微重點(diǎn)07球的切接問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對(duì)幾何體的

割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位

置.

知識(shí)導(dǎo)圖

______________________卜一一?考點(diǎn)一，空間幾何體的外接球

★球的切接問題

-------------------卜'--------------------------

■II考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球

規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略

（1）定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑.

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素

的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的.

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

【例1】（2024?遼寧撫順?一模）在三棱錐尸一ABC中，A5=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,

PB=PC=2岳,則三棱錐P-A5C的外接球的表面積為（）

A.IOOTIB.75兀C.8071D.120兀

【變式1】（23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰,開學(xué)考試）已知正四面體A3CD的棱長為4,則該四面體的外接球與

以A點(diǎn)為球心，2為半徑的球面的交線的周長為（）

.8730°4而_2屈「而

A.-------71B.--------71C.--------兀D.------71

3333

【變式2】（2023?昆明模擬）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐虎殿頂?shù)奈蓓敇邮剑⒌?/p>

頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又

稱四阿頂.如圖，某幾何體A3C。所有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面ABC。為矩形，AB=4,

AD=EF=2,底面ABCO,且EA=ED=FB=FC=BC,則幾何體ABCDEF外接球的表面積為（）

A.22兀B.28兀

C.32兀D.38K

【變式3】（2023?全國乙卷）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形,

SA_L平面A5C,則SA=.

考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球

規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截

面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

【例2】（2024?湖南?二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長為2,高為豆，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.

【變式1】（2023?沈陽模擬）如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切.已知圓臺(tái)的下底面圓

心為O1，半徑為廠1，圓臺(tái)的上底面圓心為。2,半徑為廠2（廠1＞「2），球的球心為O,半徑為R,記圓臺(tái)的表面積

為Si,球的表面積為S2,則卷的可能的取值為（）

C.1D.1

[變式2]（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計(jì)部門為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝

盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長

的最小值為（）

A.2+2后B.2+4癡C..4+276D.4+46

【變式3】（2024?四川宜賓?二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

M、N,則線段MN長度的最大值為.

1強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023,浙江紹興?模擬預(yù)測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.6兀B.8兀C.16兀D.20兀

2.（2024?廣東梅州?一模）某圓錐的底面直徑和高均是2,則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半

徑為（）

非+1□布-1

A.-----------D.-------------

22

C幣+1D百一］

'2'2

3.（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正

八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為相，則該正八面

體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

Q

“?c一，-Ttm2-2Tim2

A.nnrB.C.------D.-------

33

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)

此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（）

/68-16731152-16^

A.4兀DB.-------------TiCr.—兀Dn.-------------Tt

929

5.（2024?河北邯鄲?三模）已知在四面體A8CD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-BD-C的大小

7T

為且點(diǎn)A,B,C,。都在球。的球面上，M為棱AC上一點(diǎn)，N為棱3。的中點(diǎn).若MO=尢CN，則

2=（）

14〃52

A.—B.—C.—D.-

3993

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，AB=2』,BC=4,側(cè)面為正三角形

且垂直于底面ABCD,〃為四棱錐P-ABCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線8距離的最小值為

()

A.#-2B.V10-1C.25/3-2D.273-1

7.（2024?河南開封?二模）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩

部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

8.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知AB,C,。四點(diǎn)均在半徑為H（尺為常數(shù)）的球。的球面上運(yùn)動(dòng)，且

4

AB=AC,AB±AC,AD±BC,若四面體ABC。的體積的最大值為1,則球。的表面積為（）

_971c

A.2兀B.3兀C.——D.9兀

4

二、多選題

1.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，若

/ACBugO.ACnBCulAAuLnE分別是招,耳￡的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

B.AE〃平面BOG

C.點(diǎn)C到平面BDG的距離為也

3

D.三棱錐G-BDC外接球的半徑為好

2

2.（2024?新疆?一模）如圖，兩個(gè)共底面的正四棱錐組成一個(gè)八面體E-ABCD-F,且該八面體的各棱長均相

等，則（）

A.異面直線AE與8尸所成的角為60。

B.BDfflCE.

