不斷，且即函數的零點

是變號零點，才能將區間（。力）一分為二，逐步得到零點的近似值.

對各選項的函數圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項C不符合，因為圖象經過零點時函數值的符號沒有發生變化，因此不能用二分法求函數零點.

故選：C.

?題型06根據函數的零點求參數

17.（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知命題P：函數/（x）=2V+x-a在（1,2］內有零點，則命題P成立的

一個必要不充分條件是（）

A.3<?<18B.3<a<18C.〃<18D.a>3

【答案】D

【分析】判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理列式求出。的取值范圍，結合必要不充分條件的意義判

斷即得.

【解析】函數/（x）=2尤3+彳_。在R上單調遞增，由函數/（》）=2/+彳_。在（1,2］內有零點,

f/（l）=3-a<0

得［二、c，解得3<a<18,即命題P成立的充要條件是3<aW18,

顯然3<a418成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式a23恒成立，反之，當時，3<aV18不一定成立，

所以命題P成立的一個必要不充分條件是。23.

故選：D

18.（2023高三?全國?專題練習）函數/。）="2"-履-2在區間（1,2）內有零點，則實數4的取值范圍

是.

【答案】（0,3）

【分析】根據題意將問題轉化為，=左與g(x)=2,-工尤€(1,2)的圖象有交點，再由g(x)在(1,2)上遞增，

X

可求得結果.

2

【解析】令/(x)=。，則『2'-履一2=0,即左=2"-一，

x

2

即'=上與g(x)=2「一，xe(1,2)的圖象有交點,

x

因為y=2工和y=在(1,2)上遞增，所以g(尤)=2-'在(1,2)上遞增，

所以g(D<g(x)<g(2),即0<g(尤)<3,

所以0<女<3,

即實數A的取值范圍是(0,3),

故答案為：(。,3)

19.(22-23高三?全國■課后作業)已知函數〃x)=20-3”—x的零點七e(匕左+1),keZ,貝!］左=.

【答案】2

【分析】判斷函數的單調性，結合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.

【解析】因為函數>=3-*為R上單調減函數，

故函數”x)=20.3T-x為R上單調減函數，

70?on

又/⑵=20.3-2_2=g-2=->0,/(3)=20-3^-3=--3<0,

故=20-3一'-x在(2,3)上有唯一零點，

結合題意可知左=2,

故答案為：2

20.(22-23高三?全國?對口高考)方程/+辦一2=0在區間口,5］上有解，則實數。的取值范圍為

-23-

【答案】-4

【分析】根據/(x)=Y+依―2在區間［1,5］端點的正負列式求解即可.

【解析】考查/(x)=d+Q-2,因為〃0)=-2<0,且〃尤)開口向上，

故/(X)在區間口,5］上最多有一個零點，結合零點存在性定理可得，若方程/+6-2=0在區間口，5］上有解,

〃i）vo[12+O-2<023

解得

則/（5）>0即I|52?+5iz-2>0—,1

23

故答案為：-二」

21.(2024?全國?模擬預測)若不等式/'(力>。或,(x)<0只有一個整數解，則稱不等式為單元集不等式.已

知不等式a(x+l)2-|log2尤1+1>0為單元集不等式，則實數。的取值范圍是.

【答案】

【分析】不等式轉化為Ilog?尤l<a(x+l)2+l,引入函數"x)=|log2x|,g(x)=a(x+iy+l,分類討論作出

函數圖象，利用數形結合思想求解.

【解析】根據題意可轉化為滿足口。82尤1<。(*+1)2+1的整數尤的個數為1.

令〃x)=|log2,,g(x)=a(x+l)2+l,

當a>0時，作出函數_f(x)=|log2X和g(x)=a(x+l)—l的圖象，如圖所示，

數形結合得，〃x)<g(x)的解集中整數的個數有無數多個，不符合題意；

當a=0時，g(x)=l,所以llogRvl,解得:<尤<2,只有一個整數解x=l,

所以。=0符合題意；

當.<0時，作出函數/G)=|log2,和g(x)=a(x+l)-l的圖象，如圖所示，

4。+1>01

即12+1'結合可得「

綜上所述，實數。的取值范圍是，；,0.

故答案為：(~,0］.

4

【點睛】方法點睛：根據函數的零點個數求解參數范圍，一般方法：

(1)轉化為函數最值問題，利用導數解決；

(2)轉化為函數圖像的交點問題，數形結合解決問題；

(3)參變分離法，結合函數最值或范圍解決.

