重難點專題25數列通項公式二十三大題型匯總

題型1公式法....................................................................1

題型2累加法....................................................................2

題型3累乘法....................................................................4

題型4已知前n項和Sn消Sn型.....................................................5

題型5已知前n項和Sn消an型....................................................7

題型6待定系數法................................................................8

題型7與概率結合問題...........................................................10

題型8倒數法...................................................................11

題型9同除型...................................................................12

題型10因式分解型..............................................................14

題型11新數列前n項和型........................................................14

題型12取對數型................................................................16

題型13三階遞推型..............................................................17

題型14前n項積求通項..........................................................18

題型15函數遞推型..............................................................19

題型16周期數列型..............................................................21

題型17奇偶討論型..............................................................21

題型18不動點法................................................................23

題型19重新組合新數列型........................................................23

題型20重新排序型..............................................................24

題型21整除相關................................................................25

題型22斐波那契數列............................................................26

題型23數學文化相關............................................................28

題型1公式法

【例題1】（2023秋?湖北武漢?高三武漢市第四十九中學校考階段練習）已知S”是等比數列

n

{an}的前n項和,且Sn=2+1+a,則由。2+a2a3+…+刖0由1=()

A.?B.寧C.亨D.亨

【變式1-111.（2023?河北秦皇島?統考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首

創(chuàng)的“隙積術”，就是關于高階等差數列求和的問題.現有一貨物堆，從上向下查，第一層

有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物

的個數為斯，則使得即>2n+2成立的n的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式1-1】2.（2023秋?江蘇南通?高三統考開學考試）已知數列｛an｝滿足%=1,且

0+1=（1數列兩足歷=bn+l—6n=an+l1則；的最小值為（）.

nn+2,｛6n｝:1,

A.yB.5C.4V2D.y

【變式1-1】3.（2023?四川校聯考模擬預測）在數列｛an｝中，VneN*,即+i=蠟，且

2<ai<3,則下列結論成立的是（）

A.112022<a2020B.C12020+a2022>a2021+a2023

C.CL2022+a2023<2a2021D.?2023>a2021

【變式】全國高三專題練習）數列的前項和為滿足2S

1-14..（2023??｛an｝riSn,S.-n=1-

n,且Si=3,則｛在｝的通項公式是____」

【變式1-115.（2023?新疆喀什?統考模擬預測）已知等比數列｛即｝的前n項和為Sn,且又=

A-3"-l,則a5=（）

A.54B.93C.153D.162

【變式1-1】7.（2023?河南?校聯考模擬預測）若｛斯-是等比數列,且劭=5,a4

=89,則若理)

A.3"-2B.3"-1C.3"+2D.3"+1

題型2累加法

就可以利用這種方法;

【例題2】（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛斯｝滿足取=2,做九=做九-L+3九

（MN*）,%+1=期+（-1尸1（十叱）,則數列｛陶第2023項為（）

A310125B310123

31°ii_531011-3

J252

【變式2-1】1.（2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽二中校考開學考試）已知數列｛冊｝中，的

=1，a+九1-；=（1+。心，n￡N*.若對于任意的te[1,2],不等式學＜一2t2_（a+l）t+a2

—a+2恒成立，則實數a可能為（）

A.-4B.-1C.0D.2

【變式2-1】2.（2023秋?江西宜春?高三江西省宜豐中學校考階段練習）已知定義數列

｛an+i—即｝為數列｛an｝的"差數列"，若的=2,｛斯｝的"差數列"的第九項為2,則數列｛an｝

的前2023項和52023=（）

A.22022—1B.22022c.22024D,22024—2

【變式2-1]3.（2023?全國?高三專題練習）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙

積術"，就是關于高階等差數列求和的問題.現有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨

物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數為

On,貝媵攵歹小等｝的前2023項和為（）

A2[1-盛）]B.2”（/）]

U巾-品）]小—金）]

【變式2-1】4.（2023.全國?高三專題練習）已知數列｛七｝滿足：冊=

f1刀=1,2冠+a外送+…+確

右。10=則m=

la九+a九_2，幾之3a-m)