C.此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為!

D.直線AE與平面BDE所成的角為60。

3.（2024?江西上饒?一模）空間中存在四個(gè)球，它們半徑分別是2,2,4,4,每個(gè)球都與其他三個(gè)球外

切，下面結(jié)論正確的是（）

A.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為6年4

B.以四個(gè)球球心為頂點(diǎn)的四面體體積為3半2

C.若另一小球與這四個(gè)球都外切，則該小球半徑為r=辿一4

3

D.若另一小球與這四個(gè)球都內(nèi)切，則該小球半徑為廠=地+4

3

三、填空題

1.（2024?貴州?三模）已知一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點(diǎn)為。，底面圓心為。，點(diǎn)尸

是線段。。上的一點(diǎn)，ABC是底面內(nèi)接正三角形，且上4,平面P5C,則AC=；三棱錐

P-ABC的外接球的表面積是.

2.（2024?廣東?一模）已知表面積為87t的球。的內(nèi)接正四棱臺(tái)ABC。-A4G2，AB=2,4聲=1,動(dòng)點(diǎn)尸

在△ACR內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線3尸與平面AC，所成角的正弦值的最大值為.

3.（23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為G，則該三棱錐外接

四、解答題

1.（2023高三?全國?專題練習(xí)）將3個(gè)半徑為1的球和1個(gè)半徑為拒一1的球疊為兩層放在桌面上，上層只

放1個(gè)較小的球，4個(gè)球兩兩相切，求上層小球的最高點(diǎn)到桌面的距離.

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）如圖：長為3的線段尸。與邊長為2的正方形A3CD垂直相交于其中心

O(PO>OQ).

⑴若二面角P-AB-Q的正切值為-3，試確定。在線段PQ的位置;

⑵在（1）的前提下，以尸，A,B,C,D,。為頂點(diǎn)的幾何體PA3CDQ是否存在內(nèi)切球？若存在，試

確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（23-24高三上?寧夏吳忠?階段練習(xí)）如圖，已知圓錐CO的軸截面一ABC是邊長為4正三角形，A3是底

面圓。的直徑，點(diǎn)。在AB上，S.ZAOD=2ZBOD.

⑴求異面直線AD與BC所成角的余弦值;

(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.

4.(23-24高三上?上海普陀?期末)對(duì)于一個(gè)三維空間，如果一個(gè)平面與一個(gè)球只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱這個(gè)平

面是這個(gè)球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系。-切Z中，球。的半徑為1,記平面xOy、平面zOx、平面

yOz分別為a、/3、

⑴若棱長為〃的正方體、棱長為6的正四面體的內(nèi)切球均為球。，求:的值；

11

(2)若球。在處有一切平面為％,求4與&的交線方程，并寫出它的一個(gè)法向量;

>/3

⑶如果在球面上任意一點(diǎn)作切平面X,記入與a、B、7的交線分別為優(yōu)、“、P,求。到加、w、。距

離乘積的最小值.

5.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知三棱柱ABC-A與G，其中ACLCC1，CQ，耳G，點(diǎn)尸是臺(tái)司

的中點(diǎn)，連接AG，AC=CCl=B.C1=2,異面直線AC和8G所成角記為6.

⑴若cos6=；,求三棱柱外接球的表面積;

(2)若cos6=0,則在過點(diǎn)尸且與AQ平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時(shí)，求該截面面積.

微重點(diǎn)07球的切接問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對(duì)幾何體的

割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位

置.

知識(shí)導(dǎo)圖

______________________廣一?考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球

★球的切接問題

----------------------卜、一-?考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：空間幾何體的外接球

規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略

（D定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑.

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素

的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的.

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

【例1】（2024?遼寧撫順?一模）在三棱錐P-ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,

PB=PC=2713,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.100兀B.75TtC.8071D.120兀

【答案】A

【分析】在54C中由余弦定理求得BC=2G，由題意證得以，平面ABC,進(jìn)而確定外接球球心。，由

球心與相關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.