?題型07函數零點的其他應用

22.(23-24高二上?山東威海?期末)已知函數y=/(尤)的圖象是連續不斷的，且了⑺的兩個相鄰的零點是1,

2,則“現?1,2),“通)>0"是"Vxe(l,2),/(無)>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結合函數的單調性，由充分必要條件的判斷方法求解即可.

【解析】解：由題意知，/(1)=/(2)=0,對任意x?l,2)J(x)田0,

而函數y="尤)的圖象是連續不斷的，

由*?1,2),f(xo)>O,可得Vxe(l,2),f(x)>0,充分性成立，

反之Vxe(l,2),/(%)>0,顯然可推出去(1,2),/Uo)>O,必要性成立，

故"/e(1,2),〃勺)>。"是"心?1,2),/(無)>0"的充要條件，

故選：C

23.(2020.江西贛州.模擬預測)設函數/(x)=e，+o(x-1)+6在區間［0,1］上存在零點，則/+/的最小值

為()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【分析】設/為了⑺在［0,1］上的零點，可得/+如-1)+6=0,轉化為點(“⑷在直線l)x+y+e'=0上,

2?2f

根據/+〃的幾何意義，可得〃2+、之令g?)=/八2「利用導數求得函數的單調性和最值，

”1)2+1(I)?+1

即可得答案.

【解析】設f為，(X)在［0,1］上的零點，則e'+a(r-l)+b=o,

所以(f-l)a+6+d=0,即點(。,〃)在直線Q-l)x+y+e'=0,

又/+k表示點(”,沖到原點距離的平方，

則E,U7r即〃+冷》

e”Ze?，(產+2-2t)-e2〈2r-2)_2e2<(f2-3f+3)

令g?)=可得g'?)=

d)2+l'(z2+2-2r)2(?2+2-2/)2

因為/'>0,〃-3/+3>0,

所以，⑺>0,

可得g⑺在［。,1］上為單調遞增函數，

所以當r=。是，g。)*=g(0)=g，

所以即力+^的最小值為

故選：B

【點睛】解題的關鍵是根據/+〃的幾何意義，將方程問題轉化為求距離問題，再構造新函數，利用導數

求解，分析、計算難度大，屬難題.

24.(2023,湖北武漢?模擬預測)已知%是函數〃了)=一一+111%的一個零點，若占,

1—X

則()

A./(Aj)<0,/(x2)<0B./(^)>0,/(x2)>0

C./(Aj)>0,/(x2)<0D./(^)<0,/(x,)>0

【答案】D

【分析】利用數形結合判定函數值大小即可.

【解析】令〃x)=一一+lnx=0.從而有lnx=一二，此方程的解即為函數的零點.

在同一坐標系中作出函數y=ln無與y=」匚的圖象，如圖所示.

x-1

由圖象易知，」7>ln石，從而出王故In尤1+——<0,即〃不)<0.

玉一1石-1］_玉

同理

故選：D

25.（23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習）已知三個函數〃x）=d+x-3,g（x）=22x+x-2,

人（九）=lnx+x—5的零點依次為。，b,c,則b,。的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】根據函數的單調性以及零點存在性定理得出結果.

【解析】因為y=d,y=22*在R上為增函數，y=lnx在（0,+8）上為增函數,

所以由題知函數〃尤），g（x）,〃（力在各自定義域上都為增函數，又=/（2）=7>0,0fle（l,2）;

g（0）=-l<0,g（l）=3>0,0&e（O,l）；

/?（3）=ln3-2<0,//（4）=ln4-l>0,0ce（3,4）,

^\c>a>b.

故選：D.

llgx\-a,0<x<3

26.（20-21高三上?遼寧大連?階段練習）已知函數/（》）=<［旭（6-刈-<6（其中皿若"X）的四

4

個零點從小到大依次為％，%2，彳3，%，則的值是（）

1=1

A.16B.13C.12D.10

【答案】C

【分析】根據零點的定義，通過轉化法、數形結合思想進行求解即可.

|lgx|,0<x<3

【解析】令/（%）=。=>“=

|lg（6—x）|,3<x<6f

設g（/A、優f|lg（Lx|,0<）|x,3<…36,圖象如下圖所示:

4

x=6

y=g（.x）

y^=a

向

OX11X235X4x

所以有0<X1<1<X2<3<X3<5<X4<6,

且一lg玉=lgx2=-lg（6-X3）=lg（6-x4）=?,

因此可得%=10,工2=1°二七=6-1。二%4=6—10",

4

所以Z%=icr+io"+6-i（r+6-10'=12,

1=1

故選：C

?題型08補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用

27.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km,經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量。

（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數據：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（）

A.2=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogav+b

【答案】C

【分析】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.