A.8B.9C.10D.11

【變式2-1】5.（2023?全國?高三專題練習）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前

后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列對這類高階等差數列的研究,

在楊輝之后一般稱為“垛積術"現有高階等差數列，其前7項分別為1,4,8,14,23,

36,54,則該數列的第19項為（）

（注：I2+22+32+.??+n2=n（n+1^2n+1））

A.1624B.1198C.1024D.1560

【變式2-1】6.（2023?全國?高三專題練習）如圖，有一列曲線P。，Pi,P2,…已知Po所圍

成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+i是對外進行如下操作得到：將外的每條邊三等分，

以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（fc=0,1,

2,…）。記又為曲線4所圍成圖形的面積。則數列講"的通項公式

題型3累乘法

中f我1占

累乘法：當數列｛an｝中有念=f（n）,即第n項與第n-1項商是個有規(guī)律的數列，就可以

利用這種方法；

【例題3]（2023?河南?模擬預測）已知數列滿足若瓷=2n,ai=l,則。2。23=

（）

A.2023B.2024C.4045D.4047

【變式3-1]1.（2023?全國?高三專題練習）南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了

高階等差數列的問題，即一個數列｛斯｝本身不是等差數列，但從｛斯｝數列中的第二項開始,

每一項與前一項的差構成等差數列｛勾｝（則稱數列｛斯｝為一階等差數列），或者仍?｝仍舊不是

等差數列，但從｛%｝數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列&｝（則稱數

列｛斯｝為二階等差數列），依次類推，可以得到高階等差數列.類比高階等差數列的定義，

我們亦可定義高階等比數列，設數列1,128,64,…是一階等比數列，則該數列的第8項是

（）

A.25B.2C.221D.228

【變式3-1]2.（2023?河南駐馬店?統考模擬預測）設數列｛布的前加頁和為方,=4,

且右2Sn+12>怛成AZ,貝!的最大值是（）

A.2V10+1B.yC.yD.8

【變式3-1]3.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛而滿足由=1,心=（n-1）瘋二

（n>2,nGN*）,且冊“=sin^（nGN*）,則數列｛時｝的前18項和為（）

A.—3B.—54C.—3y/3D.—54V3^

【變式3-1】4.（2023秋湖北?高三校聯考階段練習）定義：在數列｛an｝中，器-誓=

d（n€N*）,其中d為常數，則稱數列｛總為“等比差"數列.已知"等比差"數列｛黨中,

a1=a2=1,a3=3,則替=（）

A.1763B.1935C.2125D.2303

題型4已知前n項和Sn消Sn型

、?,5^

中上劃重點

S,與血的關系式法：由S,與血的關系式，類比出Sn_i與加_1的關系式，然后兩式作差，最后

檢驗出的，是否滿足用上面的方法求出的通項；

【例題4】（2023秋?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習）已知數列｛an｝的前幾項和為

Sn,若ai=l,a』=2Sn(neN*),則有()

A.｛即｝為等差數列B.｛即｝為等比數列

C.｛S.｝為等差數列D.｛Sn｝為等比數列

【變式4-1]1.（2023?全國?高三專題練習）已知正項數列｛an｝的前n項和為Sn,且血=2,

71

Sn+l(Sn+i—3)=Sn(Sn+3"),貝！JS2023=()

32023+13如22+1

A.32023—1B.32023+1CD.

22

【變式4-1】2.（2023春?湖南長沙?高三校聯考階段練習）數列｛斯｝的前幾項和為方,滿足

Sn+i+S『i=2Sn-Wo>2）,的則下列結論中錯誤的是（）

n

a?<1

Zi=l

n1

——<271D.CL>—T-

Zi=l-七nn+2

【變式4-1]3.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛總的前幾項和%滿足S?+i+Sn=n,

有結論:

①若的=-1,則S2023=1010;

②數列｛即+1+即｝是常數列.