【詳解】在中，BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZBAC=48,

即8C=4"，又PB=PC=2屈,

因?yàn)镽T+AC?=PC2,所以PA_LAC,同理P4_LAB,

又由A3AC=A,AB,ACczABC,?AJL平面ABC.

BC_4也

設(shè).ABC的外接圓半徑為「，所以嬴旃一二/T一，

~2

pA2

所以r=4,所以外接球的半徑R滿足笈=產(chǎn)+”=16+9=25,

2

團(tuán)三棱錐尸-ABC外接球的表面積為4兀R?=100幾

故選：A.

【變式1］（23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試）已知正四面體ABCD的棱長為4,則該四面體的外接球與

以A點(diǎn)為球心，2為半徑的球面的交線的周長為（）

“8回D4A/3002回c屈

3333

【答案】C

【分析】求出正四面體外接球半徑R=布，利用三角函數(shù)定義求出cos/"。，貝U得至IJsinNEAO=等，

再利用三角函數(shù)定義和圓周長公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)該正四面體的外接球的半徑為R,。1為底面3CD的中心，。為該正四面體外接球的球心，

則。Q=gGF=?,則該正四面體的高AQnJp-］丫）=警，

根據(jù)。加=。），即手-R+與=R2,解得R="，

\7\7

貝AE=2,EO=R=5

AE

如圖，在AM。中，c°s/EAO='="，

AO6

所以sinNEAO=

在，EAO?中，EO,=EAsinZEAO,=2-^-=^~,

63

因?yàn)榻痪€為圓，所以周長為2兀.典=拽。兀

33

故選:

【變式2】（2023?昆明模擬）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐虎殿頂?shù)奈蓓敇邮剑⒌?/p>

頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又

稱四阿頂.如圖，某幾何體4BCDEE有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面ABC。為矩形，AB=4,

AD=EF=2,EF〃底面ABCD,且EA=ED=FB=FC=BC,則幾何體ABCOE/外接球的表面積為（）

【答案】A

【解析】連接AC,BD,設(shè)取EF的中點(diǎn)N,連接MN,

由題意知，球心O在直線MN上，取8c的中點(diǎn)G,連接FG,則EG_LBC,

且FG=2義坐■=小.

連接MG,過點(diǎn)P作FP_LMG于點(diǎn)尸，則四邊形MPFN是矩形，MN=FP,

則MN=FP=y]FG2~PG2=y[2,

又因AM=^AC,

AC=7AB2+BG=2y[5,

則AM—y[5,

因?yàn)椤鰽MO和△ONE均為直角三角形，

設(shè)外接球半徑為R,OM=x,

當(dāng)球心0在線段MN上時(shí)，

則R2=/+（4）2,上=（表—鏟十]2,

J2

解得x=—普（舍），

當(dāng)球心O在線段MN外時(shí)，

則7?2=/+（巾）2,R2=（也+勸2+]2,

解得x=坐，故R2=f+5=?，

所以外接球的表面積5=4位?2=22兀

【變式3】（2023?全國乙卷）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形,

SA_L平面ABC,則SA=.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S—ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN—ABC,

設(shè)△ABC的外接圓圓心為Oi,半徑為廠，

則2『sin，：CB=京=25,可得『小’

2

設(shè)三棱錐s—ABC的外接球球心為O,連接。4,OOi,則。4=2,OOi=^SA,

因?yàn)?弟=00計(jì)0欣2,

即4=3+；SA2,解得SA=2.

考點(diǎn)二：空間幾何體的內(nèi)切球

規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截

面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

【例2】（2024?湖南?二模）一個(gè)正四棱錐底面邊長為2,高為白，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.

【答案】飛47r件4

【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.