【解析】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為［0,120］；第二，在定義域單調遞增且單位

增長率變快；第三，函數圖象過原點.

A選項：函數。=0.5”+。在定義域內單調遞減，故A錯誤；

B選項：函數。=6+6的單位增長率恒定不變，故B錯誤；

C選項：。=。寸+從？+。滿足上述三點，故C正確；

D選項：函數。=%logj，+b在v=0處無意義，D錯誤.

故選：c

~O20406080100120140160x

28.（23-24高三上?福建泉州?期末）函數/（X）的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（）

B.f^x）=kxex+b

C.f（x）=k\x\+b

D./（x）=k^x-Y）1+b

【答案】A

【分析】由函數F（尤）的數據即可得出答案.

【解析】由函數〃尤）的數據可知，函數/（—2）=/（2）,/（-1）=/⑴,

偶函數滿足此性質，可排除B,D；

當天＞0時，由函數尤）的數據可知，函數，（x）增長越來越快，可排除C.

故選：A.

29.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組

數據：

%/月份23456

y/元1.402.565.311121.30

1V

請從模型y=/，模型y=］中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過300元的月份為（）

（參考數據：1g3。0.477,1g2?0.301）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】利用給出函數的表格法確定自變量與函數值之間的關系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出

自變量的范圍.

【解析】根據表格提供的數據，畫出散點圖，并畫出函數y=?1及＞=（2尤■的圖象.

g圖象上或附近，因此用y后這一函數模型.

當93。。時，2、＞9。0,貝情”1唯9。。=量=三薩/814.

由14x412且xeN,》最小值為10.

故選：C.

30.（2024?北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中夕是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P=當P，S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

【分析】由題意可得尸=：1pCSy3,C=兩2P，結合選項，依次判斷即可.

112P

【解析】由題意，f=-pCSv2,P=fv,所以c=—,

A：當。,5,C不變，v比原來提高10%時，

貝！]<=《pCSil+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv1,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯誤；

B：由選項A的分析知，^=1.33.|pCSv3,

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯誤；

2P2P2P

C：當P，S,尸不變，"比原來提高1。％時，6=仃/=而升=。.75?數，

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯誤.

故選：C

31.（2024?全國?模擬預測）2024年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球探測兩大任

務，其中，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半

徑的立方成正比，當空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是（參考數據：In2?0.693,

e0-462~1,587）（）

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442（）

【答案】C

【分析】利用指數和對數的運算求解即可.

【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，

設小主,

當空間站運行周期增加1倍時，設此時半徑為凡，

則（2T『=綱3,

兩式相比得：4，即ln4=ln[&]

⑺WR3

故&=e。用2=1,587,

R

故圓軌道半徑增加的倍數大約是1.587-1=0.587.

故選：C.

inz

32.（23-24高三下?陜西?階段練習）某種生物群的數量。與時間f的關系近似的符合：。⑺=指P（其中e

為自然對eg2.71828...）,給出下列四個結論，根據上述關系，其中錯誤的結論是（）

A.該生物群的數量不超過10

B.該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小

C.該生物群的數量的增長速度與種群數量成正比

D.該生物群的數量的增長速度最大的時間務e（2,3）

【答案】C

【分析】對解析式上下同時除以e',結合反比例函數模型可判斷A正確；對=求導，Q'⑺即為

該生物種群數量的增長速度與時間的關系式，結合導函數特征和對勾函數模型可判斷C錯，BD正確

【解析】因為e，>0,。（"=萼=10x—<10,故該生物種群的數量不會超過10,故A正確；

v7S+9e?+9

1010⑺-90ef—90

由Q1）=野，求導得-f1Q81,顯然該生物種群數量的增長速度與種群數量不成正

e+9十？）e+ld+--

e

比，故c錯誤；

因為e'+2為對勾函數模型，故d+”馮廉日小，

eeVe

當且僅當e，=9,即，=ln9時取到等號，

當te（0,ln9）時生物群的數量的增長速度隨時間的增加而增加，當/e（山9,+8）時生物群的數量的增長速度

隨時間的增加減小，即該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；

且當f°=ln9e（2,3）時，。'⑺最大，故BD正確.