關于以上兩個結論，正確的判斷是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【變式4-1】4.（2023?甘肅張掖?高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列｛總的前n項和

為％,若劭=2,Sn=Sn+1-3an-2,S20=()

A.?B.3--20C.D.9號

【變式4-1】5.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知又是各項均為正

數的數歹U｛%i｝的刖”■項和，S+i=2（Gtn+'!5?）若1—2又寸

n,a3a5=64,4cnSn—65W0neN*

恒成立，則實數屈勺最大值為（）

A.8V2B.16C.I6V2D.32

【變式4-1】6.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知數列｛斯｝的前n

2n—1

項和s九滿足S九=2冊-4,數列｛.｝滿足g=則下列各式一定成立的是（）

A.bn>foiB.bn>b2C.bn<b2D.bn<b3

【變式4-1】7.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛an｝的前n項和為Sn,an+1-

3sn=g（neN*）,設與=[叫（因表示不超過如勺最大整數），則數列｛g｝的前2023項和

2023

42024-2027D42024—6073-42023—2027c4-6073

題型5已知前n項和Sn消an型

S,與斯的關系式法：由S,與血的關系式，類比出Sn_與冊_1的關系式，然后兩式作差，最后

逑鯉眼L是否滿足用上面的方法求出自勺通理

【例題5】（2023?全國?高三專題練習）已知各項都是正數的數列｛冊｝的前疝頁和為Sn,且Sn=

詈+土，則錯誤的選項是（）

A.｛S*是等差數列B.Sn+Sn+2<2Sn+1

C.an+i>anD.Sn——>Inn

【變式5-1]1.（2023?全國?高三專題練習）設外是數列｛*的前n項和，且的=-l,an+1

=SnSn+ll則下列選項錯誤的是（）

—1,71=1

A-a=~—B.=U_l>*

nkn—1n）n2）nGN

c.數列g｝為等差數列D.卷+專+..+氏=-5050

【變式5-1】2.（2023?全國?高三專題練習）數歹11｛即｝的前幾項和為Sn,?i=|,若該數列

滿足冊+2SnS『i=0（n>2）,則下列命題中錯誤的是（）

A.｛J是等差數列B.S**

1

C-廝=—麗口D-｛S2"｝是等比數列

【變式5-1]3.(2023?河南?鄭州一中校聯考模擬預測)已知數列｛即｝的前n項和為Sn,

口1=1,且(Vn2—1+l)Sn=7iSn_i+an(n>2且n6N*),右又=則k=()

A.46B.49C.52D.55

【變式5-1】4.(2022秋?寧夏?高三六盤山高級中學校考期末)已知立為數列｛即｝的前幾項

和，％=1,an+i+2Sn=2n+l,貝(IS2022=()

A.1011B.2022C.3033D.4044

【變式5-1】5.(2023?四川攀枝花?統考二模)已知正項數列｛an｝的前n項和為Sn,且2即5?

=1+說設勾=1咤2米，數歹U｛6n｝的前n項和為Tn,則滿足7“22的n的最小正整數解

為()

A.15B.16C.3D.4

題型6待定系數法

【例題6】(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一,

享有"數學王子”的稱號.用他名字定義的函數稱為高斯函數f(x)=[x],其中國表示不超

過x的最大整數.已知正項數列｛斯｝的前n項和為%,且%=*即+*),令“=小匕,

則[歷+Z?2+…+=()

A.7B.8C.17D.18

【變式6-1]1.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛冊｝的前幾項和為S九，若S九+an=n

(nEN*),則Iog2(l—?。2023)=()

A.-2023B.—c—D2023

20232023

【變式6-1]2.（2023?全國?高三專題練習）數列｛而滿足臼=4,%1=3冊—2,WiEN*

,2（冊—1）〈冊—28,則實數加勺取值范圍是（）

A.(—8,—9)B.(—oo,—8)

C.（-12,-9）D.（-12,-7）

【變式6-1]3.（2023?全國?高三專題練習）在正三棱柱力BC-4/1的中，若4點處有一只

螞蟻，隨機的沿三棱柱的各棱或各側面的對角線向相鄰的某個頂點移動，且向每個相鄰頂點

移動的概率相同，設螞蟻移動九次后還在底面4BC的概率為Pn,有如下說法：①Pi=三②?2

=g；③卜—與為等比數列；4P“=—卷*（—gz+其中說法正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1]4.（2023?全國?高三專題練習）在數列｛*中,臼=14,黑=含-3,則（）