【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖,

。為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，E,尸分別是的中點(diǎn),

連接PEG是球與側(cè)面PCD的切點(diǎn)，可知G在沖上，OGYPF,

設(shè)內(nèi)切球半徑為「，

則OH=OG=r,HF=l,PH=5PF=2,

由團(tuán)PGO幽.可知軟鬢,即A等,解得r=冬

4兀

所以內(nèi)切球表面積4兀r=4兀x

S=T

故答案為：y.

【變式1］（2023?沈陽模擬）如圖，圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓臺(tái)的側(cè)面和底面均相切.已知圓臺(tái)的下底面圓

心為。1，半徑為廠1，圓臺(tái)的上底面圓心為。2，半徑為井2s＞井2），球的球心為。，半徑為R,記圓臺(tái)的表面積

為S1，球的表面積為S2,則卷的可能的取值為（）

【答案】A

【解析】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，作。尸，BC,垂足為死

由題意知圓。與梯形A3CD相切,

則DC=DE+CE=O2D+OlC=r2+rl,

又DC=、DF+FC=、4R2+S一幻2,

故，4R2+（〃一廠2）2=片+廠2,

化簡可得R2=廠正2,

亡1兀（齊+月）+兀（廠1+廠2）（廠1+廠2）

H+r^+nr2

2”

H+rj12nr2.1

2nr22>2片廠22

347r43QiTT

=5⑺>r2,故取不到等號(hào)），由于5，大，石都不大于5，故不的可能的取值為不

ZZJJZ02Z

【變式2]（2024,河北滄州?模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計(jì)部門為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包裝

盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱長

的最小值為（）

A.2+2A/6B.2+4A/6C..4+2后D.4+4新

【答案】C

【分析】先確定正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層

中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計(jì)算出棱長的最小值.

【詳解】設(shè)正四面體的棱長為。，高為心內(nèi)切球半徑為"

貝且ax?],可得〃=必°,

I23）3

▽“112百11273,-T-ZBA/6

乂4x-x—ax——xr=—x—ax——x/z,用倚r=——a，

32232212

即正四面體的高等于其棱長的遠(yuǎn)，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的逅.

312

如圖，10個(gè)直徑為2的小球放進(jìn)棱長為。的正四面體A3CD中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每

層的小球個(gè)數(shù)依次為1,3,6.

當(dāng)。取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體

的底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的所有相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面

體EFGH,底面3CD的中心為。，與面歹G”的交點(diǎn)為尸，

則該正四面體EFG”的棱長為1+2+1=4,

可求得其高為加4x告警，蟲lx常等7,

所以正四面體A3CD的高為AO=AE+E尸+尸0=3+墳+1=4+生

33

進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為=4+2>/6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于四面體的內(nèi)切球問題，我們最好能熟記正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)

系，即正四面體的高等于其棱長的好，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的逅，這樣解題的時(shí)候我們

312

可以利用這個(gè)關(guān)系快速得到我們要的量.

【變式3】（2024?四川宜賓?二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

M、N,則線段MN長度的最大值為.

【答案】2m

【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑R,內(nèi)

切球半徑小線段"N長度的最大值為R+r得解.

【詳解】由正四面體的棱長為6,則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，

設(shè)球心為。，如圖，連接4。并延長交底面BCD于,

則AH，平面BCD,且H為底面ABCD的中心，

所以旦6=2出，

3

在Rt/\AHB中，可求得AH=^AB--BH-=卜，2月『=2",

設(shè)外接球半徑為K,內(nèi)切球半徑為小

貝I」尺2=收+0打2=12+（2A/6-，

解得R=亞，r=OH=2y[6-R=—,

22

所以線段MV長度的最大值為R+r=2#.

故答案為：2瓜.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.67rB.8兀C.16兀D.20兀

【答案】D

【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.

【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得。為其外接球的球心（如圖），。0'=1

由于底面為正六邊形，所以△ABO'為等邊二角形，故AO'=2,

所以AO=^AO'2+O（y-=M+f=75，

所以AO為外接球的半徑，故外接球表面積為4M退『=20兀，

故選：D

2.（2024?廣東梅州?一模）某圓錐的底面直徑和高均是2,則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半

徑為（）

A^5+1R^5-1

A.------D.---------

22

C石+1D6一、

'2'2

【答案】B

【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求

解.