故選：C.

33.（23-24高三下?甘肅?階段練習）北京時間2023年12月18日23時59分，甘肅省臨夏州積石山縣發生

里氏6.2級地震，震源深度10公里.面對突發災情，社會各界和愛心人士發揚"一方有難、八方支援"的中

華民族團結互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災區群眾渡過難關.震級是以地震儀測定的每次地震活動釋

放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級.能量E

與里氏震級M的對應關系為lgE=4.8+L5M,試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

【答案】C

【分析】借助能量E與里氏震級M的對應關系計算即可得.

【解析】由lgE=4.8+L5M,設lgE0=4.8+L5（Af+2）,

貝！JlgEo-lgE=4.8+L5（M+2）-4.8-1.5M=3,

即1g殳=3,*=1（）3=1000.

EE

故選：C.

34.（2024?江蘇?一模）德國天文學家約翰尼斯?開普勒根據丹麥天文學家第谷?布拉赫等人的觀測資料和星表,

通過本人的觀測和分析后,于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一一繞以太陽為焦點的

2汽。

橢圓軌道運行的所有行星,其橢圓軌道的長半軸長。與公轉周期T有如下關系：T=-^=.?2,其中M為

太陽質量，G為引力常量.己知火星的公轉周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【分析】根據已知的公式，由周期的倍數關系求出長半軸長的倍數關系即可.

【解析】設火星的公轉周期為工，長半軸長為%,火星的公轉周期為“，長半軸長為外,

2萬3

鬣①

則，工=8碼且4GM

3

兀

2*②

4GM

3

@得.4（幺"=8,

a

②T22

所以，￡=4,即：4=4%.

故選：B.

35.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車.”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據駕駛

人員血液、呼氣酒精含量來確定，經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/'（X）

40sin71x+13,0<x<2

隨著時間x（小時）的變化規律，可以用函數模型J來擬合，則該人喝一瓶

90.e^°-5x+14,x>2

啤酒至少經過多少小時后才可以駕車？（）（參考數據：In15?2.71,ln30?3.40）

駕駛行為類別酒精含量值（mg/100mL）

飲酒駕駛>20,<80

醉酒駕駛>80

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】可結合分段函數建立不等式90e—°"+i4<2（）,利用指數不等式的求解即可.

【解析】對于/。）=40$畝1》）+13,

7T2元

由0Wx<2,則函數/⑴先增后減，

當工€（/2）時，/（x）=204+13>20,

所以，該人喝一瓶啤酒后的2個小時內，其血液酒精含量可能大于20,

n>2

則駕車只能在2個小時之后，令][9n0>「2“+14<20,隊

e-0.5n<

解得〃>21nl5u2x2.71=5.42,

??,/isN,,，〃的最小值為6,故至少經過6小時才可以駕車.

故選：B.

36.（2024?陜西咸陽,模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的

變化遵循蘭徹斯特模型:天分別為紅、藍兩方的

初始兵力，，為戰斗時間；X。），y?）分別為紅、藍兩方f時刻的兵力；正實數。，b分別為紅方對藍方、藍

方對紅方的戰斗效果系數；cosbx=E±±;和sinW=￡士分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數.規定:

22

當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T.則下

列結論不正確的是（）

A.若且a=b,則⑺(owYT)

則T="

B.若X0>%且〃=

a

X。b

C.若寸>￡'則紅方獲得戰斗演習勝利

>J-,則紅方獲得戰斗演習勝利

D.若」

Va

【答案】C

【分析】對于A根據已知條件利用作差法比較大小即可得出x?)-y(r)=e”Xo-K)＞。，對于B,利用A

e^at-e八一at

中結論可得藍方兵力先為。，即濘乂。=0解得7；對于C和D,若要紅方獲得戰斗演習勝

2

利，分別解出紅、藍兩方兵力為。時所用時間4、芍，比較大小即可.

=Xcosh(成)-Ysinh(叫

【解析】對于A,若X。＞乂且。=6,則Qo

)(%)=%cosh(成)一XQsinh(a。'

e^at+.e-ate^at-e^—at

尤(，)=

22

即-,所以x(r)_y(t)=e"(X°_E),

eat+Qat曖一e"

Yo~X。

22

由x°>4可得x(r)_y(r)=eW(x0_x)>0,即A正確;

對于B,當々=〃時根據人中的結論可知可。＞y(。，所以藍方兵力先為0,