A.除+3｝是等比數列B.俁—3｝是等比數列

C.償+|｝是等比數列D.便—|｝是等比數列

題型7與概率結合問題

【例題7】（2023?全國?高三專題練習）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，

已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r格是每份18元，面食套

餐的價格是每份12元，如果甲當天選擇了某種套餐，他第二天會有60%的可能性換另一種

類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞停趎天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻n,給出以下

論述：

①23=052;

@Pn=O-4P?-1+0.6(1-Pn_i)(?i>2,neN)；

③Pn=0.4+0.5x(-0.2)1

④前k天甲午餐總費用的數學期望為15k+|-|（-1）".

其中正確的是（）

A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③

【變式7-1】1.（2023?全國?高三專題練習）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲

將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則6次傳球

后球在甲手中的概率為.

【變式7-1】2.（2023?全國?高三專題練習）有人玩都硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正

反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子開始

在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從k

到k+1）.若擲出反面，棋子向前跳兩站（從k至收+2）,直到棋子跳到第7站（勝利大本營）

或跳到第8站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為「小則P7

【變式7-1】3.（2020春?河北衡水?高三河北衡水中學校考期中）在慶祝新中國成立七十周

年群眾游行中，中國女排壓軸出場，乘坐“祖國萬歲"彩車亮相國慶游行，"女排精神"燃

爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗排球的訓練活動，設置了一個"投骰子50米

折返跑”的互動小游戲，游戲規(guī)則：參與者先進行一次50米的折返跑，從第二次開始，參

與者都需要拋擲兩枚質地均勻的骰子，用點數決定接下來折返跑的次數，若拋擲兩枚骰子所

得的點數之和能被3整除，則參與者只需進行一次折返跑，若點數之和不能被3整除，則

參與者需要連續(xù)進行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為

（1）求Pi,P2,P3；

證明出是一個等比數列；

（2）n—Pn7｝

（3）求益,若預測參與者需要做折返跑的次數，你猜奇數還是偶數？試說明你的理由.

題型8倒數法

彳菱軻f占

倒數變換法，適用于即+1=表（45C為常數）；二、取對數運算；三、待定系數法：1、

構造等差數列法；2、構造等日數列法：

①定義構造法。利用等比數列的定義4=詈通過變換，構造等比數列的方法.

②0n+1=力即+B（4B為常數）型遞推式可構造為形如。?+1+2=4（即+4）的等比數列.

③冊+廣人冊+⑶產（4B,C為常數，下同）型遞推式，可構造為形如冊+/屁'+1=4（即+屁"）

的等比數列.

【例題8】（2023?重慶統考模擬預測）已知數列｛an｝滿足斯（3斯+2一。九+1）=2azi+1。九+2,

且3al=。2=1,則。8=（）

A--擊B.一言C.+D?擊

【變式8-1]1.（2023?湖南永州?統考三模）已知正項數列｛a“｝滿足的=1,即=

母手，其前200項和為S2oo,貝4（）

Van寸%1+1

A.<S200<|B.1<S2oo<1

q443

C.-<45*200<3D.3<*^200<2

【變式8-1】2.（2023秋?四川成都?高三石室中學校考階段練習）已知數列｛a“｝中，肉

=1,若冊=彌;O>2,neN*）,則下列結論中正確的是（）

A.a3=-|B.

5^n+ia?i2

111

C.an-ln（n+l）>1D.—~~<2

【變式8-1】3.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛冊｝的各項均不為零，且滿足ai

=1，an=i；：a：T（nN2,neN*）,則｛an｝的通項公式即=-

【變式8-1】4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛冊｝滿足的=1&+1=尚

（neN*）.記數列｛斯｝的前疝頁和為Sn,貝11（）

A.|<5loo<3B.3<S100<4

99

C.4<S1Oo<2D.5Vsioo<5

題型9同除型

#?5

用"同除法"構造等差數列

(1)形如an+i=qan+pq"+i=(nGN*),可通過兩邊同除勺"+】，將它轉化為部=券"+

P,從而構造數列有｝為等差數列，先求出

角的通項，便可求得｛冊｝的通項公式.