【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為R,

貝IjAB=2,CG=2,所以AC=BC=J喈f+CG?=召,

又SABC=SADB+SADC+BDC，

即;x2x2=gx2H+；xA+gxA,

解得R=：=舁,即內(nèi)切球的半徑為止二L.

1+V522

故選：B

3.（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體,

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正

八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為修，則該正八面

體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

2

.c-2-Ttm2-2urn

A.nm~?B.2Tm~C.-------D.-------

33

【答案】D

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出

半徑的大小，即可求解.

【詳解】如圖，連接AC血交于點(diǎn)。，連接。尸，

取BC的中點(diǎn)E,連接OE,尸E,

因?yàn)锳B=m,所以。4=OB=OC=O￡)=4Z〃z,

2

OP=，

2

由3E=CE,可得BC±OE,BC±PE,OE,PEu平面POE,

且OEcPE=E,所以平面尸OE,

過。作QF/_LPE,

因?yàn)?C/平面POE,OHu平面POE,所以3C_LO”,

且3clPE=E,BC,PEu平面PBC,所以O(shè)H_L平面P3C,

所以O(shè)H為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，

在直角三角形尸OE中，OP=叵m,OE==m,PE=,

222

由等面積法可得，OPxOE=^-xPExOHOH=—m,

226

Y2兀2

所以內(nèi)切球的表面積為4兀x1=——m,

3

Q

故選:D.

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)

此立體圖形體積最大時(shí)，其外接球表面積為（）

.68-16石_11052-16有

AA.471BD.----------71C.—71D.-----------71

929

【答案】B

【分析】首先分類討論得出，滿足題意的直線為即：丫=6「-1+手］,且此時(shí)

4=|叫=嗎一嘰1,進(jìn)一步求出底面四邊形外接圓圓心。|坐標(biāo)、半徑，從而得。|到直線所的距離

〃，設(shè)出外接球球心到底面的距離九，結(jié)合（M=OB=R可得出=，+〃；=（4-々y+d：,由此可得外接球

半徑R,進(jìn)而即可求解.

【詳解】若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)且不垂直于三角形的邊，

由題意以。為原點(diǎn)，以邊長為2的等邊三角形的邊為了軸，AB邊上的高8為y軸建立如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系：

由題意A（TO），2（1,0），C（0,石），

不失一般性，設(shè)。:y="+石石）（也就是設(shè)點(diǎn)。在不包含端點(diǎn)的線段上）,

所以△38的面積為［如但，1+圖。邛?空'

k-y/3

而點(diǎn)A(-1,O)到直線CD:y=kx+風(fēng)k>6)的距離為&

1、6左2―3

此時(shí)二棱錐A—BCD體積的最大值為VJ=~S,4=----/(此時(shí)面ACDJ_面BCD),

3BCD6kW+i

2(7

所以0＜乂-12,2(3+1)

所以0<匕<且；

16

若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)且垂直于三角形的邊,

此時(shí)上述情況中的點(diǎn)。于原點(diǎn)。重合,

此時(shí)三棱錐A-3CD體積的最大值為

V2^-SBCO-d2^--(-BO-Oc\AO=-x-x\xy/3x\^J^-(此時(shí)面4。0_1面209),

33(2)326

其中4為點(diǎn)A到OC的距離，即49的長度；

將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線不過三角形的任何頂點(diǎn)，如圖所示:

不失一般性，設(shè)該直線分別與AB,BC交于點(diǎn)E,尸，

折疊后的立體圖形有外接球，則AE,￡G四點(diǎn)共圓，從而NCFE+NCAE=n,

又因?yàn)閆CFE=ZFEB+ZFBE=ZFEB+1,ZCAE=|,

7T

所以NFEB=g=NC4B,所以；FEB~CAB,

由題意A(-LO),2(1,0),C(0,石)，設(shè)EF:y=6(x_a),(_l<q<l),

y/3(1+Q)(3-Q)

所以S四邊形曲7。二

4

過點(diǎn)8向跖引垂線，垂足為G,則4=忸]=6（；一"）,

所以四棱錐3-AEFC體積的最大值為

匕。四邊…4」"+1）（"”"3）[『1）（"3）=如3―34,+3）,（-]<"1）（此時(shí)四邊形

AEFC與三角形BEF垂直），

從而匕（a）=§（3。2—6a—1）,%'（〃）=：（3“2—6a—l）=0na=1—2弋或。=1+2個(gè).,

當(dāng)一時(shí)，匕⑷>0,%（a）單調(diào)遞增，

當(dāng)1-手<。<1時(shí)，匕（。）<0,%（a）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=l-半時(shí)，有（匕濡=匕11一￥卜卜[1-^]一1*1一￥[-3=￥>/，

綜上所述，滿足題意的直線為跖：y=6卜-1+子],且此時(shí)晝=忸q='（；"）=1,

此時(shí)我們首先來求四邊形A￡FC外接圓圓心a,

因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為AB斜率為5/3，

所以的垂直平分線方程為y-

而AE中垂直線方程為

X

23

從而解得。，上少

I33J

所以四邊形的匕外接圓半徑為r=0川=J-#+i]2,4-6

而a到直線EP:y=6X-1+4-的距離為

I3)w=

又滿足題意的四棱錐8-AEFC的高為4=|BG|=嗎-，=1,

設(shè)滿足題意的四棱錐3-AEFC的外接球球心為。,

設(shè)球心到平面的C的距離為九，

則由04=08=R可得，A?=產(chǎn)+跟=(4—九y+力，即16=]_24+13,

解得"」,心無逑+L2延，

13999

從而滿足題意的外接球表面積為68T6?兀.

9

故選：B.

(/7>

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出滿足題意的直線為跖：,=6x-l+亭9,且此時(shí)

4=\BG\==1,由此即可順利得解.

5.(2024?河北邯鄲?三模)已知在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-即-C的大小

TT

為｝,且點(diǎn)A,B,C,。都在球。的球面上，加為棱AC上一點(diǎn)，N為棱3D的中點(diǎn).若M0=MJN，則

4=()

14〃52

A.—B.—C.—D."

3993

【答案】C

【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在AACV所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)Q"的位置和坐標(biāo)，

即可求解.

【詳解】由題意知△ABD與△3CD均為等邊三角形，連接⑷V,CN,則AN_LBD,CN±BD,ZANC

是二面角A-C的平面角，

TT

所以NAAC=],又易知AN=CN,所以ZViav是等邊三角形.

設(shè)P為△3CD的外心，。為CN的中點(diǎn)，連接。尸,ON,A。，則點(diǎn)0,P,。都在平面AOV內(nèi)，建立平面直

角坐標(biāo)系如圖.

設(shè)AN=NC=AC=2,則NP=2,ZONP=-,所以。尸=氈.

369

22

又AQ=拒,所以O(shè)P=|AQ,因?yàn)镸OHCN,易知CM=§C4,

,OM5

,從而=T，/=-----

CN9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題.

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，AB=2y/3,BC=4,側(cè)面以JB為正三角形

且垂直于底面ABC。，M為四棱錐尸-ABCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線C￡）距離的最小值為

)

A.710-2B.710-1C.2.73-2D.273-1

【答案】B

【分析】H,N分別為AB和8的中點(diǎn)，平面PHN截四棱錐尸-ABCD的內(nèi)切球。所得的截面為大圓，求

出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點(diǎn)M到直線8距離的最小值.