(2)形如即+1=kan+qn+1(new*),可通過兩邊同除qn+1,將它轉化為券=篙+1,

換元令：6n=會，則原式化為：6n+i=55+q'+i,先利用構造法類型1求出加，再求出

｛即｝的通項公式.

(3)形如a?+i—an=人即￡1?+1(k/0)的數列，可通過兩邊同候以anan+i,變形為*一專

=-k的形式，從而構造出新的等差數列｛?｝,先求出｛2｝的通項，便可求得｛廝｝的通項公式.

【例題9】(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛an｝滿足的=1,an-an+1=nanan+1

(neN*).則即等于()

A.寧B,C,義D.2

22nz-nn2—n+2

a

【變式9-1]1.(2023秋?江西宜春?高三校考開學考試)已知正項數列｛an｝中ii=2,an+i

n

=2an+3x5,則數列｛an｝的通項即=()

A.-3x2"-1B.3x271-1

C.5n+3x2"-1D.5n—3x2n-i

【變式9-1]2.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛an｝的前n項和為Sn,且%—2=2

n

(an-2),則an=()

A.(n+1)-2n+1B.2nC.n-2n+1D.n-2n

【變式9-1]3.(2023春?河南洛陽?高三欒J11縣第一高級中學校考開學考試)在正項數列｛斯｝

中，?i=1,前幾項和%滿足Sn?JSn_i-S—?后=2西?Sn_iO22),貝!|%0=()

A.72B.80C.90D.82

【變式9-1】4.（2023?全國?高三專題練習）設數列｛即｝的前n項和為Sn,且臼=2,

Sn+i,Sn=an+i,則a；,=.

【變式9-1】5.（2023?廣西南寧?南寧三中校考一模）已知數列｛即｝滿足曲n+i—5+1）詼=2,

ai=l,則數列的通項公式為.

題型10因式分解型

【例題10】（2023秋?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學校考開學考試）已知正項數列｛即｝

2

的前疝頁和為Sn,滿足4Sn=an+2an-3,則普的最小值為

【變式10-1】1.（2023?全國?高三專題練習）已知正項數列｛an｝,其前疝頁和為Sn,且滿

足（an+1）2=4（Sn+l）,數列｛g｝滿足6n=（—1尸+1黑，其前疝頁和心,設4eN,若

Tn<4對任意n￡N*恒成立，則屈勺最小值是.

【變式10-1]2.（2023?全國?高三專題練習）記5n為正項數列｛an｝的前n項和，若2Sn=成

-

5T1100

+an-2,則〉二—=

乙」[=1QMi+1

【變式10-U3.（2023?全國?高三專題練習）設數列｛an｝的前n項和為片,且即>0,4Sn

=W+2an—8,則S九—3a九的最小值是.

【變式10-1】4.（2022秋?四川?高三統考階段練習）設數列｛冊｝的前幾項和為外,%=1,

斯>0,且躡一（2n-l）Sn=S"+（2n-l）Sn-i（n>2）,則=嘉的最大值是.

【變式10-1】5.（2022?全國?高三專題練習）設｛斯｝是首項為1的正項數列，且O+2）an+/

2

-nan+2an+1an=0（neN*）,求通項公式」=

題型11新數列前n項和型

【例題11】（2023?全國?高三專題練習）數列｛斯｝的前1357項均為正數,且有：

a+a2+-+an）2=山+蝮+…+碌則山°23+成023+…+a翡先的可能取值個數為（）

A.665B.666C.1330D.1332

【變式11-U1.（2023?四川校聯考模擬預測）已知數列｛an｝滿足2al+22a2+23a3+-+

n

2an=n-2",則｛an｝的通項公式為（）

Al,n=1D

aA

n~\n+i,n>20冊—2

C.an=nD.an=｛n>2

【變式11-1】2.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛an｝滿足臼=1,%+：+…+*=

2（n+l）<令%=盛仁-1）,則錯誤選項是（）

A.aw=100B.數列｛%｝是等差數列C.g021為整數D.數歹U｛以+2cos2Gbj｝

的前2022項和為4044

【變式11-1]3.（2022秋福建寧德?高三福建省福安市第一中學校考階段練習）對于正項

數列5｝中，定義：Gn=曲+2a2+3：+…+n.為數列｛即｝的"勻稱值"已知數列｛總的“勻稱值"

為%=九+2,則該數列中的=（）

A￡R工「2n￡1

A.1B.5U4D.]（）

【變式11-1】4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛而滿足廝+1=成—即+1

（nGN*）,且臼=2023,若存在正偶數m使得（-謚+（-十+???+（-l）ma^+m

=2022aid2…成立，則機=（）

A.2016B.2018C.2020D.2022

【變式11-1】5.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛an｝滿足…+第=n（neN*）

2

,bn=2（an-l）-n+4n,若數列｛%｝為單調遞增數列，則%的取值范圍是（）

A-G，+8)B.&+8)C.(,+8)D,[1)+CO)

【變式11-1】6.（2023春?廣東東莞?高三東莞實驗中學校考開學考試）設數列｛即｝的前疝頁

和為Sn,ai=1,且2Sn=c1n+i-l（neN*）?若對任意的正整數凡都有右星+?2^-1+a3bn_2

n

+…+anbx=3-n-1成立,則滿足等式/+b2+b3+■■■+bn=斯的所有正整數n為

（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

【變式11-1】7.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛斯｝滿足2%+2『%2+…+Han_i

n

+2冊=2-]一1,若cn=行嘉區(qū):，則數列｛c,J的前n項和Tn=.

題型12取對數型

【例題12】（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛而，即=。昌（n22）,ai=e,則數列

｛&J的通項公式為a“=.

【變式12-1]1,（2023?全國?高三專題練習）設正項數列｛而滿足的=1,冊=2碎—何>2）,

則數列｛冊｝的通項公式是.

【變式12-1】2.（2020春?上海浦東新?高三上海市進才中學校考期末）數列｛“｝中，若

a）i+i=成（71eN*）,cii=3,則｛冊｝的通項公式為.

【變式12-1】3.（2023?全國?高三專題練習）土壤中微量元素（如N,P,K等）的含量

直接影響植物的生長發(fā)育，進而影響植物群落內植物種類的分布.某次實驗中，為研究某微

量元素對植物生長發(fā)育的具體影響，實驗人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標值可

近似擬合為e,e,e2,e3,e5,e8,ei>“，并記這個指標值為g,則乙尸必產=（）

A.Inb19lnfo2oB.Inb201n歷1C.lnb19+lnb2oD.lnfo2o+ln^2i

【變式12-1】4.（2023?全國?高三專題練習）有限數列｛an｝中，S“為｛黨的前幾項和，若把

Si+Sz；+s”稱為數列3J的“優(yōu)化和"，現有一個共2019項的數列:卬％%…以2019,若其"優(yōu)

化和"為2020,則有2020項的數列：lggg，…,。2019的優(yōu)化和為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【變式12-1】5.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛而滿足的=1,箸=2a“C；,+nz,

則a8=

題型13三階遞推型

?

【例題13](2023全國?高三專題練習)在數列｛an｝中，的=l,a2=9,an+2=3an+1-2an-

10,則｛陶的前加頁和Sn的最大值為()

A.64B.53C.42D.25

【變式13-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知數列?｝的前n項和為Sn,國=1,若

n

對任意正整數n,S“+i=—3冊+1+即+3,Sn+an>(-l)a,則實數a的取值范圍是

()

A.(-1,|)B.(-1,|)C.(―2,|)D.(-2.3)

【變式13-1】2.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考階段練習)

符號團表示不超過實數%的最大整數，如[2.3]=2,[—1.9]=—2.已知數列｛冊｝滿足的=1,

a若6=[|og2an+i]>為數列｛言的刖n項和，貝WS2025]=

2=5,cLn+2+4an=5an+i.nSn

()