【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為廠，取的中點(diǎn)為8的中點(diǎn)為N,連接P〃，PN,

HN,

球。為四棱錐尸-ABCD的內(nèi)切球，

底面ABCD為矩形，側(cè)面上4B為正三角形且垂直于底面ABCD,

則平面PHN截四棱錐尸-MCD的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，

此圓為二PHN的內(nèi)切圓，半徑為廠，與HN,P”分別相切于點(diǎn)E,F,

平面R45_L平面ABCD,交線為AB,PHu平面F4B,

以0為正三角形，有尸平面ABCD,

MVu平面ABCQ,.-.PHLHN,

AB=26BC=4,則有尸"=3,HN=4,PN=5,

則2V中，SPHV=-x3x4=-r（3+4+5）,解得r=1.

所以，四棱錐P-ABCD內(nèi)切球半徑為1,連接ON.

QPH_L平面A3CD,CDu平面A3CD,:.CD±PH,

又CDLHN,PH,HNl平面PHN,PHHN=H,

\CD人平面PHN,ONu平面PHN,可得ON_LCD,

所以內(nèi)切球表面上一點(diǎn)M到直線CO的距離的最小值即為線段ON的長減去球的半徑，

y-ON=y]OE2+EN2=710.

所以四棱錐尸-ABCD內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)M到直線CD的距離的最小值為V10-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

四棱錐尸-ABC。的內(nèi)切球，與四棱錐的五個(gè)面都相切，由對(duì)稱性平面PHN截四棱錐尸-ABCD的內(nèi)切球

。所得的截面為大圓，問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)切圓，利用面積法求出半徑，即內(nèi)切球的半徑，由球心到直線

。的距離，求點(diǎn)M到直線C。的距離的最小值.

7.（2024?河南開封?二模）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩

部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【分析】作出圓錐5。的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為

1:3,從而可得上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為1:27,從而可得解.

【詳解】如圖，作出圓錐SO的軸截面SAB,

設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為E,F,半徑分別為乙R,

即OF=FG=R,EG=r,

根據(jù)題意可知△SAB為正三角形，易知SE=2r,圓錐SO的底面半徑OB=病，

SO=2r+r+R+R=3r+2R,3^SO=,

:.3r+2R=3R,:.R=3r,

，上部分圓錐的底面半徑為高為3r,

又圓錐SO的底面半徑為08=例=3技，高為SO=3r+2R=9r,

上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為f-Y=—,

27

二上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.

8.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知AB,C,。四點(diǎn)均在半徑為R（R為常數(shù)）的球。的球面上運(yùn)動(dòng)，且

4

AB=AC,AB±AC,AD±BC9若四面體ABGD的體積的最大值為則球。的表面積為（）

9兀

A.2兀B.3兀C.—D.9兀

4

【答案】D

【分析】如圖，取BC中點(diǎn)為N,結(jié)合題意可得四面體ABCD的體積最大時(shí)，ON_L平面ABC,且球心在

19

DN上,后可得四面體ABCD的體積表達(dá)式為§（R+ON）（R-ON）,其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式

可得凡即可得答案.

【詳解】因43=403,4（?,取2。中點(diǎn)為乂則又ADLBC,AN,ADu平面⑷⑦,

ANAD^A,

則8C，平面4vD,BCu面ABC,則平面ABC，平面AM),要使四面體ABCD的體積最大，則有ON

1.平面ABC,且球心。在。N上.

設(shè)球體半徑為R,則Q4=OD=R,則七一ABc=gsABcQN=［；2C-4v)(R+ON),

又注意到BC=24V,AN2=O^-ON2=R2-ON2,則

111

2?

VD-ABC=-SABC-DN=-AN\R+ON)=-(R+ON)-(R-ON).

22R+2ON+2R2ON

注意到-(7?+ON)(R-ON)=，(R+ON)(R+ON)(2R-2ON)<--［-^=1/竺］.

366(3)63J

4

當(dāng)且僅當(dāng)2R-2ON=R+ON,即尺=30N時(shí)取等號(hào).又四面體A3CD的體積的最大值為§,則

則球的表面積為4兀R?=9n.

故選：D

D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此類問題需結(jié)合題目條件，設(shè)置合理的變量，得到相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式，后由不等式

取等條件得到等量關(guān)系，從而解決問題.

二、多選題

1.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-