A.2023B.2024C.2025D,2026

【變式13-1】3.(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數學家，近代數學的奠基

者之一，享有"數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數"為：設xeR,用田表示

不超過X的最大整數，貝的=印稱為"高斯函數"，WD：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知

數列｛斯｝滿足由=1,a2=3,an+2+2an=3an+ll若6“=[log2an+i],Sn為數列（；十廣的

前n項和，則52023=（）

.20222024_2023卜2025

zx---BD---（---?j---

2023202320242024

【變式13-1】4.（2023秋?湖北恩施?高三校聯考期末）已知又是數列｛an｝的前拉頁和，目

=a2=1,an=2an_x+3斯_2（n>3）,貝!|下列結論正確的是（）

A.數列｛斯-斯+1｝為等比數列B.數列｛a?+i+2即｝為等比數列

20

C.540=^（3-1）D.an=3"心廠）”1

【變式13-1】5.（2023春?江西宜春?高三江西省豐城中學校考開學考試）若數列｛an｝滿足

111

=l,a2=4,且對于幾€N*（n>2）都有a九+1=2an-an_r+2,則/+不？+不?+…+

。2022-1'1

1011

z.x-20-2-1B0-10-1-0（--20-2-2?Cj---

2022202220232023

【變式13-1】6.（2022秋?云南?高三云南師大附中校聯考階段練習）已知數列｛an｝滿足臼=2,

。2=6,且0n+2-20n+1+%=2,若[久]表示不超過X的最大整數（例如[1,6]=1,[-1,6]

=-2）,則隹]+目+…+[陋斗=（）

L的」La?」La2021J

A.2019B.2020C.2021D.2022

【變式13-1】7.（2023?上海浦東新華師大二附中校考模擬預測）已知=1，當nN2

時，4+1是線段44.1的中點，點P在所有的線段44+1上，貝期小|=,

題型14前n項積求通項

【例題14】（2023?全國?高三專題練習）設〃是數列國?｝的前幾項積，則"〃=3"'是"｛an｝

是等差數列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式14-1]1.(2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯考模擬預測)已知數列｛布的前n

項和為5,且斯=竽,首項為1的正項數列｛“｝滿足比?3?久??…bn=(an?bn)\則數

歹!]｛0｝的前幾項和Qn=.

【變式14-112.(2023?全國?高三專題練習)記又為數列｛在｝的前幾項和，“為數列國｝的

前71項積，已知怖+今=2,則｛冊｝的通項公式為.

【變式14-1】3.(2023秋?北京通州?高三統考期末)已知數列｛斯｝的前n項和為男

(SnK0),〃為數列｛Sn｝的前n項積，滿足Sn+〃=Sn?(neN*),給出下列四個結論：

①的=2;②廝=-五；③｛Tn｝為等差數列；④Sn=中.

其中所有正確結論的序號是.

【變式14-1]4.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛an｝的前幾項和為又國豐0)心為數

列｛Sn｝的前幾項積，滿足Sn+Tn=Sn-Tn⑺為正整數),其中71=?1,給出下列四個結論:

①的=2;②加=思不；③｛〃｝為等差數列；④.其中所有正確結論的序號

是.

題型15函數遞推型

【例題15](2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學統考三模)已知函數y=/(x)(xeR),滿足/(￡)

32

=乎J(等)=陋.府)5GN*)若a“=log3/(n),函數g(x)=2x-3x+2,則g(晶)+

。(施)+。(上)+…+。(器)=()

A.3036B.3034C.3032D.3030

【變式15-1】1.(2023?安徽銅陵?統考三模)已知函數y=/(%),%￡N+,滿足以下條件:

①/(a+b)=f(a)+f(b)+a6,其中a,beN+：②/(2)=3.則f(2023)=()

A.2023X2024B.2022x2023C.1013x2023D.1012X2023

【變式15-1]2.(2023?全國?高三專題練習)對任意數列｛an｝,定義函數F(x)=%+a2x+

久2+…+口?久"-1(九6%*)是數列｛4?｝的"生成函數".已知?⑴=足，則尸G)=()

A.3-鬻B.4—猾

廠,2n+l卜z-2n+3

C-6一后D.6—r

【變式15-1】3.(2023?全國?高三專題練習)高斯(Gauss)被認為是歷史上最重要的數

學家之一，并享有“數學王子"之稱.小學進行1+2+3+…+100的求和運算時，他是這

樣算的：1+100=101,2+99=101,50+51=101,共有50組，所以

50X101=5050,這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實上，高斯發(fā)現并利用了等

差數列的對稱性.若函數y=f(x)的圖象關于點G，1)對稱，Sn=(n+l)

『(看)+/(京)+???+/&!)]，S,,為數列｛斯｝的前n項和，則下列結論中，錯誤的是()

A./(%)+/(I—x)=2

B.Sn=n(n+1)

廣_九(1+斯)

J3九——2―

D-.1不1+不1+不+…+不1＜1

【變式15-1】4.(2023春?河北?高三校聯考階段練習)已知Sn為數歹也廝｝的前川頁和，若

器+上…+力含，設函數，。)=-snz+cosf,則/島)+/島)+f島)+…+f

I￡20221-

V2023/-

【變式15-1]5.(2022秋?廣東深圳?高三統考階段練習)設正整數n=的-7。+的?7+…+

?7”-1+以,7人,其中耿6｛0,1,2,3,456｝,記磯幾)=a。+T---卜ak,S(n)=3(1)+3

(2)+,一+3(7n)，當幾＜6時，S(n)=(用含九的代數式表示).

【變式15-1】6.(2020秋?江蘇揚州?高二揚州中學校考期中)已知g(x)=f(x+3-3是R

上的奇函數，?n=/(0)+/(i)+…+f(*+f(l),九eN*,則數列｛斯｝的通項公式為()

2

A.an=n+1B.an=3n+1C.an=3n+3D.an=n—2n+3

題型16周期數列型

【例題16】(2023?河南開封?統考三模)已知數列｛即｝的前幾項和為S",滿足2Sn=3an-1

O6N*),函數fO)定義域為R,對任意xeR都有/x+l)=三磊，若/'(2)=魚—1,貝如

(。2023)的值為()

A.ypl—1B.1—y/2.

C.y/-2.+1D.—1—y/2,

【變式16-1]1.(2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯考模擬預測)已知首項為3的數

列｛冊｝的前幾項和為5九，若⑥1s九+i+2=an(Sn+2),貝！JS2023=()

A.1435B.1436C.喈D岑

6.3

【變式16-1]2.(2023?河北?統考模擬預測)已知數列｛即｝的前n項和為Sn,且臼=2,

?2=-1,(Sn+i—Sn)(l+Sn——Sn)=l(n>2,nEN*),貝US2022=()

A.IB.2C.1011D.2022

【變式16-1]3.(2018?全國?高三校聯考專題練習)已知數列|｛即｝滿足的=1,佝=一

皿?_1,且a"n=cos等，則數列｛bn｝的前59項和為-

題型17奇偶討論型

【例題17】(2023?上海?高三專題練習)已知數列｛陶滿足的=1,an+l一口九=(—，存

在正偶數n使得(冊—A)(an+1+Z)>0,且對任意正奇數n有(an—A)(an+1+A)<0,則實

數4的取值范圍是()

A.B.(-oo,-|]u(l,+oo)c.(-|)|)D.

【變式17-1]1.(2023?四川遂寧統考三模)已知數列｛an｝的前加頁和為Sn,且臼=1,2Sn

=^n+lam貝！JS20=()

A.210B.110C.50D.55

【變式17-1]2.(2023?全國?高三專題練習)設數列｛an｝的前n項和為S.,an+1+an=2

n+3,且兀=1450,若a?<4,則n的最大值為()

A.50B.51C.52D.53

【變式17-1]3.(2023?河南洛陽?統考模擬預測)已知數列｛即｝滿足%=l,(m-1)扃工

-=0(m>2,mEN*),且a"n=sing%eN*),則數列也｝的前18項和為()

A.-3B.—54C.-D.—54V3^

【變式17-1]4.(2020?北京?高三校考強基計劃)設數列｛冊｝的